Imagem (matemática) - Image (mathematics)

${\ displaystyle f}$é uma função de domínio para codomínio. O interior oval amarelo é a imagem de${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y.}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f.}$

Estrutura algébrica → Teoria de grupos Teoria de grupos
Noções básicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo de quociente Produto (semi) direto Homomorfismos de grupo núcleo imagem soma direta produto de grinalda simples finito infinito contínuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diédrico nilpotente solucionável açao Glossário da teoria dos grupos Lista de tópicos de teoria de grupo
Grupos finitos Classificação de grupos finitos simples cíclico alternando Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de Lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall p-grupo Grupo abeliano elementar Grupo Frobenius Multiplicador Schur Grupo simétrico S n Klein quatro grupos V Grupo diédrico D n Quaternion grupo Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Treliças Inteiros ( )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo livre Grupos modulares PSL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo aritmético Malha Grupo hiperbólico
Grupos topológicos e de Lie Solenóide Círculo GL linear geral ( n ) SL linear especial ( n ) Ortogonal O ( n ) E Euclidiano ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitária U ( n ) SU unitário especial ( n ) Sp simplético ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difeomorfismo Ciclo Grupo de Lie dimensional infinito O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algébricos Grupo algébrico linear Grupo redutor Variedade abeliana Curva elíptica
v t e

Em matemática , a imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de saída que ela pode produzir.

De maneira mais geral, avaliar uma determinada função em cada elemento de um determinado subconjunto de seu domínio produz um conjunto, denominado " imagem de sob (ou através) ". Da mesma forma, a imagem inversa (ou pré - imagem ) de um determinado subconjunto do codomínio de é o conjunto de todos os elementos do domínio que mapeiam para os membros de${\ displaystyle f}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle f,}$${\ displaystyle B.}$

Imagem e imagem inversa também podem ser definidas para relações binárias gerais , não apenas funções.

Definição

A palavra "imagem" é usada de três maneiras relacionadas. Nessas definições, é uma função do conjunto para o conjunto${\ displaystyle f: X \ a Y}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y.}$

Imagem de um elemento

Se for um membro de, então a imagem de sub denotado é o valor de quando aplicado a é alternativamente conhecido como a saída de para o argumento${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f,}$${\ displaystyle f (x),}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x.}$ ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x.}$

Dada a função é dito que " pega o valor " ou " pega como um valor " se houver algum no domínio da função de forma que Da mesma forma, dado um conjunto é dito " pega um valor em " se houver algum no domínio da função de forma que No entanto, " assume [todos] os valores em " e " é avaliado em " significa que para cada ponto no domínio de. ${\ displaystyle y,}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f (x) = y.}$${\ displaystyle S,}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f (x) \ in S.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle f (x) \ in S}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f}$

Imagem de um subconjunto

A imagem de um subconjunto sob denotada é o subconjunto de que pode ser definido usando a notação conjunto-construtor como se segue: ${\ displaystyle A \ subseteq X}$${\ displaystyle f,}$${\ displaystyle f [A],}$${\ displaystyle Y}$

$${\ displaystyle f [A] = \ {f (x): x \ in A \}}$$

Quando não há risco de confusão, é simplesmente escrito como Esta convenção é comum; o significado pretendido deve ser inferido do contexto. Isso cria uma função cujo domínio é o conjunto de potência de (o conjunto de todos os subconjuntos de ), e cujo codomínio é o conjunto de potência de Consulte § Notação abaixo para obter mais informações. ${\ displaystyle f [A]}$${\ displaystyle f (A).}$${\ displaystyle f [\, \ cdot \,]}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y.}$

Imagem de uma função

A imagem de uma função é a imagem de todo o seu domínio , também conhecido como intervalo da função. Este uso deve ser evitado porque a palavra "intervalo" também é comumente usada para significar o codomínio de${\ displaystyle f.}$

Generalização para relações binárias

Se for uma relação binária arbitrária em então o conjunto é chamado de imagem, ou intervalo, de Dually, o conjunto é chamado de domínio de${\ displaystyle R}$${\ displaystyle X \ times Y,}$${\ displaystyle \ {y \ in Y: xRy {\ text {para algum}} x \ in X \}}$${\ displaystyle R.}$${\ displaystyle \ {x \ in X: xRy {\ text {para algum}} y \ in Y \}}$${\ displaystyle R.}$

Imagem inversa

Let ser uma função do a O preimage ou imagem inversa de um conjunto sob denotado por é o subconjunto de definida pela ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y.}$${\ displaystyle B \ subseteq Y}$${\ displaystyle f,}$${\ displaystyle f ^ {- 1} [B],}$${\ displaystyle X}$

$${\ displaystyle f ^ {- 1} [B] = \ {x \ in X \, | \, f (x) \ in B \}.}$$

Outras notações incluem e A imagem inversa de um conjunto singleton , denotada por ou por também é chamada de fibra ou fibra sobre ou conjunto de nível de. O conjunto de todas as fibras sobre os elementos de é uma família de conjuntos indexados por${\ displaystyle f ^ {- 1} (B)}$${\ displaystyle f ^ {-} (B).}$${\ displaystyle f ^ {- 1} [\ {y \}]}$${\ displaystyle f ^ {- 1} [y],}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y.}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y.}$

Por exemplo, para a função, a imagem inversa de seria Novamente, se não houver risco de confusão, pode ser denotado por e também pode ser pensado como uma função do conjunto de potência de para o conjunto de potência de A notação não deve ser confundido com aquele para função inversa , embora coincida com o usual para bijeções em que a imagem inversa de sob é a imagem de sob${\ displaystyle f (x) = x ^ {2},}$${\ displaystyle \ {4 \}}$${\ displaystyle \ {- 2,2 \}.}$${\ displaystyle f ^ {- 1} [B]}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (B),}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle f ^ {- 1}.}$

Notação para imagem e imagem inversa

As notações tradicionais usadas na seção anterior podem ser confusas. Uma alternativa é dar nomes explícitos para a imagem e pré-imagem como funções entre conjuntos de energia:

Notação de seta

• ${\ displaystyle f ^ {\ rightarrow}: {\ mathcal {P}} (X) \ to {\ mathcal {P}} (Y)}$ com ${\ displaystyle f ^ {\ rightarrow} (A) = \ {f (a) \; | \; a \ in A \}}$
• ${\ displaystyle f ^ {\ leftarrow}: {\ mathcal {P}} (Y) \ para {\ mathcal {P}} (X)}$ com ${\ displaystyle f ^ {\ leftarrow} (B) = \ {a \ in X \; | \; f (a) \ in B \}}$

Notação de estrelas

• ${\ displaystyle f _ {\ star}: {\ mathcal {P}} (X) \ to {\ mathcal {P}} (Y)}$ ao invés de ${\ displaystyle f ^ {\ rightarrow}}$
• ${\ displaystyle f ^ {\ star}: {\ mathcal {P}} (Y) \ to {\ mathcal {P}} (X)}$ ao invés de ${\ displaystyle f ^ {\ leftarrow}}$

Outra terminologia

• Uma notação alternativa usada em lógica matemática e teoria dos conjuntos é${\ displaystyle f [A]}$${\ displaystyle f \, '' A.}$
• Alguns textos referem-se à imagem de como o intervalo de, mas esse uso deve ser evitado porque a palavra "intervalo" também é comumente usada para significar o codomínio de${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f,}$${\ displaystyle f.}$

Exemplos

1. ${\ displaystyle f: \ {1,2,3 \} \ to \ {a, b, c, d \}}$ definido por ${\ displaystyle f (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} a, & {\ mbox {if}} x = 1 \\ a, & {\ mbox {if}} x = 2 \\ c, & {\ mbox {if}} x = 3. \ end {matriz}} \ right.}$
   A imagem do conjunto sob é a imagem da função é a preimage de é o preimage de é também o de preimage é o conjunto vazio${\ displaystyle \ {2,3 \}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (\ {2,3 \}) = \ {a, c \}.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ {a, c \}.}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {a \}) = \ {1,2 \}.}$${\ displaystyle \ {a, b \}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {1,2 \}) = \ {1,2 \}.}$${\ displaystyle \ {b, d \},}$ ${\ displaystyle \ {\, \} = \ varnothing.}$
2. ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ definido por ${\ displaystyle f (x) = x ^ {2}.}$
   A imagem de sob é e a imagem de é (o conjunto de todos os números reais positivos e zero). A pré-imagem de under é A pré-imagem de set under é o conjunto vazio, porque os números negativos não têm raízes quadradas no conjunto de reais.${\ displaystyle \ {- 2,3 \}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {- 2,3 \}) = \ {4,9 \},}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ displaystyle \ {4,9 \}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {4,9 \}) = \ {- 3, -2,2,3 \}.}$${\ displaystyle N = \ {n \ in \ mathbb {R}: n <0 \}}$${\ displaystyle f}$
3. ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$ definido por ${\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2}.}$
   As fibras são círculos concêntricos sobre a origem , a própria origem e o conjunto vazio , dependendo de cada um. (se então a fibra é o conjunto de todos satisfazendo a equação do anel concêntrico de origem )${\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {a \})}$${\ displaystyle a> 0, a = 0, {\ text {ou}} a <0,}$${\ displaystyle a> 0,}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {a \})}$${\ displaystyle (x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = a.}$
4. Se é um colector e é o canónica de projecção do feixe tangente para , em seguida, as fibras de são os espaços tangentes Este é também um exemplo de um feixe de fibras .${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ pi: TM \ to M}$ ${\ displaystyle TM}$${\ displaystyle M,}$${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle T_ {x} (M) {\ text {para}} x \ em M.}$
5. Um grupo quociente é uma imagem homomórfica.

Propriedades

Contra-exemplos baseados em números reais definidos, mostrando que a igualdade geralmente não precisa ser válida para algumas leis: ${\ displaystyle \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {2},}$
Imagem mostrando conjuntos não iguais: Os conjuntos e são mostrados em azul imediatamente abaixo do eixo enquanto sua interseção é mostrada em verde .${\ displaystyle f \ left (A \ cap B \ right) \ subsetneq f (A) \ cap f (B).}$${\ displaystyle A = [- 4,2]}$${\ displaystyle B = [- 2,4]}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A_ {3} = [- 2,2]}$
${\ displaystyle f \ left (f ^ {- 1} \ left (B_ {3} \ right) \ right) \ subsetneq B_ {3}.}$
${\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (f \ left (A_ {4} \ right) \ right) \ supsetneq A_ {4}.}$

Em geral

Para cada função e todos os subconjuntos e as seguintes propriedades são mantidas: ${\ displaystyle f: X \ a Y}$${\ displaystyle A \ subseteq X}$${\ displaystyle B \ subseteq Y,}$

Imagem	Pré-imagem
${\ displaystyle f (X) \ subseteq Y}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (Y) = X}$
${\ displaystyle f \ left (f ^ {- 1} (Y) \ right) = f (X)}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (f (X)) = X}$
${\ displaystyle f \ left (f ^ {- 1} (B) \ right) \ subseteq B}$ (igual se, por exemplo, se for sobrejetivo) ${\ displaystyle B \ subseteq f (X);}$${\ displaystyle f}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (f (A)) \ supseteq A}$ (igual se for injetivo) ${\ displaystyle f}$
${\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B \ cap f (X)}$	${\ displaystyle \ left (f \ vert _ {A} \ right) ^ {- 1} (B) = A \ cap f ^ {- 1} (B)}$
${\ displaystyle f \ left (f ^ {- 1} (f (A)) \ right) = f (A)}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (f \ left (f ^ {- 1} (B) \ right) \ right) = f ^ {- 1} (B)}$
${\ displaystyle f (A) = \ varnothing \, {\ text {se e somente se}} \, A = \ varnothing}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (B) = \ varnothing \, {\ text {se e somente se}} \, B \ subseteq Y \ setminus f (X)}$
${\ displaystyle f (A) \ supseteq B \, {\ text {se e somente se}} {\ text {existe}} C \ subseteq A {\ text {tal que}} f (C) = B}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (B) \ supseteq A \, {\ text {se e somente se}} \, f (A) \ subseteq B}$
${\ displaystyle f (A) \ supseteq f (X \ setminus A) \, {\ text {se e somente se}} \, f (A) = f (X)}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (B) \ supseteq f ^ {- 1} (Y \ setminus B) \, {\ text {se e somente se}} \, f ^ {- 1} (B) = X}$
${\ displaystyle f (X \ setminus A) \ supseteq f (X) \ setminus f (A)}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (Y \ setminus B) = X \ setminus f ^ {- 1} (B)}$
${\ displaystyle f \ left (A \ cup f ^ {- 1} (B) \ right) \ subseteq f (A) \ cup B}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (f (A) \ xícara B) \ supseteq A \ xícara f ^ {- 1} (B)}$
${\ displaystyle f \ left (A \ cap f ^ {- 1} (B) \ right) = f (A) \ cap B}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (f (A) \ cap B) \ supseteq A \ cap f ^ {- 1} (B)}$

Também:

• ${\ displaystyle f (A) \ cap B = \ varnothing \, {\ text {se e somente se}} \, A \ cap f ^ {- 1} (B) = \ varnothing}$

Múltiplas funções

Para funções e com subconjuntos e as seguintes propriedades são mantidas: ${\ displaystyle f: X \ a Y}$${\ displaystyle g: Y \ a Z}$${\ displaystyle A \ subseteq X}$${\ displaystyle C \ subseteq Z,}$

• ${\ displaystyle (g \ circ f) (A) = g (f (A))}$
• ${\ displaystyle (g \ circ f) ^ {- 1} (C) = f ^ {- 1} (g ^ {- 1} (C))}$

Vários subconjuntos de domínio ou codomínio

Para funções e subconjuntos e as seguintes propriedades são mantidas: ${\ displaystyle f: X \ a Y}$${\ displaystyle A, B \ subseteq X}$${\ displaystyle S, T \ subseteq Y,}$

Imagem	Pré-imagem
${\ displaystyle A \ subseteq B \, {\ text {implica}} \, f (A) \ subseteq f (B)}$	${\ displaystyle S \ subseteq T \, {\ text {implica}} \, f ^ {- 1} (S) \ subseteq f ^ {- 1} (T)}$
${\ displaystyle f (A \ xícara B) = f (A) \ xícara f (B)}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (S \ xícara T) = f ^ {- 1} (S) \ xícara f ^ {- 1} (T)}$
${\ displaystyle f (A \ cap B) \ subseteq f (A) \ cap f (B)}$ (igual se for injetivo) ${\ displaystyle f}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (S \ cap T) = f ^ {- 1} (S) \ cap f ^ {- 1} (T)}$
${\ displaystyle f (A \ setminus B) \ supseteq f (A) \ setminus f (B)}$ (igual se for injetivo) ${\ displaystyle f}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (S \ setminus T) = f ^ {- 1} (S) \ setminus f ^ {- 1} (T)}$
${\ displaystyle f \ left (A \ triangle B \ right) \ supseteq f (A) \ triangle f (B)}$ (igual se for injetivo) ${\ displaystyle f}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (S \ triangle T \ right) = f ^ {- 1} (S) \ triangle f ^ {- 1} (T)}$

Os resultados que relacionam imagens e pré-imagens com a álgebra ( booleana ) de intersecção e união funcionam para qualquer coleção de subconjuntos, não apenas para pares de subconjuntos:

• ${\ displaystyle f \ left (\ bigcup _ {s \ in S} A_ {s} \ right) = \ bigcup _ {s \ in S} f \ left (A_ {s} \ right)}$
• ${\ displaystyle f \ left (\ bigcap _ {s \ in S} A_ {s} \ right) \ subseteq \ bigcap _ {s \ in S} f \ left (A_ {s} \ right)}$
• ${\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ bigcup _ {s \ in S} B_ {s} \ right) = \ bigcup _ {s \ in S} f ^ {- 1} \ left (B_ {s }\direito)}$
• ${\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ bigcap _ {s \ in S} B_ {s} \ right) = \ bigcap _ {s \ in S} f ^ {- 1} \ left (B_ {s }\direito)}$

(Aqui, pode ser infinito, até mesmo incontavelmente infinito .) ${\ displaystyle S}$

Com respeito à álgebra de subconjuntos descritos acima, a função de imagem inversa é um homomorfismo de rede , enquanto a função de imagem é apenas um homomorfismo de semilátula (ou seja, nem sempre preserva as interseções).

Veja também

• Bijeção, injeção e sobreposição  - Propriedades das funções matemáticas
• Imagem (teoria da categoria)
• Kernel de uma função
• Inversão de conjuntos  - problema matemático de encontrar o conjunto mapeado por uma função especificada para um determinado intervalo

Notas

Referências

• Artin, Michael (1991). Álgebra . Prentice Hall. ISBN 81-203-0871-9.
• Blyth, TS (2005). Reticulados e Estruturas Algébricas Ordenadas . Springer. ISBN 1-85233-905-5..
• Dolecki, Szymon ; Mynard, Frederic (2016). Fundamentos de convergência da topologia . Nova Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917 .
• Halmos, Paul R. (1960). Teoria dos conjuntos ingênua . The University Series in Graduate Mathematics. van Nostrand Company. ISBN 9780442030643. Zbl  0087.04403 .
• Kelley, John L. (1985). Topologia geral . Textos de Pós-Graduação em Matemática . 27 (2 ed.). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
• Munkres, James R. (2000). Topologia (segunda edição). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260 .

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