Subconjunto - Subset

Euler diagrama mostrando
um é um subconjunto de B ,   AB , e inversamente B é um subconjunto de um .

Em matemática , um conjunto A é um subconjunto de um conjunto B se todos os elementos de A também forem elementos de B ; B é, em seguida, um super conjunto de Uma . É possível que A e B sejam iguais; se eles são desiguais, então A é um subconjunto próprio de B . O relacionamento de um conjunto sendo um subconjunto de outro é chamado de inclusão (ou às vezes contenção ). Um é um subconjunto de B pode também ser expressa como B inclui (ou contém) um ou A está incluído (ou contido) em B .

A relação de subconjunto define uma ordem parcial nos conjuntos. Na verdade, os subconjuntos de um determinado conjunto formam uma álgebra booleana sob a relação de subconjunto, na qual a junção e o encontro são dados por interseção e união , e a própria relação de subconjunto é a relação de inclusão booleana .

Definições

Se A e B são conjuntos e cada elemento de A também é um elemento de B , então:

  • A é um subconjunto de B , denotado por ou de forma equivalente
  • B é um superconjunto de A , denotado por

Se A é um subconjunto de B , mas A não é igual a B (ou seja , existe pelo menos um elemento de B que não é um elemento de A ), então:

  • A é um subconjunto próprio (ou estrito ) de B , denotado por Ou equivalentemente,
  • B é um superconjunto próprio (ou estrito ) de A , denotado por .
  • O conjunto vazio , escrito ou é um subconjunto de qualquer conjunto X e um subconjunto adequado de qualquer conjunto, exceto ele mesmo.

Para qualquer conjunto S , a relação de inclusão é uma ordem parcial no conjunto (o conjunto de potência de S - o conjunto de todos os subconjuntos de S ) definido por . Também podemos ordenar parcialmente por inclusão reversa de conjunto, definindo

Quando quantificado, é representado como

Podemos provar a afirmação aplicando uma técnica de prova conhecida como o argumento do elemento:

Deixe os conjuntos A e B serem dados. Para provar isso

  1. suponha que a seja um elemento particular, mas arbitrariamente escolhido de A,
  2. mostram que um é um elemento de B .

A validade desta técnica pode ser vista como uma consequência da generalização universal : a técnica mostra para um elemento c arbitrariamente escolhido . A generalização universal, então, implica o que é equivalente ao declarado acima.

Propriedades

  • Um conjunto A é um subconjunto de B se e somente se sua interseção for igual a A.
Formalmente:
  • Um conjunto A é um subconjunto de B se e somente se sua união for igual a B.
Formalmente:
  • Um conjunto finito A é um subconjunto de B , se e somente se a cardinalidade de sua interseção for igual à cardinalidade de A.
Formalmente:

Símbolos ⊂ e ⊃

Alguns autores usam os símbolos e para indicar o subconjunto e o superconjunto, respectivamente; ou seja, com o mesmo significado e em vez dos símbolos, e Por exemplo, para esses autores, é verdade para todo conjunto A que

Outros autores preferem usar os símbolos e indicar o subconjunto adequado (também denominado estrito) e o superconjunto adequado, respectivamente; isto é, com o mesmo significado e, em vez dos símbolos, e A utilização marcas e análoga à desigualdade símbolos e por exemplo, se , em seguida, x pode ou pode não ser igual Y , mas se então x definitivamente não é igual a y , e é menos do que y . Da mesma forma, usando a convenção que é subconjunto próprio, se , em seguida, um pode ou pode não ser igual B , mas se então Um definitivamente não é igual a B .

Exemplos de subconjuntos

Os polígonos regulares formam um subconjunto dos polígonos
  • O conjunto A = {1, 2} é um subconjunto próprio de B = {1, 2, 3}, portanto, ambas as expressões e são verdadeiras.
  • O conjunto D = {1, 2, 3} é um subconjunto (mas não um subconjunto adequado) de E = {1, 2, 3}, portanto, é verdadeiro e não é verdadeiro (falso).
  • Qualquer conjunto é um subconjunto de si mesmo, mas não um subconjunto adequado. ( é verdadeiro e é falso para qualquer conjunto X).
  • O conjunto { x : x é um número primo maior que 10} é um subconjunto apropriado de { x : x é um número ímpar maior que 10}
  • O conjunto de números naturais é um subconjunto próprio do conjunto de números racionais ; da mesma forma, o conjunto de pontos em um segmento de linha é um subconjunto apropriado do conjunto de pontos em uma linha . Esses são dois exemplos em que tanto o subconjunto quanto o conjunto inteiro são infinitos, e o subconjunto tem a mesma cardinalidade (o conceito que corresponde ao tamanho, ou seja, o número de elementos, de um conjunto finito) como o todo; tais casos podem ir contra a intuição inicial de alguém.
  • O conjunto de números racionais é um subconjunto adequado do conjunto de números reais . Neste exemplo, ambos os conjuntos são infinitos, mas o último conjunto tem uma cardinalidade (ou potência ) maior do que o primeiro.

Outro exemplo em um diagrama de Euler :

Outras propriedades de inclusão

e implica

Inclusão é a ordem parcial canônica , no sentido de que todo conjunto parcialmente ordenado é isomórfico a alguma coleção de conjuntos ordenados por inclusão. Os números ordinais são um exemplo simples: se cada ordinal n é identificado com o conjunto de todos os ordinais menores ou iguais a n , então se e somente se

Para o conjunto de potência de um conjunto de S , a fim parcial inclusão é-se a um isomorfismo ordem -o produto cartesiano de (a cardinalidade de S ) cópias da ordem parcial sobre a qual isto pode ser ilustrado através da enumeração , e associar-se com cada subconjunto (ou seja, cada elemento de ) a k -tuple a partir da qual o i th coordenada é 1 se e só se for um membro do T .

Veja também

Referências

Bibliografia

links externos