Categoria (matemática) - Category (mathematics)

Esta é uma categoria com uma coleção de objetos A, B, C e uma coleção de morfismos denotados f, g, g ∘ f , e os loops são as setas de identidade. Esta categoria é normalmente indicada por um negrito 3 .

Em matemática , uma categoria (às vezes chamada de categoria abstrata para distingui-la de uma categoria concreta ) é uma coleção de "objetos" que estão ligados por "setas". Uma categoria possui duas propriedades básicas: a capacidade de compor as setas associativamente e a existência de uma seta de identidade para cada objeto. Um exemplo simples é a categoria de conjuntos , cujos objetos são conjuntos e cujas setas são funções .

A teoria das categorias é um ramo da matemática que busca generalizar toda a matemática em termos de categorias, independentemente do que seus objetos e flechas representam. Praticamente todos os ramos da matemática moderna podem ser descritos em termos de categorias, e fazer isso muitas vezes revela profundas percepções e semelhanças entre áreas aparentemente diferentes da matemática. Como tal, a teoria das categorias fornece uma base alternativa para a matemática para a teoria dos conjuntos e outras bases axiomáticas propostas. Em geral, os objetos e setas podem ser entidades abstratas de qualquer tipo, e a noção de categoria fornece uma maneira fundamental e abstrata de descrever entidades matemáticas e seus relacionamentos.

Além de formalizar a matemática, a teoria das categorias também é usada para formalizar muitos outros sistemas em ciência da computação, como a semântica das linguagens de programação .

Duas categorias são iguais se tiverem a mesma coleção de objetos, a mesma coleção de setas e o mesmo método associativo de compor qualquer par de setas. Duas categorias diferentes também podem ser consideradas " equivalentes " para os propósitos da teoria das categorias, mesmo que não tenham exatamente a mesma estrutura.

As categorias conhecidas são denotadas por uma palavra curta em maiúscula ou abreviatura em negrito ou itálico: os exemplos incluem Set , a categoria de conjuntos e funções de conjunto ; Anel , a categoria de anéis e homomorfismos de anel ; e Top , a categoria de espaços topológicos e mapas contínuos . Todas as categorias anteriores têm o mapa de identidade como setas de identidade e a composição como a operação associativa nas setas.

O texto clássico e ainda muito usado sobre a teoria das categorias é Categories for the Working Mathematician, de Saunders Mac Lane . Outras referências são fornecidas nas referências abaixo. As definições básicas neste artigo estão contidas nos primeiros capítulos de qualquer um desses livros.

Estruturas semelhantes a grupos
Totalidade Associatividade Identidade Invertibilidade Comutatividade
Semigroupoide Desnecessário Requeridos Desnecessário Desnecessário Desnecessário
Categoria Pequena Desnecessário Requeridos Requeridos Desnecessário Desnecessário
Groupoid Desnecessário Requeridos Requeridos Requeridos Desnecessário
Magma Requeridos Desnecessário Desnecessário Desnecessário Desnecessário
Quasigroup Requeridos Desnecessário Desnecessário Requeridos Desnecessário
Magma Unital Requeridos Desnecessário Requeridos Desnecessário Desnecessário
Ciclo Requeridos Desnecessário Requeridos Requeridos Desnecessário
Semigrupo Requeridos Requeridos Desnecessário Desnecessário Desnecessário
Semigrupo Inverso Requeridos Requeridos Desnecessário Requeridos Desnecessário
Monóide Requeridos Requeridos Requeridos Desnecessário Desnecessário
Monóide comutativo Requeridos Requeridos Requeridos Desnecessário Requeridos
Grupo Requeridos Requeridos Requeridos Requeridos Desnecessário
Grupo abeliano Requeridos Requeridos Requeridos Requeridos Requeridos
^ α Fechamento, que é usado em muitas fontes, é um axioma equivalente à totalidade, embora definido de forma diferente.

Qualquer monóide pode ser entendido como um tipo especial de categoria (com um único objeto cujos automorfismos são representados pelos elementos do monóide), assim como qualquer pré-ordem .

Definição

Existem muitas definições equivalentes de uma categoria. Uma definição comumente usada é a seguinte. Uma categoria C consiste em

  • uma classe ob ( C ) de objetos ,
  • uma classe hom ( C ) de morfismos , ou setas , ou mapas entre os objetos,
  • um domínio , ou função de classe de objeto de origem ,
  • um codomínio , ou função de classe de objeto alvo ,
  • para todos os três objectos um , b e c , um hom operação de binário ( um , b ) x hom ( b , c ) → hom ( um , c ) chamada composição de morphisms ; a composição de f  : umb e g  : bc é escrito como gf ou GF . (Alguns autores usam "ordem diagramática", escrevendo f; g ou fg ).

Nota: aqui hom ( a , b ) denota a subclasse de morfismos f em hom ( C ) tal que e . Esses morfismos são freqüentemente escritos como f  : ab .

de modo que os seguintes axiomas sejam válidos:

  • ( associatividade ) se f  : ab , g  : bc e h  : cd então h ∘ ( gf ) = ( hg ) ∘ f , e
  • ( identidade ) para cada objeto x , existe um morfismo 1 x  : xx (alguns autores escrevem id x ) chamado morfismo de identidade para x , de modo que todo morfismo f  : ax satisfaz 1 xf = f , e todo morfismo g  : xb satisfaz g ∘ 1 x = g .

Escrevemos f : ab , e dizemos " f é um morfismo de a para b ". Escrevemos hom ( a , b ) (ou hom C ( a , b ) quando pode haver confusão sobre a qual categoria hom ( a , b ) se refere) para denotar a classe hom de todos os morfismos de a a b . A partir desses axiomas, pode-se provar que existe exatamente um morfismo de identidade para cada objeto. Alguns autores usam uma ligeira variação da definição em que cada objeto é identificado com o morfismo de identidade correspondente.

Categorias pequenas e grandes

Uma categoria C é chamada de pequena se ob ( C ) e hom ( C ) são realmente conjuntos e não classes próprias , e grande caso contrário. A localmente pequena categoria é uma categoria de tal forma que para todos os objetos de um e b , o hom hom-classe ( um , b ) é um conjunto, chamado de homset . Muitas categorias importantes em matemática (como a categoria de conjuntos), embora não sejam pequenas, são pelo menos localmente pequenas. Visto que, em pequenas categorias, os objetos formam um conjunto, uma pequena categoria pode ser vista como uma estrutura algébrica semelhante a um monóide, mas sem exigir propriedades de fechamento . Por outro lado, grandes categorias podem ser usadas para criar "estruturas" de estruturas algébricas.

Exemplos

A classe de todos os conjuntos (como objetos) junto com todas as funções entre eles (como morfismos), onde a composição de morfismos é a composição de função usual , forma uma grande categoria, Conjunto . É a categoria mais básica e mais comumente usada em matemática. A categoria Rel consiste em todos os conjuntos (como objetos) com relações binárias entre eles (como morfismos). A abstração de relações em vez de funções produz alegorias , uma classe especial de categorias.

Qualquer classe pode ser vista como uma categoria cujos únicos morfismos são os morfismos de identidade. Essas categorias são chamadas de discretas . Para qualquer conjunto I dado , a categoria discreta em I é a pequena categoria que tem os elementos de I como objetos e apenas os morfismos de identidade como morfismos. As categorias discretas são o tipo mais simples de categoria.

Qualquer conjunto pré-ordenado ( P , ≤) forma uma pequena categoria, onde os objetos são os membros de P , os morfismos são setas apontando de x para y quando xy . Além disso, se for antissimétrico , pode haver no máximo um morfismo entre quaisquer dois objetos. A existência de morfismos de identidade e a composibilidade dos morfismos são garantidos pela reflexividade e pela transitividade da pré-ordem. Pelo mesmo argumento, qualquer conjunto parcialmente ordenado e qualquer relação de equivalência podem ser vistos como uma pequena categoria. Qualquer número ordinal pode ser visto como uma categoria quando visto como um conjunto ordenado .

Qualquer monóide (qualquer estrutura algébrica com uma única operação binária associativa e um elemento de identidade ) forma uma pequena categoria com um único objeto x . (Aqui, x é qualquer conjunto fixo.) Os morfismos de x a x são precisamente os elementos do monóide, o morfismo de identidade de x é a identidade do monóide e a composição categórica dos morfismos é dada pela operação monóide. Várias definições e teoremas sobre monóides podem ser generalizados para categorias.

Do mesmo modo qualquer grupo pode ser visto como uma categoria com um único objecto, no qual todas as morfismo é invertível , que é, para cada morfismo f existe um morfismo g que é tanto esquerdo e direito inverso de f sob composição. Um morfismo invertível neste sentido é denominado isomorfismo .

Um grupóide é uma categoria em que todo morfismo é um isomorfismo. Groupoids são generalizações de grupos, ações de grupo e relações de equivalência . Na verdade, na visão da categoria, a única diferença entre grupóide e grupo é que um grupóide pode ter mais de um objeto, mas o grupo deve ter apenas um. Considere um espaço topológico X e fixe um ponto base de X , então é o grupo fundamental do espaço topológico X e o ponto base , e como um conjunto tem a estrutura de grupo; se, então, deixar o ponto de base percorrer todos os pontos de X , e tomar a união de todos , então o conjunto que obtemos tem apenas a estrutura de grupóide (que é chamado de grupóide fundamental de X ): dois loops (sob relação de equivalência de homotopia) podem não ter o mesmo ponto de base, de modo que não podem se multiplicar. Na linguagem da categoria, isso significa que aqui dois morfismos podem não ter o mesmo objeto de origem (ou objeto de destino, porque neste caso para qualquer morfismo o objeto de origem e o objeto de destino são os mesmos: o ponto de base), então eles não podem compor com uns aos outros.

Um gráfico direcionado.

Qualquer gráfico direcionado gera uma pequena categoria: os objetos são os vértices do gráfico e os morfismos são os caminhos no gráfico (aumentados com loops conforme necessário) onde a composição dos morfismos é a concatenação dos caminhos. Essa categoria é chamada de categoria livre gerada pelo gráfico.

A classe de todos os conjuntos pré- ordenados com funções monotônicas como morfismos forma uma categoria, Ord . É uma categoria concreta , ou seja, uma categoria obtida adicionando algum tipo de estrutura a Set , e exigindo que morfismos sejam funções que respeitem essa estrutura adicionada.

A classe de todos os grupos com homomorfismos de grupo como morfismos e composição de função como a operação de composição forma uma grande categoria, Grp . Como Ord , Grp é uma categoria concreta. A categoria Ab , que consiste em todos os grupos abelianos e seus homomorfismos de grupo, é uma subcategoria completa de Grp e o protótipo de uma categoria abeliana . Outros exemplos de categorias concretas são fornecidos pela tabela a seguir.

Categoria Objetos Morfismos
Grp grupos homomorfismos de grupo
Mag magmas homomorfismos de magma
Homem p manifolds suaves mapas p -vezes continuamente diferenciáveis
Conheceu espaços métricos mapas curtos
R -Mod Módulos R , onde R é um anel Homomorfismos do módulo R
seg monóides homomorfismos monóides
Anel argolas homomorfismos de anel
Definir conjuntos funções
Topo espaços topológicos funções contínuas
Uni espaços uniformes funções uniformemente contínuas
Vect K espaços vetoriais sobre o campo K K - mapas lineares

Feixes de fibra com mapas de feixe entre eles formam uma categoria concreta.

A categoria Gato consiste em todas as categorias pequenas, com functores entre elas como morfismos.

Construção de novas categorias

Categoria dupla

Qualquer categoria C pode ser considerada uma nova categoria de uma maneira diferente: os objetos são os mesmos da categoria original, mas as setas são as da categoria original invertidas. Isso é chamado de categoria dupla ou oposta e é denotado C op .

Categorias de Produtos

Se C e D são categorias, pode-se formar a categoria do produto C × D : os objectos são pares consistindo de um objecto a partir de C e uma a partir de D , e os morphisms são também pares, consistindo de um morfismo em C e uma em D . Esses pares podem ser compostos por componentes .

Tipos de morfismos

Um morfismo f  : ab é chamado

  • um monomorfismo (ou monic ) se for cancelável à esquerda, ou seja, fg 1 = fg 2 implica g 1 = g 2 para todos os morfismos g 1 , g 2  : xa .
  • um epimorfismo (ou épico ) se for cancelável à direita, ou seja, g 1 f = g 2 f implica g 1 = g 2 para todos os morfismos g 1 , g 2  : bx .
  • um bimorfismo se for um monomorfismo e um epimorfismo.
  • uma retração se tem um inverso à direita, ou seja, se existe um morfismo g  : ba com fg = 1 b .
  • uma seção se tem um inverso à esquerda, ou seja, se existe um morfismo g  : ba com gf = 1 a .
  • um isomorfismo se ele tem uma inversa, ou seja, se existe um morfismo g  : bum com fg = 1 b e gf = 1 um .
  • um endomorfismo se a = b . A classe de endomorfismos de a é denotada como fim ( a ).
  • um automorfismo se f for um endomorfismo e um isomorfismo. A classe de automorfismos de a é denotada como aut ( a ).

Cada retração é um epimorfismo. Cada seção é um monomorfismo. As três declarações a seguir são equivalentes:

  • f é um monomorfismo e uma retração;
  • f é um epimorfismo e uma seção;
  • f é um isomorfismo.

Relações entre morfismos (como fg = h ) podem ser mais convenientemente representadas com diagramas comutativos , onde os objetos são representados como pontos e os morfismos como setas.

Tipos de categorias

  • Em muitas categorias, por exemplo, Ab ou Vect K , os hom-sets hom ( a , b ) não são apenas conjuntos, mas grupos abelianos , e a composição dos morfismos é compatível com essas estruturas de grupo; ou seja, é bilinear . Essa categoria é chamada de pré-aditivo . Se, além disso, a categoria tiver todos os produtos e coprodutos finitos , é chamada de categoria de aditivos . Se todos os morfismos têm um kernel e um cokernels , e todos os epimorfismos são cokernels e todos os monomorfismos são kernels, então falamos de uma categoria abeliana . Um exemplo típico de uma categoria abeliana é a categoria de grupos abelianos.
  • Uma categoria é chamada completa se todos os pequenos limites existirem nela. As categorias de conjuntos, grupos abelianos e espaços topológicos estão completos.
  • Uma categoria é denominada cartesiana fechada se possui produtos diretos finitos e um morfismo definido em um produto finito pode sempre ser representado por um morfismo definido em apenas um dos fatores. Os exemplos incluem Set e CPO , a categoria de pedidos parciais completos com funções contínuas de Scott .
  • Um topos é um certo tipo de categoria cartesiana fechada em que toda a matemática pode ser formulada (assim como classicamente toda a matemática é formulada na categoria de conjuntos). Um topos também pode ser usado para representar uma teoria lógica.

Veja também

Notas

Referências

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  • categoria no nLab