Sistema de coordenadas esféricas - Spherical coordinate system

Coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) como comumente usadas em física ( convenção ISO 80000-2: 2019 ): distância radial r (distância até a origem), ângulo polar θ ( teta ) (ângulo em relação ao eixo polar) e azimutal ângulo φ ( phi ) (ângulo de rotação do plano meridiano inicial). O símbolo ρ ( rho ) é freqüentemente usado em vez de r .
Coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) frequentemente usadas em matemática : distância radial r , ângulo azimutal θ e ângulo polar φ . Os significados de θ e φ foram trocados em comparação com a convenção da física. Como na física, ρ ( rho ) é freqüentemente usado em vez de r , para evitar confusão com o valor r em coordenadas polares cilíndricas e 2D.
Um globo mostrando a distância radial, o ângulo polar e o ângulo azimutal de um ponto P em relação a uma esfera unitária , na convenção matemática. Nesta imagem, r é igual a 4/6, θ é igual a 90 ° e φ é igual a 30 °.

Em matemática , um sistema de coordenadas esféricas é um sistema de coordenadas para o espaço tridimensional onde a posição de um ponto é especificada por três números: a distância radial desse ponto a partir de uma origem fixa, seu ângulo polar medido a partir de uma direção zenital fixa e o ângulo azimutal de sua projeção ortogonal em um plano de referência que passa pela origem e é ortogonal ao zênite, medido a partir de uma direção de referência fixa nesse plano. Pode ser visto como a versão tridimensional do sistema de coordenadas polares .

A distância radial também é chamada de raio ou coordenada radial . O ângulo polar pode ser denominado colatitude , ângulo zenital , ângulo normal ou ângulo de inclinação .

O uso de símbolos e a ordem das coordenadas difere entre fontes e disciplinas. Este artigo usará a convenção ISO freqüentemente encontrada na física : fornece a distância radial, o ângulo polar e o ângulo azimutal. Em muitos livros de matemática, ou dá a distância radial, o ângulo azimutal e o ângulo polar, mudando os significados de θ e φ . Outras convenções também são usadas, como r para o raio do eixo z , portanto, muito cuidado deve ser tomado para verificar o significado dos símbolos.

De acordo com as convenções dos sistemas de coordenadas geográficas , as posições são medidas por latitude, longitude e altura (altitude). Existem vários sistemas de coordenadas celestes baseados em diferentes planos fundamentais e com diferentes termos para as várias coordenadas. Os sistemas de coordenadas esféricas usados ​​em matemática normalmente usam radianos em vez de graus e medem o ângulo azimutal no sentido anti-horário do eixo x para o eixo y em vez de no sentido horário do norte (0 °) para o leste (+ 90 °) como o sistema de coordenadas horizontal . O ângulo polar é freqüentemente substituído pelo ângulo de elevação medido a partir do plano de referência, de forma que o ângulo de elevação zero esteja no horizonte.

O sistema de coordenadas esféricas generaliza o sistema de coordenadas polares bidimensional. Ele também pode ser estendido para espaços de dimensões superiores e é então referido como um sistema de coordenadas hiperesférico .

Definição

Para definir um sistema de coordenadas esféricas, deve-se escolher duas direções ortogonais, o zênite e a referência de azimute , e um ponto de origem no espaço. Essas escolhas determinam um plano de referência que contém a origem e é perpendicular ao zênite. As coordenadas esféricas de um ponto P são então definidas da seguinte forma:

  • O raio ou distância radial é a distância euclidiana a partir da origem O para P .
  • A inclinação (ou ângulo polar ) é o ângulo entre a direção do zênite e o segmento de linha OP .
  • O azimute (ou ângulo azimutal ) é o ângulo com sinal medido a partir da direção de referência do azimute até a projeção ortogonal do segmento de linha OP no plano de referência.

O sinal do azimute é determinado pela escolha do sentido positivo de girar em torno do zênite. Esta escolha é arbitrária e faz parte da definição do sistema de coordenadas.

O ângulo de elevação é de 90 graus (π/2 radianos) menos o ângulo de inclinação.

Se a inclinação for zero ou 180 graus ( π radianos), o azimute é arbitrário. Se o raio for zero, o azimute e a inclinação são arbitrários.

Em álgebra linear , o vetor a partir da origem O para o ponto P é muitas vezes chamado o vector de posição de P .

Convenções

Existem várias convenções diferentes para representar as três coordenadas e para a ordem em que devem ser escritas. O uso de para denotar distância radial, inclinação (ou elevação) e azimute, respectivamente, é prática comum em física e é especificado pelo padrão ISO 80000-2: 2019 , e anteriormente em ISO 31-11 (1992).

No entanto, alguns autores (incluindo matemáticos) usam ρ para distância radial, φ para inclinação (ou elevação) e θ para azimute er para raio do eixo z , que "fornece uma extensão lógica da notação de coordenadas polares usual". Alguns autores também podem listar o azimute antes da inclinação (ou elevação). Algumas combinações dessas opções resultam em um sistema de coordenadas para canhotos . A convenção padrão entra em conflito com a notação usual para coordenadas polares bidimensionais e coordenadas cilíndricas tridimensionais , onde θ é frequentemente usado para o azimute.

Os ângulos são normalmente medidos em graus (°) ou radianos (rad), onde 360 ​​° = 2 π rad. Os graus são mais comuns em geografia, astronomia e engenharia, enquanto os radianos são comumente usados ​​em matemática e física teórica. A unidade para distância radial geralmente é determinada pelo contexto.

Quando o sistema é usado para três espaços físicos, é comum usar o sinal positivo para ângulos de azimute que são medidos no sentido anti-horário a partir da direção de referência no plano de referência, conforme visto do lado do zênite do plano. Esta convenção é usada, em particular, para coordenadas geográficas, onde a direção do "zênite" é o norte e os ângulos de azimute (longitude) positivos são medidos a leste de algum meridiano principal .

Convenções principais
coordenadas direções geográficas locais correspondentes
( Z , X , Y )
destro / canhoto
( r , θ inc , φ az, direita ) ( U , S , E ) direito
( r , φ az, direita , θ el ) ( U , E , N ) direito
( r , θ el , φ az, direita ) ( U , N , E ) deixou
Nota: leste ( E ), norte ( N ), ascensão ( U ). O ângulo de azimute local seria medido, por exemplo, no sentido anti - horário de S para E no caso de ( U , S , E ) .

Coordenadas únicas

Qualquer tripla coordenada esférica especifica um único ponto do espaço tridimensional. Por outro lado, cada ponto tem infinitas coordenadas esféricas equivalentes. Pode-se adicionar ou subtrair qualquer número de voltas completas para qualquer medida angular sem alterar os próprios ângulos e, portanto, sem alterar o ponto. Também é conveniente, em muitos contextos, permitir distâncias radiais negativas, com a convenção que é equivalente a para qualquer r , θ e φ . Além disso, é equivalente a .

Se for necessário definir um conjunto único de coordenadas esféricas para cada ponto, deve-se restringir seus intervalos. Uma escolha comum é

r ≥ 0,
0 ° ≤ θ ≤ 180 ° (π rad),
0 ° ≤ φ <360 ° (2π rad).

No entanto, o azimute φ é frequentemente restrito ao intervalo (-180 °, + 180 °] , ou (- π , + π ] em radianos, em vez de [0, 360 °) . Esta é a convenção padrão para longitude geográfica.

O intervalo [0 °, 180 °] para inclinação é equivalente a [−90 °, + 90 °] para elevação (latitude).

Mesmo com essas restrições, se θ for 0 ° ou 180 ° (a elevação é 90 ° ou −90 °), então o ângulo de azimute é arbitrário; e se r for zero, tanto o azimute quanto a inclinação / elevação são arbitrários. Para tornar as coordenadas únicas, pode-se usar a convenção de que, nesses casos, as coordenadas arbitrárias são zero.

Plotagem

Para plotar um ponto de suas coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) , onde θ é a inclinação, mova r unidades da origem na direção do zênite, gire por θ sobre a origem em direção à direção de referência do azimute e gire por φ sobre o zênite na direção correta.

Formulários

O sistema de coordenadas geográficas usa o azimute e a elevação do sistema de coordenadas esféricas para expressar localizações na Terra, chamando-as respectivamente de longitude e latitude . Assim como o sistema de coordenadas cartesianas bidimensional é útil no plano, um sistema de coordenadas esféricas bidimensional é útil na superfície de uma esfera. Nesse sistema, a esfera é considerada uma esfera unitária, portanto, o raio é unitário e geralmente pode ser ignorado. Essa simplificação também pode ser muito útil ao lidar com objetos como matrizes rotacionais .

Coordenadas esféricas são úteis na análise de sistemas que têm algum grau de simetria sobre um ponto, como integrais de volume dentro de uma esfera, o campo de energia potencial em torno de uma massa ou carga concentrada ou simulação de clima global na atmosfera de um planeta. Uma esfera que tem a equação cartesiana x 2 + y 2 + z 2 = c 2 tem a equação simples r = c em coordenadas esféricas.

Duas importantes equações diferenciais parciais que surgem em muitos problemas físicos, a equação de Laplace e a equação de Helmholtz , permitem uma separação de variáveis em coordenadas esféricas. As partes angulares das soluções para tais equações assumem a forma de harmônicos esféricos .

Outra aplicação é o design ergonômico, em que r é o comprimento do braço de uma pessoa parada e os ângulos descrevem a direção do braço quando ele se estende.

O padrão de saída de um alto-falante industrial mostrado usando gráficos polares esféricos obtidos em seis frequências

A modelagem tridimensional dos padrões de saída do alto-falante pode ser usada para prever seu desempenho. São necessários vários gráficos polares, obtidos em uma ampla seleção de frequências, pois o padrão muda muito com a frequência. Os gráficos polares ajudam a mostrar que muitos alto-falantes tendem à onidirecionalidade em frequências mais baixas.

O sistema de coordenadas esféricas também é comumente usado no desenvolvimento de jogos 3D para girar a câmera em torno da posição do jogador.

Na geografia

Para uma primeira aproximação, o sistema de coordenadas geográficas usa o ângulo de elevação (latitude) em graus ao norte do plano do equador , no intervalo −90 ° ≤ φ ≤ 90 ° , em vez da inclinação. A latitude é a latitude geocêntrica , medida no centro da Terra e designada por ψ , q , φ ′, φ c , φ g ou latitude geodésica , medida pela vertical local do observador e comumente designada por φ . O ângulo de azimute (longitude), comumente denotado por λ , é medido em graus leste ou oeste de algum meridiano de referência convencional (mais comumente o meridiano de referência IERS ), então seu domínio é -180 ° ≤ λ ≤ 180 ° . Para posições na Terra ou em outro corpo celeste sólido , o plano de referência é geralmente considerado o plano perpendicular ao eixo de rotação .

O ângulo polar, que é 90 ° menos a latitude e varia de 0 a 180 °, é chamado de colatitude na geografia.

Em vez da distância radial, os geógrafos comumente usam a altitude acima ou abaixo de alguma superfície de referência, que pode ser o nível do mar ou o nível da superfície "média" para planetas sem oceanos líquidos. A distância radial r pode ser calculada a partir da altitude adicionando o raio médio da superfície de referência do planeta, que é de aproximadamente 6.360 ± 11 km (3.952 ± 7 milhas) para a Terra.

No entanto, os sistemas de coordenadas geográficas modernos são bastante complexos, e as posições implícitas por essas fórmulas simples podem estar erradas por vários quilômetros. Os significados padrão precisos de latitude, longitude e altitude são atualmente definidos pelo Sistema Geodésico Mundial (WGS) e levam em consideração o achatamento da Terra nos pólos (cerca de 21 km ou 13 milhas) e muitos outros detalhes.

Em astronomia

Na astronomia, há uma série de sistemas de coordenadas esféricas que medem o ângulo de elevação de diferentes planos fundamentais . Esses planos de referência são o horizonte do observador , o equador celeste (definido pela rotação da Terra), o plano da eclíptica (definida pela órbita da Terra em torno do Sol ), o plano do terminador da Terra (normal à direção instantânea do Sol ), e o equador galáctico (definido pela rotação da Via Láctea ).

Coordenar conversões do sistema

Como o sistema de coordenadas esféricas é apenas um dos muitos sistemas de coordenadas tridimensionais, existem equações para converter as coordenadas entre o sistema de coordenadas esféricas e outros.

Coordenadas cartesianas

As coordenadas esféricas de um ponto na convenção ISO (ou seja, para a física: raio r , inclinação θ , azimute φ ) podem ser obtidas a partir de suas coordenadas cartesianas ( x , y , z ) pelas fórmulas

A tangente inversa denotada em φ = arctany/xdeve ser definido adequadamente, levando em consideração o quadrante correto de ( x , y ) . Veja o artigo sobre atan2 .

Alternativamente, a conversão pode ser considerada como duas conversões sequenciais retangulares para polares : a primeira no plano cartesiano xy de ( x , y ) para ( R , φ ) , onde R é a projeção de r no plano xy , e o em segundo lugar no cartesiano zR -Plane de ( Z , R ) a ( R , θ ) . Os quadrantes corretos para φ e θ estão implícitos na correção das conversões planas retangulares para polares.

Essas fórmulas assumem que os dois sistemas têm a mesma origem, que o plano de referência esférico é o plano xy cartesiano , que θ é a inclinação da direção z e que os ângulos de azimute são medidos a partir do eixo x cartesiano (de modo que o eixo y tem φ = + 90 ° ). Se θ mede a elevação do plano de referência em vez da inclinação do zênite, o arco acima se torna um arco seno, e o cos θ e sen θ abaixo são trocados.

Por outro lado, as coordenadas cartesianas podem ser recuperadas das coordenadas esféricas ( raio r , inclinação θ , azimute φ ), onde r[0, ∞) , θ[0, π] , φ[0, 2π) , por

Coordenadas cilíndricas

Coordenadas cilíndricas ( raio axial ρ , azimute φ , elevação z ) podem ser convertidas em coordenadas esféricas ( raio central r , inclinação θ , azimute φ ), pelas fórmulas

Por outro lado, as coordenadas esféricas podem ser convertidas em coordenadas cilíndricas pelas fórmulas

Essas fórmulas assumem que os dois sistemas têm a mesma origem e mesmo plano de referência, medem o ângulo de azimute φ nos mesmos sentidos do mesmo eixo e que o ângulo esférico θ é a inclinação do eixo z cilíndrico .

Coordenadas esféricas modificadas

Também é possível lidar com elipsóides em coordenadas cartesianas usando uma versão modificada das coordenadas esféricas.

Seja P um elipsóide especificado pelo conjunto de níveis

As coordenadas esféricas modificadas de um ponto em P na convenção ISO (ou seja, para a física: raio r , inclinação θ , azimute φ ) podem ser obtidas a partir de suas coordenadas cartesianas ( x , y , z ) pelas fórmulas

Um elemento de volume infinitesimal é dado por

O fator de raiz quadrada vem da propriedade do determinante que permite que uma constante seja extraída de uma coluna:

Integração e diferenciação em coordenadas esféricas

Vetores unitários em coordenadas esféricas

As seguintes equações (Iyanaga 1977) assumem que a colatitude θ é a inclinação do eixo z (polar) (ambíguo, pois x , y e z são mutuamente normais), como na convenção de física discutida.

O elemento de linha para um deslocamento infinitesimal de ( r , θ , φ ) para ( r + d r , θ + d θ , φ + d φ ) é

Onde

são os vetores unitários ortogonais locais nas direções crescentes de r , θ e φ , respectivamente, e , ŷ e são os vetores unitários em coordenadas cartesianas. A transformação linear para este tripleto de coordenadas destro é uma matriz de rotação ,

A forma geral da fórmula para provar o elemento da linha diferencial é

ou seja, a mudança em é decomposta em mudanças individuais correspondentes às mudanças nas coordenadas individuais.

Para aplicar isso ao caso presente, é preciso calcular como muda com cada uma das coordenadas. Nas convenções usadas,

Assim,

Os coeficientes desejados são as magnitudes desses vetores:

O elemento de superfície que vai de θ a θ + d θ e φ a φ + d φ em uma superfície esférica com raio (constante) r é então

Assim, o ângulo sólido diferencial é

O elemento de superfície em uma superfície de ângulo polar θ constante (um cone com vértice a origem) é

O elemento de superfície em uma superfície de azimute φ constante (um semiplano vertical) é

O elemento de volume que vai de r a r + d r , θ a θ + d θ , e φ a φ + d φ é especificado pelo determinante da matriz Jacobiana de derivadas parciais ,

nomeadamente

Assim, por exemplo, uma função f ( r , θ , φ ) pode ser integrada sobre cada ponto em ℝ 3 pelo integral triplo

O operador del neste sistema leva às seguintes expressões para o gradiente , divergência , curvatura e (escalar) Laplaciano ,

Além disso, o inverso Jacobiano em coordenadas cartesianas é

O tensor métrico no sistema de coordenadas esféricas é .

Distância em coordenadas esféricas

Em coordenadas esféricas, dados dois pontos com φ sendo a coordenada azimutal

A distância entre os dois pontos pode ser expressa como

Cinemática

Em coordenadas esféricas, a posição de um ponto é escrita como

Sua velocidade é então

e sua aceleração é

O momento angular é

No caso de uma constante φ ou então θ =π/2, isso se reduz ao cálculo vetorial em coordenadas polares .

O operador de momento angular correspondente segue então a reformulação do espaço de fase acima,

Veja também

Notas

Bibliografia

links externos