Epimorfismo - Epimorphism

Na teoria das categorias , um epimorfismo (também chamado de morfismo épico ou, coloquialmente, um epi ) é um morfismo f : X → Y que é cancelativo à direita no sentido de que, para todos os objetos Z e todos os morfismos g ₁ , g ₂ : Y → Z ,

{\ displaystyle g_ {1} \ circ f = g_ {2} \ circ f \ implica g_ {1} = g_ {2}.}

Os epimorfismos são análogos categóricos de funções sobre ou sobrejetivas (e na categoria de conjuntos o conceito corresponde exatamente às funções sobrejetivas), mas podem não coincidir exatamente em todos os contextos; por exemplo, a inclusão é um epimorfismo em anel. O dual de um epimorfismo é um monomorfismo (ou seja, um epimorfismo em uma categoria C é um monomorfismo na categoria dual C ^op ). ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Q}}$

Muitos autores em álgebra abstrata e álgebra universal definem um epimorfismo simplesmente como um homomorfismo sobre ou sobrejetivo . Todo epimorfismo neste sentido algébrico é um epimorfismo no sentido da teoria das categorias, mas o inverso não é verdadeiro em todas as categorias. Neste artigo, o termo "epimorfismo" será usado no sentido da teoria das categorias dada acima. Para mais informações, consulte § Terminologia abaixo.

Exemplos

Todo morfismo em uma categoria concreta cuja função subjacente é sobrejetora é um epimorfismo. Em muitas categorias de interesse concretas, o inverso também é verdadeiro. Por exemplo, nas categorias a seguir, os epimorfismos são exatamente aqueles morfismos que se sobrepõem aos conjuntos subjacentes:

Conjunto : conjuntos e funções. Para provar que todo epimorfismo f : X → Y em Set é sobrejetora, nós o compomos com a função característica g ₁ : Y → {0,1} da imagem f ( X ) e o mapa g ₂ : Y → {0 , 1} que é a constante 1.
Rel : conjuntos com relações binárias e funções de preservação de relação. Aqui podemos usar a mesma prova de Set , equipando {0,1} com a relação completa {0,1} × {0,1}.
Pos : conjuntos parcialmente ordenados e funções monótonas . Se f : ( X , ≤) → ( Y , ≤) não é sobrejetora, escolha y ₀ em Y \ f ( X ) e seja g ₁ : Y → {0,1} a função característica de { y | y ₀ ≤ y } e g ₂ : Y → {0,1} a função característica de { y | y ₀ < y }. Esses mapas são monótonos se {0,1} receber a ordem padrão 0 <1.
Grp : grupos e homomorfismos de grupo . O resultado de que todo epimorfismo em Grp é sobrejetivo se deve a Otto Schreier (ele realmente provou mais, mostrando que todo subgrupo é um equalizador usando o produto livre com um subgrupo amalgamado); uma prova elementar pode ser encontrada em (Linderholm 1970).
FinGrp : grupos finitos e homomorfismos de grupo. Também devido a Schreier; a prova dada em (Linderholm 1970) estabelece este caso também.
Ab : grupos abelianos e homomorfismos de grupo.
K -Vect : espaços vectoriais sobre um campo K e K transformações -linear .
Mod - R : módulos corretos sobre um anel R e homomorfismos de módulo . Isso generaliza os dois exemplos anteriores; para provar que todo epimorfismo f : X → Y em Mod - R é sobrejetora, nós o compomos tanto com o mapa quociente canônico g ₁ : Y → Y / f ( X ) e o mapa zero g ₂ : Y → Y / f ( X ).
Acima : espaços topológicos e funções contínuas . Para provar que todo epimorfismo em Top é sobrejetivo, procedemos exatamente como em Set , dando {0,1} a topologia indiscreta , que garante que todos os mapas considerados sejam contínuos.
HComp : espaços compactos de Hausdorff e funções contínuas. Se f : X → Y não é sobrejetora, seja y ∈ Y - fX . Como fX é fechado, pelo Lema de Urysohn existe uma função contínua g ₁ : Y → [0,1] tal que g ₁ é 0 em fX e 1 em y . Compomos f com g ₁ e a função zero g ₂ : Y → [0,1].

No entanto, também existem muitas categorias concretas de interesse em que os epimorfismos deixam de ser sobrejetivos. Alguns exemplos são:

Na categoria de monóides , Mon , o mapa de inclusão N → Z é um epimorfismo não sobrejetivo. Para ver esta, suponha que g ₁ e g ₂ são distintos dois mapas de Z para alguns monóide M . Então, para algum n em Z , g ₁ ( n ) ≠ g ₂ ( n ), então g ₁ ( -n ) ≠ g ₂ (- n ). Ou n ou - n está em N , então as restrições de g ₁ e g ₂ para N são desiguais.
Na categoria de álgebras sobre anel comutativo R , tome R [ N ] → R [ Z ], onde R [ G ] é o grupo do anel do grupo G e o morfismo é induzido pela inclusão N → Z como no exemplo anterior . Isso segue da observação de que 1 gera a álgebra R [ Z ] (observe que a unidade em R [ Z ] é dada por 0 de Z ), e o inverso do elemento representado por n em Z é apenas o elemento representado por - n . Assim, qualquer homomorphism de R [ Z ] é determinado exclusivamente pelo seu valor no elemento representado por um de Z .
Na categoria de anéis , Anel , o mapa de inclusão Z → Q é um epimorfismo não sobrejetivo; para ver isso, observe que qualquer homomorfismo de anel em Q é determinado inteiramente por sua ação em Z , semelhante ao exemplo anterior. Um argumento semelhante mostra que o homomorfismo de anel natural de qualquer anel comutativo R para qualquer uma de suas localizações é um epimorfismo.
Na categoria de anéis comutativos , um homomorfismo de anéis finitamente gerado f : R → S é um epimorfismo se e somente se para todos os ideais primos P de R , o Q ideal gerado por f ( P ) é S ou é primo, e se Q não for S , o mapa induzido Frac ( R / P ) → Frac ( S / Q ) é um isomorfismo ( EGA IV 17.2.6).
Na categoria dos espaços de Hausdorff, Haus , os epimorfismos são precisamente as funções contínuas com imagens densas . Por exemplo, o mapa de inclusão Q → R , é um epimorfismo não sobrejetivo.

O que foi dito acima difere do caso dos monomorfismos, onde é mais frequentemente verdade que os monomorfismos são precisamente aqueles cujas funções subjacentes são injetivas .

Quanto a exemplos de epimorfismos em categorias não concretas:

Se um monóide ou anel é considerado uma categoria com um único objeto (composição de morfismos dada pela multiplicação), então os epimorfismos são precisamente os elementos canceláveis à direita.
Se um grafo direcionado é considerado uma categoria (objetos são os vértices, morfismos são os caminhos, composição de morfismos é a concatenação de caminhos), então todo morfismo é um epimorfismo.

Propriedades

Todo isomorfismo é um epimorfismo; na verdade, apenas um inverso do lado direito é necessário: se existe um morfismo j : Y → X tal que fj = id _Y , então f : X → Y é facilmente visto como um epimorfismo. Um mapa com tal inverso do lado direito é chamado de epi dividido . Em um topos , um mapa que é tanto um morfismo mônico quanto um epimorfismo é um isomorfismo.

A composição de dois epimorfismos é novamente um epimorfismo. Se a composição fg de dois morfismos é um epimorfismo, então f deve ser um epimorfismo.

Como alguns dos exemplos acima mostram, a propriedade de ser um epimorfismo não é determinada apenas pelo morfismo, mas também pela categoria de contexto. Se D é uma subcategoria de C , em seguida, cada morfismo em D que é um epimorfismo quando considerado como um morfismo em C é também um epimorfismo em D . No entanto, o inverso não precisa ser válido; a categoria menor pode (e freqüentemente terá) mais epimorfismos.

Tal como para a maioria dos conceitos em teoria categoria, epimorfismos são preservadas sob equivalências das categorias : dada uma equivalência F : C → D , um morfismo f é um epimorfismo na categoria C , se e somente se F ( f ) é um epimorfismo em D . Uma dualidade entre duas categorias transforma epimorfismos em monomorfismos e vice-versa.

A definição de epimorfismo pode ser reformulada para afirmar que f : X → Y é um epimorfismo se e somente se os mapas induzidos

{\ displaystyle {\ begin {matriz} \ operatorname {Hom} (Y, Z) & \ rightarrow & \ operatorname {Hom} (X, Z) \\ g & \ mapsto & gf \ end {matrix}}}

são injective para cada escolha de Z . Isso, por sua vez, é equivalente à transformação natural induzida

{\ displaystyle {\ begin {matriz} \ operatorname {Hom} (Y, -) & \ rightarrow & \ operatorname {Hom} (X, -) \ end {matriz}}}

sendo um monomorfismo na categoria functor Conjunto ^C .

Todo coequalizador é um epimorfismo, uma consequência do requisito de exclusividade na definição de coequalizadores. Segue-se em particular que todo caroço de coco é um epimorfismo. O inverso, ou seja, que todo epimorfismo seja um coequalizador, não é verdadeiro em todas as categorias.

Em muitas categorias, é possível escrever cada morfismo como a composição de um epimorfismo seguido por um monomorfismo. Por exemplo, dado um homomorfismo de grupo f : G → H , podemos definir o grupo K = im ( f ) e então escrever f como a composição do homomorfismo sobrejetivo G → K que é definido como f , seguido pelo homomorfismo injetivo K → H que envia cada elemento para si. Tal fatoração de um morfismo arbitrário em um epimorfismo seguido por um monomorfismo pode ser realizada em todas as categorias abelianas e também em todas as categorias concretas mencionadas acima nos § Exemplos (embora não em todas as categorias concretas).

Conceitos relacionados

Entre outros conceitos úteis estão epimorfismo regular , epimorfismo extremo , epimorfismo imediato , epimorfismo forte e epimorfismo dividido .

Um epimorfismo é considerado regular se for um coequalizador de algum par de morfismos paralelos.
Um epimorfismo é considerado extremo se em cada representação , onde é um monomorfismo , o morfismo é automaticamente um isomorfismo . ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = \ mu \ circ \ varphi}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ mu}$
Um epimorfismo é considerado imediato se em cada representação , onde é um monomorfismo e é um epimorfismo, o morfismo é automaticamente um isomorfismo . ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = \ mu \ circ \ varepsilon '}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ varepsilon '}$ ${\ displaystyle \ mu}$
Diz-se que um epimorfismo é forte se para qualquer monomorfismo e qualquer morfismo e tal , existe um morfismo tal e . ${\ displaystyle \ varepsilon: A \ a B}$ ${\ displaystyle \ mu: C \ to D}$ ${\ displaystyle \ alpha: A \ to C}$ ${\ displaystyle \ beta: B \ to D}$ ${\ displaystyle \ beta \ circ \ varepsilon = \ mu \ circ \ alpha}$ ${\ displaystyle \ delta: B \ a C}$ ${\ displaystyle \ delta \ circ \ varepsilon = \ alpha}$ ${\ displaystyle \ mu \ circ \ delta = \ beta}$
Diz- se que um epimorfismo é dividido se existe um morfismo tal que (neste caso é chamado de inverso do lado direito para ). ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ varepsilon \ circ \ mu = 1}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$

Existe também a noção de epimorfismo homológico na teoria dos anéis. Um morfismo f : A → B de anéis é um epimorfismo homológico se for um epimorfismo e induzir um functor completo e fiel nas categorias derivadas : D ( f ): D ( B ) → D ( A ).

Um morfismo que é tanto monomorfismo quanto epimorfismo é denominado bimorfismo . Todo isomorfismo é um bimorfismo, mas o inverso não é verdade em geral. Por exemplo, o mapa do intervalo semiaberto [0,1) para o círculo unitário S ¹ (pensado como um subespaço do plano complexo ) que envia x para exp (2πi x ) (ver fórmula de Euler ) é contínuo e bijetivo, mas não um homeomorfismo, uma vez que o mapa inverso não é contínuo em 1, portanto, é uma instância de um bimorfismo que não é um isomorfismo na categoria Top . Outro exemplo é a incorporação de Q → R na categoria Haus ; como observado acima, é um bimorfismo, mas não é bijetivo e, portanto, não é um isomorfismo. Da mesma forma, na categoria dos anéis , o mapa Z → Q é um bimorfismo, mas não um isomorfismo.

Epimorfismos são usados para definir sumário objectos quociente em categorias gerais: dois epimorfismos f ₁ : X → Y ₁ e f ₂ : X → Y ₂ são referidos como sendo equivalente se existe um isomorfismo j : Y ₁ → Y ₂ com j f ₁ = f ₂ . Esta é uma relação de equivalência , e as classes de equivalência são definidas a ser os objetos quociente de X .

Terminologia

Os termos companheiros epimorfismo e monomorfismo foram introduzidos pela primeira vez por Bourbaki . Bourbaki usa o epimorfismo como uma abreviatura para uma função sobrejetiva . Os primeiros teóricos das categorias acreditavam que os epimorfismos eram o análogo correto das sobreposições em uma categoria arbitrária, semelhante a como os monomorfismos são quase um análogo exato das injeções. Infelizmente, isso está incorreto; epimorfismos fortes ou regulares se comportam muito mais de perto com as sobreposições do que epimorfismos comuns. Saunders Mac Lane tentou criar uma distinção entre epimorfismos , que eram mapas em uma categoria concreta cujos mapas subjacentes eram sobrejetivos, e morfismos épicos , que são epimorfismos no sentido moderno. No entanto, essa distinção nunca pegou.

É um erro comum acreditar que os epimorfismos são idênticos às sobreposições ou que são um conceito melhor. Infelizmente, este é raramente o caso; epimorfismos podem ser muito misteriosos e ter comportamento inesperado. É muito difícil, por exemplo, classificar todos os epimorfismos dos anéis. Em geral, os epimorfismos são seu próprio conceito único, relacionado a sobreposições, mas fundamentalmente diferente.

Veja também

Notas

Referências

Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Categorias abstratas e concretas (PDF) . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6 .
Bergman, George (2015). Um convite para álgebra geral e construções universais . Springer. ISBN 978-3-319-11478-1 .
Borceux, Francis (1994). Manual de álgebra categórica. Volume 1: Teoria das categorias básicas . Cambridge University Press. ISBN 978-0521061193 .
Tsalenko, MS; Shulgeifer, EG (1974). Fundamentos da teoria das categorias . Nauka. ISBN 5-02-014427-4 .
"Epimorphism" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Lawvere, F. William; Rosebrugh, Robert (2015). Conjuntos para matemática . Cambridge University Press. ISBN 0-521-80444-2 .
Linderholm, Carl (1970). “Um Epimorfismo de Grupo é Surjetivo” . American Mathematical Monthly . 77 : 176–177. doi : 10.1080 / 00029890.1970.11992448 .

links externos

epimorfismo em nLab
Epimorfismo forte em nLab

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