Grupo Abeliano - Abelian group

Estrutura algébrica → Teoria de grupos Teoria de grupos
Noções básicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo de quociente Produto (semi) direto Homomorfismos de grupo núcleo imagem soma direta produto de grinalda simples finito infinito contínuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diédrico nilpotente solucionável açao Glossário da teoria dos grupos Lista de tópicos de teoria de grupo
Grupos finitos Classificação de grupos finitos simples cíclico alternando Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de Lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall p-grupo Grupo abeliano elementar Grupo Frobenius Multiplicador Schur Grupo simétrico S n Klein quatro grupos V Grupo diédrico D n Quaternion grupo Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Treliças Inteiros ( )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo livre Grupos modulares PSL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo aritmético Malha Grupo hiperbólico
Grupos topológicos e de Lie Solenóide Círculo GL linear geral ( n ) SL linear especial ( n ) Ortogonal O ( n ) E Euclidiano ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitária U ( n ) SU unitário especial ( n ) Sp simplético ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difeomorfismo Ciclo Grupo de Lie dimensional infinito O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algébricos Grupo algébrico linear Grupo redutor Variedade abeliana Curva elíptica
v t e

Em matemática , um grupo abeliano , também chamado de grupo comutativo , é um grupo no qual o resultado da aplicação da operação de grupo a dois elementos de grupo não depende da ordem em que foram escritos. Ou seja, a operação do grupo é comutativa . Com a adição como uma operação, os inteiros e os números reais formam grupos abelianos, e o conceito de grupo abeliano pode ser visto como uma generalização desses exemplos. Os grupos abelianos foram nomeados em homenagem ao matemático Niels Henrik Abel do início do século XIX .

O conceito de grupo abeliano é a base de muitas estruturas algébricas fundamentais , como campos , anéis , espaços vetoriais e álgebras . A teoria dos grupos abelianos é geralmente mais simples do que a de suas contrapartes não abelianas , e os grupos abelianos finitos são muito bem compreendidos e totalmente classificados .

Estruturas algébricas
grupo -como Grupo Semigrupo  / Monóide Rack e quandle Quasigroup e loop Grupo abeliano Magma Grupo de mentiras Teoria do grupo
Semelhante a um anel Anel Rng Semiring Quase-anel Anel comutativo Domínio integral Campo Anel de divisão Teoria do anel
Semelhante a uma treliça Malha Semilattice Malha complementada Ordem total Álgebra Heyting álgebra booleana Mapa de treliças Teoria da Malha
Módulo- like Módulo Grupo com operadoras Espaço vetorial Álgebra Linear
álgebra -como Álgebra Associativo Não associativo Álgebra de composição Álgebra de mentira Classificado Bialgebra
v t e

Definição

Estruturas semelhantes a grupos
	Totalidade	Associatividade	Identidade	Invertibilidade	Comutatividade
Semigroupoide	Desnecessário	Obrigatório	Desnecessário	Desnecessário	Desnecessário
Categoria Pequena	Desnecessário	Obrigatório	Obrigatório	Desnecessário	Desnecessário
Groupoid	Desnecessário	Obrigatório	Obrigatório	Obrigatório	Desnecessário
Magma	Obrigatório	Desnecessário	Desnecessário	Desnecessário	Desnecessário
Quasigroup	Obrigatório	Desnecessário	Desnecessário	Obrigatório	Desnecessário
Magma Unital	Obrigatório	Desnecessário	Obrigatório	Desnecessário	Desnecessário
Ciclo	Obrigatório	Desnecessário	Obrigatório	Obrigatório	Desnecessário
Semigrupo	Obrigatório	Obrigatório	Desnecessário	Desnecessário	Desnecessário
Semigrupo Inverso	Obrigatório	Obrigatório	Desnecessário	Obrigatório	Desnecessário
Monóide	Obrigatório	Obrigatório	Obrigatório	Desnecessário	Desnecessário
Monóide comutativo	Obrigatório	Obrigatório	Obrigatório	Desnecessário	Obrigatório
Grupo	Obrigatório	Obrigatório	Obrigatório	Obrigatório	Desnecessário
Grupo abeliano	Obrigatório	Obrigatório	Obrigatório	Obrigatório	Obrigatório
^ α Fechamento, que é usado em muitas fontes, é um axioma equivalente à totalidade, embora definido de forma diferente.

Um grupo abeliano é um conjunto , , em conjunto com uma operação que combina quaisquer dois elementos e de , para formar um outro elemento de denotado . O símbolo é um espaço reservado geral para uma operação concreta. Para se qualificar como um grupo abeliano, o conjunto e a operação , devem satisfazer cinco requisitos conhecidos como axiomas de grupo abeliano : ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ cdot}$ ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A,}$${\ displaystyle a \ cdot b}$${\ displaystyle \ cdot}$${\ displaystyle (A, \ cdot)}$

Fecho

Para todos , em , o resultado da operação também está em .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle a \ cdot b}$${\ displaystyle A}$

Associatividade

Para todos , e em , a equação é válida.${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c)}$

Elemento de identidade

Existe um elemento em , de modo que para todos os elementos em , a equação é válida.${\ displaystyle e}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle e \ cdot a = a \ cdot e = a}$

Elemento inverso

Para cada em que existe um elemento em tais que , onde é o elemento de identidade.${\ displaystyle a}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle a \ cdot b = b \ cdot a = e}$${\ displaystyle e}$

Comutatividade

Para todos , em , .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle a \ cdot b = b \ cdot a}$

Um grupo em que a operação do grupo não é comutativa é denominado "grupo não abeliano" ou "grupo não comutativo".

Fatos

Notação

Existem duas convenções notacionais principais para grupos abelianos - aditivos e multiplicativos.

Convenção	Operação	Identidade	Poderes	Inverso
Adição	${\ displaystyle x + y}$	0	${\ displaystyle nx}$	${\ displaystyle -x}$
Multiplicação	${\ displaystyle x \ cdot y}$ ou ${\ displaystyle xy}$	1	${\ displaystyle x ^ {n}}$	${\ displaystyle x ^ {- 1}}$

Geralmente, a notação multiplicativa é a notação usual para grupos, enquanto a notação aditiva é a notação usual para módulos e anéis . A notação aditiva também pode ser usada para enfatizar que um determinado grupo é abeliano, sempre que grupos abelianos e não abelianos são considerados, algumas exceções notáveis ​​sendo grupos próximos e parcialmente ordenados , onde uma operação é escrita aditivamente, mesmo quando não abelianos .

Tabela de multiplicação

Para verificar se um grupo finito é abeliano, uma tabela (matriz) - conhecida como tabela de Cayley - pode ser construída de forma semelhante a uma tabela de multiplicação . Se o grupo estiver sob a operação , a -ésima entrada desta tabela conterá o produto . ${\ displaystyle G = \ {g_ {1} = e, g_ {2}, \ dots, g_ {n} \}}$${\ displaystyle \ cdot}$${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle g_ {i} \ cdot g_ {j}}$

O grupo é abeliano se e somente se esta tabela for simétrica em relação à diagonal principal. Isso é verdade, pois o grupo é abeliano sse para todos , que é sse a entrada da tabela é igual à entrada para todos , ou seja, a tabela é simétrica em relação à diagonal principal. ${\ displaystyle g_ {i} \ cdot g_ {j} = g_ {j} \ cdot g_ {i}}$${\ displaystyle i, j = 1, ..., n}$${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle (j, i)}$${\ displaystyle i, j = 1, ..., n}$

Exemplos

• Para os números inteiros e a operação de adição , indicadas , a operação + combina quaisquer dois números inteiros de modo a formar um terceiro número inteiro, a adição é associativa, zero é a identidade aditivo , cada número inteiro tem um aditivo inversa , e a operação de adição é conmutativo uma vez que para qualquer dois inteiros e .${\ displaystyle +}$${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, +)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle -n}$${\ displaystyle n + m = m + n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$
• Todo grupo cíclico é abeliano, porque se , estiver em , então . Assim, os números inteiros , , formam um grupo abeliano sob adição, como o fazem os inteiros módulo , .${\ displaystyle G}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle xy = a ^ {m} a ^ {n} = a ^ {m + n} = a ^ {n} a ^ {m} = yx}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$
• Cada anel é um grupo abeliano no que diz respeito à sua operação de adição. Em um anel comutativo, os elementos invertíveis, ou unidades , formam um grupo multiplicativo abeliano . Em particular, os números reais são um grupo abeliano sob adição, e os números reais diferentes de zero são um grupo abeliano sob multiplicação.
• Cada subgrupo de um grupo abeliano é normal , então cada subgrupo dá origem a um grupo quociente . Subgrupos, quocientes e somas diretas de grupos abelianos são novamente abelianos. Os grupos abelianos finitos simples são exatamente os grupos cíclicos de ordem primária .
• Os conceitos de grupo abeliano e - módulo concordam. Mais especificamente, todo -módulo é um grupo abeliano com sua operação de adição, e todo grupo abeliano é um módulo sobre o anel de inteiros de uma maneira única.${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Em geral, matrizes , mesmo matrizes invertíveis, não formam um grupo abeliano sob multiplicação porque a multiplicação de matrizes geralmente não é comutativa. No entanto, alguns grupos de matrizes são grupos abelianos sob multiplicação de matrizes - um exemplo é o grupo de matrizes de rotação . ${\ displaystyle 2 \ vezes 2}$

Observações históricas

Camille Jordan nomeou grupos abelianos em homenagem ao matemático norueguês Niels Henrik Abel , porque Abel descobriu que a comutatividade do grupo de um polinômio implica que as raízes do polinômio podem ser calculadas usando radicais .

Propriedades

Se é um número natural e é um elemento de um grupo abeliano escrito aditivamente, então pode ser definido como ( somamands) e . Desta forma, torna-se um módulo sobre o anel de inteiros. Na verdade, os módulos acabados podem ser identificados com os grupos abelianos. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle nx}$${\ displaystyle x + x + \ cdots + x}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (-n) x = - (nx)}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Teoremas sobre grupos abelianos (ou seja, módulos sobre o domínio ideal principal ) podem frequentemente ser generalizados para teoremas sobre módulos sobre um domínio ideal principal arbitrário. Um exemplo típico é a classificação de grupos abelianos gerados finitamente, que é uma especialização do teorema de estrutura para módulos gerados finitamente sobre um domínio ideal principal . No caso de grupos abelianos finitamente gerados, este teorema garante que um grupo abeliano se divide como uma soma direta de um grupo de torção e um grupo abeliano livre . O primeiro pode ser escrito como uma soma direta de grupos finitos da forma de primo, e o último é uma soma direta de muitas cópias finitas de . ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {k} \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Se houver homomorfismos de dois grupos entre grupos abelianos, então sua soma , definida por , é novamente um homomorfismo. (Isso não é verdade se for um grupo não abeliano.) O conjunto de todos os homomorfismos de grupo de a é, portanto, um grupo abeliano por direito próprio. ${\ displaystyle f, g: G \ a H}$${\ displaystyle f + g}$${\ displaystyle (f + g) (x) = f (x) + g (x)}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle {\ text {Hom}} (G, H)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$

Um tanto parecido com a dimensão dos espaços vetoriais , todo grupo abeliano tem uma classificação . É definida como a cardinalidade máxima de um conjunto de elementos linearmente independentes (sobre os inteiros) do grupo. Os grupos abelianos finitos e os grupos de torção têm classificação zero, e cada grupo abeliano de classificação zero é um grupo de torção. Os inteiros e os números racionais têm classificação um, assim como todo subgrupo aditivo diferente de zero dos racionais. Por outro lado, o grupo multiplicativo dos racionais não nulos tem um posto infinito, pois é um grupo abeliano livre com o conjunto dos números primos como base (isso resulta do teorema fundamental da aritmética ).

O centro de um grupo é o conjunto de elementos que comutam com cada elemento de . Um grupo é abeliano se e somente se for igual ao seu centro . O centro de um grupo é sempre um subgrupo abeliano característico de . Se o grupo quociente de um grupo por seu centro é cíclico, então é abeliano. ${\ displaystyle Z (G)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle Z (G)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G / Z (G)}$${\ displaystyle G}$

Grupos abelianos finitos

Grupos cíclicos de inteiros módulo${\ displaystyle n}$ , , estavam entre os primeiros exemplos de grupos. Acontece que um grupo abeliano finito arbitrário é isomórfico a uma soma direta de grupos cíclicos finitos de ordem de potência primária, e essas ordens são exclusivamente determinadas, formando um sistema completo de invariantes. O grupo de automorfismo de um grupo abeliano finito pode ser descrito diretamente em termos desses invariantes. A teoria foi desenvolvida pela primeira vez no artigo de 1879 de Georg Frobenius e Ludwig Stickelberger e mais tarde foi simplificada e generalizada para módulos gerados finitamente sobre um domínio ideal principal, formando um capítulo importante da álgebra linear . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$

Qualquer grupo de ordem primária é isomorfo a um grupo cíclico e, portanto, abeliano. Qualquer grupo cuja ordem seja um quadrado de um número primo também é abeliano. Na verdade, para cada número primo existem (até o isomorfismo) exatamente dois grupos de ordem , a saber e . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p ^ {2}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} \ times \ mathbb {Z} _ {p}}$

Classificação

O teorema fundamental de grupos abelianos finitos afirma que todo grupo abeliano finito pode ser expresso como a soma direta de subgrupos cíclicos de ordem de potência primária ; também é conhecido como o teorema da base para grupos abelianos finitos . Além disso, grupos de automorfismo de grupos cíclicos são exemplos de grupos abelianos. Isso é generalizado pelo teorema fundamental de grupos abelianos finitamente gerados , com grupos finitos sendo o caso especial quando G tem classificação zero ; isso, por sua vez, admite inúmeras outras generalizações. ${\ displaystyle G}$

A classificação foi comprovada por Leopold Kronecker em 1870, embora não tenha sido declarada em termos da teoria de grupo moderna até mais tarde, e foi precedida por uma classificação semelhante de formas quadráticas por Carl Friedrich Gauss em 1801; veja a história para detalhes.

O grupo cíclico de ordem é isomórfico à soma direta de e se e somente se e são coprimos . Segue-se que qualquer grupo abeliano finito é isomórfico a uma soma direta da forma ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {mn}}$${\ displaystyle mn}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {m}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {n}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ bigoplus _ {i = 1} ^ {u} \ \ mathbb {Z} _ {k_ {i}}}$

em uma das seguintes formas canônicas:

• os números são potências de primos (não necessariamente distintos),${\ displaystyle k_ {1}, k_ {2}, \ dots, k_ {u}}$
• ou divide , que divide , e assim por diante até .${\ displaystyle k_ {1}}$ ${\ displaystyle k_ {2}}$${\ displaystyle k_ {3}}$${\ displaystyle k_ {u}}$

Por exemplo, pode ser expressa como a soma directa de dois subgrupos cíclicos de ordem 3 e 5: . O mesmo pode ser dito para qualquer grupo abeliano de ordem 15, levando à notável conclusão de que todos os grupos abelianos de ordem 15 são isomórficos . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {15}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {15} \ cong \ {0,5,10 \} \ oplus \ {0,3,6,9,12 \}}$

Para outro exemplo, cada grupo abeliano de ordem 8 é isomórfico a (os inteiros de 0 a 7 no módulo de adição 8), (os inteiros ímpares de 1 a 15 no módulo de multiplicação 16) ou . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {8}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {4} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2}}$

Veja também a lista de pequenos grupos para grupos abelianos finitos de ordem 30 ou menos.

Automorfismos

Pode-se aplicar o teorema fundamental para contar (e às vezes determinar) os automorfismos de um determinado grupo abeliano finito . Para fazer isso, usa-se o fato de que se divide como uma soma direta dos subgrupos da ordem do coprime , então ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H \ oplus K}$

${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (H \ oplus K) \ cong \ operatorname {Aut} (H) \ oplus \ operatorname {Aut} (K).}$

Dado isso, o teorema fundamental mostra que para calcular o grupo de automorfismo dele é suficiente calcular os grupos de automorfismo dos subgrupos de Sylow separadamente (ou seja, todas as somas diretas de subgrupos cíclicos, cada um com ordem uma potência de ). Fixe um primo e suponha que os expoentes dos fatores cíclicos do subgrupo de Sylow estão dispostos em ordem crescente: ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle e_ {1} \ leq e_ {2} \ leq \ cdots \ leq e_ {n}}$

para alguns . É preciso encontrar os automorfismos de ${\ displaystyle n> 0}$

${\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {p ^ {e_ {1}}} \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbf {Z} _ {p ^ {e_ {n}}}.}$

Um caso especial é quando , de modo que não é apenas um fator de energia privilegiada cíclica na Sylow -subgrupo . Neste caso, a teoria dos automorfismos de um grupo cíclico finito pode ser usada. Outro caso especial é quando é arbitrário, mas para . Aqui, alguém está considerando ser da forma ${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle e_ {i} = 1}$${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq n}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {p} \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbf {Z} _ {p},}$

portanto, os elementos deste subgrupo podem ser vistos como compreendendo um espaço vetorial de dimensão sobre o campo finito de elementos . Os automorfismos deste subgrupo são, portanto, dados pelas transformações lineares invertíveis, então ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (P) \ cong \ mathrm {GL} (n, \ mathbf {F} _ {p}),}$

onde está o grupo linear geral apropriado . Isso é facilmente mostrado para ter ordem ${\ displaystyle \ mathrm {GL}}$

${\ displaystyle \ left | \ operatorname {Aut} (P) \ right | = (p ^ {n} -1) \ cdots (p ^ {n} -p ^ {n-1}).}$

No caso mais geral, onde e são arbitrários, o grupo de automorfismo é mais difícil de determinar. Sabe-se, porém, que se definirmos ${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle d_ {k} = \ max \ {r \ mid e_ {r} = e_ {k} ^ {\,} \}}$

e

${\ displaystyle c_ {k} = \ min \ {r \ mid e_ {r} = e_ {k} \}}$

em seguida, um tem, em particular , e ${\ displaystyle k \ leq d_ {k}}$${\ displaystyle c_ {k} \ leq k}$

${\ displaystyle \ left | \ operatorname {Aut} (P) \ right | = \ prod _ {k = 1} ^ {n} (p ^ {d_ {k}} - p ^ {k-1}) \ prod _ {j = 1} ^ {n} (p ^ {e_ {j}}) ^ {n-d_ {j}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} (p ^ {e_ {i} - 1}) ^ {n-c_ {i} +1}.}$

Pode-se verificar se isso resulta nas ordens dos exemplos anteriores como casos especiais (ver Hillar, C., & Rhea, D.).

Grupos abelianos finitamente gerados

Um grupo abeliano Um é gerado um número finito se contiver um conjunto finito de elementos (chamados geradores ) de tal forma que cada elemento do grupo é uma combinação linear com coeficientes inteiros de elementos de L . ${\ displaystyle G = \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \}}$

Seja L um grupo abeliano livre com base Há um homomorfismo de grupo único tal que ${\ displaystyle B = \ {b_ {1}, \ ldots, b_ {n} \}.}$ ${\ displaystyle p \ dois pontos L \ a A,}$

${\ displaystyle p (b_ {i}) = x_ {i} \ quad {\ text {for}} i = 1, \ ldots, n.}$

Este homomorfismo é sobrejetivo , e seu núcleo é finitamente gerado (já que os inteiros formam um anel Noetheriano ). Considere a matriz M com entradas inteiras, de modo que as entradas de sua j ésima coluna são os coeficientes do j ésimo gerador do kernel. Em seguida, o grupo abeliano é isomorfa a cokernel de mapa linear definida por H . Por outro lado, cada matriz inteira define um grupo abeliano finitamente gerado.

Segue-se que o estudo de grupos abelianos gerados finitamente é totalmente equivalente ao estudo de matrizes inteiras. Em particular, alterar o conjunto gerador de A é equivalente a multiplicar M à esquerda por uma matriz unimodular (ou seja, uma matriz inteira invertível cujo inverso também é uma matriz inteira). Alterar o conjunto gerador do kernel de M é equivalente a multiplicar M à direita por uma matriz unimodular.

A forma normal de Smith de M é uma matriz

${\ displaystyle S = UMV,}$

onde U e V são unimodulares e S é uma matriz tal que todas as entradas não diagonais são zero, as entradas diagonais diferentes de zero são as primeiras e é um divisor de para i > j . A existência e a forma do normal de Smith prova que o grupo abeliano A finitamente gerado é a soma direta${\ displaystyle d_ {1,1}, \ ldots, d_ {k, k}}$${\ displaystyle d_ {j, j}}$${\ displaystyle d_ {i, i}}$

${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {r} \ oplus \ mathbb {Z} / d_ {1,1} \ mathbb {Z} \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbb {Z} / d_ {k, k} \ mathbb {Z},}$

onde r é o número de linhas zero na parte inferior de r (e também a classificação do grupo). Este é o teorema fundamental dos grupos abelianos gerados finitamente .

A existência de algoritmos para a forma normal de Smith mostra que o teorema fundamental de grupos abelianos finitamente gerados não é apenas um teorema de existência abstrata, mas fornece uma maneira de computar a expressão de grupos abelianos finitamente gerados como somas diretas.

Grupos abelianos infinitos

O grupo abeliano infinito mais simples é o grupo cíclico infinito . Qualquer grupo abeliano finitamente gerado é isomórfico à soma direta de cópias de um grupo abeliano finito, que por sua vez é decomposto em uma soma direta de muitos grupos cíclicos finitos de ordens de potência primária . Mesmo que a decomposição não seja única, o número , denominado classificação de , e as potências primárias que dão as ordens de somas cíclicas finitas são determinados de forma única. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle A}$

Em contraste, a classificação de grupos abelianos gerados infinitamente está longe de ser completa. Grupos divisíveis , isto é, grupos abelianos nos quais a equação admite uma solução para qualquer número natural e elemento de , constituem uma classe importante de grupos abelianos infinitos que podem ser completamente caracterizados. Cada grupo divisível é isomórfico a uma soma direta, com somas isomórficas a e grupos de Prüfer para vários números primos , e a cardinalidade do conjunto de somas de cada tipo é determinada exclusivamente. Além disso, se um grupo divisível é um subgrupo de um grupo abeliano então admite um complemento directo: um subgrupo de tal modo que . Assim, grupos divisíveis são módulos injetivos na categoria de grupos abelianos e, inversamente, todo grupo abeliano injetivo é divisível ( critério de Baer ). Um grupo abeliano sem subgrupos divisíveis diferentes de zero é chamado de reduzido . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle nx = a}$${\ displaystyle x \ in A}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} / Z_ {p}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G = A \ oplus C}$

Duas classes especiais importantes de grupos abelianos infinitos com propriedades diametralmente opostas são os grupos de torção e os grupos sem torção , exemplificados pelos grupos (periódico) e (sem torção). ${\ displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Grupos de torção

Um grupo abeliano é denominado periódico ou torção , se cada elemento tiver ordem finita . Uma soma direta de grupos cíclicos finitos é periódica. Embora a afirmação inversa não seja verdadeira em geral, alguns casos especiais são conhecidos. O primeiro e o segundo teoremas de Prüfer afirmam que se é um grupo periódico, e tem um expoente limitado , ou seja, para algum número natural , ou é contável e as alturas dos elementos de são finitas para cada um , então é isomórfico para um soma direta de grupos cíclicos finitos. A cardinalidade do conjunto de somas diretas e isomórficas em tal decomposição é uma invariante de . Esses teoremas foram posteriormente incluídos no critério de Kulikov . Em uma direção diferente, Helmut Ulm encontrou uma extensão do segundo teorema de Prüfer para grupos abelianos contáveis com elementos de altura infinita: esses grupos são completamente classificados por meio de seus invariantes de Ulm . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle nA = 0}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {m} \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle p}$

Grupos livres de torção e mistos

Um grupo abeliano é denominado livre de torção se todo elemento diferente de zero tiver ordem infinita. Várias classes de grupos abelianos livres de torção foram estudados extensivamente:

• Grupos abelianos livres , ou seja, somas diretas arbitrárias de${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$
• Cotorsão e grupos livres de torção algebricamente compactos , como os inteiros -adic${\ displaystyle p}$
• Grupos delgados

Um grupo abeliano que não é periódico nem livre de torção é denominado misto . Se for um grupo abeliano e seu subgrupo de torção , então o grupo de fatores é livre de torção. No entanto, em geral, o subgrupo de torção não é um somatório direto de , portanto, não é isomórfico a . Assim, a teoria de grupos mistos envolve mais do que simplesmente combinar os resultados sobre grupos periódicos e sem torção. O grupo aditivo de inteiros é um módulo sem torção. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle T (A)}$${\ displaystyle A / T (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle T (A) \ oplus A / T (A)}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Invariantes e classificação

Um dos invariantes mais básicos de um grupo abeliano infinito é sua classificação : a cardinalidade do subconjunto máximo linearmente independente de . Os grupos abelianos de classificação 0 são precisamente os grupos periódicos, enquanto os grupos abelianos sem torção de classificação 1 são necessariamente subgrupos de e podem ser completamente descritos. De forma mais geral, um grupo abeliano livre de torção de categoria finita é um subgrupo de . Por outro lado, o grupo de inteiros -adic é um grupo abeliano livre de torção de -rank infinito e os grupos com diferentes são não isomórficos, então este invariante nem mesmo captura completamente as propriedades de alguns grupos familiares. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {r}}$${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {n}}$${\ displaystyle n}$

Os teoremas de classificação para grupos abelianos finitamente gerados, divisíveis, contáveis ​​e de classificação 1 sem torção explicados acima foram todos obtidos antes de 1950 e formam uma base da classificação de grupos abelianos infinitos mais gerais. Ferramentas técnicas importantes usadas na classificação de grupos abelianos infinitos são subgrupos puros e básicos . A introdução de vários invariantes de grupos abelianos sem torção tem sido uma via de progresso adicional. Veja os livros de Irving Kaplansky , László Fuchs , Phillip Griffith e David Arnold , bem como as atas das conferências sobre a Teoria do Grupo Abeliana publicadas em Lecture Notes in Mathematics para descobertas mais recentes.

Grupos aditivos de anéis

O grupo aditivo de um anel é um grupo abeliano, mas nem todos os grupos abelianos são grupos aditivos de anéis (com multiplicação não trivial). Alguns tópicos importantes nesta área de estudo são:

• Produto tensor
• Resultados do ALS Corner em grupos sem torção contáveis
• O trabalho de Shelah para remover as restrições de cardinalidade
• Anel de Burnside

Relação com outros tópicos matemáticos

Muitos grandes grupos abelianos possuem uma topologia natural , que os transforma em grupos topológicos .

A coleção de todos os grupos abelianos, junto com os homomorfismos entre eles, forma a categoria , o protótipo de uma categoria abeliana . ${\ displaystyle {\ textbf {Ab}}}$

Wanda Szmielew  ( 1955 ) provou que a teoria de primeira ordem dos grupos abelianos, ao contrário de sua contraparte não abeliana, é decidível. A maioria das estruturas algébricas, exceto as álgebras booleanas, são indecidíveis .

Ainda existem muitas áreas de pesquisa atual:

• Entre os grupos abelianos sem torção de classificação finita, apenas o caso finitamente gerado e o caso de classificação 1 são bem compreendidos;
• Existem muitos problemas não resolvidos na teoria de grupos abelianos sem torção de classificação infinita;
• Enquanto os grupos abelianos de torção contáveis ​​são bem compreendidos por meio de apresentações simples e invariantes de Ulm, o caso de grupos mistos contáveis ​​é muito menos maduro.
• Muitas extensões moderadas da teoria de primeira ordem dos grupos abelianos são conhecidas como indecidíveis.
• Os grupos abelianos finitos permanecem um tópico de pesquisa na teoria computacional dos grupos .

Além disso, grupos abelianos de ordem infinita levam, surpreendentemente, a questões profundas sobre a teoria dos conjuntos comumente assumida como a base de toda a matemática. Veja o problema de Whitehead : todos os grupos de Whitehead de ordem infinita também são grupos abelianos livres ? Na década de 1970, Saharon Shelah provou que o problema de Whitehead é:

• Indecidível em ZFC ( axiomas de Zermelo – Fraenkel ), a teoria dos conjuntos axiomáticos convencional a partir da qual quase toda a matemática atual pode ser derivada. O problema de Whitehead também é a primeira questão em matemática comum que se mostrou indecidível em ZFC;
• Indecidível mesmo se ZFC for aumentado tomando a hipótese do contínuo generalizado como um axioma;
• Respondido positivamente se ZFC for aumentado com o axioma de construtibilidade (ver afirmações verdadeiras em L ).

Uma nota sobre a tipografia

Entre matemáticos adjetivos derivados do nome próprio de um matemático , a palavra "abelian" é rara em que muitas vezes é escrito com letras minúsculas a , em vez de uma letra maiúscula A , a falta de capitalização sendo um reconhecimento tácito de não só do grau de cujo nome de Abel foi institucionalizado, mas também de quão onipresentes na matemática moderna são os conceitos introduzidos por ele.

Veja também

• Subgrupo comutador  - Menor subgrupo normal pelo qual o quociente é comutativo
• Abelianização  - Quociente de um grupo por seu subgrupo de comutador
• Grupo diédrico de ordem 6  - grupo não comutativo com 6 elementos, o menor grupo não abeliano
• Grupo abeliano elementar  - grupo comutativo em que todos os elementos diferentes de zero têm a mesma ordem
• Grupo Grothendieck  - grupo Abeliano construído a partir de um monóide comutativo da mesma forma que inteiros a partir de números naturais
• Dualidade de Pontryagin  - Dualidade para grupos abelianos localmente compactos

Notas

Referências

• Cox, David (2004). Teoria de Galois . Wiley-Interscience . ISBN 9781118031339. MR  2119052 .
• Fuchs, László (1970). Grupos Abelianos Infinitos . Matemática Pura e Aplicada. 36-I . Academic Press . MR  0255673 .
• Fuchs, László (1973). Grupos Abelianos Infinitos . Matemática Pura e Aplicada. 36-II. Academic Press . MR  0349869 .
• Griffith, Phillip A. (1970). Teoria do grupo Abeliano infinito . Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press . ISBN 0-226-30870-7.
• Herstein, IN (1975). Tópicos em Álgebra (2ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-02371-X.
• Hillar, Christopher; Rhea, Darren (2007). "Automorfismos de grupos abelianos finitos" (PDF) . American Mathematical Monthly . 114 (10): 917–923. arXiv : math / 0605185 . Bibcode : 2006math ...... 5185H . doi : 10.1080 / 00029890.2007.11920485 . JSTOR  27642365 . S2CID  1038507 .
• Jacobson, Nathan (2009). Álgebra Básica I (2ª ed.). Publicações de Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Rose, John S. (2012). A Course on Group Theory . Publicações de Dover . ISBN 978-0-486-68194-8. Republicação integral e inalterada de um trabalho publicado pela primeira vez pela Cambridge University Press, Cambridge, Inglaterra, em 1978.
• Szmielew, Wanda (1955). "Propriedades elementares dos grupos abelianos" (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 41 (2): 203–271. doi : 10.4064 / fm-41-2-203-271 . MR  0072131 . Zbl  0248.02049 .

links externos

• "Grupo Abeliano" . Enciclopédia de Matemática . EMS Press . 2001 [1994].