Grupo de loop - Loop group

Estrutura algébrica → Teoria de grupos Teoria de grupos
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Grupos topológicos e de Lie Solenóide Círculo GL linear geral ( n ) SL linear especial ( n ) Ortogonal O ( n ) E euclidiano ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitária U ( n ) SU unitário especial ( n ) Sp simplético ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difeomorfismo Laço Grupo de Lie dimensional infinito O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algébricos Grupo algébrico linear Grupo redutor Variedade abeliana Curva elíptica
v t e

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Grupos de Lie simples Clássico A n B n C n D n Excepcional G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
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Álgebra de Lie semisimples
Teoria da representação
Grupos de mentira em física
Cientistas Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossário Tabela de grupos de Lie
v t e

Em matemática , um grupo ciclo é um grupo de circuitos em um grupo topológico L com multiplicação definido pontual .

Definição

Na sua forma mais geral, um grupo ciclo é um grupo de mapeamentos contínuas a partir de um colector de M para um grupo topológico L .

Mais especificamente, seja M = S ¹ , o círculo no plano complexo , e seja LG o espaço de mapas contínuos S ¹ → G , ou seja,

${\ displaystyle LG = \ {\ gamma: S ^ {1} \ to G | \ gamma \ in C (S ^ {1}, G) \},}$

equipado com a topologia compacta aberta . Um elemento da LG é chamado um ciclo em G . A multiplicação pontual de tais loops dá ao LG a estrutura de um grupo topológico. Parametrize S ¹ com θ ,

${\ displaystyle \ gamma: \ theta \ in S ^ {1} \ mapsto \ gamma (\ theta) \ in G,}$

e definir multiplicação no LG por

${\ displaystyle (\ gamma _ {1} \ gamma _ {2}) (\ theta) \ equiv \ gamma _ {1} (\ theta) \ gamma _ {2} (\ theta).}$

Associativity Resulta associativity em L . O inverso é dado por

${\ displaystyle \ gamma ^ {- 1}: \ gamma ^ {- 1} (\ theta) \ equiv \ gamma (\ theta) ^ {- 1},}$

e a identidade por

${\ displaystyle e: \ theta \ mapsto e \ in G.}$

O espaço LG é chamado o grupo de loop livre em G . Um grupo de loop é qualquer subgrupo do grupo de loop livre LG .

Exemplos

Um exemplo importante de um grupo de loop é o grupo

${\ displaystyle \ Omega G \,}$

de lacetes baseado em L . É definido como o núcleo do mapa de avaliação

${\ displaystyle e_ {1}: LG \ to G, \ gamma \ mapsto \ gamma (1)}$ ,

e, portanto, é um subgrupo normal fechado de LG . (Aqui, e ₁ é o mapa que envia um loop com seu valor em .) Observe que podemos incorporar G em LG como o subgrupo de loops constantes. Consequentemente, chegamos a uma sequência exata de divisão${\ displaystyle 1 \ in S ^ {1}}$

${\ displaystyle 1 \ to \ Omega G \ to LG \ to G \ to 1}$ .

O espaço da LG se divide como um produto semidireto ,

${\ displaystyle LG = \ Omega G \ rtimes G}$ .

Também podemos pensar em Ω G como o espaço de loop no G . Desse ponto de vista, Ω G é um espaço H com respeito à concatenação de loops. À primeira vista, isso parece fornecer a Ω G dois mapas de produto muito diferentes. No entanto, pode ser mostrado que a concatenação e a multiplicação pontual são homotópicas . Assim, em termos da teoria da homotopia de Ω G , esses mapas são intercambiáveis.

Grupos de loops foram usados ​​para explicar o fenômeno das transformadas de Bäcklund em equações de soliton por Chuu-Lian Terng e Karen Uhlenbeck .

Notas

Referências

• Bäuerle, GGA; de Kerf, EA (1997). A. van Groesen; EM de Jager; APE Ten Kroode (eds.). Álgebras de Lie de dimensão finita e infinita e sua aplicação em física . Estudos em física matemática. 7 . Holanda do Norte. ISBN   978-0-444-82836-1 - via ScienceDirect .
• Pressley, Andrew; Segal, Graeme (1986), Loop groups , Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications, Nova York: Oxford University Press , ISBN   978-0-19-853535-5 , MR   0900587 CS1 maint: parâmetro desencorajado ( link )

Veja também

• Espaço de loop
• Álgebra de loop
• Quasigroup