Mapa multilinear - Multilinear map

Na álgebra linear , um mapa multilinear é uma função de várias variáveis que são lineares separadamente em cada variável. Mais precisamente, um mapa multilinear é uma função

{\ displaystyle f \ dois pontos V_ {1} \ times \ cdots \ times V_ {n} \ para W {\ text {,}}}

onde e são espaços vetoriais (ou módulos sobre um anel comutativo ), com a seguinte propriedade: para cada um , se todas as variáveis forem mantidas constantes, então é uma função linear de . ${\ displaystyle V_ {1}, \ ldots, V_ {n}}$ ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle v_ {i}}$ ${\ displaystyle f (v_ {1}, \ ldots v_ {i}, \ ldots v_ {n})}$ ${\ displaystyle v_ {i}}$

Um mapa multilinear de uma variável é um mapa linear e de duas variáveis é um mapa bilinear . Mais geralmente, um mapa multilinear de variáveis k é chamado de mapa linear k . Se o codomínio de um mapa multilinear é o campo dos escalares , ele é chamado de forma multilinear . Mapas multilineares e formas multilineares são objetos fundamentais de estudo em álgebra multilinear .

Se todas as variáveis pertencem ao mesmo espaço, pode-se considerar mapas k- lineares simétricos , antisimétricos e alternados . Os últimos coincidem se o anel (ou campo ) subjacente tem uma característica diferente de dois, caso contrário, os dois primeiros coincidem.

Exemplos

Qualquer mapa bilinear é um mapa multilinear. Por exemplo, qualquer produto interno em um espaço vetorial é um mapa multilinear, assim como o produto vetorial dos vetores em . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$
O determinante de uma matriz é uma função multilinear alternada das colunas (ou linhas) de uma matriz quadrada .
Se for uma função C ^k , então a derivada de cada ponto em seu domínio pode ser vista como uma função linear simétrica . ${\ displaystyle F \ colon \ mathbb {R} ^ {m} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle k \!}$ ${\ displaystyle F \!}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle D ^ {k} \! F \ dois pontos \ mathbb {R} ^ {m} \ times \ cdots \ times \ mathbb {R} ^ {m} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$

Representação coordenada

Deixar

{\ displaystyle f \ dois pontos V_ {1} \ times \ cdots \ times V_ {n} \ para W {\ text {,}}}

ser um mapa multilinear entre espaços vetoriais de dimensão finita, onde tem dimensão e tem dimensão . Se escolhermos uma base para cada e uma base para (usando negrito para vetores), então podemos definir uma coleção de escalares por ${\ displaystyle V_ {i} \!}$ ${\ displaystyle d_ {i} \!}$ ${\ displaystyle W \!}$ ${\ displaystyle d \!}$ ${\ displaystyle \ {{\ textbf {e}} _ {i1}, \ ldots, {\ textbf {e}} _ {id_ {i}} \}}$ ${\ displaystyle V_ {i} \!}$ ${\ displaystyle \ {{\ textbf {b}} _ {1}, \ ldots, {\ textbf {b}} _ {d} \}}$ ${\ displaystyle W \!}$ ${\ displaystyle A_ {j_ {1} \ cdots j_ {n}} ^ {k}}$

{\ displaystyle f ({\ textbf {e}} _ {1j_ {1}}, \ ldots, {\ textbf {e}} _ {nj_ {n}}) = A_ {j_ {1} \ cdots j_ {n }} ^ {1} \, {\ textbf {b}} _ {1} + \ cdots + A_ {j_ {1} \ cdots j_ {n}} ^ {d} \, {\ textbf {b}} _ {d}.}

Então, os escalares determinam completamente a função multilinear . Em particular, se ${\ displaystyle \ {A_ {j_ {1} \ cdots j_ {n}} ^ {k} \ mid 1 \ leq j_ {i} \ leq d_ {i}, 1 \ leq k \ leq d \}}$ ${\ displaystyle f \!}$

{\ displaystyle {\ textbf {v}} _ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {d_ {i}} v_ {ij} {\ textbf {e}} _ {ij} \!}

para , então ${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq n \!}$

{\ displaystyle f ({\ textbf {v}} _ {1}, \ ldots, {\ textbf {v}} _ {n}) = \ sum _ {j_ {1} = 1} ^ {d_ {1} } \ cdots \ sum _ {j_ {n} = 1} ^ {d_ {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {d} A_ {j_ {1} \ cdots j_ {n}} ^ {k} v_ {1j_ {1}} \ cdots v_ {nj_ {n}} {\ textbf {b}} _ {k}.}

Exemplo

Vamos dar uma função trilinear

{\ displaystyle g \ dois pontos R ^ {2} \ times R ^ {2} \ times R ^ {2} \ para R,}

onde $V i = R 2, d i = 2, i = 1,2,3$ e $W = R, d = 1$ .

Uma base para cada $V i$ é Let ${\ displaystyle \ {{\ textbf {e}} _ {i1}, \ ldots, {\ textbf {e}} _ {id_ {i}} \} = \ {{\ textbf {e}} _ {1} , {\ textbf {e}} _ {2} \} = \ {(1,0), (0,1) \}.}$

{\ displaystyle g ({\ textbf {e}} _ {1i}, {\ textbf {e}} _ {2j}, {\ textbf {e}} _ {3k}) = f ({\ textbf {e} } _ {i}, {\ textbf {e}} _ {j}, {\ textbf {e}} _ {k}) = A_ {ijk},}

onde . Em outras palavras, a constante é um valor de função em um dos oito possíveis triplos de vetores de base (uma vez que existem duas opções para cada um dos três ), a saber: ${\ displaystyle i, j, k \ in \ {1,2 \}}$ ${\ displaystyle A_ {ijk}}$ ${\ displaystyle V_ {i}}$

{\ displaystyle \ {{\ textbf {e}} _ {1}, {\ textbf {e}} _ {1}, {\ textbf {e}} _ {1} \}, \ {{\ textbf {e }} _ {1}, {\ textbf {e}} _ {1}, {\ textbf {e}} _ {2} \}, \ {{\ textbf {e}} _ {1}, {\ textbf {e}} _ {2}, {\ textbf {e}} _ {1} \}, \ {{\ textbf {e}} _ {1}, {\ textbf {e}} _ {2}, { \ textbf {e}} _ {2} \}, \ {{\ textbf {e}} _ {2}, {\ textbf {e}} _ {1}, {\ textbf {e}} _ {1} \}, \ {{\ textbf {e}} _ {2}, {\ textbf {e}} _ {1}, {\ textbf {e}} _ {2} \}, \ {{\ textbf {e }} _ {2}, {\ textbf {e}} _ {2}, {\ textbf {e}} _ {1} \}, \ {{\ textbf {e}} _ {2}, {\ textbf {e}} _ {2}, {\ textbf {e}} _ {2} \}.}

Cada vetor pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores de base ${\ displaystyle {\ textbf {v}} _ {i} \ in V_ {i} = R ^ {2}}$

{\ displaystyle {\ textbf {v}} _ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {2} v_ {ij} {\ textbf {e}} _ {ij} = v_ {i1} \ times { \ textbf {e}} _ {1} + v_ {i2} \ times {\ textbf {e}} _ {2} = v_ {i1} \ times (1,0) + v_ {i2} \ times (0, 1).}

O valor da função em uma coleção arbitrária de três vetores pode ser expresso como ${\ displaystyle {\ textbf {v}} _ {i} \ in R ^ {2}}$

{\ displaystyle g ({\ textbf {v}} _ {1}, {\ textbf {v}} _ {2}, {\ textbf {v}} _ {3}) = \ sum _ {i = 1} ^ {2} \ sum _ {j = 1} ^ {2} \ sum _ {k = 1} ^ {2} A_ {ijk} v_ {1i} v_ {2j} v_ {3k}.}

Ou, em forma expandida como

{\ displaystyle {\ begin {align} g ((a, b), (c, d) &, (e, f)) = ace \ times g ({\ textbf {e}} _ {1}, {\ textbf {e}} _ {1}, {\ textbf {e}} _ {1}) + acf \ times g ({\ textbf {e}} _ {1}, {\ textbf {e}} _ {1 }, {\ textbf {e}} _ {2}) \\ & + ade \ times g ({\ textbf {e}} _ {1}, {\ textbf {e}} _ {2}, {\ textbf {e}} _ {1}) + adf \ times g ({\ textbf {e}} _ {1}, {\ textbf {e}} _ {2}, {\ textbf {e}} _ {2} ) + bce \ times g ({\ textbf {e}} _ {2}, {\ textbf {e}} _ {1}, {\ textbf {e}} _ {1}) + bcf \ times g ({ \ textbf {e}} _ {2}, {\ textbf {e}} _ {1}, {\ textbf {e}} _ {2}) \\ & + bde \ times g ({\ textbf {e} } _ {2}, {\ textbf {e}} _ {2}, {\ textbf {e}} _ {1}) + bdf \ times g ({\ textbf {e}} _ {2}, {\ textbf {e}} _ {2}, {\ textbf {e}} _ {2}). \ end {alinhado}}}

Relação com produtos tensores

Existe uma correspondência natural um a um entre mapas multilineares

{\ displaystyle f \ dois pontos V_ {1} \ times \ cdots \ times V_ {n} \ para W {\ text {,}}}

e mapas lineares

{\ displaystyle F \ colon V_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes V_ {n} \ to W {\ text {,}}}

onde denota o produto tensorial de . A relação entre as funções e é dada pela fórmula ${\ displaystyle V_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes V_ {n} \!}$ ${\ displaystyle V_ {1}, \ ldots, V_ {n}}$ ${\ displaystyle f \!}$ ${\ displaystyle F \!}$

{\ displaystyle f (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) = F (v_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {n}).}

Funções multilineares no n × n matrizes

Pode-se considerar funções multilineales, em um $n \times n$ matriz ao longo de um anel conmutativo $K$ com identidade, como uma função das linhas (ou equivalentemente as colunas) da matriz. Deixe $Um$ ser uma tal matriz e $um i, 1 \leq i \leq n$ , ser as linhas de $um$ . Então, a função multilinear $D$ pode ser escrita como

{\ displaystyle D (A) = D (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}),}

satisfatório

{\ displaystyle D (a_ {1}, \ ldots, ca_ {i} + a_ {i} ', \ ldots, a_ {n}) = cD (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ ldots , a_ {n}) + D (a_ {1}, \ ldots, a_ {i} ', \ ldots, a_ {n}).}

Se deixarmos representar a $j$ ésima linha da matriz de identidade, podemos expressar cada linha $a$ $i$ como a soma ${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {j}}$

{\ displaystyle a_ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} A (i, j) {\ hat {e}} _ {j}.}

Usando a multilinearidade de $D$ , reescrevemos $D (A)$ como

{\ displaystyle D (A) = D \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} A (1, j) {\ hat {e}} _ {j}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n} \ right) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} A (1, j) D ({\ hat {e}} _ {j}, a_ {2}, \ ldots, a_ { n}).}

Continuando esta substituição para cada $a i$ obtemos, para $1 \leq i \leq n$ ,

{\ displaystyle D (A) = \ sum _ {1 \ leq k_ {i} \ leq n} A (1, k_ {1}) A (2, k_ {2}) \ pontos A (n, k_ {n }) D ({\ hat {e}} _ {k_ {1}}, \ dots, {\ hat {e}} _ {k_ {n}}),}

onde, uma vez que em nosso caso $1 \leq i \leq n$ ,

{\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq k_ {i} \ leq n} = \ sum _ {1 \ leq k_ {1} \ leq n} \ ldots \ sum _ {1 \ leq k_ {i} \ leq n } \ ldots \ sum _ {1 \ leq k_ {n} \ leq n}}

é uma série de somatórios aninhados.

Portanto, $D (A)$ é determinado exclusivamente por como $D$ opera . ${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {k_ {1}}, \ dots, {\ hat {e}} _ {k_ {n}}}$

Exemplo

No caso de matrizes 2 × 2, obtemos

{\ displaystyle D (A) = A_ {1,1} A_ {2,1} D ({\ hat {e}} _ {1}, {\ hat {e}} _ {1}) + A_ {1 , 1} A_ {2,2} D ({\ hat {e}} _ {1}, {\ hat {e}} _ {2}) + A_ {1,2} A_ {2,1} D ( {\ hat {e}} _ {2}, {\ hat {e}} _ {1}) + A_ {1,2} A_ {2,2} D ({\ hat {e}} _ {2} , {\ hat {e}} _ {2}) \,}

Onde e . Se nos restringirmos a ser uma função alternada, então e . Deixando que obtenhamos a função determinante em matrizes 2 × 2: ${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {1} = [1,0]}$ ${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {2} = [0,1]}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle D ({\ hat {e}} _ {1}, {\ hat {e}} _ {1}) = D ({\ hat {e}} _ {2}, {\ hat {e} } _ {2}) = 0}$ ${\ displaystyle D ({\ hat {e}} _ {2}, {\ hat {e}} _ {1}) = - D ({\ hat {e}} _ {1}, {\ hat {e }} _ {2}) = - D (I)}$ ${\ displaystyle D (I) = 1}$