corpo algebricamente fechado - Algebraically closed field


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Em álgebra resumo , um corpo algebricamente fechado F contém uma raiz para cada polinomial n constante em F [ x ], o anel de polinómios na variável X com coeficientes em F .

Exemplos

Como um exemplo, o campo de números reais não é algebricamente fechada, porque a equação polinomial x 2  + 1 = 0 não tem uma solução em números reais, apesar de todos os seus coeficientes (1 e 0) são reais. O mesmo argumento prova que não subcampo do campo real é algebricamente fechado; em particular, o campo de números racionais não é algebricamente fechado. Além disso, nenhum campo finito F é algebricamente fechado, porque se um 1 , um 2 , ..., um n são os elementos de F , em seguida, o polinomial ( x  -  uma 1 ) ( X  -  um 2 ) ··· ( x  -  um n ) + 1 não tem de zero em F . Por outro lado, o teorema fundamental da álgebra afirma que o campo de números complexos é algebricamente fechado. Um outro exemplo de um corpo algebricamente fechado é o campo de complexos () números algébricos .

propriedades equivalentes

Dado um campo F , a afirmação " F é algebricamente fechado" é equivalente a outras afirmações:

Os únicos polinômios irredutíveis são as de um grau

O campo F é algebricamente fechado, se e somente se as únicas polinómios irredutíveis no anel polinomial F [ x ] são os de grau um.

A afirmação "os polinômios de grau um é irredutível" é trivialmente verdadeiro para qualquer campo. Se F é algebricamente fechado e p ( x ) é um polinómio irredutível de F [ x ], então ele tem alguns raiz um e, por conseguinte, p ( x ) é um múltiplo de x  -  um . Uma vez que p ( x ) é irredutível, isto significa que o p ( x ) =  K ( x  -  um ), para alguns k  ∈  F  \ {0}. Por outro lado, se a F não é algebricamente fechado, então há alguns não constante polinómio p ( x ) em F [ x ] sem raízes em F . Vamos q ( x ) ser algum fator irredutível de p ( x ). Uma vez que p ( x ) não tem raízes em F , q ( x ) também não tem raízes em F . Portanto, q ( x ) tem um grau maior do que um, uma vez que cada primeiro grau polinomial tem uma raiz em F .

Cada polinomial é um produto de primeira polinômios grau

O campo F é algebricamente fechado, se e somente se cada polinómio p ( x ) de grau n  ≥ 1, com coeficientes em F , divide-se em factores lineares . Em outras palavras, existem elementos kx 1x 2 , ...,  x n do campo F de tal modo que p ( x ) =  K ( x  -  x 1 ) ( x  -  x 2 ) ··· ( x  -  x n ).

Se F tem essa propriedade, então é claro que todo polinômio não constante na F [ x ] tem alguma raiz em F ; em outras palavras, F é algebricamente fechado. Por outro lado, que a propriedade declarado aqui vale para F se F é algebricamente fechado decorre da propriedade anterior, juntamente com o fato de que, para qualquer campo K , qualquer polinômio em K [ x ] pode ser escrito como um produto de polinômios irredutíveis .

Polinômios de grau nobre têm raízes

J. Shipman mostraram em 2007 que, se cada sobre polinomial F de grau nobre tem uma raiz em F , então cada polinómio não constante tem uma raiz em F , assim F é algebricamente fechado.

O campo não tem extensão algébrica adequada

O campo F é algebricamente fechado, se e somente se não tiver adequada extensão algébrica .

Se F não tem extensão algébrica apropriado, deixe p ( x ) ser algum polinômio irredutível na F [ x ]. Em seguida, o quociente de F [ x ] o módulo ideal gerado por p ( x ) é uma extensão algébrica de F cujo grau é igual ao grau de p ( x ). Como não é uma extensão adequada, o seu grau é 1 e, portanto, o grau de p ( x ) é 1.

Por outro lado, se F tem algum adequada algébrica extensão K , então o polinômio mínimo de um elemento em K  \  F é irredutível e seu grau é maior do que 1.

O campo não tem extensão finita adequada

O campo F é algebricamente fechado se e somente se ele não tem finito extensão algébrica , porque se, dentro da prova anterior , a palavra "algébrica" é substituída pela palavra "finito", então a prova ainda é válida.

Cada endomorphism de F n tem algum eigenvector

O campo F é algebricamente fechado se e apenas se, para cada número natural n , cada mapa linear de F n em si tem algum vector próprio .

Um endomorfismo de F n tem um vector próprio, se e apenas se a sua polinomial característica tem alguns raiz. Portanto, quando M é algebricamente fechado, cada endomorfismo de F n tem algum vector próprio. Por outro lado, se cada endomorfismo de F n tem um vector próprio, deixe p ( x ) ser um elemento de F [ x ]. Dividindo por seu coeficiente líder, temos outro polinômio q ( x ), que tem raízes se e somente se p ( x ) tem raízes. Mas se q ( x ) =  x n  +  um n  - 1 x n  - 1 + + ···  um 0 , então q ( x ) é o polinómio característico do nxn matriz companheiro

Decomposição de expressões racionais

O campo F é algebricamente fechado, se e apenas se cada função racional em uma variável X , com coeficientes em F , pode ser escrita como a soma de uma função polinomial com funções racionais da forma um / ( x  -  b ) n , onde n é um número natural, e um e b são elementos de F .

Se F é algebricamente fechado em seguida, uma vez que os polinómios irredutíveis em F [ x ] são todos de grau 1, a propriedade acima referido prende pelo teorema em frações parciais .

Por outro lado, suponha que a propriedade dito acima vale para o campo F . Deixe p ( x ) ser um elemento irredutível em F [ x ]. Em seguida, o racional função 1 / P pode ser escrita como a soma de uma função polinomial q com funções racionais da forma um / ( x  -  b ) n . Portanto, a expressão racional

pode ser escrita como um quociente de dois polinómios na qual o denominador é um produto de primeiros polinómios de grau. Uma vez que p ( x ) é irredutível, deve dividir este produto e, por conseguinte, deve ser também um primeiro polinómio de grau.

polinômios relativamente primos e raízes

Para qualquer campo F , se dois polinômios p ( x ), q ( x ) ∈  F [ x ] são relativamente primos , em seguida, eles não têm uma raiz comum, pois se a  ∈  F era uma raiz comum, em seguida,  p ( x ) e   q ( x ) ambos seriam múltiplos de x  -  um e, portanto, eles não seriam relativamente primos. Os campos para os quais a implicação inverso aplica-se (isto é, os campos tais que, quando dois polinómios não têm raiz comum, em seguida, eles são relativamente primos) são precisamente os campos algebricamente fechados.

Se o campo F é algebricamente fechado, deixe p ( x ) e q ( x ) ser dois polinômios que não são primos entre si e permitem r ( x ) ser o seu maior divisor comum . Então, uma vez que r ( x ) não é constante, isso terá algum raiz um , que será, em seguida, uma raiz comum de p ( x ) e q ( x ).

Se F não é algebricamente fechado, deixe p ( x ) ser um polinómio cujo grau é, pelo menos, um sem raízes. Em seguida, p ( x ) e p ( x ) não são primos entre si, mas eles não têm raízes comuns (uma vez que nenhum deles tem raízes).

outras propriedades

Se F é um corpo algebricamente fechado e n é um número natural, então F contém todos n th raízes da unidade, porque estes são (por definição) do n (não necessariamente distintos) zeros do polinómio x n  - 1. Uma extensão campo que está contido em uma extensão gerada pelas raízes da unidade é uma extensão CYCLOTOMIC , e a extensão de um campo gerado por todas as raízes da unidade é às vezes chamado de seu fechamento CYCLOTOMIC . Assim campos algebricamente fechados são cyclotomically fechada. O inverso não é verdadeiro. Mesmo assumindo que cada polinomial da forma x n  -  a se divide em factores lineares não é suficiente para assegurar que o campo é algebricamente fechado.

Se uma proposição que pode ser expressa na linguagem da lógica de primeira ordem é verdade para um corpo algebricamente fechado, então é verdade para cada corpo algebricamente fechado com a mesma característica . Além disso, se tal proposição é válida para um corpo algebricamente fechado com característica 0, então não só é válido para todos os outros corpos algebricamente fechados com característica 0, mas existe algum número natural N tal que a proposição é válida para todos os algebricamente fechado campo com característica  p quando p  >  N .

Cada campo F tem alguma extensão que é algebricamente fechado. Essa extensão é chamada de extensão algebricamente fechado . Entre todas essas extensões existe um e apenas um ( até isomorfismo , mas não isomorfismo único ), que é uma extensão algébrica de F ; é chamado o fecho algébrico de F .

A teoria do corpo algebricamente fechado tem eliminação de quantificadores .

Notas

Referências

  • Barwise, Jon (1978), "Uma introdução a lógica de primeira ordem", em Barwise, Jon, Handbook of Mathematical Logic , Estudos em Lógica e os Fundamentos da Matemática, Holanda do Norte, ISBN  0-7204-2285-X
  • Lang, Serge (2002), álgebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Revisto terceira ed.), Nova Iorque: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4 , MR  1.878.556
  • Shipman, Joseph (2007), "Melhorar o teorema fundamental da álgebra", Mathematical Intelligencer , 29 (4), pp 9-14,. Doi : 10,1007 / BF02986170 , ISSN  0343-6993
  • van der Waerden, Bartel Leendert (2003), álgebra , Eu (7a ed.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-40624-7