Cokernel - Cokernel

O cokernel de um mapeamento linear de espaços vetoriais $f : X \to Y$ é o espaço quociente $Y / im (f)$ do codomínio de $f$ pela imagem de $f$ . A dimensão do caroço é chamada de corank de $f$ .

Cokernels são duais para os kernels da teoria das categorias , daí o nome: o kernel é um subobjeto do domínio (ele mapeia para o domínio), enquanto o cokernels é um objeto quociente do codomínio (ele mapeia a partir do codomínio).

Intuitivamente, dada uma equação $f (x) = y$ que se está procurando resolver, o cokernel mede as restrições que $y$ deve satisfazer para que esta equação tenha uma solução - as obstruções para uma solução - enquanto o kernel mede os graus de liberdade em uma solução, se houver. Isso é elaborado na intuição , a seguir.

Mais geralmente, o núcleo de um morfismo $f : X \to Y$ em alguma categoria (por exemplo, um homomorfismo entre grupos ou um operador linear limitado entre espaços de Hilbert ) é um objeto $Q$ e um morfismo $q : Y \to Q$ tal que a composição $qf$ é o morfismo zero da categoria e, além disso, $q$ é universal no que diz respeito a esta propriedade. Freqüentemente, o mapa $q$ é compreendido e o próprio $Q$ é chamado de cokernel de $f$ .

Em muitas situações em álgebra abstrata , como para grupos abelianos , espaços vetoriais ou módulos , o cokernel do homomorfismo $f : X \to Y$ é o quociente de $Y$ pela imagem de $f$ . Em configurações topológicas , como com operadores lineares limitados entre espaços de Hilbert, normalmente é necessário tirar o fechamento da imagem antes de passar para o quociente.

Definição formal

Pode-se definir o cokernel na estrutura geral da teoria das categorias . Para que a definição faça sentido, a categoria em questão deve ter zero morfismos . O cokernel de um morfismo $f : X \to Y$ é definido como o coequalizador de $f$ e a zero, morfismo $0 XY : X \to Y$ .

Explicitamente, isso significa o seguinte. O cokernel de $f : X \to Y$ é um objeto $Q$ junto com um morfismo $q : Y \to Q$ tal que o diagrama

comuta . Além disso, o morfismo $q$ deve ser universal para este diagrama, ou seja, qualquer outro $q': Y \to Q'$ pode ser obtido compondo $q$ com um morfismo único $u : Q \to Q'$ :

Tal como acontece com todas as construções universais do cokernel, se existe, é único até um único isomorfismo , ou mais precisamente: se $q : Y \to Q$ e $Q': Y \to Q'$ são dois conúcleos de $f : X \to Y$ , então não existe um isomorfismo único $u : Q \to Q'$ com $q ' = u q$ .

Como todos os coequalizadores, o cokernel $q : Y \to Q$ é necessariamente um epimorfismo . Por outro lado, um epimorfismo é chamado de normal (ou conormal ) se for o cerne de algum morfismo. Uma categoria é chamada de conormal se todo epimorfismo for normal (por exemplo, a categoria de grupos é conormal).

Exemplos

Na categoria de grupos , o núcleo de um homomorfismo de grupo $f : G \to H$ é o quociente de $H$ pelo fechamento normal da imagem de $f$ . No caso de grupos abelianos , uma vez que todo subgrupo é normal, o cokernel é apenas $H$ módulo a imagem de $f$ :

\operatorname {coker} (f)=H/\operatorname {im} (f).

Casos especiais

Em uma categoria pré - aditiva , faz sentido adicionar e subtrair morfismos. Em tal categoria um, o coequalizador de dois morphisms $de f$ e $g$ (se existir) é apenas o cokernel da sua diferença:

\operatorname {coeq} (f,g)=\operatorname {coker} (g-f).

Em uma categoria abeliana (um tipo especial de categoria pré-aditiva), a imagem e a co- imagem de um morfismo $f$ são dadas por

{\begin{aligned}\operatorname {im} (f)&=\ker(\operatorname {coker} f),\\\operatorname {coim} (f)&=\operatorname {coker} (\ker f).\end{aligned}}

Em particular, cada categoria abeliana é normal (e conormal também). Ou seja, todo monomorfismo $m$ pode ser escrito como o núcleo de algum morfismo. Especificamente, $m$ é o kernel de seu próprio cokernel:

m=\ker(\operatorname {coker} (m))

Intuição

O cokernel pode ser pensado como o espaço de restrições que uma equação deve satisfazer, como o espaço das obstruções , assim como o kernel é o espaço das soluções.

Formalmente, pode-se conectar o kernel e o cokernel de um mapa $T : V \to W$ pela seqüência exata

0\to \ker T\to V{\overset {T}{\longrightarrow }}W\to \operatorname {coker} T\to 0.

Estes podem ser interpretados assim: dada uma equação linear $T (v) = w$ para resolver,

o kernel é o espaço de soluções para a equação homogênea $T (v) = 0$ , e sua dimensão é o número de graus de liberdade em soluções para $T (v) = w$ , se existirem;
o cokernel é o espaço de restrições em w que deve ser satisfeito para que a equação tenha uma solução, e sua dimensão é o número de restrições independentes que devem ser satisfeitas para que a equação tenha uma solução.

A dimensão do cokernel mais a dimensão da imagem (a classificação) somam-se à dimensão do espaço alvo, como a dimensão do espaço quociente $W / T (V)$ é simplesmente a dimensão do espaço menos a dimensão do imagem.

Como um exemplo simples, considere o mapa $T : R 2 \to R 2$ , dado por $T (x, y) = (0, y)$ . Então, para uma equação $T (x, y) = (a, b)$ ter uma solução, devemos ter $a = 0$ (uma restrição) e, nesse caso, o espaço de solução é $(x, b)$ , ou equivalentemente, $( 0, b) + (x, 0)$ , (um grau de liberdade). O kernel pode ser expresso como o subespaço $(x, 0) \subseteq V$ : o valor de $x$ é a liberdade em uma solução. O cokernel pode ser expresso através do mapa de valor real $W : (a, b) \to (a)$ : dado um vetor $(a, b)$ , o valor de $a$ é a obstrução para que haja uma solução.

Além disso, o cokernel pode ser pensado como algo que "detecta" surjections da mesma maneira que o kernel "detecta" injeções . Um mapa é injetivo se e somente se seu kernel é trivial, e um mapa é sobrejetivo se e somente se seu cokernel é trivial, ou em outras palavras, se $W = im (T)$ .

Referências

Saunders Mac Lane : Categories for the Working Mathematician , Segunda Edição, 1978, p. 64
Emily Riehl : Category Theory in Context , Aurora Modern Math Originals , 2014, p. 82, pág. 139 nota de rodapé 8.

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