Ferdinand Georg Frobenius - Ferdinand Georg Frobenius

Ferdinand Georg Frobenius
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Ferdinand Georg Frobenius
Nascer ( 1849-10-26 ) 26 de outubro de 1849
Faleceu 3 de agosto de 1917 (03/08/1917) (com 67 anos)
Nacionalidade alemão
Alma mater Universidade de Göttingen
Universidade de Berlim
Conhecido por Equações diferenciais
Teoria de grupos
Teorema de Cayley-Hamilton
Método de
Frobenius Matriz de Frobenius
Carreira científica
Campos Matemática
Instituições Universidade de Berlim
ETH Zurique
Orientador de doutorado Karl Weierstrass
Ernst Kummer
Alunos de doutorado Richard Fuchs
Edmund Landau
Issai Schur
Konrad Knopp
Walter Schnee

Ferdinand Georg Frobenius (26 de outubro de 1849 - 3 de agosto de 1917) foi um matemático alemão , mais conhecido por suas contribuições à teoria das funções elípticas , equações diferenciais , teoria dos números e teoria dos grupos . Ele é conhecido pelas famosas identidades determinantes, conhecidas como fórmulas de Frobenius-Stickelberger, que regem as funções elípticas, e por desenvolver a teoria das formas biquadráticas. Ele também foi o primeiro a introduzir a noção de aproximações racionais de funções (hoje conhecidas como aproximações de Padé ), e deu a primeira prova completa para o teorema de Cayley-Hamilton . Ele também emprestou seu nome a certos objetos geométricos diferenciais na física matemática moderna, conhecidos como variedades de Frobenius .

Biografia

Ferdinand Georg Frobenius nasceu em 26 de outubro de 1849 em Charlottenburg , um subúrbio de Berlim dos pais Christian Ferdinand Frobenius, um pároco protestante , e Christine Elizabeth Friedrich. Ele entrou no Ginásio Joachimsthal em 1860 quando tinha quase onze anos. Em 1867, depois de se formar, foi para a Universidade de Göttingen, onde iniciou seus estudos universitários, mas ali só estudou por um semestre antes de retornar a Berlim, onde assistiu às palestras de Kronecker , Kummer e Karl Weierstrass . Ele recebeu seu doutorado (premiado com distinção) em 1870, supervisionado por Weierstrass . Sua tese foi sobre a solução de equações diferenciais. Em 1874, depois de ter ensinado a nível do ensino secundário, primeiro no Joachimsthal Gymnasium e depois na Sophienrealschule, foi nomeado para a Universidade de Berlim como professor extraordinário de matemática. Frobenius esteve em Berlim apenas um ano antes de ir para Zurique para assumir um cargo de professor ordinário no Eidgenössische Polytechnikum . Por dezessete anos, entre 1875 e 1892, Frobenius trabalhou em Zurique. Foi lá que ele se casou, criou sua família e fez um trabalho muito importante em áreas amplamente diferentes da matemática. Nos últimos dias de dezembro de 1891, Kronecker morreu e, portanto, sua cadeira em Berlim ficou vaga. Weierstrass, acreditando fortemente que Frobenius era a pessoa certa para manter Berlim na vanguarda da matemática, usou sua influência considerável para nomear Frobenius. Em 1893 ele retornou a Berlim, onde foi eleito para a Academia Prussiana de Ciências .

Contribuições para a teoria do grupo

A teoria de grupo foi um dos principais interesses de Frobenius na segunda metade de sua carreira. Uma de suas primeiras contribuições foi a prova dos teoremas de Sylow para grupos abstratos. As provas anteriores foram para grupos de permutação . Sua prova do primeiro teorema de Sylow (sobre a existência de grupos de Sylow) é uma das freqüentemente usadas hoje.

  • Frobenius também provou o seguinte teorema fundamental: Se um inteiro positivo n divide a ordem | G | de um grupo finito G , então o número de soluções da equação x n  = 1 em G é igual a kn para algum inteiro positivo  k . Ele também propôs o seguinte problema: Se, no teorema acima, k  = 1, então as soluções da equação x n  = 1 em G formam um subgrupo. Muitos anos atrás, esse problema foi resolvido para grupos solucionáveis . Somente em 1991, após a classificação dos grupos simples finitos , esse problema foi resolvido de forma geral.

Mais importante foi sua criação da teoria dos caracteres e representações de grupos , que são ferramentas fundamentais para estudar a estrutura dos grupos. Este trabalho levou à noção de reciprocidade de Frobenius e à definição do que hoje se chama de grupos de Frobenius . Um grupo G é considerado um grupo de Frobenius se houver um subgrupo H  <  G tal que

para todos .

Nesse caso, o conjunto

junto com o elemento identidade de G forma um subgrupo que é nilpotente, como John G. Thompson mostrou em 1959. Todas as provas conhecidas desse teorema fazem uso de caracteres. Em seu primeiro artigo sobre caracteres (1896), Frobenius construiu a tabela de caracteres do grupo de ordem (1/2) ( p 3  - p) para todos os primos ímpares  p (este grupo é simples desde que  p  > 3). Ele também fez contribuições fundamentais para a teoria da representação dos grupos simétricos e alternados .

Contribuições para a teoria dos números

Frobenius introduziu uma forma canónica de transformar primos em classes de conjugação em grupos de Galois sobre Q . Especificamente, se K / Q é uma extensão finita de Galois, então para cada primo (positivo) p que não se ramifica em K e para cada ideal primo P situado sobre p em K, há um único elemento g de Gal ( K / Q ) que satisfaz a condição de g ( x ) =  x P  (mod  P ) para todos os números inteiros x de K . Variar P sobre p transforma g em um conjugado (e todo conjugado de g ocorre dessa maneira), de modo que a classe de conjugação de g no grupo de Galois está canonicamente associada a p . Isso é chamado de classe de conjugação de Frobenius de p e qualquer elemento da classe de conjugação é chamado de elemento de Frobenius de p . Se tomarmos por K do m th corpo ciclotômico , cujo grupo Galois sobre Q são as unidades módulo m (e, portanto, é abelian, então classes de conjugação tornam-se elementos), em seguida, para p não dividir m da classe Frobenius no grupo de Galois é p  mod  m . Deste ponto de vista, a distribuição das classes de conjugação de Frobenius em grupos de Galois sobre Q (ou, mais geralmente, grupos de Galois sobre qualquer campo numérico) generaliza o resultado clássico de Dirichlet sobre primos em progressões aritméticas. O estudo de grupos de Galois de extensões de grau infinito de Q depende crucialmente dessa construção de elementos de Frobenius, que fornece, em certo sentido, um subconjunto denso de elementos que são acessíveis para estudo detalhado.

Veja também

Publicações

Referências

links externos