grupo Frobenius - Frobenius group

Em matemática , um grupo de Frobenius é um transitivo grupo permutação sobre um conjunto finito , de tal modo que nenhum elemento não-trivial fixa mais do que um ponto e um elemento não-trivial corrige um ponto. Eles são nomeados após FG Frobenius .

Estrutura

Um subgrupo H de um grupo de Frobenius L fixação de um ponto do conjunto X é chamado o complemento de Frobenius . O elemento de identidade em conjunto com todos os elementos não em qualquer conjugado de H formar um subgrupo normal chamada de Frobenius núcleo K . (Este é um teorema devido à Frobenius (1901) ; há ainda nenhuma prova deste teorema que não utiliza a teoria de caracteres , embora ver.) O grupo de Frobenius L é o produto semidirect de K e H :

${\ Displaystyle L = K \ H} rtimes$.

Tanto o kernel Frobenius eo complemento Frobenius têm muito restrito estruturas. JG Thompson  ( 1960 ) provaram que o Frobenius núcleo K é um grupo nilpotente . Se H tem mesmo fim, em seguida, K é abeliano. O complemento de Frobenius H tem a propriedade de que cada subgrupo cujo fim é o produto de 2 primos é cíclico; isto implica que os seus subgrupos de Sylow são cíclicos ou quaternion generalizadas grupos. Qualquer grupo de tal modo que todos os subgrupos de Sylow são cíclico é chamado um grupo Z , e em particular deve ser um grupo metacíclico : isto significa que é a extensão de dois grupos cíclicos. Se um Frobenius complementar H não é solúvel em seguida Zassenhaus mostrou que ele tem um subgrupo normal de Índice 1 ou 2, que é o produto de SL ₂ (5) e um grupo de metacíclico primos entre si a fim de 30. Em particular, se um Frobenius complementar coincide com o seu subgrupo derivada, então é isomorfo com SL (2,5). Se um complemento de Frobenius H é solúvel em seguida, que tem um subgrupo metacíclico normal, de tal modo que o quociente é um subgrupo do grupo simétrico em 4 pontos. Um grupo finito é um Frobenius complementar se e apenas se ele tiver uma representação fiel, de dimensão finita ao longo de um campo finito, em que os elementos do grupo não-identidade corresponder a linear transformações sem pontos fixos diferentes de zero.

O núcleo de Frobenius K é determinado unicamente por L , uma vez que é o subgrupo de montagem , e o complemento de Frobenius é unicamente determinado até conjugação pelo teorema de Schur-Zassenhaus . Em particular, um grupo finito L é um grupo de Frobenius em, no máximo, uma forma.

Exemplos

O plano Fano

• O menor exemplo é o grupo simétrico em 3 pontos, com 6 elementos. O núcleo de Frobenius K tem ordem 3, e o complemento H tem ordem 2.
• Para cada campo finito F _q com q (> 2) elementos, o grupo de inversíveis transformações afins , actuando naturalmente em F _Q é um grupo de Frobenius. O exemplo anterior corresponde ao caso F ₃ , o campo com três elementos.${\ Displaystyle x \ mapsto ax + b}$${\ Displaystyle a \ neq 0}$
• Outro exemplo é fornecido pelo subgrupo de ordem 21 do grupo collineation do plano Fano gerado por uma simetria de 3 vezes σ fixação de um ponto e uma τ permutação cíclica de todos os pontos 7, satisfazendo στ = τ²σ. Identificando F ₈ * com o plano Fano, σ pode ser considerado como sendo a restrição do automorphism Frobenius σ ( x ) = x m² de F ₈ e τ ser multiplicação por qualquer elemento não no campo primo F ₂ (ou seja, um gerador do grupo multiplicativo cíclico de F ₈ ). Este grupo de Frobenius actua simplesmente transitively sobre os 21 sinalizadores no plano Fano, linhas ou seja, com pontos marcados.
• O grupo didrico de ordem 2 n com n estranho é um grupo de Frobenius com complemento de ordem 2. Mais geralmente, se K é qualquer grupo abeliano de ordem impar e H tem ordem 2 e actua sobre K por inversão, em seguida, o produto semidirect K.H é um grupo de Frobenius.
• Muitos outros exemplos podem ser gerados pelas seguintes construções. Se substituirmos o complemento Frobenius de um grupo Frobenius por um subgrupo não trivial temos um outro grupo Frobenius. Se temos dois grupos de Frobenius K ₁ . H e K ₂ . H , em seguida, ( K ₁  ×  K ₂ ). H é também um grupo de Frobenius.
• Se K é o grupo não-abeliano de ordem 7 ³ com expoente 7, e H é o grupo cíclico de ordem 3, então existe um grupo de Frobenius G que é uma extensão KH de H por K . Isto dá um exemplo de um grupo Frobenius com o kernel não-abeliano. Este foi o primeiro exemplo de grupo de Frobenius com núcleo não- abelianos (foi construído por Otto Schmidt).
• Se H é o grupo SL ₂ ( F ₅ ) da ordem de 120, que actua ponto fixo livremente sobre um espaço vectorial 2-dimensional K sobre o campo com 11 elementos. A extensão KH é o menor exemplo de um não- solúvel grupo Frobenius.
• O subgrupo de um grupo Zassenhaus fixação de um ponto é um grupo de Frobenius.
• Grupos Frobenius cuja montagem subgrupo arbitrariamente grande classe nilpotency foram construídos por Ito: Deixe q ser uma potência primária, d um número inteiro positivo, e p um divisor primo de q -1 com d ≤ p . Fix algum campo F de ordem q e algum elemento z deste campo de ordem p . O Frobenius complementar H é o subgrupo cíclico gerado pela matriz diagonal cuja i, i' th entrada é z ⁱ . O núcleo de Frobenius K é o Sylow q -subgrupo de GL ( d , q ) que consiste em matrizes triangulares superiores com aqueles na diagonal. O núcleo K tem nilpotency classe d -1, e o produto semidirect KH é um grupo de Frobenius.

teoria da representação

As representações complexos irredutíveis de um grupo de Frobenius L pode ser lido a partir de aqueles de H e K . Existem dois tipos de representações irredutíveis de G :

• Qualquer irredutível representação R de H dá uma representação irredutível de L utilizando o quociente de L para H (isto é, como uma representação restrita ). Estes dão as representações irredutíveis de G com K em seu kernel.
• Se S é qualquer não-trivial representação irredutível de K , então a correspondente representação induzida de L também é irredutível. Estes dão as representações irredutíveis de G com K não em seu kernel.

definições alternativas

Há uma série de grupos de propriedades teóricas que são interessantes em seu próprio direito, mas o que acontecerá a ser equivalente ao grupo possuindo uma representação permutação que faz com que seja um grupo Frobenius.

• L é um grupo de Frobenius se e somente se L tem uma adequada, não-identidade subgrupo H tal que H ∩ H ^g é o subgrupo de identidade para cada g ∈ L - H , ou seja, H é um subgrupo malnormal de L .

Esta definição é então generalizado para o estudo de conjuntos de intersecção triviais que permitiram que os resultados nos grupos de Frobenius utilizados na classificação dos grupos CA para ser estendido para os resultados no grupos CN e, finalmente, o teorema de ordem ímpar .

Partindo do princípio de que é o produto semidirect do subgrupo normal K e complementar H , então as seguintes restrições sobre centralizadores são equivalentes a L ser um grupo com Frobenius Frobenius complementar H : ${\ Displaystyle L = K \ H} rtimes$

• O centralizador C _G ( k ) é um subgrupo de K para cada nonidentity k em K .
• C _H ( k ) = 1 para cada nonidentity k em K .
• C _L ( h ) ≤ H para todos os não-identidade h em H.

Referências

• Frobenius, G. (1901), "Über auflösbare Gruppen. IV.", Berl. Ber. (em alemão): 1216-1230, doi : 10,3931 / e-rara-18836 , JFM  32.0137.01
• B. Huppert, Endliche Gruppen I , Springer 1967
• IM Isaacs, a teoria do caráter dos grupos finitos , AMS Chelsea 1976
• DS Passman, grupos de permutação , Benjamin 1968
• Thompson, John G. (1960), "Normal p-complementos para grupos finitos", Mathematische Zeitschrift , 72 : 332-354, doi : 10,1007 / BF01162958 , ISSN  0025-5874 , MR  0117289