Tensor métrico - Metric tensor

No campo matemático da geometria diferencial , uma definição de tensor métrico é um tipo de função que toma como entrada um par de vetores tangentes v e w em um ponto de uma superfície (ou variedade diferenciável de dimensão superior ) e produz um escalar de número real g ( v , w ) de uma forma que generaliza muitas das propriedades familiares do produto escalar dos vetores no espaço euclidiano . Da mesma forma que um produto escalar, os tensores métricos são usados ​​para definir o comprimento e o ângulo entre os vetores tangentes. Por meio da integração , o tensor métrico permite definir e calcular o comprimento das curvas na variedade.

Um tensor métrico é chamado de definido positivo se atribuir um valor positivo g ( v , v )> 0 a todo vetor diferente de zero v . Uma variedade equipada com um tensor métrico positivo-definido é conhecida como variedade Riemanniana . Em uma variedade Riemanniana, a curva que conecta dois pontos que (localmente) tem o menor comprimento é chamada de geodésica , e seu comprimento é a distância que um passageiro na variedade precisa percorrer para ir de um ponto a outro. Equipado com esta noção de comprimento, um colector de Riemannian é um espaço métrico , o que significa que ele tem uma função de distância d ( p , q ) , cujo valor a um par de pontos de p e q , é a distância a partir de p para q . Por outro lado, o próprio tensor métrico é a derivada da função de distância (tomada de maneira adequada). Assim, o tensor métrico fornece a distância infinitesimal na variedade.

Embora a noção de um tensor métrico fosse conhecida em algum sentido por matemáticos como Carl Gauss desde o início do século 19, não foi até o início do século 20 que suas propriedades como tensor foram compreendidas, em particular, por Gregorio Ricci-Curbastro e Tullio Levi-Civita , o primeiro a codificar a noção de tensor. O tensor métrico é um exemplo de campo tensor .

Os componentes de um tensor métrico em uma base de coordenadas assumem a forma de uma matriz simétrica cujas entradas se transformam de forma covariante sob mudanças no sistema de coordenadas. Assim, um tensor métrico é um tensor simétrico covariante . Do ponto de vista independente das coordenadas , um campo tensor métrico é definido como uma forma bilinear simétrica não degenerada em cada espaço tangente que varia suavemente de ponto a ponto.

Introdução

Carl Friedrich Gauss em seu 1827 Disquisitiones generales circa superficies curvas ( Investigações gerais de superfícies curvas ) considerada uma superfície parametricamente , com as coordenadas cartesianas x , y e z de pontos na superfície dependendo de duas variáveis ​​auxiliares u e v . Assim, uma superfície paramétrica é (nos termos de hoje) uma função com valor vetorial

dependendo de um par ordenado de variáveis ​​reais ( u , v ) , e definido em um conjunto aberto D no plano uv . Um dos principais objetivos das investigações de Gauss era deduzir aquelas características da superfície que poderiam ser descritas por uma função que permaneceria inalterada se a superfície sofresse uma transformação no espaço (como dobrar a superfície sem esticá-la), ou uma mudança em a forma paramétrica particular da mesma superfície geométrica.

Uma dessas quantidades invariantes naturais é o comprimento de uma curva desenhada ao longo da superfície. Outro é o ângulo entre um par de curvas desenhadas ao longo da superfície e que se encontram em um ponto comum. Uma terceira quantidade é a área de um pedaço da superfície. O estudo desses invariantes de uma superfície levou Gauss a apresentar o antecessor da noção moderna de tensor métrico.

Comprimento do arco

Se as variáveis u e v são levados a depender de uma terceira variável, t , tomar valores num intervalo [ a , b ] , então r ( u ( t ), v ( t )) irá traçar uma curva paramétrico em paramétrico superfície M . O comprimento do arco dessa curva é dado pela integral

onde representa a norma euclidiana . Aqui, a regra da cadeia foi aplicada, e os subscritos denotam derivados parciais :

O integrando é a restrição à curva da raiz quadrada do diferencial ( quadrático )

 

 

 

 

( 1 )

Onde

 

 

 

 

( 2 )

A quantidade ds em ( 1 ) é chamado o elemento de linha , enquanto que ds 2 é chamada a primeira forma fundamental de M . Intuitivamente, ele representa a parte principal do quadrado do deslocamento sofrido por r ( u , v ) quando u é aumentado por du unidades, ev é aumentado por dv unidades.

Usando a notação de matriz, a primeira forma fundamental torna-se

Transformações de coordenadas

Suponha-se agora que uma parametrização diferente é seleccionado, permitindo que u e v depender de um outro par de variáveis L ' e v ' . Então, o análogo de ( 2 ) para as novas variáveis ​​é

 

 

 

 

( 2 ' )

A regra da cadeia relaciona E , F e G a E , F e G por meio da equação da matriz

 

 

 

 

( 3 )

onde o T sobrescrito denota a transposta da matriz . A matriz com os coeficientes E , F e G arranjados desta forma, portanto, se transforma pela matriz Jacobiana da mudança de coordenadas

Uma matriz que se transforma dessa maneira é um tipo do que é chamado de tensor . O Matrix

com a lei de transformação ( 3 ) é conhecido como o tensor métrico da superfície.

Invariância de comprimento de arco sob transformações de coordenadas

Ricci-Curbastro & Levi-Civita (1900) observaram pela primeira vez a significância de um sistema de coeficientes E , F e G , que se transformava dessa forma ao passar de um sistema de coordenadas para outro. O resultado é que a primeira forma fundamental ( 1 ) é invariante sob mudanças no sistema de coordenadas, e que este segue exclusivamente a partir das propriedades de transformação de E , F , e G . Na verdade, pela regra da cadeia,

de modo a

Comprimento e ângulo

Outra interpretação do tensor métrico, também considerada por Gauss, é que ele fornece uma maneira de calcular o comprimento dos vetores tangentes à superfície, bem como o ângulo entre dois vetores tangentes. Em termos contemporâneos, o tensor métrico permite calcular o produto escalar dos vetores tangentes de uma maneira independente da descrição paramétrica da superfície. Qualquer vetor tangente em um ponto da superfície paramétrica M pode ser escrito na forma

para números reais adequados p 1 e p 2 . Se dois vetores tangentes são fornecidos:

em seguida, usando a bilinearidade do produto escalar,

Esta é claramente uma função das quatro variáveis a 1 , b 1 , a 2 e b 2 . É mais lucrativamente visto, entretanto, como uma função que recebe um par de argumentos a = [ a 1 a 2 ] e b = [ b 1 b 2 ] que são vetores no plano UV . Ou seja, coloque

Esta é uma função simétrica em um e b , o que significa que

Também é bilinear , o que significa que é linear em cada variável a e b separadamente. Isso é,

para quaisquer vetores a , a , b e b no plano uv , e quaisquer números reais μ e λ .

Em particular, o comprimento de um vetor tangente a é dado por

e o ângulo θ entre dois vetores a e b é calculado por

Área

A área de superfície é outra grandeza numérica que deve depender apenas da própria superfície, e não de como ela é parametrizada. Se a superfície M é parametrizada pela função r ( u , v ) sobre o domínio D no plano uv , então a área da superfície de M é dada pela integral

onde × denota o produto vetorial e o valor absoluto denota o comprimento de um vetor no espaço euclidiano. Pela identidade de Lagrange para o produto vetorial, a integral pode ser escrita

onde det é o determinante .

Definição

Seja M uma variedade lisa de dimensão n ; por exemplo, uma superfície (no caso n = 2 ) ou hipersuperfície no espaço cartesiano n + 1 . Em cada ponto pM existe um espaço vetorial T p M , denominado espaço tangente , que consiste em todos os vetores tangentes à variedade do ponto p . Um tensor métrico em p é uma função g p ( X p , Y p ) que toma como entradas um par de vetores tangentes X p e Y p em p , e produz como saída um número real ( escalar ), de modo que o seguinte as condições são satisfeitas:

  • g p é bilinear . Uma função de dois argumentos de vetor é bilinear se for linear separadamente em cada argumento. Assim, se U p , V p , Y p são três vetores tangentes em p e a e b são números reais, então
  • g p é simétrico . Uma função de dois argumentos de vetor é simétrica, desde que para todos os vetores X p e Y p ,
  • g p não é degenerado . Uma função bilinear é não degenerada, desde que, para cada vetor tangente X p ≠ 0 , a função
obtido mantendo X p constante e permitindo que Y p varie não é identicamente zero . Ou seja, para todo X p ≠ 0 existe um Y p tal que g p ( X p , Y p ) ≠ 0 .

Um campo tensorial métrico g em M atribui a cada ponto p de M um tensor métrico g p no espaço tangente em p de uma maneira que varia suavemente com p . Mais precisamente, dado qualquer subconjunto aberto U da variedade M e quaisquer campos vetoriais (suaves) X e Y em U , a função real

é uma função suave de p .

Componentes da métrica

Os componentes da métrica em qualquer base de campos vetoriais , ou quadro , f = ( X 1 , ..., X n ) são dados por

 

 

 

 

( 4 )

Os n 2 funções g ij [ f ] formar as entradas de um n × n matriz simétrica , L [ f ] . Se

são dois vetores em pU , então o valor da métrica aplicada a v e w é determinado pelos coeficientes ( 4 ) por bilinearidade:

Denota a matriz ( g ij [ f ]) por L [ f ] e organizando os componentes dos vectores de v e w em coluna de vectores de v [ f ] e W [ f ] ,

onde v [ f ] T e W [ f ] T denotar a transposição dos vectores de v [ f ] e W [ f ] , respectivamente. Sob uma mudança de base do formulário

para alguns invertível n × n matriz A = ( um ij ) , a matriz de componentes das alterações métricas por um bem. Isso é,

ou, em termos de entradas desta matriz,

Por esta razão, diz-se que o sistema de quantidades g ij [ f ] se transforma covariantemente em relação às mudanças no referencial f .

Métrica em coordenadas

Um sistema de n funções de valor real ( x 1 , ..., x n ) , dando um sistema de coordenadas local em um conjunto aberto U em M , determina uma base de campos vetoriais em U

A métrica g tem componentes relativos a este quadro dado por

Em relação a um novo sistema de coordenadas locais, digamos

o tensor métrico determinará uma matriz diferente de coeficientes,

Este novo sistema de funções está relacionado ao g ij ( f ) original por meio da regra da cadeia

de modo a

Ou, em termos das matrizes G [ f ] = ( g ij [ f ]) e G [ f ′] = ( g ij [ f ′]) ,

onde Dy denota a matriz Jacobiana da mudança de coordenada.

Assinatura de uma métrica

Associado a qualquer tensor métrico está a forma quadrática definida em cada espaço tangente por

Se q m for positivo para todos os X m diferentes de zero , então a métrica é definida positiva em m . Se a métrica é definida positivamente a cada mM , então g é chamada de métrica Riemanniana . De maneira mais geral, se as formas quadráticas q m têm assinatura constante independente de m , então a assinatura de g é essa assinatura eg é chamada de métrica pseudo-Riemanniana . Se M estiver conectado , a assinatura de q m não depende de m .

Pela lei da inércia de Sylvester , uma base de vetores tangentes X i pode ser escolhida localmente de modo que a forma quadrática diagonalize da seguinte maneira

para algum p entre 1 e n . Quaisquer duas dessas expressões de q (no mesmo ponto m de M ) terão o mesmo número p de sinais positivos. A assinatura de g é o par de números inteiros ( p , n - p ) , o que significa que existem p sinais positivos e n - p sinais negativos em qualquer tal expressão. Equivalentemente, a métrica tem assinatura ( p , n - p ) se a matriz g ij da métrica tem p valores próprios positivos e n - p negativos .

Certas assinaturas métricas que surgem com frequência em aplicativos são:

  • Se g tem assinatura ( n , 0) , então g é uma métrica Riemanniana e M é chamada de variedade Riemanniana . Caso contrário, g é uma métrica pseudo-Riemanniana e M é chamada de variedade pseudo-Riemanniana (o termo semi-Riemanniano também é usado).
  • Se M é quadridimensional com assinatura (1, 3) ou (3, 1) , então a métrica é chamada de Lorentziana . Mais geralmente, um tensor métrico na dimensão n diferente de 4 de assinatura (1, n - 1) ou ( n - 1, 1) às vezes também é chamado de Lorentziano.
  • Se M é 2 n- dimensional e g tem assinatura ( n , n ) , então a métrica é chamada de ultra-hiperbólica .

Métrica inversa

Seja f = ( X 1 , ..., X n ) uma base de campos vetoriais, e como acima seja G [ f ] a matriz de coeficientes

Pode-se considerar a matriz inversa G [ f ] −1 , que é identificada com a métrica inversa (ou conjugada ou métrica dual ). A métrica inversa satisfaz uma lei de transformação quando o quadro f é alterado por uma matriz A via

 

 

 

 

( 5 )

As transformadas inversas métricas contravariantly , ou no que diz respeito ao inverso da mudança de matriz de base A . Enquanto a métrica em si fornece uma maneira de medir o comprimento (ou ângulo entre) campos vetoriais, a métrica inversa fornece um meio de medir o comprimento (ou ângulo entre) campos covetores ; isto é, campos de funcionais lineares .

Para ver isso, suponha que α seja um campo covetor. A saber, para cada ponto p , α determina uma função α p definida nos vetores tangentes em p, de modo que a seguinte condição de linearidade seja válida para todos os vetores tangentes X p e Y p , e todos os números reais a e b :

À medida que p varia, α é assumido como uma função suave no sentido de que

é uma função suave de p para qualquer campo de vectores liso X .

Qualquer campo covetor α tem componentes na base de campos vetoriais f . Estes são determinados por

Denote o vetor linha desses componentes por

Sob uma mudança de f por uma matriz A , α [ f ] muda pela regra

Ou seja, o vetor linha dos componentes α [ f ] se transforma em um vetor covariante .

Para um par α e β de campos covetores, defina a métrica inversa aplicada a esses dois covetores por

 

 

 

 

( 6 )

A definição resultante, embora envolva a escolha da base f , na verdade não depende de f de uma maneira essencial. Na verdade, mudar a base para f A

De forma que o lado direito da equação ( 6 ) não é afetado pela mudança da base f para qualquer outra base f A qualquer. Consequentemente, a equação pode receber um significado independentemente da escolha da base. As entradas da matriz G [ f ] são denotadas por g ij , onde os índices i e j foram elevados para indicar a lei de transformação ( 5 ).

Índices de aumento e redução

Com base em campos de vetor f = ( X 1 , ..., X n ) , qualquer campo de vetor tangente suave X pode ser escrito na forma

 

 

 

 

( 7 )

para algumas funções suaves determinadas exclusivamente v 1 , ..., v n . Ao mudar a base f por uma matriz não singular A , os coeficientes v i mudam de tal forma que a equação ( 7 ) permanece verdadeira. Isso é,

Conseqüentemente, v [ f A ] = A −1 v [ f ] . Em outras palavras, os componentes de um vector de transformação contravariantly (isto é, inversamente ou no sentido oposto), sob uma mudança de base da matriz não singular A . A contravariância dos componentes de v [ f ] é designada por notação colocando os índices de v i [ f ] na posição superior.

Um quadro também permite que os covetores sejam expressos em termos de seus componentes. Para a base dos campos vetoriais f = ( X 1 , ..., X n ) defina a base dual como sendo os funcionais lineares ( θ 1 [ f ], ..., θ n [ f ]) de modo que

Ou seja, θ i [ f ] ( X j ) = δ j i , o delta de Kronecker . Deixar

Sob uma mudança de base ff A para uma matriz não singular A , θ [ f ] se transforma via

Qualquer α funcional linear em vetores tangentes pode ser expandido em termos da base dual θ

 

 

 

 

( 8 )

onde a [ f ] denota o vetor linha [ a 1 [ f ] ... a n [ f ]] . Os componentes a i se transformam quando a base f é substituída por f A de tal forma que a equação ( 8 ) continua válida. Isso é,

donde, porque θ [ f A ] = Um -1 θ [ f ] , segue-se que um [ f A ] = uma [ f ] Uma . Isto é, os componentes de uma transformar covariantemente (pela matriz A em vez do seu inverso). A covariância dos componentes de a [ f ] é designada notacionalmente colocando os índices de a i [ f ] na posição inferior.

Agora, o tensor métrico fornece um meio de identificar vetores e covetores como segue. Mantendo X p fixo, a função

do vetor tangente Y p define um funcional linear no espaço tangente em p . Esta operação pega um vetor X p em um ponto p e produz um covetor g p ( X p , -) . Em uma base de campos vetoriais f , se um campo vetorial X tem componentes v [ f ] , então os componentes do campo covetor g ( X , -) na base dual são dados pelas entradas do vetor linha

Sob uma mudança de base ff A , o lado direito desta equação se transforma via

de modo que a [ f A ] = a [ f ] A : a se transforma covariante. A operação de associar aos componentes (contravariantes) de um campo vetorial v [ f ] = [ v 1 [ f ] v 2 [ f ] ... v n [ f ]] T os componentes (covariantes) do campo covetor a [ f ] = [ a 1 [ f ] a 2 [ f ] ... a n [ f ]] , onde

é chamado de redução do índice .

Para aumentar o índice , aplica-se a mesma construção, mas com a métrica inversa em vez da métrica. Se a [ f ] = [ a 1 [ f ] a 2 [ f ] ... a n [ f ]] são os componentes de um covetor na base dual θ [ f ] , então o vetor coluna

 

 

 

 

( 9 )

tem componentes que se transformam de forma contravariante:

Consequentemente, a quantidade de X = F v [ f ] não dependem da escolha da base f de um modo essencial, e, assim, define um campo de vectores sobre M . A operação ( 9 ) que associa aos componentes (covariantes) de um covetor a [ f ] os componentes (contravariantes) de um vetor v [ f ] dado é chamada de aumento do índice . Em componentes, ( 9 ) é

Métrica induzida

Seja U um conjunto aberto em n , e seja φ uma função continuamente diferenciável de U no espaço euclidiano m , onde m > n . O mapeamento φ é chamado uma imersão se o diferencial é injetivo em cada ponto de L . A imagem de φ é chamada de subvariedade imersa . Mais especificamente, para m = 3 , o que significa que o espaço euclidiano ambiente é 3 , o tensor métrico induzido é chamado de primeira forma fundamental .

Suponha que φ seja uma imersão na subvariedade MR m . O produto escalar euclidiano usual em m é uma métrica que, quando restrita aos vetores tangentes a M , fornece um meio de obter o produto escalar desses vetores tangentes. Isso é chamado de métrica induzida .

Suponha que v é um vetor tangente em um ponto de U , digamos

onde e i são os vetores de coordenadas padrão em n . Quando φ é aplicado a U , o vetor v vai para o vetor tangente a M dado por

(Isso é chamado de pushforward de v ao longo de φ .) Dados dois desses vetores, v e w , a métrica induzida é definida por

Segue-se de um cálculo simples que a matriz da métrica induzida na base dos campos vetoriais de coordenadas e é dada por

onde é a matriz Jacobiana:

Definições intrínsecas de uma métrica

A noção de uma métrica pode ser definida intrinsecamente usando a linguagem dos feixes de fibras e feixes de vetores . Nestes termos, um tensor métrico é uma função

 

 

 

 

( 10 )

do produto de fibra do feixe tangente de M com ele mesmo para R de modo que a restrição de g para cada fibra é um mapeamento bilinear não degenerado

O mapeamento ( 10 ) deve ser contínuo , e muitas vezes continuamente diferenciável , suave ou analítico real , dependendo do caso de interesse e se M pode suportar tal estrutura.

Métrica como uma seção de um pacote

Pela propriedade universal do produto tensorial , qualquer mapeamento bilinear ( 10 ) dá origem naturalmente a uma seção g do dual do pacote de produto tensorial de T M consigo mesmo

A seção g é definida em elementos simples de T M ⊗ T M por

e é definido em elementos arbitrários de T M ⊗ T M estendendo-se linearmente a combinações lineares de elementos simples. A forma bilinear original g é simétrica se e somente se

Onde

é o mapa da trança .

Uma vez que M é finito-dimensional, há um isomorfismo natural

de modo que g é considerado também como uma seção do feixe T * M ⊗ T * M do feixe cotangente T * M consigo mesmo. Como g é simétrico como um mapeamento bilinear, segue que g é um tensor simétrico .

Métrica em um pacote vetorial

De maneira mais geral, pode-se falar de uma métrica em um pacote vetorial . Se E é um pacote vetorial sobre uma variedade M , então uma métrica é um mapeamento

do produto de fibra de E para R que é bilinear em cada fibra:

Usando a dualidade como acima, uma métrica é frequentemente identificada com uma seção do pacote de produto tensorial E * ⊗ E * . (Veja métrica (pacote vetorial) .)

Isomorfismo tangente-cotangente

O tensor métrico fornece um isomorfismo natural do feixe tangente ao feixe cotangente , às vezes chamado de isomorfismo musical . Este isomorfismo é obtido definindo, para cada vetor tangente X p ∈ T p M ,

o funcional linear em T p M que envia um vetor tangente Y p em p a g p ( X p , Y p ) . Ou seja, em termos do emparelhamento [-, -] entre T p M e seu espaço dual T
p
M
,

para todos os vetores tangentes X p e Y p . O mapeamento S g é uma transformação linear de T p M para T
p
M
. Segue-se da definição de não degenerescência que o núcleo de S g é reduzido a zero e, portanto, pelo teorema da nulidade de classificação , S g é um isomorfismo linear . Além disso, S g é uma transformação linear simétrica no sentido de que

para todos os vetores tangentes X p e Y p .

Por outro lado, qualquer isomorfismo linear S  : T p M → T
p
M
define uma forma bilinear não degenerada em T p M por meio de

Esta forma bilinear é simétrica se e somente se S for simétrica. Há, portanto, uma correspondência natural um-para-um entre formas bilineares simétricas em T p M e isomorfismos lineares simétricos de T p M para o T dual
p
M
.

Como p varia ao longo de M , S g define uma seção do feixe Hom (T M , T * M ) dos isomorfismos vetoriais do feixe tangente ao feixe cotangente. Esta seção tem a mesma suavidade de g : é contínua, diferenciável, suave ou real-analítica de acordo com g . O mapeamento S g , que associa a cada campo vetorial em M um campo covetor em M, fornece uma formulação abstrata de "redução do índice" em um campo vetorial. O inverso de S g é um mapeamento T * M → T M que, analogamente, fornece uma formulação abstrata de "aumentar o índice" em um campo covetor.

O inverso S-1
g
define um mapeamento linear

o que é não singular e simétrico no sentido de que

para todos os covetores α , β . Tal mapeamento simétrico não singular dá origem (pelo adjunção tensor-hom ) a um mapa

ou pelo isomorfismo duplo duplo a uma seção do produto tensorial

Arclength e o elemento de linha

Suponha-se que g é uma métrica Riemannianos em H . Em um sistema de coordenadas local x i , i = 1, 2, ..., n , o tensor métrico aparece como uma matriz , denotado aqui por G , cujas entradas são as componentes g ij do tensor métrico em relação aos campos do vetor de coordenadas.

Seja γ ( t ) uma curva paramétrica diferenciável por partes em M , para atb . O comprimento de arco da curva é definido por

Em conexão com esta aplicação geométrica, a forma diferencial quadrática

é chamada de primeira forma fundamental associada à métrica, enquanto ds é o elemento de linha . Quando ds 2 é puxado de volta para a imagem de uma curva em M , ele representa o quadrado do diferencial em relação ao comprimento de arco.

Para uma métrica pseudo-Riemanniana, a fórmula de comprimento acima nem sempre é definida, porque o termo sob a raiz quadrada pode se tornar negativo. Geralmente, apenas definimos o comprimento de uma curva quando a quantidade sob a raiz quadrada é sempre de um sinal ou de outro. Neste caso, defina

Observe que, embora essas fórmulas usem expressões de coordenadas, elas são, na verdade, independentes das coordenadas escolhidas; eles dependem apenas da métrica e da curva ao longo da qual a fórmula é integrada.

A energia, princípios variacionais e geodésicas

Dado um segmento de uma curva, uma outra quantidade frequentemente definido é o (cinética) a energia da curva:

Esse uso vem da física , especificamente da mecânica clássica , onde a integral E pode ser vista como correspondendo diretamente à energia cinética de uma partícula pontual se movendo na superfície de uma variedade. Assim, por exemplo, na formulação de Jacobi do princípio de Maupertuis , o tensor métrico pode ser visto como correspondendo ao tensor de massa de uma partícula em movimento.

Em muitos casos, sempre que um cálculo exige que o comprimento seja usado, um cálculo semelhante usando a energia também pode ser feito. Isso geralmente leva a fórmulas mais simples, evitando a necessidade da raiz quadrada. Assim, por exemplo, as equações geodésicas podem ser obtidas aplicando princípios variacionais ao comprimento ou à energia. No último caso, as equações geodésicas são vistas como surgindo do princípio da menor ação : elas descrevem o movimento de uma "partícula livre" (uma partícula que não sente forças) que está confinada a se mover na variedade, mas de outra forma se move livremente, com momentum constante, dentro do múltiplo.

Medida canônica e forma de volume

Em analogia com o caso das superfícies, um tensor métrico em uma variedade paracompacta n- dimensional M dá origem a uma maneira natural de medir o volume n- dimensional de subconjuntos da variedade. A medida de Borel positiva natural resultante permite desenvolver uma teoria de integração de funções na variedade por meio da integral de Lebesgue associada .

A medida pode ser definida, pelo teorema de representação de Riesz , dando um resultado positivo funcional linear Λ no espaço C 0 ( M ) de suporte compacto funções contínuas em H . Mais precisamente, se M é uma variedade com um tensor métrico (pseudo-) Riemanniano g , então há uma medida de Borel positiva única μ g tal que para qualquer gráfico de coordenadas ( U , φ ) ,

para todos f suportado em U . Aqui det g é o determinante da matriz formada pelos componentes do tensor métrico no gráfico de coordenadas. O fato de Λ ser bem definido em funções suportadas em vizinhanças de coordenadas é justificado pela mudança Jacobiana de variáveis . Ele se estende a um único funcional linear positivo em C 0 ( M ) por meio de uma partição de unidade .

Se M também for orientado , então é possível definir uma forma de volume natural a partir do tensor métrico. Em um sistema de coordenadas orientado positivamente ( x 1 , ..., x n ), a forma de volume é representada como

onde dx i são as coordenadas diferenciais e denota o produto exterior na álgebra das formas diferenciais . A forma de volume também fornece uma maneira de integrar funções na variedade, e esta integral geométrica concorda com a integral obtida pela medida canônica de Borel.

Exemplos

Métrica euclidiana

O exemplo mais familiar é o da geometria euclidiana elementar : o tensor métrico euclidiano bidimensional . Nas coordenadas usuais ( x , y ) , podemos escrever

O comprimento de uma curva se reduz à fórmula:

A métrica euclidiana em alguns outros sistemas de coordenadas comuns pode ser escrita como segue.

Coordenadas polares ( r , θ ) :

Então

por identidades trigonométricas .

Em geral, em um sistema de coordenadas cartesianas x i em um espaço euclidiano , as derivadas parciais ∂ / ∂ x i são ortonormais em relação à métrica euclidiana. Assim, o tensor métrico é o delta de Kronecker δ ij neste sistema de coordenadas. O tensor métrico em relação às coordenadas arbitrárias (possivelmente curvilíneas) q i é dado por

A métrica redonda em uma esfera

A esfera unitária em 3 vem equipada com uma métrica natural induzida da métrica euclidiana ambiente, através do processo explicado na seção métrica induzida . Em coordenadas padrão esféricas ( q , φ ) , com θ o colatitude , o ângulo medido a partir da z -axis, e & Phi o ângulo do x -axis no xy -Plane, a métrica toma a forma

Isso geralmente é escrito no formulário

Métricas Lorentzianas da relatividade

No espaço plano de Minkowski ( relatividade especial ), com coordenadas

a métrica é, dependendo da escolha da assinatura da métrica ,

Para uma curva com - por exemplo - coordenada de tempo constante, a fórmula de comprimento com esta métrica se reduz à fórmula de comprimento usual. Para uma curva semelhante ao tempo , a fórmula do comprimento fornece o tempo adequado ao longo da curva.

Neste caso, o intervalo de espaço-tempo é escrito como

A métrica de Schwarzschild descreve o espaço-tempo em torno de um corpo esférico simétrico, como um planeta ou um buraco negro . Com coordenadas

podemos escrever a métrica como

onde G (dentro da matriz) é a constante gravitacional e M representa o conteúdo total de massa-energia do objeto central.

Veja também

Notas

Referências

  • Dodson, CTJ; Poston, T. (1991), Tensor geometry , Graduate Texts in Mathematics, 130 (2ª ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-642-10514-2 , ISBN 978-3-540-52018-4, MR  1223091
  • Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004), Riemannian Geometry (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-20493-0.
  • Gauss, Carl Friedrich (1827), General Investigations of Curved Surfaces , Nova York: Raven Press (publicado em 1965)traduzido por AM Hiltebeitel e JC Morehead; "Disquisitiones generales circa superficies curvas" , Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores Vol. VI (1827), pp. 99-146.
  • Hawking, SW ; Ellis, GFR (1973), The large scale structure of space-time , Cambridge University Press.
  • Kay, David (1988), Schaum's Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-033484-7.
  • Kline, Morris (1990), Mathematical think from Ancient to Modern times, Volume 3 , Oxford University Press.
  • Lee, John (1997), variedades Riemannian , Springer Verlag, ISBN 978-0-387-98322-6.
  • Michor, Peter W. (2008), Topics in Differential Geometry , Graduate Studies in Mathematics , 93 , Providence: American Mathematical Society( para aparecer ).
  • Misner, Charles W .; Thorne, Kip S .; Wheeler, John A. (1973), Gravitation , WH Freeman, ISBN 0-7167-0344-0
  • Ricci-Curbastro, Gregorio ; Levi-Civita, Tullio (1900), "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications" , Mathematische Annalen , 54 (1): 125–201, doi : 10.1007 / BF01454201 , ISSN  1432-1807 , S2CID  120009332
  • Sternberg, S. (1983), Lectures on Differential Geometry (2ª ed.), New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4
  • Vaughn, Michael T. (2007), Introdução à física matemática (PDF) , Weinheim: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co., doi : 10.1002 / 9783527618859 , ISBN 978-3-527-40627-2, MR  2324500
  • Wells, Raymond (1980), Análise Diferencial em Manifolds Complexos , Berlim, Nova York: Springer-Verlag