Campo algebricamente fechado - Algebraically closed field

Em matemática , um campo F é algebricamente fechado se cada polinomial n constante em F [ x ] (a univariada anel polinomial com coeficientes em F ) tem uma raiz em F .

Exemplos

A título de exemplo, o campo dos números reais não é fechado algebricamente, porque a equação polinomial x ²  + 1 = 0 não tem solução em números reais, embora todos os seus coeficientes (1 e 0) sejam reais. O mesmo argumento prova que nenhum subcampo do campo real é algebricamente fechado; em particular, o campo dos números racionais não é fechado algebricamente. Além disso, nenhum corpo finito F é algebricamente fechado, porque se a ₁ , a ₂ , ..., a _n são os elementos de F , então o polinômio ( x  -  a ₁ ) ( x  -  a ₂ ) ⋯ ( x  -  a _n ) + 1 não tem de zero em F . Em contraste, o teorema fundamental da álgebra afirma que o campo dos números complexos é algebricamente fechado. Outro exemplo de um campo algébricamente fechado é o campo de números algébricos (complexos) .

Propriedades equivalentes

Dado um campo F , a afirmação " F é algébricamente fechado" é equivalente a outras afirmações:

Os únicos polinômios irredutíveis são aqueles de grau um

O campo F é algebricamente fechado se e somente se os únicos polinômios irredutíveis no anel polinomial F [ x ] são aqueles de grau um.

A afirmação "os polinômios de grau um são irredutíveis" é trivialmente verdadeira para qualquer campo. Se F é algebricamente fechado ep ( x ) é um polinômio irredutível de F [ x ], então ele tem alguma raiz a e, portanto, p ( x ) é um múltiplo de x  -  a . Como p ( x ) é irredutível, isso significa que p ( x ) =  k ( x  -  a ), para algum k  ∈  F  \ {0}. Por outro lado, se a F não é algebricamente fechado, então há alguns não constante polinómio p ( x ) em F [ x ] sem raízes em F . Seja q ( x ) algum fator irredutível de p ( x ). Uma vez que p ( x ) não tem raízes em F , q ( x ) também não tem raízes em F . Portanto, q ( x ) tem um maior grau do que um, uma vez que cada primeiro grau polinomial tem uma raiz em F .

Cada polinômio é um produto de polinômios de primeiro grau

O campo F é algebricamente fechado se e somente se todo polinômio p ( x ) de grau n  ≥ 1, com coeficientes em F , se divide em fatores lineares . Em outras palavras, existem elementos k ,  x ₁ ,  x ₂ , ...,  x _n do campo F tais que p ( x ) =  k ( x  -  x ₁ ) ( x  -  x ₂ ) ⋯ ( x  -  x _n ).

Se F tem essa propriedade, então claramente todo polinômio não constante em F [ x ] tem alguma raiz em F ; em outras palavras, F é fechado algebricamente. Por outro lado, que a propriedade declarada aqui é válida para F se F for algebricamente fechado, segue-se da propriedade anterior juntamente com o fato de que, para qualquer campo K , qualquer polinômio em K [ x ] pode ser escrito como um produto de polinômios irredutíveis .

Polinômios de primeiro grau têm raízes

Se cada polinômio sobre F de grau nobre tem uma raiz em F , então todo polinômio não constante tem uma raiz em F . Daqui resulta que um campo é algebricamente fechado se e somente se todos os polinomial sobre F de grau nobre tem uma raiz em F .

O campo não tem extensão algébrica adequada

O campo F é algebricamente fechado se e somente se não tiver extensão algébrica adequada .

Se F não tem extensão algébrica apropriada, seja p ( x ) algum polinômio irredutível em F [ x ]. Então, o quociente de F [ x ] módulo do ideal gerado por p ( x ) é uma extensão algébrica de F cujo grau é igual ao grau de p ( x ). Como não é uma extensão adequada, seu grau é 1 e, portanto, o grau de p ( x ) é 1.

Por outro lado, se F tem alguma extensão algébrica adequada K , então o polinômio mínimo de um elemento em K  \  F é irredutível e seu grau é maior que 1.

O campo não tem extensão finita adequada

O corpo F é algebricamente fechado se e somente se não tiver extensão finita apropriada, porque se, dentro da prova anterior , o termo "extensão algébrica" ​​for substituído pelo termo "extensão finita", então a prova ainda é válida. (Observe que as extensões finitas são necessariamente algébricas.)

Todo endomorfismo de F ⁿ tem algum autovetor

O campo F é algebricamente fechado se e somente se, para cada número natural n , cada mapa linear de F ⁿ em si mesmo tem algum autovetor .

Um endomorfismo de F ⁿ tem um autovetor se e somente se seu polinômio característico tem alguma raiz. Portanto, quando F é algebricamente fechado, todo endomorfismo de F ⁿ tem algum autovetor. Por outro lado, se todo endomorfismo de F ⁿ tem um autovetor, seja p ( x ) um elemento de F [ x ]. Dividindo por seu coeficiente líder, obtemos outro polinômio q ( x ) que tem raízes se e somente se p ( x ) tem raízes. Mas se q ( x ) =  x ⁿ  +  a _{n  - 1} x ^{n  - 1} + ⋯ +  a ₀ , então q ( x ) é o polinômio característico da matriz companheira n × n

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & \ cdots & 0 & -a_ {0} \\ 1 & 0 & \ cdots & 0 & -a_ {1} \\ 0 & 1 & \ cdots & 0 & -a_ {2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 1 & -a_ {n-1} \ end {pmatrix}}.}$

Decomposição de expressões racionais

O campo F é algebricamente fechado se e somente se cada função racional em uma variável x , com coeficientes em F , pode ser escrita como a soma de uma função polinomial com funções racionais da forma a / ( x  -  b ) ⁿ , onde n é um número natural, e um e b são elementos de F .

Se F é algebricamente fechado, então, uma vez que os polinômios irredutíveis em F [ x ] são todos de grau 1, a propriedade declarada acima é válida pelo teorema da decomposição da fração parcial .

Por outro lado, suponha que a propriedade dito acima vale para o campo F . Seja p ( x ) um elemento irredutível em F [ x ]. Então, a função racional 1 / p pode ser escrita como a soma de uma função polinomial q com funções racionais da forma a / ( x  -  b ) ⁿ . Portanto, a expressão racional

${\ displaystyle {\ frac {1} {p (x)}} - q (x) = {\ frac {1-p (x) q (x)} {p (x)}}}$

pode ser escrito como um quociente de dois polinômios em que o denominador é um produto de polinômios de primeiro grau. Como p ( x ) é irredutível, ele deve dividir esse produto e, portanto, também deve ser um polinômio de primeiro grau.

Polinômios relativamente primos e raízes

Para qualquer campo F , se dois polinômios p ( x ), q ( x ) ∈  F [ x ] são relativamente primos, então eles não têm uma raiz comum, pois se a  ∈  F era uma raiz comum, então  p ( x ) e   q ( x ) seriam ambos múltiplos de x  -  a e, portanto, não seriam relativamente primos. Os campos para os quais a implicação reversa é válida (ou seja, os campos de tal forma que, sempre que dois polinômios não têm raiz comum, eles são relativamente primos) são precisamente os campos algebricamente fechados.

Se o campo F é algebricamente fechado, sejam p ( x ) eq ( x ) dois polinômios que não são relativamente primos e seja r ( x ) seu maior divisor comum . Então, como r ( x ) não é constante, ele terá alguma raiz a , que será uma raiz comum de p ( x ) eq ( x ).

Se F não for algebricamente fechado, seja p ( x ) um polinômio cujo grau é pelo menos 1 sem raízes. Então, p ( x ) e p ( x ) não são relativamente primos, mas eles não têm raízes comuns (já que nenhum deles tem raízes).

Outras propriedades

Se F é um campo algébricamente fechado e n é um número natural, então F contém todas as n- ésimas raízes da unidade, porque essas são (por definição) os n (não necessariamente distintos) zeros do polinômio x ⁿ  - 1. Uma extensão de campo que está contido em uma extensão gerada pelas raízes da unidade é uma extensão ciclotômica , e a extensão de um campo gerado por todas as raízes da unidade é algumas vezes chamada de seu fechamento ciclotômico . Assim, os campos algebricamente fechados são ciclotomicamente fechados. O inverso não é verdadeiro. Mesmo assumindo que todo polinômio da forma x ⁿ  -  a se divide em fatores lineares, não é suficiente para garantir que o campo seja algebricamente fechado.

Se uma proposição que pode ser expressa na linguagem da lógica de primeira ordem é verdadeira para um campo algébricamente fechado, então ela é verdadeira para todo campo algébricamente fechado com a mesma característica . Além disso, se tal proposição é válida para um campo algébricamente fechado com característica 0, então não só é válida para todos os outros campos algébricamente fechados com característica 0, mas há algum número natural N tal que a proposição é válida para todo algebricamente fechado campo com característica  p quando p  >  N .

Todo campo F tem alguma extensão que é algebricamente fechada. Essa extensão é chamada de extensão algebraicamente fechada . Entre todas essas extensões, há uma e apenas uma ( até o isomorfismo , mas não o isomorfismo único ) que é uma extensão algébrica de F ; é chamado o fecho algébrico de F .

A teoria dos campos algebricamente fechados tem eliminação de quantificador .

Notas

Referências