Teoria do caráter - Character theory

Na matemática , mais especificamente na teoria dos grupos , o caráter de uma representação de grupo é uma função sobre o grupo que associa a cada elemento do grupo o traço da matriz correspondente. O personagem carrega as informações essenciais sobre a representação de uma forma mais condensada. Georg Frobenius desenvolveu inicialmente a teoria da representação de grupos finitos inteiramente baseada nos personagens, e sem qualquer realização de matriz explícita das próprias representações. Isso é possível porque uma representação complexa de um grupo finito é determinada (até o isomorfismo) por seu caráter. A situação com representações sobre um campo de características positivas , as chamadas "representações modulares", é mais delicada, mas Richard Brauer desenvolveu uma poderosa teoria dos personagens também neste caso. Muitos teoremas profundos sobre a estrutura de grupos finitos usam caracteres de representações modulares .

Formulários

Personagens de representações irredutíveis codificam muitas propriedades importantes de um grupo e podem, portanto, ser usados para estudar sua estrutura. A teoria do caráter é uma ferramenta essencial na classificação de grupos simples finitos . Quase metade da prova do teorema Feit – Thompson envolve cálculos intrincados com valores de caracteres. Os resultados mais fáceis, mas ainda essenciais, que usam a teoria do caráter incluem o teorema de Burnside (uma prova puramente teórica de grupo do teorema de Burnside foi encontrada, mas essa prova veio mais de meio século após a prova original de Burnside) e um teorema de Richard Brauer e Michio Suzuki afirmando que um finito grupo simples não pode ter uma generalizada grupo quaternion como seu Sylow $2$ -subgrupo .

Definições

Vamos $V$ ser um de dimensão finita de espaço vectorial mais de um campo $F$ e deixar $ρ : G \to GL (V)$ ser uma representação de um grupo $G$ em $V$ . O caráter de $ρ$ é a função $χ ρ : G \to F$ dada por

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (g) = \ operatorname {Tr} (\ rho (g))}

onde $Tr$ é o traço .

Um caractere $χ ρ$ é chamado de irredutível ou simples se $ρ$ for uma representação irredutível . O grau do caractere $χ$ é a dimensão de $ρ$ ; na característica zero, isso é igual ao valor $χ (1)$ . Um personagem de grau 1 é chamado de linear . Quando $G$ é finito e $F$ tem característica zero, o núcleo do caractere $χ ρ$ é o subgrupo normal:

{\ displaystyle \ ker \ chi _ {\ rho}: = \ left \ lbrace g \ in G \ mid \ chi _ {\ rho} (g) = \ chi _ {\ rho} (1) \ right \ rbrace, }

que é precisamente o núcleo da representação $ρ$ . No entanto, o personagem não é um homomorfismo de grupo em geral.

Propriedades

Os caracteres são funções de classe , ou seja, cada um assume um valor constante em uma determinada classe de conjugação . Mais precisamente, o conjunto de caracteres irredutíveis de um determinado grupo $G$ em um campo $K$ formam uma base do $K$ espaço -vector de todas as funções de classe $G \to K$ .
As representações isomórficas têm os mesmos caracteres. Sobre um campo algebricamente fechado de característica $0$ , representações semisimples são isomórficas se e somente se tiverem o mesmo caractere.
Se uma representação é a soma direta de sub-representações, o caractere correspondente é a soma dos caracteres dessas sub-representações.
Se um carácter do grupo finito $L$ é restrito a um subgrupo $H$ , então o resultado é também uma personagem de $H$ .
Cada valor de carácter $χ (g)$ é uma soma de $n$ $m$ -simo raízes da unidade , onde $n$ é o grau (isto é, a dimensão do espaço vectorial associada) da representação com carácter $χ$ e $m$ é a ordem de $g$ . Em particular, quando $F = C$ , cada valor de caractere é um inteiro algébrico .
Se $F = C$ , e $χ$ for irredutível, então

{\ displaystyle [G: C_ {G} (x)] {\ frac {\ chi (x)} {\ chi (1)}}}

é um número inteiro algébrico para todos os

x

em

L

.

Se $F$ é algebricamente fechado e $carvão animal (F)$ não se divide a ordem de $G$ , então o número de caracteres irredutíveis de $L$ é igual ao número de classes de conjugação de $L$ . Além disso, neste caso, os graus dos caracteres irredutíveis são divisores da ordem de $G$ (e eles até dividem $[G : Z (G)]$ se $F = C$ ).

Propriedades aritméticas

Vamos ρ e σ ser representações de $G$ . Então, as seguintes identidades são válidas:

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho \ oplus \ sigma} = \ chi _ {\ rho} + \ chi _ {\ sigma}}

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho \ otimes \ sigma} = \ chi _ {\ rho} \ cdot \ chi _ {\ sigma}}

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho ^ {*}} = {\ overline {\ chi _ {\ rho}}}}

{\ displaystyle \ chi _ {{\ scriptscriptstyle {\ rm {{Alt} ^ {2}}}} \ rho} (g) = {\ tfrac {1} {2}} \ left [\ left (\ chi _ {\ rho} (g) \ right) ^ {2} - \ chi _ {\ rho} (g ^ {2}) \ right]}

{\ displaystyle \ chi _ {{\ scriptscriptstyle {\ rm {{Sym} ^ {2}}}} \ rho} (g) = {\ tfrac {1} {2}} \ left [\ left (\ chi _ {\ rho} (g) \ right) ^ {2} + \ chi _ {\ rho} (g ^ {2}) \ right]}

onde $ρ \oplus σ$ é a soma direta , $ρ \otimes σ$ é o produto tensorial , $ρ *$ denota a transposta conjugada de $ρ$ , e $Alt 2$ é o produto alternado $Alt 2 ρ = ρ \land ρ$ e $Sym 2$ é o quadrado simétrico , que é determinado por

{\ displaystyle \ rho \ otimes \ rho = \ left (\ rho \ wedge \ rho \ right) \ oplus {\ textrm {Sym}} ^ {2} \ rho}

.

Tabelas de personagens

Os caracteres complexos irredutíveis de um grupo finito formam uma tabela de caracteres que codifica muitas informações úteis sobre o grupo $G$ em uma forma compacta. Cada linha é marcada por uma representação irredutível e as entradas na fila são os caracteres da representação na respectiva classe de conjugação de $L$ . As colunas são marcados por (representantes de) as classes de conjugação de $L$ . É costume rotular a primeira linha pelo caractere da representação trivial , que é a ação trivial de $G$ em um espaço vetorial unidimensional por para todos . Cada entrada na primeira linha é, portanto, 1. Da mesma forma, é comum rotular a primeira coluna com a identidade. Portanto, a primeira coluna contém o grau de cada caractere irredutível. ${\ displaystyle \ rho (g) = 1}$ ${\ displaystyle g \ in G}$

Aqui está a tabela de caracteres de

{\ displaystyle C_ {3} = \ langle u \ mid u ^ {3} = 1 \ rangle,}

o grupo cíclico com três elementos e gerador u:

	$(1)$	$(u)$	$(u 2)$
$1$	$1$	$1$	$1$
$χ 1$	$1$	$ω$	$ω 2$
$χ 2$	$1$	$ω 2$	$ω$

onde $ω$ é uma terceira raiz primitiva da unidade.

A tabela de caracteres é sempre quadrada, pois o número de representações irredutíveis é igual ao número de classes de conjugação.

Relações de ortogonalidade

O espaço de funções de classe de valor complexo de um grupo finito $G$ tem um produto interno natural:

{\ displaystyle \ left \ langle \ alpha, \ beta \ right \ rangle: = {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {g \ in G} \ alpha (g) {\ overline {\ beta (g)}}}

onde $β (g)$ é o conjugado complexo de $β (g)$ . Com relação a este produto interno, os caracteres irredutíveis formam uma base ortonormal para o espaço das funções de classe, e isso produz a relação de ortogonalidade para as linhas da tabela de caracteres:

{\ displaystyle \ left \ langle \ chi _ {i}, \ chi _ {j} \ right \ rangle = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {if}} i \ neq j, \\ 1 & {\ mbox {if}} i = j. \ end {casos}}}

Para $g, h$ em $G$ , aplicar o mesmo produto interno às colunas da tabela de caracteres resulta:

{\ displaystyle \ sum _ {\ chi _ {i}} \ chi _ {i} (g) {\ overline {\ chi _ {i} (h)}} = {\ begin {cases} \ left | C_ { G} (g) \ right |, & {\ mbox {if}} g, h {\ mbox {são conjugados}} \\ 0 & {\ mbox {caso contrário.}} \ End {cases}}}

onde a soma é sobre todos os caracteres irredutíveis $χ i$ de $G$ e o símbolo $| C G (g) |$ denota a ordem do centralizador de $g$ . Observe que, como $g$ e $h$ são conjugados se estiverem na mesma coluna da tabela de caracteres, isso implica que as colunas da tabela de caracteres são ortogonais.

As relações de ortogonalidade podem auxiliar muitos cálculos, incluindo:

Decompor um personagem desconhecido como uma combinação linear de caracteres irredutíveis.
Construindo a tabela de caracteres completa quando apenas alguns dos caracteres irredutíveis são conhecidos.
Encontrar as ordens dos centralizadores de representantes das classes de conjugação de um grupo.
Encontrando a ordem do grupo.

Propriedades da tabela de caracteres

Certas propriedades do grupo $G$ podem ser deduzidas de sua tabela de caracteres:

A ordem de $G$ é dada pela soma dos quadrados das entradas da primeira coluna (os graus dos caracteres irredutíveis). (Veja Teoria da representação de grupos finitos # Aplicando o lema de Schur .) Mais geralmente, a soma dos quadrados dos valores absolutos das entradas em qualquer coluna dá a ordem do centralizador de um elemento da classe de conjugação correspondente.
Todos os subgrupos normais de $G$ (e, portanto, seja $G$ simples ou não ) podem ser reconhecidos a partir de sua tabela de caracteres. O núcleo de um caractere $χ$ é o conjunto de elementos $g$ em $G$ para os quais $χ (g) = χ (1)$ ; este é um subgrupo normal de $L$ . Cada subgrupo normal de $L$ é a intersecção dos grãos de alguns dos caracteres de irredutíveis $L$ .
O subgrupo comutador de $L$ é a intersecção dos núcleos dos caracteres lineares de $L$ .
Se $G$ for finito, então como a tabela de caracteres é quadrada e tem tantas linhas quanto as classes de conjugação, segue-se que $G$ é abeliano se cada classe de conjugação for um singleton se a tabela de caracteres de $G$ for se cada caractere irredutível for linear. ${\ displaystyle | G | \ times | G |}$
Segue-se, usando alguns resultados de Richard Brauer da teoria da representação modular , que os divisores principais das ordens dos elementos de cada classe de conjugação de um grupo finito podem ser deduzidos de sua tabela de caracteres (uma observação de Graham Higman ).

A tabela de caracteres em geral não determina o grupo até o isomorfismo : por exemplo, o grupo de quatérnio $Q$ e o grupo diédrico de $8$ elementos, $D 4$ , têm a mesma tabela de caracteres. Brauer perguntou se a tabela de caracteres, juntamente com o conhecimento de como se distribuem as potências dos elementos de suas classes de conjugação, determina um grupo finito até o isomorfismo. Em 1964, a resposta foi negativa por EC Dade .

As representações lineares de $G$ são, elas mesmas, um grupo sob o produto tensorial , uma vez que o produto tensorial de espaços vetoriais unidimensionais é novamente unidimensional. Ou seja, se e forem representações lineares, define uma nova representação linear. Isso dá origem a um grupo de caracteres lineares, denominado grupo de caracteres na operação . Este grupo está conectado aos personagens de Dirichlet e à análise de Fourier . ${\ displaystyle \ rho _ {1}: G \ a V_ {1}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {2}: G \ a V_ {2}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2} (g) = (\ rho _ {1} (g) \ otimes \ rho _ {2} (g))}$ ${\ displaystyle [\ chi _ {1} * \ chi _ {2}] (g) = \ chi _ {1} (g) \ chi _ {2} (g)}$

Personagens induzidas e reciprocidade de Frobenius

Os personagens discutidos nesta seção são considerados de valor complexo. Deixe- $H$ ser um subgrupo do grupo finito $L$ . Dado um carácter $χ$ de $L$ , e muito $χ H$ denotar a sua restrição a $H$ . Deixe $θ$ ser um caractere de $H$ . Ferdinand Georg Frobenius mostrou como construir um caractere de $G a$ partir de $θ$ , usando o que hoje é conhecido como reciprocidade de Frobenius . Uma vez que os caracteres irredutíveis de $G$ formam uma base ortonormal para o espaço de funções de classe de valor complexo de $G$ , há uma função de classe única $θ G$ de $G$ com a propriedade que

{\ displaystyle \ langle \ theta ^ {G}, \ chi \ rangle _ {G} = \ langle \ theta, \ chi _ {H} \ rangle _ {H}}

para cada caractere irredutível $χ$ de $G$ (o produto interno mais à esquerda é para funções de classe de $G$ e o produto interno mais à direita é para funções de classe de $H$ ). Uma vez que a restrição de um carácter de $G$ para o subgrupo $H$ é novamente um caractere de $H$ , esta definição torna claro que $θ L$ é uma combinação de número inteiro não negativo de caracteres irredutíveis de $L$ , de modo que é de facto um carácter de $L$ . É conhecido como o caráter de $G$ induzido de $θ$ . A fórmula de definição da reciprocidade de Frobenius pode ser estendida para funções de classe de valor complexo geral.

Dada uma representação matricial $ρ$ de $H$ , Frobenius mais tarde deu uma forma explícita para construir uma representação de matriz de $L$ , conhecida como a representação induzida a partir $ρ$ , e escrita de modo análogo ao $ρ L$ . Isto levou a uma descrição alternativa do carácter induzida $θ L$ . Este carácter induzida desaparece em todos os elementos de $L$ que não são conjugado a qualquer elemento de $H$ . Uma vez que o carácter induzida é uma função de classe $L$ , só agora é necessário para descrever os seus valores em elementos de $H$ . Se alguém escrever $G$ como uma união disjunta de cosets direitos de $H$ , digamos

{\ displaystyle G = Ht_ {1} \ cup \ ldots \ cup Ht_ {n},}

então, dado um elemento $h$ de $H$ , temos:

{\ displaystyle \ theta ^ {G} (h) = \ sum _ {i \: \ t_ {i} ht_ {i} ^ {- 1} \ in H} \ theta \ left (t_ {i} ht_ {i } ^ {- 1} \ right).}

Como $θ$ é uma função de classe de $H$ , esse valor não depende da escolha particular de representantes de cosets.

Esta descrição alternativa do caractere induzido às vezes permite o cálculo explícito de relativamente pouca informação sobre a incorporação de $H$ em $G$ , e é freqüentemente útil para o cálculo de tabelas de caracteres particulares. Quando $θ$ é o caráter trivial de $H$ , o caráter induzido obtido é conhecido como caráter de permutação de $G$ (nos cosets de $H$ ).

A técnica geral de indução de caráter e refinamentos posteriores encontraram inúmeras aplicações na teoria dos grupos finitos e em outras partes da matemática, nas mãos de matemáticos como Emil Artin , Richard Brauer , Walter Feit e Michio Suzuki , assim como o próprio Frobenius.

Decomposição de Mackey

A decomposição de Mackey foi definida e explorada por George Mackey no contexto de grupos de Lie , mas é uma ferramenta poderosa na teoria do caráter e na teoria da representação de grupos finitos. Sua forma básica diz respeito à maneira como um caractere (ou módulo) induzido de um subgrupo $H$ de um grupo finito $G$ se comporta na restrição de volta a um (possivelmente diferente) subgrupo $K$ de $G$ , e faz uso da decomposição de $G$ em $(H, K) -$ cosets duplos.

Se

{\ displaystyle G = \ bigcup _ {t \ in T} HtK}

é uma união disjunta, e $θ$ é uma função de classe complexa de $H$ , então a fórmula de Mackey afirma que

{\ displaystyle \ left (\ theta ^ {G} \ right) _ {K} = \ sum _ {t \ in T} \ left (\ left [\ theta ^ {t} \ right] _ {t ^ {- 1} Ht \ cap K} \ right) ^ {K},}

onde $θ t$ é a função de classe $t -1 Ht$ definido por $θ t (t -1 ht) = θ (h)$ para todos $h$ em $H$ . Existe uma fórmula semelhante para a restrição de um módulo induzido a um subgrupo, que vale para representações sobre qualquer anel e tem aplicações em uma ampla variedade de contextos algébricos e topológicos.

A decomposição de Mackey, em conjunto com a reciprocidade de Frobenius, produz uma fórmula bem conhecida e útil para o produto interno de duas funções de classe $θ$ e $ψ$ induzidas dos respectivos subgrupos $H$ e $K$ , cuja utilidade reside no fato de que depende apenas de como os conjugados de $H$ e $K se$ cruzam. A fórmula (com sua derivação) é:

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ left \ langle \ theta ^ {G}, \ psi ^ {G} \ right \ rangle & = \ left \ langle \ left (\ theta ^ {G} \ right) _ { K}, \ psi \ right \ rangle \\ & = \ sum _ {t \ in T} \ left \ langle \ left (\ left [\ theta ^ {t} \ right] _ {t ^ {- 1} Ht \ cap K} \ right) ^ {K}, \ psi \ right \ rangle \\ & = \ sum _ {t \ in T} \ left \ langle \ left (\ theta ^ {t} \ right) _ {t ^ {- 1} Ht \ cap K}, \ psi _ {t ^ {- 1} Ht \ cap K} \ right \ rangle, \ end {alinhado}}}

(onde $T$ é um conjunto completo de $(H, K)$ -representantes de cosets duplos, como antes). Esta fórmula é frequentemente usada quando $θ$ e $ψ$ são caracteres lineares, caso em que todos os produtos internos que aparecem na soma à direita são $1$ ou $0$ , dependendo se os caracteres lineares $θ t$ e $ψ$ têm ou não a mesma restrição para $t -1 Ht \cap K$ . Se $θ$ e $ψ$ forem ambos caracteres triviais, o produto interno será simplificado para $| T |$ .

Dimensão "torcida"

Pode-se interpretar o caráter de uma representação como a dimensão "torcida" de um espaço vetorial . Tratando o personagem em função dos elementos do grupo $χ (g)$ , seu valor na identidade é a dimensão do espaço, pois $χ (1) = Tr (ρ (1)) = Tr (I V) = dim (V)$ . Conseqüentemente, pode-se ver os outros valores do personagem como dimensões "torcidas".

Pode-se encontrar análogos ou generalizações de afirmações sobre dimensões para afirmações sobre personagens ou representações. Um exemplo sofisticado disso ocorre na teoria do luar monstruoso : o $j$ -invariante é a dimensão graduada de uma representação graduada de dimensão infinita do grupo de Monstros , e substituir a dimensão pelo personagem dá a série McKay-Thompson para cada elemento de o grupo Monster.

Personagens de grupos de Lie e álgebras de Lie

Se for um grupo de Lie e uma representação dimensional finita de , o caráter de é definido precisamente como para qualquer grupo como ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ rho}}$ ${\ displaystyle \ rho}$

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (g) = \ operatorname {Tr} (\ rho (g))}

.

Enquanto isso, se é uma álgebra de Lie e uma representação dimensional finita de , podemos definir o personagem por ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ rho}}$

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (X) = \ operatorname {Tr} (e ^ {\ rho (X)})}

.

O personagem irá satisfazer todos no grupo de Lie associado e todos . Se tivermos uma representação de grupo de Lie e uma representação de álgebra de Lie associada, o caráter da representação de álgebra de Lie está relacionado ao caráter da representação de grupo pela fórmula ${\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (\ operatorname {Ad} _ {g} (X)) = \ chi _ {\ rho} (X)}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle X \ in {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ rho}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {X} _ {\ rho}}$

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (X) = \ mathrm {X} _ {\ rho} (e ^ {X})}

.

Suponha agora que é uma álgebra de Lie semi-simples complexa com subálgebra de Cartan . O valor do caráter de uma representação irredutível de é determinado por seus valores em . A restrição do caractere a pode ser facilmente calculada em termos de espaços de peso , como segue: ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ rho}}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (H) = \ sum _ {\ lambda} m _ {\ lambda} e ^ {\ lambda (H)}, \ quad H \ in {\ mathfrak {h}}}

,

onde a soma é sobre todos os pesos de e onde está a multiplicidade de . ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle m _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

O caractere (restrição a do) pode ser calculado de forma mais explícita pela fórmula do caractere de Weyl. ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$

Veja também

Representação irredutível § Aplicações em física teórica e química
Esquemas de associação , uma generalização combinatória da teoria do caráter de grupo.
Clifford teoria , introduzida por AH Clifford em 1937, fornece informações sobre a restrição de um carácter irredutível complexo de um grupo finito $L$ para um subgrupo normal $N$ .
Fórmula de Frobenius
Elemento real , um elemento de grupo g tal que χ ( g ) é um número real para todos os caracteres χ

Referências

Aula 2 de Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoria da representação. Um primeiro curso . Textos de Pós-Graduação em Matemática , Leituras em Matemática. 129 . Nova York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 . conectados
Gannon, Terry (2006). Luar além do monstro: a ponte que conecta álgebra, formas modulares e física . ISBN 978-0-521-83531-2 .
Hall, Brian C. (2015), grupos de Lie, álgebras de Lie e representações: uma introdução elementar , textos de graduação em matemática, 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
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Serre, Jean-Pierre (1977). Representações lineares de grupos finitos . Textos de Pós-Graduação em Matemática. 42 . Traduzido da segunda edição francesa por Leonard L. Scott. New York-Heidelberg: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4684-9458-7 . ISBN 978-0-387-90190-9 . MR 0450380 .

links externos

Personagem no PlanetMath .

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