Grupo redutor - Reductive group

Estrutura algébrica → Teoria de grupos Teoria de grupos
Noções básicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo de quociente Produto (semi) direto Homomorfismos de grupo núcleo imagem soma direta produto de grinalda simples finito infinito contínuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diédrico nilpotente solucionável açao Glossário da teoria dos grupos Lista de tópicos de teoria de grupo
Grupos finitos Classificação de grupos finitos simples cíclico alternando Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de Lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall p-grupo Grupo abeliano elementar Grupo Frobenius Multiplicador Schur Grupo simétrico S n Klein quatro grupos V Grupo diédrico D n Quaternion grupo Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Treliças Inteiros ( )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo livre Grupos modulares PSL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo aritmético Malha Grupo hiperbólico
Grupos topológicos e de Lie Solenóide Círculo GL linear geral ( n ) SL linear especial ( n ) Ortogonal O ( n ) E Euclidiano ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitária U ( n ) SU unitário especial ( n ) Sp simplético ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difeomorfismo Ciclo Grupo de Lie dimensional infinito O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algébricos Grupo algébrico linear Grupo redutor Variedade abeliana Curva elíptica
v t e

Em matemática , um grupo redutivo é um tipo de grupo algébrico linear sobre um campo . Uma definição é que um grupo algébrico linear conectado G sobre um campo perfeito é redutivo se tiver uma representação com núcleo finito que é uma soma direta de representações irredutíveis . Os grupos redutivos incluem alguns dos grupos mais importantes em matemática, como o grupo linear geral GL ( n ) de matrizes invertíveis , o grupo ortogonal especial SO ( n ) e o grupo simplético Sp (2 n ). Grupos algébricos simples e (mais geralmente) grupos algébricos semisimples são redutivos.

Claude Chevalley mostrou que a classificação dos grupos redutivos é a mesma em qualquer campo algebraicamente fechado . Em particular, os grupos algébricos simples são classificados por diagramas de Dynkin , como na teoria de grupos de Lie compactos ou álgebras de Lie semissimples complexas . Grupos redutivos em um campo arbitrário são mais difíceis de classificar, mas para muitos campos, como os números reais R ou um campo de número , a classificação é bem compreendida. A classificação de grupos finitos simples diz que a maioria dos grupos finitos simples surgem como o grupo G ( k ) de k - pontos racionais de um grupo algébrico simples G sobre um corpo finito k , ou como variantes menores dessa construção.

Os grupos redutivos têm uma teoria de representação rica em vários contextos. Em primeiro lugar, pode-se estudar as representações de um grupo redutor G sobre um campo k como um grupo algébrico, que são ações de G em espaços vetoriais k . Mas também, pode-se estudar as representações complexas do grupo G ( k ) quando k é um corpo finito, ou as representações unitárias de dimensão infinita de um grupo redutor real, ou as representações automórficas de um grupo algébrico adélico . A teoria da estrutura de grupos redutivos é usada em todas essas áreas.

Definições

Um grupo algébrico linear sobre um campo k é definido como um esquema de subgrupo fechado suave de GL ( n ) sobre k , para algum número inteiro positivo n . Equivalentemente, um grupo algébrico linear sobre k é um esquema de grupo afim suave sobre k .

Com o radical unipotente

Um ligado linear grupo algébrica sobre um corpo algebricamente fechado é chamado semisimples se cada liso ligada solúvel subgrupo normal de é trivial. Mais geralmente, um grupo algébrico linear conectado sobre um campo algébricamente fechado é chamado de redutivo se o maior subgrupo normal unipotente conectado suave for trivial. Este subgrupo normal é denominado radical unipotente e é denotado . (Alguns autores não exigem que grupos redutivos sejam conectados.) Um grupo sobre um campo arbitrário k é denominado semisimples ou redutivo se a mudança de base for semisimples ou redutiva, onde é um fechamento algébrico de k . (Isso é equivalente à definição de grupos redutivos na introdução, quando k é perfeito.) Qualquer toro sobre k , como o grupo multiplicativo G _m , é redutor. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle R_ {u} (G)}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$${\ displaystyle {\ overline {k}}}$

Com teoria da representação

Outra definição equivalente de um grupo redutor é um grupo conectado admitindo uma representação semi-simples fiel que permanece semi-simples sobre seu fechamento algébrico ^{página 383} . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle k ^ {al}}$

Grupos redutivos simples

Um grupo algébrica linear L ao longo de um campo k é chamada simples (ou k - simples ) se for semisimples, não trivial, e cada subgrupo normal liso ligada de L ao longo k é trivial ou igual a G . (Alguns autores chamam essa propriedade de "quase simples".) Isso difere ligeiramente da terminologia para grupos abstratos, pois um grupo algébrico simples pode ter centro não trivial (embora o centro deva ser finito). Por exemplo, para qualquer inteiro n pelo menos 2 e qualquer campo k , o grupo SL ( n ) sobre k é simples, e seu centro é o esquema de grupo μ _n de n- ésimas raízes da unidade.

Uma isogenia central de grupos redutivos é um homomorfismo sobrejetivo com kernel um esquema de subgrupo central finito . Todo grupo redutor sobre um campo admite uma isogenia central do produto de um toro e alguns grupos simples. Por exemplo, em qualquer campo k ,

${\ displaystyle GL (n) \ cong (G_ {m} \ times SL (n)) / \ mu _ {n}.}$

É um pouco estranho que a definição de um grupo redutor sobre um campo envolva a passagem para o fechamento algébrico. Para um campo k perfeito , isso pode ser evitado: um grupo algébrico linear G sobre k é redutivo se, e somente se, todo k -subgrupo normal unipotente conectado de forma suave de G for trivial. Para um campo arbitrário, a última propriedade define um grupo pseudo-redutor , que é um pouco mais geral.

Grupos redutivos de divisão

Um grupo redutivo G sobre um campo k é chamado de divisão se contiver um toro máximo dividido T sobre k (ou seja, um toro dividido em G cuja base muda para é um toro máximo em ). É equivalente a dizer que T é um toro dividida em G que é máxima entre todos k -tori no G . Esses tipos de grupos são úteis porque sua classificação pode ser descrita por meio de dados combinatórios chamados de dados raiz. ${\ displaystyle {\ overline {k}}}$${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$

Exemplos

GL _n e SL _n

Um exemplo fundamental de um grupo redutora é o grupo linear geral de invertível n × n matrizes sobre um campo de k , para um número natural n . Em particular, o grupo multiplicativo G _m é o grupo GL (1) e, portanto, seu grupo G _m ( k ) de k- pontos racionais é o grupo k * de elementos diferentes de zero de k sob multiplicação. Outro grupo redutivo é o grupo linear especial SL ( n ) sobre um campo k , o subgrupo de matrizes com determinante 1. Na verdade, SL ( n ) é um grupo algébrico simples para n pelo menos 2. ${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n}}$

O ( n ), SO ( n ) e Sp ( n )

Um grupo simples importante é o grupo simplético Sp (2 n ) sobre um campo k , o subgrupo de GL (2 n ) que preserva uma forma bilinear alternada não degenerada no espaço vetorial k ^{2 n} . Da mesma forma, o grupo ortogonal O ( q ) é o subgrupo do grupo linear geral que preserva uma forma quadrática não degenerada q em um espaço vetorial sobre um campo k . O grupo algébrica S ( q ) tem dois componentes ligados , e o seu componente de identidade SO ( q ) é redutora, de facto simples para q de dimensão n , pelo menos, 3. (Para k de característica 2 e n impar, o esquema de grupo S ( q ) está de fato conectado, mas não suave sobre k . O grupo simples SO ( q ) pode sempre ser definido como o subgrupo conectado suave máximo de O ( q ) sobre k .) Quando k é algebricamente fechado, quaisquer dois (não degenerados) quadráticos formas da mesma dimensão são isomórficas e, portanto, é razoável chamar esse grupo de SO ( n ). Para um campo geral k , diferentes formas quadráticas de dimensão n podem produzir grupos simples não isomórficos SO ( q ) sobre k , embora todos tenham a mesma mudança de base para o fechamento algébrico . ${\ displaystyle {\ overline {k}}}$

Tori

O grupo e os produtos dele são chamados de tori algébricos . São exemplos de grupos redutivos, pois se inserem pela diagonal e, a partir dessa representação, seu radical unipotente é trivial. Por exemplo, incorpora a partir do mapa${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m} \ times \ mathbb {G} _ {m}}$${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {2}}$

${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}) \ mapsto {\ begin {bmatrix} a_ {1} & 0 \\ 0 & a_ {2} \ end {bmatrix}}}$

Não exemplos

• Qualquer grupo unipotente não é redutor, pois seu radical unipotente é ele mesmo. Isso inclui o grupo de aditivos .${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {a}}$
• O grupo Borel de tem um radical unipotente não trivial de matrizes triangulares superiores com na diagonal. Este é um exemplo de grupo não redutor que não é unipotente.${\ displaystyle B_ {n}}$${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$${\ displaystyle 1}$

Grupo redutor associado

Observe que a normalidade do radical unipotente implica que o grupo quociente é redutor. Por exemplo,${\ displaystyle R_ {u} (G)}$${\ displaystyle G / R_ {u} (G)}$

${\ displaystyle B_ {n} / (R_ {u} (B_ {n})) \ cong \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ mathbb {G} _ {m}}$

Outras caracterizações de grupos redutivos

Todo grupo de Lie compacto conectado tem uma complexificação , que é um grupo algébrico redutivo complexo. Na verdade, esta construção dá uma correspondência um-a-um entre grupos de Lie compactos conectados e grupos redutivos complexos, até o isomorfismo. Para um grupo de Lie compacto K com complexificação G , a inclusão de K no grupo redutivo complexo G ( C ) é uma equivalência de homotopia , com respeito à topologia clássica em G ( C ). Por exemplo, a inclusão do grupo unitário U ( n ) em GL ( n , C ) é uma equivalência de homotopia.

Para um grupo redutor G sobre um campo de zero característico , todas as representações de dimensão finita de G (como um grupo algébrico) são completamente redutíveis , ou seja, são somas diretas de representações irredutíveis. Essa é a fonte do nome "redutor". Observe, no entanto, que a redutibilidade completa falha para grupos redutivos em característica positiva (exceto tori). Em mais detalhes: um esquema de grupo afim G de tipo finito sobre um corpo k é chamado linearmente redutivo se suas representações de dimensão finita forem completamente redutíveis. Para k da característica zero, G é linearmente redutor se e somente se o componente de identidade G ^o de G é redutor. Para k de característica p > 0, entretanto, Masayoshi Nagata mostrou que G é linearmente redutivo se e somente se G ^o for do tipo multiplicativo e G / G ^o tiver ordem primo para p .

Raízes

A classificação de grupos algébricos redutivos é em termos do sistema de raiz associado , como nas teorias de álgebras de Lie semisimples complexas ou grupos de Lie compactos. Esta é a maneira como as raízes aparecem para grupos redutivos.

Seja G um grupo redutivo dividido sobre um campo k , e seja T um toro máximo dividido em G ; assim T é isomorfa a ( G _m ) ⁿ por algum n , com n chamado o posto de L . Cada representação de T (como um grupo algébrico) é uma soma direta de representações unidimensionais. Um peso para G significa uma classe de isomorfismo de representações unidimensionais de T , ou equivalentemente um homomorfismo T → G _m . Os pesos formam um grupo X ( T ) sob o produto tensorial das representações, com X ( T ) isomorfo ao produto de n cópias dos inteiros , Z ⁿ .

A representação adjunta é a ação de G por conjugação em sua álgebra de Lie . Uma raiz de G significa um peso diferente de zero que ocorre na ação de T ⊂ G on . O subespaço de correspondente para cada raiz é 1-dimensional, e o subespaço de fixa por T é exactamente o álgebra de Lie de T . Portanto, a álgebra de Lie de G se decompõe em subespaços unidimensionais indexados pelo conjunto Φ de raízes: ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {t}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {t}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {t}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha \ in \ Phi} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}.}$

Por exemplo, quando L representa o grupo GL ( n ), a sua álgebra de Lie é o espaço vectorial de tudo n × n matrizes sobre k . Deixe t ser o subgrupo de matrizes diagonais em L . Em seguida, a decomposição do espaço de raiz expressa como a soma direta das matrizes diagonais e os subespaços unidimensionais indexados pelas posições fora da diagonal ( i , j ). Escrevendo L ₁ , ..., L _n para a base padrão para a rede de pesos X ( T ) ≅ Z ⁿ , as raízes são os elementos L _i - L _j para todo i ≠ j de 1 a n . ${\ displaystyle {{\ mathfrak {g}} l} (n)}$${\ displaystyle {{\ mathfrak {g}} l} (n)}$

As raízes de um grupo semi-simples formam um sistema de raízes ; esta é uma estrutura combinatória que pode ser completamente classificada. Mais geralmente, as raízes de um grupo redutor formam um datum de raiz , uma ligeira variação. O grupo Weyl de um grupo redutiva L significa o grupo quociente do normalizador de um toro mima pelo toro, W = N _L ( t ) / t . O grupo Weyl é na verdade um grupo finito gerado por reflexos. Por exemplo, para o grupo GL ( n ) (ou SL ( n )), o grupo de Weyl é o grupo simétrico S _n .

Existem finitamente muitos subgrupos de Borel contendo um dado toro máximo, e eles são permutados simplesmente transitivamente pelo grupo de Weyl (agindo por conjugação ). A escolha do subgrupo de Borel determina um conjunto de raízes positivas Φ ⁺ ⊂ Φ, com a propriedade de que Φ é a união disjunta de Φ ⁺ e −Φ ⁺ . Explicitamente, a álgebra de Lie de B é a soma direta da álgebra de Lie de T e os espaços de raiz positivos:

${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} = {\ mathfrak {t}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha \ in \ Phi ^ {+}} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}.}$

Por exemplo, se B é o subgrupo Borel de matrizes triangulares superiores em GL ( n ), então esta é a decomposição óbvia do subespaço de matrizes triangulares superiores em . As raízes positivas são L _i - L _j para 1 ≤ i < j ≤ n . ${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$${\ displaystyle {{\ mathfrak {g}} l} (n)}$

Uma raiz simples significa uma raiz positiva que não é a soma de duas outras raízes positivas. Escreva Δ para o conjunto de raízes simples. O número r de raízes simples é igual ao posto do subgrupo do comutador de G , chamado posto semi - simples de G (que é simplesmente o posto de G se G for semissimples). Por exemplo, as raízes simples para GL ( n ) (ou SL ( n )) são L _i - L _{i +1} para 1 ≤ i ≤ n - 1.

Os sistemas de raízes são classificados pelo diagrama Dynkin correspondente , que é um grafo finito (com algumas arestas direcionadas ou múltiplas). O conjunto de vértices do diagrama Dynkin é o conjunto de raízes simples. Em suma, o diagrama Dynkin descreve os ângulos entre as raízes simples e seus comprimentos relativos, com respeito a um produto interno invariante de grupo de Weyl na rede de peso. Os diagramas Dynkin conectados (correspondentes a grupos simples) são ilustrados abaixo.

Para um grupo redutivo dividido G sobre um campo k , um ponto importante é que uma raiz α determina não apenas um subespaço unidimensional da álgebra de Lie de G , mas também uma cópia do grupo aditivo G _a em G com a Lie dada álgebra, chamada de subgrupo raiz U _α . O subgrupo raiz é a cópia única do grupo aditivo em G que é normalizado por T e que tem a álgebra de Lie dada. Todo o grupo G é gerado (como um grupo algébrico) por T e os subgrupos de raiz, enquanto o subgrupo B de Borel é gerado por T e os subgrupos de raiz positivos. Na verdade, um grupo semi-simples dividido G é gerado apenas pelos subgrupos raiz.

Subgrupos parabólicos

Para um grupo redutivo dividido G sobre um campo k , os subgrupos conectados suaves de G que contêm um dado subgrupo B de G de Borel estão em correspondência um a um com os subconjuntos do conjunto Δ de raízes simples (ou, de forma equivalente, os subconjuntos do conjunto de vértices do diagrama Dynkin). Vamos r ser a ordem do Δ, o posto semisimple de G . Cada subgrupo parabólico de G é conjugado a um subgrupo contendo B por algum elemento de G ( k ). Como resultado, existem exatamente 2 ^r classes de conjugação de subgrupos parabólicos em G sobre k . Explicitamente, o subgrupo parabólico correspondente a um dado subconjunto S de Δ é o grupo gerado por B em conjunto com os subgrupos de raiz L _-a para α em S . Por exemplo, os subgrupos parabólicos de GL ( n ) que contêm o subgrupo B de Borel acima são os grupos de matrizes invertíveis com entradas zero abaixo de um determinado conjunto de quadrados ao longo da diagonal, como:

${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {bmatrix} * & * & * & * \\ * & * & * & * & * \\ 0 & 0 & * & * \\ 0 & 0 & 0 & * \ end {bmatrix}} \ right \}}$

Por definição, um subgrupo parabólico P de um grupo redutor G sobre um campo k é um subgrupo k suave, de modo que a variedade quociente G / P é adequada sobre k , ou equivalentemente projetiva sobre k . Assim, a classificação de subgrupos parabólicos equivale a uma classificação das variedades homogêneas projetivas para G (com grupo estabilizador suave; isso é nenhuma restrição para k de característica zero). Para GL ( n ), essas são as variedades de sinalizadores , parametrizando sequências de subespaços lineares de dimensões dadas a ₁ , ..., a _i contidas em um espaço vetorial fixo V de dimensão n :

${\ displaystyle 0 \ subset S_ {a_ {1}} \ subset \ cdots \ subset S_ {a_ {i}} \ subset V.}$

Para o grupo ortogonal ou simplético, as variedades homogêneas projetivas têm uma descrição semelhante às variedades de bandeiras isotrópicas com respeito a uma dada forma quadrática ou simplética. Para qualquer grupo redutiva L com um Borel subgrupo B , G / B é chamado a variedade bandeira ou colector bandeira de L .

Classificação de grupos redutivos divididos

Chevalley mostrou em 1958 que os grupos redutivos sobre qualquer campo algebraicamente fechado são classificados até isomorfismo por dados de raiz. Em particular, os grupos semisimples sobre um campo algébricamente fechado são classificados até isogenias centrais por seu diagrama Dynkin, e os grupos simples correspondem aos diagramas conectados. Assim, existem grupos simples dos tipos A _n , B _n , C _n , D _n , E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ , G ₂ . Este resultado é essencialmente idêntico às classificações de grupos de Lie compactos ou álgebras de Lie semisimples complexas, de Wilhelm Killing e Élie Cartan nas décadas de 1880 e 1890. Em particular, as dimensões, centros e outras propriedades dos grupos algébricos simples podem ser lidos da lista de grupos de Lie simples . É notável que a classificação dos grupos redutivos seja independente da característica. Para comparação, existem muito mais álgebras de Lie simples na característica positiva do que na característica zero.

Os grupos excepcionais G do tipo G ₂ e E ₆ foram construídos anteriormente, pelo menos na forma do grupo abstrato G ( k ), por LE Dickson . Por exemplo, o grupo G ₂ é o grupo de automorfismo de uma álgebra de octonion sobre k . Em contraste, os grupos Chevalley do tipo F ₄ , E ₇ , E ₈ sobre um campo de característica positiva eram completamente novos.

De maneira mais geral, a classificação de grupos redutivos divididos é a mesma em qualquer campo. Um grupo semi-simples G sobre um campo k é chamado simplesmente conectado se toda isogenia central de um grupo semi-simples para G for um isomorfismo. (Para G semisimples sobre os números complexos, ser simplesmente conectado neste sentido é equivalente a G ( C ) sendo simplesmente conectado na topologia clássica.) A classificação de Chevalley dá que, sobre qualquer campo k , há um único grupo semisimples dividido simplesmente conectado G com um dado diagrama Dynkin, com grupos simples correspondentes aos diagramas conectados. No outro extremo, um grupo semi-simples é do tipo adjacente se seu centro for trivial. Os grupos semisimples dividida sobre k com dado diagrama Dynkin são exactamente os grupos G / A , em que L é o grupo simplesmente ligado e um é um k esquema -subgrupo do centro de L .

Por exemplo, os grupos simples de divisão simplesmente conectados sobre um campo k correspondente aos diagramas Dynkin "clássicos" são os seguintes:

• A _n : SL ( n +1) sobre k ;
• B _n : o grupo de spin Spin (2 n +1) associado a uma forma quadrática de dimensão 2 n +1 sobre k com índice de Witt n , por exemplo a forma

${\ displaystyle q (x_ {1}, \ ldots, x_ {2n + 1}) = x_ {1} x_ {2} + x_ {3} x_ {4} + \ cdots + x_ {2n-1} x_ { 2n} + x_ {2n + 1} ^ {2};}$

• C _n : o grupo simplético Sp (2 n ) sobre k ;
• D _n : o grupo de spin Spin (2 n ) associado a uma forma quadrática de dimensão 2 n sobre k com índice de Witt n , que pode ser escrito como:

${\ displaystyle q (x_ {1}, \ ldots, x_ {2n}) = x_ {1} x_ {2} + x_ {3} x_ {4} + \ cdots + x_ {2n-1} x_ {2n} .}$

O grupo automorphism exterior de um grupo de separação redutiva L ao longo de um campo k é isomorfo para o grupo automorphism do dado raiz de L . Além disso, o grupo de automorfismo de G se divide como um produto semidireto :

${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (G) \ cong \ operatorname {Out} (G) \ ltimes (G / Z) (k),}$

onde Z é o centro de L . Para uma separação semisimples simplesmente ligado grupo G através de um campo, o grupo automorphism exterior de L tem uma descrição mais simples: é o grupo automorphism do diagrama Dynkin de L .

Esquemas de grupo redutivos

Um esquema de grupo G sobre um esquema S é denominado redutivo se o morfismo G → S for liso e afim, e toda fibra geométrica for redutiva. (Para um ponto p em S , a fibra geométrica correspondente significa a mudança de base de G para um fechamento algébrico do campo residual de p .) Estendendo o trabalho de Chevalley, Michel Demazure e Grothendieck mostraram que esquemas de grupos redutivos divididos sobre qualquer esquema não vazio S são classificados por dados de raiz. Esta declaração inclui a existência de grupos Chevalley como esquemas de grupo mais de Z , e ele diz que cada grupo redutora divisão sobre um esquema S é isomorphic à mudança de base de um grupo Chevalley de Z a S . ${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$${\ displaystyle {\ overline {k}}}$

Grupos redutivos reais

No contexto de grupos de Lie em vez de grupos algébricos, um grupo redutivo real é um grupo de Lie G tal que existe um grupo algébrico linear L sobre R cujo componente de identidade (na topologia de Zariski ) é redutivo, e um homomorfismo G → L ( R ) cujo kernel é finito e cuja imagem é aberta em L ( R ) (na topologia clássica). Também é padrão assumir que a imagem da representação adjunta Ad ( G ) está contida em Int ( g _C ) = Ad ( L ⁰ ( C )) (que é automático para G conectado).

Em particular, todo grupo de Lie semisimples conectado (o que significa que sua álgebra de Lie é semisimples) é redutivo. Além disso, o grupo de Lie R é redutor nesse sentido, uma vez que pode ser visto como o componente de identidade de GL (1, R ) ≅ R *. O problema de classificar os grupos redutivos reais se reduz em grande parte à classificação dos grupos de Lie simples. Eles são classificados por seu diagrama Satake ; ou pode-se apenas consultar a lista de grupos de Lie simples (até coberturas finitas).

Teorias úteis de representações admissíveis e representações unitárias foram desenvolvidas para grupos redutivos reais nesta generalidade. As principais diferenças entre esta definição e a definição de um grupo algébrico redutivo têm a ver com o fato de que um grupo algébrico G sobre R pode ser conectado como um grupo algébrico enquanto o grupo de Lie G ( R ) não está conectado, e da mesma forma simplesmente grupos conectados.

Por exemplo, o grupo linear projetivo PGL (2) é conectado como um grupo algébrico sobre qualquer campo, mas seu grupo de pontos reais PGL (2, R ) tem dois componentes conectados. O componente de identidade de PGL (2, R ) (às vezes chamado de PSL (2, R )) é um grupo redutor real que não pode ser visto como um grupo algébrico. Da mesma forma, SL (2) é simplesmente conectado como um grupo algébrico sobre qualquer campo, mas o grupo de Lie SL (2, R ) tem grupo fundamental isomórfico aos inteiros Z , e então SL (2, R ) tem espaços de cobertura não triviais . Por definição, todas as coberturas finitas de SL (2, R ) (como o grupo metaplético ) são grupos redutivos reais. Por outro lado, a cobertura universal de SL (2, R ) não é um grupo redutivo real, embora sua álgebra de Lie seja redutiva , ou seja, o produto de uma álgebra de Lie semi-simples e de uma álgebra de Lie abeliana.

Para um grupo redutor real conectado G , a variedade quociente G / K de G por um subgrupo compacto máximo K é um espaço simétrico de tipo não compacto. Na verdade, todo espaço simétrico de tipo não compacto surge dessa forma. Estes são exemplos centrais na geometria Riemanniana de variedades com curvatura seccional não positiva . Por exemplo, SL (2, R ) / SO (2) é o plano hiperbólico e SL (2, C ) / SU (2) é o espaço 3 hiperbólico.

Para um grupo redutivo G sobre um campo k que é completo com respeito a uma avaliação discreta (como os números p-ádicos Q _p ), o edifício afim X de G desempenha o papel do espaço simétrico. A saber, X é um complexo simplicial com uma ação de G ( k ), e G ( k ) preserva uma métrica CAT (0) em X , o análogo de uma métrica com curvatura não positiva. A dimensão do edifício afim é o k -rank de G . Por exemplo, a construção de SL (2, Q _p ) é uma árvore .

Representações de grupos redutivos

Para um grupo redutivo dividido G sobre um campo k , as representações irredutíveis de G (como um grupo algébrico) são parametrizadas pelos pesos dominantes , que são definidos como a interseção da rede de peso X ( T ) ≅ Z ⁿ com um cone convexo (uma câmara de Weyl ) em R ⁿ . Em particular, essa parametrização é independente da característica de k . Em mais detalhe, fixar um toro separação máxima e um subgrupo de Borel, t ⊂ B ⊂ L . Então B é o produto semidireto de T com um subgrupo U unipotente conectado suavemente . Defina um vetor de peso mais alto em uma representação V de G sobre k como um vetor diferente de zero v, de modo que B mapeia a linha estendida por v para dentro de si mesma. Então B atua nessa linha através de seu grupo de quocientes T , por algum elemento λ da rede de pesos X ( T ). Chevalley mostrou que cada representação irredutível de G tem um vetor único de peso mais alto até escalares; o "peso mais alto" correspondente λ é dominante; e todo peso dominante λ é o peso mais alto de uma representação única irredutível L (λ) de G , até o isomorfismo.

Resta o problema de descrever a representação irredutível com o maior peso dado. Para k de característica zero, existem respostas essencialmente completas. Para um peso dominante λ, defina o módulo de Schur ∇ (λ) como o espaço vetorial k das seções do feixe de linha G -equivariante na variedade de sinalização G / B associada a λ; esta é uma representação de L . Para k de característica zero, o teorema de Borel-Weil diz que a representação irredutível L (λ) é isomórfica ao módulo de Schur ∇ (λ). Além disso, a fórmula do caractere de Weyl fornece o caráter (e em particular a dimensão) dessa representação.

Para um grupo redutivo dividido G em um campo k de característica positiva, a situação é muito mais sutil, porque as representações de G normalmente não são somas diretas de irredutíveis. Para um peso dominante λ, a representação irredutível L (λ) é o único submódulo simples (o soco ) do módulo de Schur ∇ (λ), mas não precisa ser igual ao módulo de Schur. A dimensão e o caráter do módulo de Schur são dados pela fórmula de caráter de Weyl (como na característica zero), de George Kempf . As dimensões e caracteres das representações irredutíveis L (λ) são em geral desconhecidos, embora um grande corpo de teoria tenha sido desenvolvido para analisar essas representações. Um resultado importante é que a dimensão e o caráter de L (λ) são conhecidos quando a característica p de k é muito maior do que o número de Coxeter de G , por Henning Andersen , Jens Jantzen e Wolfgang Soergel (provando a conjectura de Lusztig em que caso). Sua fórmula de caractere para p grande é baseada nos polinômios de Kazhdan – Lusztig , que são combinatorialmente complexos. Para qualquer p primo , Simon Riche e Geordie Williamson conjecturaram os caracteres irredutíveis de um grupo redutor em termos dos polinômios p -Kazhdan-Lusztig, que são ainda mais complexos, mas pelo menos são computáveis.

Grupos redutivos não divididos

Conforme discutido acima, a classificação de grupos redutivos divididos é a mesma em qualquer campo. Em contraste, a classificação de grupos redutivos arbitrários pode ser difícil, dependendo do campo base. Alguns exemplos entre os grupos clássicos são:

• Cada forma quadrática não degenerada q sobre um campo k determina um grupo redutor G = SO ( q ). Aqui, G é simples se q tem dimensão n pelo menos 3, visto que é isomórfico a SO ( n ) sobre um fechamento algébrico . O k -rank de G é igual ao índice de Witt de q (a dimensão máxima de um subespaço isotrópico sobre k ). Assim, o grupo simples G é dividido em k se e somente se q tiver o índice de Witt máximo possível ,.${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$${\ displaystyle {\ overline {k}}}$${\ displaystyle \ lfloor n / 2 \ rfloor}$
• Cada álgebra central simples A sobre k determina um grupo redutor G = SL (1, A ), o núcleo da norma reduzida no grupo de unidades A * (como um grupo algébrico sobre k ). O grau de A significa a raiz quadrada da dimensão de A como um espaço vetorial k . Aqui, G é simples se A tiver grau n pelo menos 2, pois é isomórfico a SL ( n ) acima . Se A tem índice r (significando que A é isomórfico à álgebra matricial M _{n / r} ( D ) para uma álgebra de divisão D de grau r sobre k ), então a classe k de G é ( n / r ) -1. Assim, o grupo simples G é dividido em k se e somente se A for uma álgebra de matriz sobre k .${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$${\ displaystyle {\ overline {k}}}$

Como resultado, o problema de classificar grupos redutivos em k inclui essencialmente o problema de classificar todas as formas quadráticas em k ou todas as álgebras simples centrais em k . Esses problemas são fáceis para k fechados algebricamente e são compreendidos por alguns outros campos, como campos numéricos, mas para campos arbitrários há muitas questões em aberto.

Um grupo redutor sobre um campo k é denominado isotrópico se tiver k -rank maior que 0 (ou seja, se contiver um toro dividido não trivial) e, caso contrário, anisotrópico . Para um grupo semi-simples G sobre um campo k , as seguintes condições são equivalentes:

• G é isotrópico (ou seja, G contém uma cópia do grupo multiplicativo G _m sobre k );
• G contém um subgrupo parabólico sobre k diferente de G ;
• G contém uma cópia do grupo aditivo G _a sobre k .

Para k perfeito, também é equivalente dizer que G ( k ) contém um elemento unipotente diferente de 1.

Para um grupo algébrico linear conectado G sobre um campo local k de característica zero (como os números reais), o grupo G ( k ) é compacto na topologia clássica (com base na topologia de k ) se e somente se G for redutivo e anisotrópico. Exemplo: o grupo ortogonal SO ( p , q ) sobre R tem posto real min ( p , q ) e, portanto, é anisotrópico se e somente se p ou q for zero.

Um grupo redutor G sobre um campo k é denominado quase-divisão se contiver um subgrupo Borel sobre k . Um grupo redutor dividido é quase dividido. Se G é quase dividido em k , então quaisquer dois subgrupos de Borel de G são conjugados por algum elemento de G ( k ). Exemplo: o grupo ortogonal SO ( p , q ) sobre R é dividido se e somente se | p - q | ≤ 1, e é quase dividido se e somente se | p - q | ≤ 2.

Estrutura de grupos semi-simples como grupos abstratos

Para um grupo semi-simples dividido simplesmente conectado G sobre um campo k , Robert Steinberg fez uma apresentação explícita do grupo abstrato G ( k ). É gerado por cópias do grupo de aditivo k indexado pelas raízes de L (os subgrupos de raiz), com relações determinadas pelo diagrama de Dynkin L .

Para um grupo semi-simples dividido simplesmente conectado G sobre um campo perfeito k , Steinberg também determinou o grupo de automorfismo do grupo abstrato G ( k ). Todo automorfismo é o produto de um automorfismo interno , um automorfismo diagonal (que significa conjugação por um ponto adequado de um toro máximo), um automorfismo de gráfico (correspondendo a um automorfismo do diagrama Dynkin) e um automorfismo de campo (vindo de um automorfismo do campo k ). ${\ displaystyle {\ overline {k}}}$

Para um grupo algébrico K- simples G , o teorema da simplicidade de Tits diz que o grupo abstrato G ( k ) está perto de ser simples, sob suposições moderadas. A saber, suponha que G seja isotrópico sobre k , e suponha que o campo k tenha pelo menos 4 elementos. Deixe G ( k ) ⁺ é o subgrupo do grupo resumo G ( k ) gerado por k pontos percentuais do cópias do grupo aditivo L _um sobre k contido na L . (Partindo do pressuposto de que G é isotrópico sobre k , o grupo G ( k ) ⁺ é não trivial, e mesmo Zariski denso em G se k for infinito.) Então o grupo quociente de G ( k ) ⁺ por seu centro é simples (como um grupo abstrato). A prova usa o maquinário de pares BN de Jacques Tits .

As exceções para campos de ordem 2 ou 3 são bem compreendidas. Para k = F ₂ , o teorema da simplicidade de Tits permanece válido, exceto quando G é dividido do tipo A ₁ , B ₂ ou G ₂ , ou não dividido (ou seja, unitário) do tipo A ₂ . Para k = F ₃ , o teorema é válido, exceto para G do tipo A ₁ .

Para um grupo k- simples G , para entender todo o grupo G ( k ), pode-se considerar o grupo de Whitehead W ( k , G ) = G ( k ) / G ( k ) ⁺ . Para G simplesmente conectado e quase dividido, o grupo Whitehead é trivial e, portanto, todo o grupo G ( k ) é um módulo simples de seu centro. De modo mais geral, o problema de Kneser-Tits pergunta para quais grupos k isotrópicos k- simples o grupo de Whitehead é trivial. Em todos os exemplos conhecidos, W ( k , G ) é abeliano.

Para um grupo K anisotrópico simples G , o grupo abstrato G ( k ) pode estar longe de ser simples. Por exemplo, seja D uma álgebra de divisão com centro um campo p -adic k . Suponha que a dimensão de D sobre k seja finita e maior que 1. Então G = SL (1, D ) é um grupo k anisotrópico simples. Como mencionado acima, G ( k ) é compacto na topologia clássica. Como também está totalmente desconectado , G ( k ) é um grupo profinito (mas não finito). Como resultado, G ( k ) contém infinitos subgrupos normais de índice finito .

Reticulados e grupos aritméticos

Deixe G ser um grupo algébrico linear sobre o números racionais Q . Então G pode ser estendido a um esquema de grupo afim G sobre Z , e isso determina um grupo abstrato G ( Z ). Um grupo aritmético significa qualquer subgrupo de G ( Q ) que seja comensurável com G ( Z ). (A aritmeticidade de um subgrupo de G ( Q ) é independente da escolha da estrutura Z. ) Por exemplo, SL ( n , Z ) é um subgrupo aritmético de SL ( n , Q ).

Para um grupo de Lie G , uma rede em G significa um subgrupo discreto Γ de G tal que a variedade G / Γ tem volume finito (em relação a uma medida G -invariante). Por exemplo, um subgrupo discreto Γ é uma rede se G / Γ for compacto. O teorema da aritmeticidade de Margulis diz, em particular: para um grupo de Lie simples G de posto real de pelo menos 2, toda rede em G é um grupo aritmético.

A ação de Galois no diagrama Dynkin

Ao procurar classificar grupos redutivos que não precisam ser divididos, uma etapa é o índice de Tits , que reduz o problema ao caso de grupos anisotrópicos. Esta redução generaliza vários teoremas fundamentais em álgebra. Por exemplo, o teorema da decomposição de Witt diz que uma forma quadrática não degenerada sobre um campo é determinada até o isomorfismo por seu índice de Witt junto com seu núcleo anisotrópico. Da mesma forma, o teorema de Artin-Wedderburn reduz a classificação de álgebras simples centrais sobre um campo ao caso de álgebras de divisão. Generalizando esses resultados, Tits mostrou que um grupo redutivo sobre um campo k é determinado até o isomorfismo por seu índice de Tits junto com seu núcleo anisotrópico, um grupo k semi-simples anisotrópico associado .

Para um grupo redutor G sobre um campo k , o grupo absoluto de Galois Gal ( k _s / k ) atua (continuamente) no diagrama Dynkin "absoluto" de G , ou seja, o diagrama Dynkin de G sobre um fechamento separável k _s ( que também é o diagrama Dynkin de G sobre um fechamento algébrico ). O índice de Tits de G consiste no datum raiz de G _{k s} , a ação de Galois em seu diagrama Dynkin e um subconjunto invariante de Galois dos vértices do diagrama Dynkin. Tradicionalmente, o índice de Tits é desenhado circulando as órbitas de Galois no subconjunto fornecido. ${\ displaystyle {\ overline {k}}}$

Há uma classificação completa de grupos quase divididos nesses termos. Ou seja, para cada ação do grupo absoluto de Galois de um campo k em um diagrama Dynkin, há um grupo quase-dividido semi-simples conectado simplesmente H sobre k com a ação dada. (Para um grupo quase dividido, cada órbita de Galois no diagrama Dynkin é circulada.) Além disso, qualquer outro grupo semisimples simplesmente conectado G sobre k com a ação dada é uma forma interna do grupo quase dividido H , o que significa que G é o grupo associado a um elemento dos Galois cohomologia conjunto H ¹ ( k , H / Z ), onde Z é o centro de H . Em outras palavras, G é a torção de H associada a algum H / Z -toror ou sobre k , conforme discutido na próxima seção.

Exemplo: Seja q uma forma quadrática não degenerada de dimensão par 2 n sobre um campo k de característica não 2, com n ≥ 5. (Essas restrições podem ser evitadas.) Seja G o grupo simples SO ( q ) sobre k . O diagrama Dynkin absoluto de G é do tipo D _n e, portanto, seu grupo de automorfismo é de ordem 2, trocando as duas "pernas" do diagrama D _n . A ação do grupo absoluto de Galois de k no diagrama Dynkin é trivial se e somente se o discriminante sinalizado d de q em k * / ( k *) ² é trivial. Se d não for trivial, ele será codificado na ação de Galois no diagrama Dynkin: o subgrupo de índice 2 do grupo de Galois que atua como a identidade . O grupo G é dividido se e somente se q tiver índice de Witt n , o máximo possível, e G é quase dividido se e somente se q tiver índice de Witt pelo menos n - 1. ${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (k_ {s} / k ({\ sqrt {d}})) \ subset \ operatorname {Gal} (k_ {s} / k)}$

Torsors e o princípio de Hasse

Um torsor para um esquema de grupo afim G sobre um campo k significa um esquema afim X sobre k com uma ação de G tal que é isomórfica à ação de sobre si mesmo por translação à esquerda. Um torsor também pode ser visto como um feixe G principal sobre k com respeito à topologia fppf em k , ou a topologia étale se G for suave sobre k . O conjunto pontiagudo de classes de isomorfismo de G- torores sobre k é denominado H ¹ ( k , G ), na linguagem da cohomologia de Galois. ${\ displaystyle X _ {\ overline {k}}}$${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$

Os torsores surgem sempre que se busca classificar as formas de um dado objeto algébrico Y sobre um campo k , significando objetos X sobre k que se tornam isomórficos a Y sobre o fechamento algébrico de k . Nomeadamente, tais formas (até isomorfismo) estão em correspondência um-para-um com o conjunto H ¹ ( k , Aut ( Y )). Por exemplo, formas quadráticas (não degeneradas) de dimensão n sobre k são classificadas por H ¹ ( k , O ( n )), e álgebras simples centrais de grau n sobre k são classificadas por H ¹ ( k , PGL ( n )). Além disso, as formas k de um determinado grupo algébrico G (às vezes chamado de "torções" de G ) são classificadas por H ¹ ( k , Aut ( G )). Estes problemas motivar o estudo sistemático do G -torsors, especialmente para grupos redutoras G .

Quando possível, espera-se classificar G- torores usando invariantes cohomológicos , que são invariantes tomando valores na cohomologia de Galois com grupos de coeficientes abelianos M , H ^a ( k , M ). Nesse sentido, Steinberg provou a "Conjectura I" de Serre : para um grupo algébrico linear conectado G sobre um campo perfeito de dimensão cohomológica no máximo 1, H ¹ ( k , G ) = 1. (O caso de um corpo finito era conhecido anteriormente como teorema de Lang .) Segue-se, por exemplo, que todo grupo redutivo sobre um corpo finito é quase dividido.

De serre conjectura II prevê que para um grupo semisimples simplesmente ligado G ao longo de um campo de dimensão cohomológica, no máximo, 2, H ¹ ( k , G ) = 1. A conjectura é conhecido para um campo de número de totalmente imaginário (que tem dimensão cohomológica 2). De forma mais geral, para qualquer campo numérico k , Martin Kneser , Günter Harder e Vladimir Chernousov (1989) provaram o princípio de Hasse : para um grupo semisimples simplesmente conectado G sobre k , o mapa

${\ displaystyle H ^ {1} (k, G) \ to \ prod _ {v} H ^ {1} (k_ {v}, G)}$

é bijetivo. Aqui, v percorre todos os lugares de k e k _v é o campo local correspondente (possivelmente R ou C ). Além disso, o conjunto pontiagudo H ¹ ( k _v , G ) é trivial para todo campo local não-arquimidiano k _v e, portanto, apenas os lugares reais de k importam. O resultado análogo para um campo global k de característica positiva foi provado anteriormente por Harder (1975): para cada grupo semisimples simplesmente conectado G sobre k , H ¹ ( k , G ) é trivial (uma vez que k não tem casas reais).

No caso ligeiramente diferente de um grupo adjunto G sobre um campo numérico k , o princípio de Hasse se mantém em uma forma mais fraca: o mapa natural

${\ displaystyle H ^ {1} (k, G) \ to \ prod _ {v} H ^ {1} (k_ {v}, G)}$

é injetivo. Para G = PGL ( n ), isso equivale ao teorema Albert – Brauer – Hasse – Noether , dizendo que uma álgebra central simples sobre um campo de números é determinada por seus invariantes locais.

Com base no princípio de Hasse, a classificação de grupos semisimples em campos de números é bem compreendida. Por exemplo, existem exatamente três formas Q do grupo excepcional E ₈ , correspondendo às três formas reais de E ₈ .

Veja também

• Os grupos do tipo Lie são os grupos finitos simples construídos a partir de grupos algébricos simples sobre campos finitos.
• Variedade de bandeira generalizada , decomposição de Bruhat , variedade de Schubert , cálculo de Schubert
• Álgebra de Schur , teoria de Deligne-Lusztig
• Forma real (teoria de Lie)
• A conjectura de Weil sobre os números Tamagawa
• Classificação Langlands , Langlands dupla grupo , programa de Langlands , programa Langlands geométrica
• Grupo especial , dimensão essencial
• Teoria dos invariantes geométrica , do Luna teorema fatia , teorema de Haboush
• Radical de um grupo algébrico

Notas

Referências

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links externos

• Demazure, M .; Grothendieck, A. , Gille, P .; Polo, P. (eds.), Schémas en groupes (SGA 3), II: Groupes de type multiplicatif, et structure des schémas en groupes généraux Edição revisada e comentada do original de 1970.