Produto tensor - Tensor product

Em matemática , o produto tensorial de dois espaços vetoriais V e W (sobre o mesmo campo ) é um espaço vetorial que pode ser pensado como o espaço de todos os tensores que podem ser construídos a partir de vetores de seus espaços constituintes usando uma operação adicional que pode ser considerado como uma generalização e abstração do produto externo . Por causa da conexão com tensores, que são os elementos de um produto tensor, os produtos tensores encontram usos em muitas áreas de aplicação, incluindo em física e engenharia, embora a mecânica teórica completa deles descrita abaixo não possa ser comumente citada lá. Por exemplo, em${\ displaystyle V \ otimes W}$ relatividade geral , o campo gravitacional é descrito por meio do tensor métrico , que é um campo (no sentido da física) de tensores, um em cada ponto na variedade espaço-tempo , e cada um dos quais vive no autoproduto tensor de espaços tangentes em seu ponto de residência na variedade (tal coleção de produtos tensores anexados a outro espaço é chamada de feixe tensorial ). ${\ displaystyle T_ {x} M}$

Tensores em dimensões finitas e o produto externo

O conceito de produto tensorial generaliza a ideia de formar tensores a partir de vetores usando o produto externo, que é uma operação que pode ser definida em espaços vetoriais de dimensão finita usando matrizes : dados dois vetores e escritos em termos de componentes, ou seja, ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ in V}$${\ displaystyle \ mathbf {w} \ in W}$

e

seu produto externo ou produto Kronecker é dado pela matriz ${\ displaystyle n \ times m}$

ou, em termos de elementos, o -ésimo componente é ${\ displaystyle ij}$

A matriz formada desta maneira corresponde naturalmente a um tensor , onde tal é entendida como uma funcional multilinear em intercalando-o com a multiplicação de matrizes entre um vector e a sua dupla , ou transposta: ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle V ^ {*} \ times W ^ {*},}$

É importante notar que o tensor, conforme escrito, leva dois vetores duais - este é um ponto importante que será tratado mais tarde. No caso de dimensões finitas, não há uma forte distinção entre um espaço e seu dual, no entanto, ele importa em dimensões infinitas e, além disso, acertar a parte regular vs dual é essencial para garantir que a ideia de tensores sendo desenvolvido aqui corresponde corretamente a outros sentidos em que são vistos, como em termos de transformações, o que é comum na física.

Os tensores construídos desta forma geram um espaço vetorial quando os adicionamos e escalamos na forma natural de componentes e, de fato, todos os funcionais multilineares do tipo dado podem ser escritos como alguma soma de produtos externos, que podemos chamar de tensores puros ou tensores simples . Isso é suficiente para definir o produto tensorial quando podemos escrever vetores e transformações em termos de matrizes; no entanto, para obter uma operação totalmente geral, uma abordagem mais abstrata será necessária. Em especial, gostaríamos de isolar as "características essenciais" do produto tensorial sem ter que especificar uma base particular para sua construção, e é isso o que faremos nas próximas seções.

Abstraindo o produto tensorial

Para atingir esse objetivo, a forma mais natural de proceder é tentar isolar uma propriedade caracterizante essencial, que irá descrever, de todos os espaços vetoriais possíveis que poderíamos construir a partir de V e W , aquele que (até o isomorfismo ) é o seu tensor. produto, e que se aplicará sem consideração de quaisquer escolhas arbitrárias, como uma escolha de base. E a maneira de fazer isso é virar o conceito de tensor "de dentro para fora" - em vez de ver os tensores como objetos que agem sobre vetores na forma de um mapa bilinear, vamos vê-los como objetos a serem acionados para produzir um mapa bilinear. O truque é reconhecer que o produto Kronecker " preserva todas as informações " a respeito de quais vetores entraram nele: as proporções dos componentes do vetor podem ser derivadas de

e dessas proporções, os próprios componentes individuais se recuperaram (até um fator constante). Como resultado, um único produto externo Kronecker pode ser usado no lugar do par de vetores que o formou e vice-versa. Mais importante, isso significa que podemos escrever qualquer mapa bilinear para qualquer terceiro espaço vetorial Z , como um mapa unilinear onde ${\ displaystyle (v, w)}$${\ displaystyle f: V \ vezes W \ a Z,}$${\ displaystyle f _ {\ operatorname {T}}: V \ otimes W \ to Z}$

A propriedade universal , então, é que, se tivermos a operação combinando e nos é dado qualquer mapa bilinear do formulário mencionado, há exatamente um tal que atenda a esse requisito. Isso não é difícil de ver se expandirmos em termos de bases, mas o mais importante é que pode ser usado como uma forma de caracterizar o produto tensorial, ou seja, podemos usá-lo para definir o produto tensorial axiomaticamente com nenhuma referência a tal. No entanto, antes de fazermos isso, primeiro precisamos mostrar que o produto tensorial existe e é único para todos os espaços vetoriais V e W e, para fazer isso, precisamos de uma construção. ${\ displaystyle \, \ otimes, \,}$${\ displaystyle f _ {\ operatorname {T}}}$

O produto tensorial construtivo

O espaço vetorial livre

Para realizar tal construção, o primeiro passo que consideraremos envolve a introdução de algo chamado " espaço vetorial livre " sobre um determinado conjunto. O impulso por trás dessa ideia consiste basicamente no que dissemos na primeira seção acima: uma vez que um tensor genérico pode ser escrito pela soma dupla ${\ displaystyle T}$

a maneira mais natural de abordar esse problema é, de alguma forma, descobrir como podemos "esquecer" a escolha específica das bases e que são usadas aqui. Na matemática, a maneira como "esquecemos" os detalhes representacionais de algo é estabelecer uma identificação que nos diga que duas coisas diferentes que devem ser consideradas representações da mesma coisa são de fato tais, ou seja, que, dado aqueles dizerem "sim , eles são "ou" não, eles não são ", e então" agrupam "todas as representações como constituindo a" coisa representada "sem referência a qualquer um em particular, empacotando-as todas juntas em um único conjunto. Em termos formais, primeiro construímos uma relação de equivalência e, em seguida , pegamos o quociente estabelecido por essa relação. ${\ displaystyle \ mathbf {e}}$${\ displaystyle \ mathbf {f}}$

Mas antes de fazermos isso, primeiro precisamos desenvolver o que vamos assumir como relação de equivalência. A maneira como fazemos isso é abordar isso ao contrário, de "baixo para cima": uma vez que não temos uma base garantida, pelo menos construtível, quando partimos de espaços vetoriais arbitrários, podemos tentar começar garantindo que temos um - isto é, começaremos primeiro considerando uma "base", por conta própria, como dada, e então construiremos o espaço vetorial no topo. Para tanto, realizamos o seguinte: suponha que seja algum conjunto, que poderíamos chamar de conjunto de base abstrata . Agora considere todas as expressões formais do formulário ${\ displaystyle B}$

de comprimento arbitrário, mas finito e para os quais são escalares e membros de Intuitivamente, esta é uma combinação linear dos vetores de base no sentido usual de expansão de um elemento de um espaço vetorial. Chamamos isso de "expressão formal" porque tecnicamente é ilegal multiplicar, uma vez que não há nenhuma operação de multiplicação definida por padrão em um conjunto arbitrário e campo arbitrário de escalares. Em vez disso, iremos "fingir" (semelhante a definir os números imaginários ) que isso se refere a algo, e então iremos manipulá-lo de acordo com as regras que esperamos para um espaço vetorial, por exemplo, a soma de duas dessas strings usando a mesma sequência de membros de é ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a_ {j}}$${\ displaystyle \ beta _ {j}}$${\ displaystyle B.}$${\ displaystyle a_ {j} \ beta _ {j}}$${\ displaystyle B}$

onde usamos as leis associativa , comutativa e distributiva para reorganizar a primeira soma na segunda. Continuar desta forma para múltiplos escalares e todas as combinações de vetores de diferentes comprimentos nos permite construir uma adição vetorial e multiplicação escalar neste conjunto de expressões formais, e nós o chamamos de espaço vetorial livre sobre a escrita. Observe que os elementos de considerados como comprimento - uma expressão formal com coeficiente 1 na frente, forma uma base de Hamel para este espaço. ${\ displaystyle B,}$${\ displaystyle F (B).}$${\ displaystyle B,}$

A expressão do produto tensorial é então abstraída considerando que se e representam "vetores de base abstratos" de dois conjuntos e isto é, " " e " ", então pares destes no produto cartesiano, isto é, são tomados como representativos dos produtos tensores (Observe que os produtos tensores na expressão são, em certo sentido, "atômicos", ou seja, adições e multiplicações escalares não os dividem em nada, então podemos substituí-los por algo diferente sem alterar a estrutura matemática.) Com tal identificação, podemos assim, defina o produto tensorial de dois espaços vetoriais livres e como sendo algo (ainda a ser decidido) que é isomórfico a${\ displaystyle \ beta _ {j}}$${\ displaystyle \ gamma _ {j}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle G,}$${\ displaystyle \ beta _ {j} = \ mathbf {e} _ {j}}$${\ displaystyle \ gamma _ {j} = \ mathbf {f} _ {j}}$${\ displaystyle B \ times G,}$${\ displaystyle (\ beta _ {i}, \ gamma _ {j})}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {f} _ {j}.}$${\ displaystyle F (B)}$${\ displaystyle F (G)}$${\ displaystyle F (B \ vezes G).}$

A relação de equivalência

A definição acima irá trabalhar para qualquer espaço vetorial no qual pode especificar uma base, uma vez que pode apenas reconstruir o pacote como o espaço livre do vetor sobre essa base: a construção acima exatamente espelhos como você representam vetores através da construção de base de Hamel por design. Na verdade, não ganhamos nada ... até fazermos isso.

Agora, não estamos assumindo o acesso às bases para espaços vetoriais e que queremos formar o produto tensorial de. Em vez disso, vamos dar tudo de e como "base" para construir os tensores. Esta é a segunda melhor coisa e a única coisa que temos a garantia de sermos capazes de fazer, independentemente de quaisquer preocupações em encontrar uma base específica; isso corresponde a somar produtos externos arbitrários de vetores arbitrários. A única diferença aqui é que se usarmos a construção do espaço vetorial livre e formarmos o óbvio, ela terá muitas versões redundantes do que deveria ser o mesmo tensor; voltando ao nosso caso base, se considerarmos o exemplo onde na base padrão, podemos considerar que o tensor formado pelos vetores e ie ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle V \ otimes W}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w}}$${\ displaystyle F (V) \ otimes F (W) = F (V \ vezes W),}$${\ displaystyle V = W = \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ begin {bmatrix} 0 e 3 \ end {bmatrix}} ^ {\ mathsf {T}}}$${\ displaystyle \ mathbf {y} = {\ begin {bmatrix} 5 e -3 \ end {bmatrix}} ^ {\ mathsf {T}},}$

também pode ser representado por outras somas, como a soma usando tensores básicos individuais, por exemplo ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} _ {j},}$

Estas, embora expressões iguais no caso concreto, corresponderiam a elementos distintos do espaço vetorial livre, nomeadamente ${\ displaystyle F (V \ vezes W),}$

no primeiro caso e

no segundo caso. Portanto, devemos condensá-los - é aqui que a relação de equivalência entra em ação. O truque para construí-lo é notar que dado qualquer vetor em um espaço vetorial, é sempre possível representá-lo como a soma de dois outros vetores e não iguais ao original. Se nada mais, deixe ser qualquer vetor e, em seguida, pegue - o que também mostra que se nos é dado um vetor e, em seguida, um segundo vetor, podemos escrever o primeiro vetor em termos do segundo junto com um terceiro vetor adequado (na verdade, de várias maneiras —Apenas considere múltiplos escalares do segundo vetor na mesma subtração.). ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {b}}$${\ displaystyle \ mathbf {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {b}: = \ mathbf {x} - \ mathbf {a}}$

Isso é útil para nós porque o produto externo satisfaz as seguintes propriedades de linearidade, que podem ser comprovadas por álgebra simples nas expressões de matriz correspondentes:

Se quisermos relacionar o produto externo com, digamos, podemos usar a primeira relação acima juntamente com uma expressão adequada de como a soma de algum vetor e algum múltiplo escalar de${\ displaystyle \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w}}$${\ displaystyle \ mathbf {e_ {1}} \ otimes \ mathbf {w},}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {e_ {1}}.}$

A igualdade entre dois tensores concretos é então obtida se o uso das regras acima nos permitir reorganizar uma soma de produtos externos na outra por vetores de decomposição adequada - independentemente de termos um conjunto de vetores de base reais. Aplicando isso ao nosso exemplo acima, vemos que é claro que temos

para qual substituição em

nos dá

e o uso criterioso das propriedades de distributividade nos permite reorganizar para a forma desejada. Da mesma forma, há uma manipulação de "espelho" correspondente em termos dos elementos do espaço vetorial livre e etc., e isso finalmente nos leva à definição formal do produto tensorial. ${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle (e_ {1}, e_ {1}),}$ ${\ displaystyle (e_ {1}, e_ {2}),}$

Juntando toda a construção

O produto tensorial abstrato de dois espaços vetoriais e sobre um campo de base comum é o quociente do espaço vetorial${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle K}$

onde é a relação de equivalência de igualdade formal gerada assumindo que, para cada um e tomada como expressões formais no espaço vetorial livre, o seguinte vale: ${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle (v, w)}$${\ displaystyle (v ', w')}$${\ displaystyle F (V \ vezes W),}$

Identidade

${\ displaystyle (v, w) \ sim (v, w).}$

Simetria

${\ displaystyle (v, w) \ sim (v ', w')}$ implica ${\ displaystyle (v ', w') \ sim (v, w).}$

Transitividade

${\ displaystyle (v, w) \ sim (v ', w')}$e implica${\ displaystyle (v ', w') \ sim (v '', w '')}$${\ displaystyle (v, w) \ sim (v '', w '').}$

Distributividade

${\ displaystyle (v, w) + (v ', w) \ sim (v + v', w)}$ e ${\ displaystyle (v, w) + (v, w ') \ sim (v, w + w').}$

Múltiplos escalares

${\ displaystyle c (v, w) \ sim (v, cw)}$ e ${\ displaystyle c (v, w) \ sim (cv, w).}$

e então testando a equivalência de expressões formais genéricas por meio de manipulações adequadas baseadas nelas. A aritmética é definida no produto tensorial escolhendo elementos representativos, aplicando as regras aritméticas e, finalmente, obtendo a classe de equivalência. Além disso, dados quaisquer dois vetores e a classe de equivalência é denotada${\ displaystyle v \ in V}$${\ displaystyle w \ in W,}$${\ displaystyle [(v, w)]}$${\ displaystyle v \ otimes w.}$

Propriedades

Notação

Os elementos de são frequentemente chamados de tensores , embora este termo também se refira a muitos outros conceitos relacionados. Se v pertence a V e w pertence a W , em seguida, a classe de equivalência ( v , w ) é denotada por que é chamado o produto tensor de v com w . Em física e engenharia, este uso do símbolo se refere especificamente à operação externa do produto ; o resultado do produto externo é uma das maneiras padrão de representar a classe de equivalência. Um elemento que pode ser escrito na forma é chamado de tensor puro ou simples . Em geral, um elemento do espaço do produto tensorial não é um tensor puro, mas sim uma combinação linear finita de tensores puros. Por exemplo, se e são linearmente independentes , e e também são linearmente independentes, então não pode ser escrito como um tensor puro. O número de tensores simples necessários para expressar um elemento de um produto tensorial é chamado de classificação tensorial (não deve ser confundida com a ordem tensorial , que é o número de espaços que se tirou do produto, neste caso 2; em notação, o número de índices), e para operadores lineares ou matrizes, pensados ​​como (1, 1) tensores (elementos do espaço ), ele concorda com a classificação da matriz . ${\ displaystyle V \ otimes W}$${\ displaystyle v \ otimes w,}$${\ displaystyle \, \ otimes \,}$${\ displaystyle v \ otimes w}$${\ displaystyle v \ otimes w.}$${\ displaystyle V \ otimes W}$${\ displaystyle v \ otimes w}$${\ displaystyle v_ {1}}$${\ displaystyle v_ {2}}$${\ displaystyle w_ {1}}$${\ displaystyle w_ {2}}$${\ displaystyle v_ {1} \ otimes w_ {1} + v_ {2} \ otimes w_ {2}}$${\ displaystyle V \ otimes V ^ {*}}$

Dimensão

Dadas as bases e para V e W respectivamente, os tensores formam uma base para Portanto, se V e W são de dimensão finita, a dimensão do produto tensorial é o produto das dimensões dos espaços originais; por exemplo, é isomórfico a${\ displaystyle \ left \ {v_ {i} \ right \}}$${\ displaystyle \ left \ {w_ {j} \ right \}}$${\ displaystyle \ left \ {v_ {i} \ otimes w_ {j} \ right \}}$${\ displaystyle V \ otimes W.}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m} \ otimes \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {mn}.}$

Produto tensorial de mapas lineares

O produto tensorial também opera em mapas lineares entre espaços vetoriais. Especificamente, dados dois mapas lineares e entre espaços vetoriais, o produto tensorial dos dois mapas lineares S e T é um mapa linear ${\ displaystyle S: V \ to X}$${\ displaystyle T: W \ to Y}$

definido por

Desta forma, o produto tensorial torna-se um bifunctor da categoria de espaços vetoriais para si mesmo, covariante em ambos os argumentos.

Se S e T são ambos injetivos , sobrejetivos ou (no caso de V , X , W e Y são espaços vetoriais normados ou espaços vetoriais topológicos ) contínuos , então é injetivo, sobrejetivo ou contínuo, respectivamente. ${\ displaystyle S \ otimes T}$

Ao escolher as bases de todos os espaços vetoriais envolvidos, os mapas lineares S e T podem ser representados por matrizes . Então, dependendo de como o tensor é vetorizado, a matriz que descreve o produto do tensor é o produto de Kronecker das duas matrizes. Por exemplo, se V , X , W e Y acima são todos bidimensionais e as bases foram fixadas para todos eles, e S e T são dados pelas matrizes ${\ displaystyle v \ otimes w}$${\ displaystyle S \ otimes T}$

respectivamente, então o produto tensorial dessas duas matrizes é

A classificação resultante é no máximo 4 e, portanto, a dimensão resultante é 4. Observe que a classificação aqui denota a classificação do tensor, isto é, o número de índices necessários (enquanto a classificação da matriz conta o número de graus de liberdade na matriz resultante). Observação${\ displaystyle \ operatorname {Tr} A \ otimes B = \ operatorname {Tr} A \ times \ operatorname {Tr} B.}$

Um produto diádico é o caso especial do produto tensorial entre dois vetores de mesma dimensão.

Propriedade universal

No contexto de espaços vetoriais, o produto tensorial e o mapa bilinear associado são caracterizados até o isomorfismo por uma propriedade universal em relação aos mapas bilineares . (Lembre-se de que um mapa bilinear é uma função que é separadamente linear em cada um de seus argumentos.) Informalmente, é o mapa bilinear mais geral de${\ displaystyle V \ otimes W}$${\ displaystyle \ varphi: V \ times W \ a V \ otimes W}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle V \ times W.}$

O espaço vetorial e o mapa bilinear associado têm a propriedade de que qualquer mapa bilinear a partir de qualquer espaço vetorial fatore de maneira única. Ao dizer " fatores por meio de exclusividade", queremos dizer que há um mapa linear único que${\ displaystyle V \ otimes W}$${\ displaystyle \ varphi: V \ times W \ a V \ otimes W}$${\ displaystyle h: V \ vezes W \ a Z}$${\ displaystyle V \ times W}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle {\ tilde {h}}: V \ otimes W \ to Z}$${\ displaystyle h = {\ tilde {h}} \ circ \ varphi.}$

Esta caracterização pode simplificar as provas sobre o produto tensorial. Por exemplo, o produto tensorial é simétrico, o que significa que há um isomorfismo canônico :

Para construo, por exemplo, um mapa de a é suficiente para se obter um mapa bilinear que mapeia para Então a propriedade universal de meios factores em um mapa mapa Um na direcção oposta é similarmente definido, e um controlo que os dois mapas lineares e estão inversa uns aos outros usando novamente suas propriedades universais. ${\ displaystyle V \ otimes W}$${\ displaystyle W \ otimes V,}$${\ displaystyle h: V \ times W \ to W \ otimes V}$${\ displaystyle (v, w)}$${\ displaystyle w \ otimes v.}$${\ displaystyle V \ otimes W}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle {\ tilde {h}}: V \ otimes W \ to W \ otimes V.}$${\ displaystyle {\ tilde {g}}: W \ otimes V \ to V \ otimes W}$${\ displaystyle {\ tilde {h}}}$${\ displaystyle {\ tilde {g}}}$

A propriedade universal é extremamente útil para mostrar que um mapa para um produto tensorial é injetivo. Por exemplo, suponha que queremos mostrar que é isomórfico a Dado que todos os tensores simples são da forma e, portanto, todos os elementos do produto tensorial são da forma por aditividade na primeira coordenada, temos um candidato natural para um isomorfismo dado por mapeamento para e este mapa é trivialmente sobrejetivo. ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ otimes \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle a \ otimes b = (ab) \ otimes 1,}$${\ displaystyle x \ otimes 1}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} \ otimes \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x \ otimes 1,}$

Mostrar a injetividade diretamente envolveria, de alguma forma, mostrar que não há relações não triviais entre e para o que parece assustador. No entanto, sabemos que há um mapa bilinear dada multiplicando as coordenadas em conjunto, ea propriedade universal do produto tensor, em seguida, fornece um mapa de espaços vetoriais que mapeia para e, portanto, é o inverso do homomorphism previamente construído, imediatamente implicando a desejada resultado. Observe que, a priori, nem mesmo está claro que esse mapa inverso é bem definido, mas a propriedade universal e o mapa bilinear associado juntos implicam que esse é o caso. ${\ displaystyle x \ otimes 1}$${\ displaystyle y \ otimes 1}$${\ displaystyle x \ neq y,}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ otimes \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x \ otimes 1}$${\ displaystyle x,}$

Raciocínio semelhante pode ser usado para mostrar que o produto tensorial é associativo, ou seja, existem isomorfismos naturais.

$${\ displaystyle V_ {1} \ otimes \ left (V_ {2} \ otimes V_ {3} \ right) \ cong \ left (V_ {1} \ otimes V_ {2} \ right) \ otimes V_ {3}. }$$

Portanto, é comum omitir os parênteses e escrever , então o ijk-ésimo componente de é ${\ displaystyle V_ {1} \ otimes V_ {2} \ otimes V_ {3}}$${\ displaystyle U \ otimes V \ otimes W}$

$${\ displaystyle (\ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w}) _ {ijk} = u_ {i} v_ {j} w_ {k},}$$

semelhante ao primeiro exemplo nesta página.

A categoria de espaços vetoriais com produto tensorial é um exemplo de uma categoria monoidal simétrica .

A definição de propriedade universal de um produto tensorial é válida em mais categorias do que apenas a categoria de espaços vetoriais. Em vez de usar mapas multilineares (bilineares), a definição geral do produto tensorial usa multimorfismos.

Potências tensoras e tranças

Seja n um número inteiro não negativo. O n th poder tensor do espaço vectorial V é o n produto tensor de vezes de V com si. Isso é

$${\ displaystyle V ^ {\ otimes n} \; {\ overset {\ mathrm {def}} {=}} \; \ underbrace {V \ otimes \ cdots \ otimes V} _ {n}.}$$

A permutação do conjunto determina um mapeamento do

n ° cartesianas poder de V como se segue: ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ {1,2, \ ldots, n \}}$

$${\ displaystyle {\ begin {cases} \ sigma: V ^ {n} \ to V ^ {n} \\\ sigma \ left (v_ {1}, v_ {2}, \ ldots, v_ {n} \ right ) = \ left (v _ {\ sigma (1)}, v _ {\ sigma (2)}, \ ldots, v _ {\ sigma (n)} \ right) \ end {cases}}}$$

Deixar

$${\ displaystyle \ varphi: V ^ {n} \ to V ^ {\ otimes n}}$$

ser o multilinear naturais incorporação do poder cartesiano de V para o poder tensor de V . Então, pela propriedade universal, há um isomorfismo único

$${\ displaystyle \ tau _ {\ sigma}: V ^ {\ otimes n} \ para V ^ {\ otimes n}}$$

de tal modo que

$${\ displaystyle \ varphi \ circ \ sigma = \ tau _ {\ sigma} \ circ \ varphi.}$$

O isomorfismo é chamado de

mapa de trança associado à permutação${\ displaystyle \ tau _ {\ sigma}}$${\ displaystyle \ sigma.}$

Produto de tensores

Veja também: Tratamento clássico de tensores

Para inteiros não negativos r e s, um

tensor de tipo em um espaço vetorial V é um elemento de ${\ displaystyle (r, s)}$

$${\ displaystyle T_ {s} ^ {r} (V) = \ underbrace {V \ otimes \ cdots \ otimes V} _ {r} \ otimes \ underbrace {V ^ {*} \ otimes \ cdots \ otimes V ^ { *}} _ {s} = V ^ {\ otimes r} \ otimes \ left (V ^ {*} \ right) ^ {\ otimes s}.}$$

Aqui está o

espaço vetorial dual (que consiste em todos os mapas lineares f de V ao campo terrestre K ). ${\ displaystyle V ^ {*}}$

Existe um mapa de produto, chamado de produto (tensorial) de tensores

$${\ displaystyle T_ {s} ^ {r} (V) \ otimes _ {K} T_ {s '} ^ {r'} (V) \ to T_ {s + s '} ^ {r + r'} ( V).}$$

É definido pelo agrupamento de todos os "fatores" V ocorrentes juntos: escrever para um elemento de

V e para um elemento do espaço dual, ${\ displaystyle v_ {i}}$${\ displaystyle f_ {i}}$

$${\ displaystyle (v_ {1} \ otimes f_ {1}) \ otimes (v '_ {1}) = v_ {1} \ otimes v' _ {1} \ otimes f_ {1}.}$$

Escolher uma base de V e a base dual correspondente de naturalmente induz uma base para (essa base é descrita no

artigo sobre produtos Kronecker ). Em termos dessas bases, os componentes de um produto (tensorial) de dois (ou mais) tensores podem ser calculados. Por exemplo, se F e G são dois tensores covariantes de ordens m e n respectivamente (ou seja, e ), então os componentes de seu produto tensorial são dados por ${\ displaystyle V ^ {*}}$${\ displaystyle T_ {s} ^ {r} (V)}$${\ displaystyle F \ in T_ {m} ^ {0}}$${\ displaystyle G \ in T_ {n} ^ {0}}$

$${\ displaystyle (F \ otimes G) _ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {m + n}} = F_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {m}} G_ {i_ { m + 1} i_ {m + 2} i_ {m + 3} \ cdots i_ {m + n}}.}$$

Assim, os componentes do produto tensorial de dois tensores são o produto ordinário dos componentes de cada tensor. Outro exemplo: seja U um tensor do tipo (1, 1) com componentes e seja

V um tensor do tipo com componentes Então ${\ displaystyle U _ {\ beta} ^ {\ alpha},}$${\ displaystyle (1,0)}$${\ displaystyle V ^ {\ gamma}.}$

$${\ displaystyle \ left (U \ otimes V \ right) ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} {} ^ {\ gamma} = U ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} V ^ {\ gama}}$$

e

$${\ displaystyle (V \ otimes U) ^ {\ mu \ nu} {} _ {\ sigma} = V ^ {\ mu} U ^ {\ nu} {} _ {\ sigma}.}$$

Os tensores equipados com sua operação de produto formam uma álgebra , chamada álgebra de tensores .

Mapa de avaliação e contração tensorial

Para tensores do tipo (1, 1), existe um

mapa de avaliação canônico

$${\ displaystyle V \ otimes V ^ {*} \ to K}$$

definido por sua ação sobre tensores puros:

$${\ displaystyle v \ otimes f \ mapsto f (v).}$$

Mais geralmente, para tensores do tipo com

r , s > 0 , há um mapa, chamado de contração de tensor , ${\ displaystyle (r, s),}$

$${\ displaystyle T_ {s} ^ {r} (V) \ a T_ {s-1} ^ {r-1} (V).}$$

(As cópias de e nas quais este mapa será aplicado devem ser especificadas.) ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V ^ {*}}$

Por outro lado, se for

finito-dimensional , existe um mapa canônico na outra direção (chamado de mapa de co-avaliação ) ${\ displaystyle V}$

$${\ displaystyle {\ begin {cases} K \ to V \ otimes V ^ {*} \\\ lambda \ mapsto \ sum _ {i} \ lambda v_ {i} \ otimes v_ {i} ^ {*} \ end {casos}}}$$

onde está qualquer base e é sua

base dual . Este mapa não depende da escolha da base. ${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}$${\ displaystyle V,}$${\ displaystyle v_ {i} ^ {*}}$

A interação de avaliação e co-avaliação pode ser usada para caracterizar espaços vetoriais de dimensão finita sem se referir a bases.

Representação adjunta

O produto tensorial pode ser visto naturalmente como um módulo para a

álgebra de Lie por meio da ação diagonal: por simplicidade, vamos supor então, para cada${\ displaystyle T_ {s} ^ {r} (V)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {End} (V)}$${\ displaystyle r = s = 1,}$${\ displaystyle u \ in \ mathrm {End} (V),}$

$${\ displaystyle u (a \ otimes b) = u (a) \ otimes ba \ otimes u ^ {*} (b),}$$

onde está a

transposta de u , isto é, em termos do emparelhamento óbvio em${\ displaystyle u ^ {*} \ in \ mathrm {End} \ left (V ^ {*} \ right)}$${\ displaystyle V \ otimes V ^ {*},}$

$${\ displaystyle \ langle u (a), b \ rangle = \ langle a, u ^ {*} (b) \ rangle.}$$

Existe um isomorfismo canônico dado por ${\ displaystyle T_ {1} ^ {1} (V) \ to \ mathrm {End} (V)}$

$${\ displaystyle (a \ otimes b) (x) = \ langle x, b \ rangle a.}$$

Sob este isomorfismo, todo u em pode ser primeiro visto como um endomorfismo de e, em seguida, visto como um endomorfismo de. Na verdade, é a

representação adjunta ad ( u ) de${\ displaystyle \ mathrm {End} (V)}$${\ displaystyle T_ {1} ^ {1} (V)}$${\ displaystyle \ mathrm {End} (V).}$ ${\ displaystyle \ mathrm {End} (V).}$

Relação do produto tensorial com Hom

Dados dois espaços vetoriais de dimensão finita U , V no mesmo campo K , denote o espaço dual de U como U * , e o espaço vetorial K de todos os mapas lineares de U a V como Hom ( U , V ) . Existe um isomorfismo,

$${\ displaystyle U ^ {*} \ otimes V \ cong \ mathrm {Hom} (U, V),}$$

definido por uma ação do tensor puro em um elemento de${\ displaystyle f \ otimes v \ in U ^ {*} \ otimes V}$${\ displaystyle U,}$

$${\ displaystyle (f \ otimes v) (u) = f (u) v.}$$

Seu "inverso" pode ser definido usando uma base e sua base dual como na seção "

Mapa de avaliação e contração tensorial " acima: ${\ displaystyle \ {u_ {i} \}}$${\ displaystyle \ {u_ {i} ^ {*} \}}$

$${\ displaystyle {\ begin {cases} \ mathrm {Hom} (U, V) \ to U ^ {*} \ otimes V \\ F \ mapsto \ sum _ {i} u_ {i} ^ {*} \ otimes F (u_ {i}). \ End {casos}}}$$

Este resultado implica

$${\ displaystyle \ dim (U \ otimes V) = \ dim (U) \ dim (V),}$$

que dá automaticamente o facto importante que forma uma base para onde são bases de

L e V . ${\ displaystyle \ {u_ {i} \ otimes v_ {j} \}}$${\ displaystyle U \ otimes V}$${\ displaystyle \ {u_ {i} \}, \ {v_ {j} \}}$

Além disso, dados três espaços vetoriais U , V , W , o produto tensorial está ligado ao espaço vetorial de todos os mapas lineares, como segue:

$${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (U \ otimes V, W) \ cong \ mathrm {Hom} (U, \ mathrm {Hom} (V, W)).}$$

Este é um exemplo de functores adjuntos : o produto tensorial é "adjunto esquerdo" para Hom.

Produtos tensores de módulos sobre um anel

Artigo principal: produto tensor de módulos

O produto tensorial de dois módulos A e B sobre um

anel comutativo R é definido exatamente da mesma maneira que o produto tensorial de espaços vetoriais sobre um campo:

$${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B: = F (A \ vezes B) / G}$$

onde agora está o módulo R livre gerado pelo produto cartesiano e G é o módulo R gerado pelas mesmas relações acima . ${\ displaystyle F (A \ vezes B)}$

Mais geralmente, o produto tensorial pode ser definido mesmo se o anel não for

comutativo . Neste caso, A tem que ser um módulo R direito e B é um módulo R esquerdo , e em vez das duas últimas relações acima, a relação

$${\ displaystyle (ar, b) \ sim (a, rb)}$$

é imposta. Se R for não comutativo, este não é mais um módulo R , mas apenas um grupo abeliano .

A propriedade universal também é transportada, ligeiramente modificada: o mapa definido por é um

mapa linear do meio (referido como "o mapa linear do meio canônico".); ou seja, satisfaz: ${\ displaystyle \ varphi: A \ times B \ a A \ otimes _ {R} B}$${\ displaystyle (a, b) \ mapsto a \ otimes b}$

$${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ phi (a + a ', b) & = \ phi (a, b) + \ phi (a', b) \\\ phi (a, b + b ') & = \ phi (a, b) + \ phi (a, b ') \\\ phi (ar, b) & = \ phi (a, rb) \ end {alinhado}}}$$

As duas primeiras propriedades fazem φ um mapa bilinear do grupo abeliano. Para qualquer mapa linear do meio de um único grupo homomorfismo

f de satisfaz e esta propriedade determina isomorfismo dentro do grupo. Veja o artigo principal para detalhes. ${\ displaystyle A \ times B.}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle A \ times B,}$${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B}$${\ displaystyle \ psi = f \ circ \ varphi,}$${\ displaystyle \ phi}$

Produto tensorial de módulos sobre um anel não comutativo

Seja A um módulo R direito e B um módulo R esquerdo. Então, o produto tensorial de A e B é um grupo abeliano definido por

$${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B: = F (A \ vezes B) / G}$$

onde está um grupo abeliano livre sobre e G é o subgrupo de gerado por relações ${\ displaystyle F (A \ vezes B)}$${\ displaystyle A \ times B}$${\ displaystyle F (A \ vezes B)}$

$${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & \ forall a, a_ {1}, a_ {2} \ in A, \ forall b, b_ {1}, b_ {2} \ in B, {\ text {for all }} r \ in R: \\ & (a_ {1}, b) + (a_ {2}, b) - (a_ {1} + a_ {2}, b), \\ & (a, b_ { 1}) + (a, b_ {2}) - (a, b_ {1} + b_ {2}), \\ & (ar, b) - (a, rb). \\\ end {alinhado}} }$$

A propriedade universal pode ser declarada da seguinte forma. Seja G um grupo abeliano com um mapa que é bilinear, no sentido de que ${\ displaystyle q: A \ vezes B \ a G}$

$${\ displaystyle {\ begin {alinhados} q (a_ {1} + a_ {2}, b) & = q (a_ {1}, b) + q (a_ {2}, b), \\ q (a , b_ {1} + b_ {2}) & = q (a, b_ {1}) + q (a, b_ {2}), \\ q (ar, b) & = q (a, rb). \ end {alinhado}}}$$

Então, há um mapa único que para todos e${\ displaystyle {\ overline {q}}: A \ otimes B \ a G}$${\ displaystyle {\ overline {q}} (a \ otimes b) = q (a, b)}$${\ displaystyle a \ in A}$${\ displaystyle b \ in B.}$

Além disso, podemos fornecer uma estrutura de módulo sob algumas condições extras: ${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B}$

1. Se A é um ( S , R ) -bimódulo, então é um

S- módulo esquerdo onde${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B}$${\ displaystyle s (a \ otimes b): = (sa) \ otimes b.}$

Se B é um ( R , S ) -bimódulo, então é um módulo

S certo, onde${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B}$${\ displaystyle (a \ otimes b) s: = a \ otimes (bs).}$

Se A é um ( S , R ) -bimódulo e B é um ( R , T ) -bimódulo, então é um (

S , T ) -bimódulo, onde as ações esquerda e direita são definidas da mesma forma que as duas anteriores exemplos.${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B}$

Se R é um anel comutativo, então A e B são ( R , R ) -bimódulos onde e Por 3), podemos concluir que é um (

R , R ) -bimódulo.${\ displaystyle ra: = ar}$${\ displaystyle br: = rb.}$${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B}$

Calculando o produto tensorial

Para espaços vetoriais, o produto tensorial é calculado rapidamente, uma vez que as bases de

V de W determinam imediatamente uma base de como foi mencionado acima. Para módulos em um anel geral (comutativo), nem todo módulo é gratuito. Por exemplo, Z / n Z não é um grupo abeliano livre ( módulo Z ). O produto tensorial com Z / n Z é dado por ${\ displaystyle V \ otimes W}$${\ displaystyle V \ otimes W,}$

$${\ displaystyle M \ otimes _ {\ mathbf {Z}} \ mathbf {Z} / n \ mathbf {Z} = M / nM.}$$

De forma mais geral, dada uma apresentação de algum R- módulo M , ou seja, uma série de geradores juntamente com relações ${\ displaystyle m_ {i} \ in M, i \ in I}$

$${\ displaystyle \ sum _ {j \ in J} a_ {ji} m_ {i} = 0, \ qquad a_ {ij} \ in R,}$$

o produto tensorial pode ser calculado como o seguinte cokernel :

$${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N = \ operatorname {coker} \ left (N ^ {J} \ to N ^ {I} \ right)}$$

Aqui e o mapa é determinado enviando alguns na

j ésima cópia de para (em ). Coloquialmente, isso pode ser reformulado dizendo que uma apresentação de M dá origem a uma apresentação de. Isso é referido por dizer que o produto tensorial é um functor exato correto . Em geral, não é exato, isto é, dado um mapa injetivo de módulos R, o produto tensorial ${\ displaystyle N ^ {J} = \ oplus _ {j \ in J} N,}$${\ displaystyle N ^ {J} \ a N ^ {I}}$${\ displaystyle n \ in N}$${\ displaystyle N ^ {J}}$${\ displaystyle a_ {ij} n}$${\ displaystyle N ^ {I}}$${\ displaystyle M \ oplus _ {R} N.}$${\ displaystyle M_ {1} \ a M_ {2},}$

$${\ displaystyle M_ {1} \ otimes _ {R} N \ to M_ {2} \ otimes _ {R} N}$$

geralmente não é injetivo. Por exemplo, tensorando o mapa (injetivo) dado pela multiplicação com n , n  : Z → Z com Z / n Z resulta no mapa zero 0: Z / n Z → Z / n Z , que não é injetivo. Os functores Tor mais altos medem o defeito do produto tensorial não sendo deixado exato. Todos os functores Tor superiores são montados no produto tensor derivado .

Produto tensor de álgebras

Artigo principal: Produto tensor de álgebras

Seja R um anel comutativo. O produto tensor de R -modules aplica-se, em particular, se A e B são R -álgebras . Neste caso, o produto tensorial é um

R- álgebra em si, colocando ${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B}$

$${\ displaystyle (a_ {1} \ otimes b_ {1}) \ cdot (a_ {2} \ otimes b_ {2}) = (a_ {1} \ cdot a_ {2}) \ otimes (b_ {1} \ cdot b_ {2}).}$$

Por exemplo,

$${\ displaystyle R [x] \ otimes _ {R} R [y] \ cong R [x, y].}$$

Um exemplo particular é quando A e B são campos que contêm um subcampo R comum . O produto tensorial dos campos está intimamente relacionado à teoria de Galois : se, digamos, A = R [ x ] / f ( x ) , onde f é algum polinômio irredutível com coeficientes em R , o produto tensorial pode ser calculado como

$${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B \ cong B [x] / f (x)}$$

onde agora f é interpretado como o mesmo polinómio, mas com os seus coeficientes considerados como elementos de B . No campo maior B , o polinômio pode se tornar redutível, o que traz a teoria de Galois. Por exemplo, se A = B é uma extensão Galois de R , então

$${\ displaystyle A \ otimes _ {R} A \ cong A [x] / f (x)}$$

é isomórfico (como uma álgebra A ) para o${\ displaystyle A ^ {\ operatorname {deg} (f)}.}$

Configurações próprias de tensores

Matrizes quadradas com entradas em um

campo representam mapas lineares de espaços vetoriais , digamos, e, portanto, mapas lineares de espaços projetivos sobre If é não singular, então é bem definido em todos os lugares, e os vetores próprios de correspondem aos pontos fixos de A configuração própria de consiste em pontos em fornecida é genérico e é algebricamente fechado . Os pontos fixos de mapas não lineares são os autovetores dos tensores. Let Ser um tensor dimensional de formato com entradas situadas em um campo algebricamente fechado de zero característico . Tal tensor define mapas polinomiais e com coordenadas ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K ^ {n} \ a K ^ {n},}$${\ displaystyle \ psi: \ mathbb {P} ^ {n-1} \ para \ mathbb {P} ^ {n-1}}$${\ displaystyle K.}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ psi.}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n-1},}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle A = (a_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {d}})}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle n \ times n \ times \ cdots \ times n}$${\ displaystyle (a_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {d}})}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle A \ in (K ^ {n}) ^ {\ otimes d}}$ ${\ displaystyle K ^ {n} \ a K ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n-1} \ para \ mathbb {P} ^ {n-1}}$

$${\ displaystyle \ psi _ {i} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {j_ {2} = 1} ^ {n} \ sum _ {j_ {3} = 1} ^ {n} \ cdots \ sum _ {j_ {d} = 1} ^ {n} a_ {ij_ {2} j_ {3} \ cdots j_ {d}} x_ {j_ {2}} x_ {j_ {3 }} \ cdots x_ {j_ {d}} \; \; {\ mbox {para}} i = 1, \ ldots, n}$$

Assim, cada uma das coordenadas de é um

polinômio homogêneo de grau em Os autovetores de são as soluções da restrição ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle \ psi _ {i}}$${\ displaystyle d-1}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right).}$${\ displaystyle A}$

$${\ displaystyle {\ mbox {rank}} {\ begin {pmatrix} x_ {1} & x_ {2} & \ cdots & x_ {n} \\\ psi _ {1} (\ mathbf {x}) & \ psi _ {2} (\ mathbf {x}) & \ cdots & \ psi _ {n} (\ mathbf {x}) \ end {pmatrix}} \ leq 1}$$

e a autoconfiguração é dada pela variedade de

menores desta matriz. ${\ displaystyle 2 \ vezes 2}$

Outros exemplos de produtos tensores

Produto tensorial de espaços de Hilbert

Artigo principal: Produto tensor de espaços de Hilbert

Os espaços de Hilbert generalizam

espaços vetoriais de dimensão finita para dimensões contáveis ​​infinitas . O produto tensorial ainda está definido; é o produto tensorial dos espaços de Hilbert .

Produto tensor topológico

Artigo principal: Produto tensor topológico

Quando a base para um espaço vetorial não é mais contável, a formalização axiomática apropriada para o espaço vetorial é a de um espaço vetorial topológico . O produto tensorial ainda está definido, é o produto tensorial topológico .

Produto tensorial de espaços vetoriais graduados

Artigo principal: Espaço vetorial graduado § Operações em espaços vetoriais graduados

Alguns espaços vetoriais podem ser decompostos em somas diretas de subespaços. Em tais casos, o produto tensorial de dois espaços pode ser decomposto em somas de produtos dos subespaços (em analogia à maneira como a multiplicação se distribui sobre a adição).

Produto tensorial das representações

Artigo principal: produto tensorial das representações

Os espaços vetoriais dotados de uma estrutura multiplicativa adicional são chamados de álgebras . O produto tensorial de tais álgebras é descrito pela regra de Littlewood-Richardson .

Produto tensorial de formas quadráticas

Artigo principal: produto tensor de formas quadráticas

Produto tensorial de formas multilineares

Dadas duas formas multilineares e em um espaço vetorial sobre o campo, seu produto tensorial é a forma multilinear ${\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {k})}$${\ displaystyle g (x_ {1}, \ dots, x_ {m})}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle K}$

$${\ displaystyle (f \ otimes g) (x_ {1}, \ dots, x_ {k + m}) = f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) g (x_ {k + 1}, \ dots, x_ {k + m}).}$$

Este é um caso especial do produto de tensores se eles forem vistos como mapas multilineares (veja também tensores como mapas multilineares ). Assim, os componentes do produto tensorial de formas multilineares podem ser calculados pelo produto de Kronecker .

Produto tensorial de polias de módulos

Artigo principal: Feixe de módulos

Produto tensor de pacotes de linha

Artigo principal: Pacote de vetores § Operações em pacotes de vetores

Veja também: pacote de produtos tensores

Produto tensorial de campos

Artigo principal: Produto tensor de campos

Produto tensorial de gráficos

Artigo principal: Produto tensorial de gráficos

Deve ser mencionado que, embora denominado "produto tensorial", este não é um produto tensorial de gráficos no sentido acima; na verdade, é o produto da teoria da categoria na categoria de grafos e homomorfismos de grafos . No entanto, é na verdade o produto tensorial de Kronecker das matrizes de

adjacência dos grafos. Compare também a seção Produto tensorial dos mapas lineares acima.

Categorias monoidais

A configuração mais geral para o produto tensorial é a categoria monoidal . Ele captura a essência algébrica da tensoração, sem fazer nenhuma referência específica ao que está sendo tensorado. Assim, todos os produtos tensores podem ser expressos como uma aplicação da categoria monoidal a algum ambiente particular, agindo em alguns objetos particulares.

Álgebras de quociente

Vários subespaços importantes da álgebra tensorial podem ser construídos como quocientes : estes incluem a álgebra exterior , a álgebra simétrica , a álgebra de Clifford , a álgebra de Weyl e a álgebra envolvente universal em geral.

A álgebra exterior é construída a partir do produto exterior . Dado um espaço vetorial V , o produto exterior é definido como ${\ displaystyle V \ wedge V}$

$${\ displaystyle V \ wedge V: = V \ otimes V / \ {v \ otimes v \ mid v \ in V \}.}$$

Observe que quando o campo subjacente de V não tem a característica 2, então esta definição é equivalente a

$${\ displaystyle V \ wedge V: = V \ otimes V / \ {v_ {1} \ otimes v_ {2} + v_ {2} \ otimes v_ {1} \ mid (v_ {1}, v_ {2}) \ in V ^ {2} \}.}$$

A imagem de no produto exterior é geralmente denotada e satisfaz, por construção, construções semelhantes são possíveis para ( n factores), dando origem a o n ° de alimentação exterior de V . A última noção é a base das n- formas diferenciais . ${\ displaystyle v_ {1} \ otimes v_ {2}}$${\ displaystyle v_ {1} \ wedge v_ {2}}$${\ displaystyle v_ {1} \ wedge v_ {2} = - v_ {2} \ wedge v_ {1}.}$${\ displaystyle V \ otimes \ dots \ otimes V}$${\ displaystyle \ Lambda ^ {n} V,}$

A álgebra simétrica é construída de maneira semelhante, a partir do produto simétrico

$${\ displaystyle V \ odot V: = V \ otimes V / \ {v_ {1} \ otimes v_ {2} -v_ {2} \ otimes v_ {1} \ mid (v_ {1}, v_ {2}) \ in V ^ {2} \}.}$$

De forma geral

$${\ displaystyle \ operatorname {Sym} ^ {n} V: = \ underbrace {V \ otimes \ dots \ otimes V} _ {n} / (\ dots \ otimes v_ {i} \ otimes v_ {i + 1} \ otimes \ dots - \ dots \ otimes v_ {i + 1} \ otimes v_ {i} \ otimes \ dots)}$$

Ou seja, na álgebra simétrica dois vetores adjacentes (e, portanto, todos eles) podem ser trocados. Os objetos resultantes são chamados de tensores simétricos .

Produto tensor em programação

Linguagens de programação de array

Linguagens de programação de array podem ter esse padrão embutido. Por exemplo, em APL, o produto tensor é expresso como ○.×(por exemplo A ○.× Bou A ○.× B ○.× C). Em J, o produto tensorial é a forma diádica de */(por exemplo a */ bou a */ b */ c).

Note que o tratamento de J também permite a representação de alguns campos tensores, como ae bpodem ser funções ao invés de constantes. Este produto de duas funções é uma função derivada e, se ae bsão diferenciáveis , então a */ bé diferenciável.

No entanto, esses tipos de notação não estão universalmente presentes em linguagens de array. Outras linguagens de matriz podem exigir tratamento explícito de índices (por exemplo, MATLAB ) e / ou podem não suportar funções de ordem superior , como a derivada Jacobiana (por exemplo, Fortran / APL).

Veja também

• Produto diádico
• Extensão de escalares
• Categoria monoidal  - Categoria que admite produtos tensores
• Álgebra tensorial  - construção universal em álgebra multilinear
• Contração do tensor
• Produto tensorial topológico  - Construções de

produto tensorial para espaços vetoriais topológicos

Notas

Referências

• Bourbaki, Nicolas (1989). Elementos da Matemática, Álgebra I . Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9.
• Gowers, Timothy . “Como perder o medo de produtos tensores” . Arquivado do original em 23 de julho de 2021.
• Grillet, Pierre A. (2007). Álgebra abstrata . Springer Science + Business Media, LLC. ISBN 978-0387715674.
• Halmos, Paul (1974). Espaços vetoriais de dimensão finita . Springer. ISBN 0-387-90093-4.
• Hungerford, Thomas W. (2003). Álgebra . Springer. ISBN 0387905189.
• Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (revisado, terceira edição), Nova York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556 , Zbl  0984.00001
• Mac Lane, S .; Birkhoff, G. (1999). Álgebra . AMS Chelsea. ISBN 0-8218-1646-2.
• Aguiar, M .; Mahajan, S. (2010). Funtores monoidais, espécies e álgebras de Hopf . CRM Monograph Series Vol 29. ISBN 978-0-8218-4776-3.
• "Bibliografia sobre o produto tensorial não-fabuloso de grupos" .