Álgebra universal - Universal algebra

Álgebra universal (às vezes chamada de álgebra geral ) é o campo da matemática que estuda as próprias estruturas algébricas , não exemplos ("modelos") de estruturas algébricas. Por exemplo, em vez de tomar grupos específicos como objeto de estudo, na álgebra universal toma-se a classe de grupos como objeto de estudo.

Ideia básica

Em álgebra universal, uma álgebra (ou algébrica estrutura ) é um conjunto de um conjunto com uma colecção de operações sobre uma . Um n - ário operação em Um é uma função que leva n elementos de um e retorna um único elemento de uma . Assim, uma operação 0-ária (ou operação nula ) pode ser representada simplesmente como um elemento de A , ou uma constante , freqüentemente denotada por uma letra como a . Uma operação 1-ária (ou operação unária ) é simplesmente uma função de A para A , frequentemente denotada por um símbolo colocado na frente de seu argumento, como ~ x . Uma operação 2-ária (ou operação binária ) é freqüentemente denotada por um símbolo colocado entre seus argumentos, como x ∗ y . Operações de aridade superior ou não especificada são geralmente denotadas por símbolos de função, com os argumentos colocados entre parênteses e separados por vírgulas, como f ( x , y , z ) ou f ( x ₁ , ..., x _n ). Alguns pesquisadores permitem operações infinitárias , como onde J é um conjunto de índices infinitos , levando assim à teoria algébrica de redes completas . Uma maneira de falar sobre álgebra, então, é referindo-se a ela como uma álgebra de certo tipo , onde é uma seqüência ordenada de números naturais que representam a aridade das operações da álgebra. ${\ displaystyle \ textstyle \ bigwedge _ {\ alpha \ in J} x _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ Omega}$

Equações

Depois que as operações foram especificadas, a natureza da álgebra é posteriormente definida por axiomas , que na álgebra universal frequentemente assumem a forma de identidades ou leis equacionais. Um exemplo é o axioma associativo para uma operação binária, que é dado pela equação x ∗ ( y ∗ z ) = ( x ∗ y ) ∗ z . O axioma destina-se a preensão de todos os elementos de x , y , e z do conjunto Uma .

Variedades

Uma coleção de estruturas algébricas definidas por identidades é chamada de variedade ou classe equacional .

Restringir o estudo às variedades exclui:

quantificação , incluindo quantificação universal ( ) exceto antes de uma equação, e quantificação existencial ( ), bem como lógica de predicado ${\ displaystyle \ forall}$ ${\ displaystyle \ existe}$
relações que não sejam a igualdade, em particular as desigualdades , tanto a ≠ b e ordem de relações

O estudo de classes equacionais pode ser visto como um ramo especial da teoria do modelo , normalmente lidando com estruturas tendo apenas operações (ou seja, o tipo pode ter símbolos para funções, mas não para relações que não sejam de igualdade), e na qual a linguagem usada para falar essas estruturas usam apenas equações.

Nem todas as estruturas algébricas em um sentido mais amplo se enquadram neste escopo. Por exemplo, grupos ordenados envolvem uma relação de ordenação, portanto, não cairiam neste escopo.

A classe de campos não é uma classe equacional porque não há nenhum tipo (ou "assinatura") em que todas as leis de campo podem ser escritas como equações (inversos de elementos são definidos para todos os elementos diferentes de zero em um campo, então a inversão não pode ser adicionado ao tipo).

Uma vantagem dessa restrição é que as estruturas estudadas na álgebra universal podem ser definidas em qualquer categoria que tenha produtos finitos . Por exemplo, um grupo topológico é apenas um grupo na categoria de espaços topológicos .

Exemplos

A maioria dos sistemas algébricos usuais da matemática são exemplos de variedades, mas nem sempre de maneira óbvia, uma vez que as definições usuais freqüentemente envolvem quantificação ou desigualdades.

Grupos

Como exemplo, considere a definição de um grupo . Normalmente, um grupo é definido em termos de uma única operação binária ∗, sujeita aos axiomas:

Associatividade (como na seção anterior ): x ∗ ( y ∗ z ) = ( x ∗ y ) ∗ z ; formalmente: ∀ x , y , z . x ∗ ( y ∗ z ) = ( x ∗ y ) ∗ z .
Elemento de identidade : existe um elemento e tal que para cada elemento x , tem-se e ∗ x = x = x ∗ e ; formalmente: ∃ e ∀ x . e ∗ x = x = x ∗ e .
Elemento inverso : o elemento de identidade é facilmente visto como único e geralmente é denotado por e . Então, para cada x , existe um elemento i tal que x ∗ i = e = i ∗ x ; formalmente: ∀ x ∃ i . x ∗ i = e = i ∗ x .

(Alguns autores também usam o axioma de " fechamento " de que x ∗ y pertence a A sempre que x e y o fazem, mas aqui isso já está implícito ao chamar ∗ uma operação binária.)

Esta definição de grupo não se ajusta imediatamente ao ponto de vista da álgebra universal, porque os axiomas do elemento de identidade e inversão não são declarados puramente em termos de leis equacionais que se aplicam universalmente a elementos "para todos ...", mas também envolvem o quantificador existencial "existe ...". Os axiomas de grupo podem ser expressos como equações quantificadas universalmente, especificando, além da operação binária ∗, uma operação nula e e uma operação unária ~, com ~ x geralmente escrito como x ⁻¹ . Os axiomas se tornam:

Associatividade: x ∗ ( y ∗ z ) = ( x ∗ y ) ∗ z .
Elemento de identidade: e ∗ x = x = x ∗ e ; formalmente: ∀ x . e ∗ x = x = x ∗ e .
Elemento inverso: x ∗ (~ x ) = e = (~ x ) ∗ x formalmente: ∀ x . x ∗ ~ x = e = ~ x ∗ x .

Para resumir, a definição usual tem:

uma única operação binária ( assinatura (2))
1 lei equacional (associatividade)
2 leis quantificadas (identidade e inversa)

enquanto a definição de álgebra universal tem:

3 operações: uma binária, uma unária e uma nula ( assinatura (2,1,0))
3 leis equacionais (associatividade, identidade e inversa)
sem leis quantificadas (exceto quantificadores universais mais externos, que são permitidos em variedades)

Um ponto chave é que as operações extras não adicionam informações, mas seguem exclusivamente a definição usual de um grupo. Embora a definição usual não especifique exclusivamente o elemento de identidade e , um exercício fácil mostra que ele é único, assim como cada elemento inverso .

O ponto de vista da álgebra universal é bem adaptado à teoria das categorias. Por exemplo, ao definir um objeto de grupo na teoria das categorias, onde o objeto em questão pode não ser um conjunto, deve-se usar leis equacionais (que fazem sentido em categorias gerais), em vez de leis quantificadas (que se referem a elementos individuais). Além disso, o inverso e a identidade são especificados como morfismos na categoria. Por exemplo, em um grupo topológico , o inverso não deve existir apenas no elemento, mas deve fornecer um mapeamento contínuo (um morfismo). Alguns autores também exigem que o mapa de identidade seja uma inclusão fechada (uma co - calibração ).

Outros exemplos

A maioria das estruturas algébricas são exemplos de álgebras universais.

Anéis , semigrupos , quase-grupos , grupóides , magmas , loops e outros.
Espaços vetoriais sobre um campo fixo e módulos sobre um anel fixo são álgebras universais. Eles têm uma adição binária e uma família de operadores de multiplicação escalar unário, um para cada elemento do campo ou anel.

Exemplos de álgebras relacionais incluem semilattices , reticulados e álgebras booleanas .

Construções básicas

Assumimos que o tipo ,, foi corrigido. Então, há três construções básicas na álgebra universal: imagem homomórfica, subálgebra e produto. ${\ displaystyle \ Omega}$

Um homomorfismo entre duas álgebras A e B é uma função h : A → B do conjunto A para o conjunto B tal que, para cada operação f _A de A e correspondente f _B de B (de aridade, digamos, n ), h ( f _A ( x ₁ , ..., x _n )) = f _B ( h ( x ₁ ), ..., h ( x _n )). (Por vezes, os subscritos em f são retirados quando é evidente do contexto que a função é álgebra de.) Por exemplo, se e é uma constante (operação nullary), em seguida, h ( E _UM ) = e _B . Se ~ for uma operação unária, então h (~ x ) = ~ h ( x ). Se ∗ for uma operação binária, então h ( x ∗ y ) = h ( x ) ∗ h ( y ). E assim por diante. Algumas das coisas que podem ser feitas com homomorfismos, bem como definições de certos tipos especiais de homomorfismos, estão listadas na entrada Homomorfismo . Em particular, podemos obter a imagem homomórfica de uma álgebra, h ( A ).

Um subálgebra de A é um subconjunto de um que é fechada em todas as operações de Uma . Um produto de algum conjunto de estruturas algébricas é o produto cartesiano dos conjuntos com as operações definidas de forma coordenada.

Alguns teoremas básicos

Os teoremas de isomorfismo , que englobam os teoremas de isomorfismo de grupos , anéis , módulos , etc.
Teorema HSP de Birkhoff , que afirma que uma classe de álgebras é uma variedade se e somente se for fechada sob imagens homomórficas, subálgebras e produtos diretos arbitrários.

Motivações e aplicações

Além de sua abordagem unificadora, álgebra universal também fornece teoremas profundos e exemplos e contra-exemplos importantes. Ele fornece uma estrutura útil para aqueles que pretendem iniciar o estudo de novas classes de álgebras. Ele pode permitir o uso de métodos inventados para algumas classes particulares de álgebras para outras classes de álgebras, reformulando os métodos em termos de álgebra universal (se possível) e, em seguida, interpretando-os como aplicados a outras classes. Ele também forneceu esclarecimento conceitual; como diz JDH Smith: "O que parece confuso e complicado em uma estrutura específica pode se tornar simples e óbvio em uma estrutura geral adequada."

Em particular, a álgebra universal pode ser aplicada ao estudo de monoides , anéis e reticulados . Antes do surgimento da álgebra universal, muitos teoremas (principalmente os teoremas de isomorfismo ) foram provados separadamente em todas essas classes, mas com a álgebra universal, eles podem ser provados de uma vez por todas para todo tipo de sistema algébrico.

O artigo de 1956 de Higgins referenciado abaixo foi bem seguido por sua estrutura para uma gama de sistemas algébricos particulares, enquanto seu artigo de 1963 é notável por sua discussão de álgebras com operações que são apenas parcialmente definidas, exemplos típicos disso sendo categorias e grupóides. . Isso leva ao assunto da álgebra de dimensão superior, que pode ser definida como o estudo de teorias algébricas com operações parciais cujos domínios são definidos sob condições geométricas. Exemplos notáveis disso são as várias formas de categorias e grupóides de dimensão superior.

Problema de satisfação de restrição

A álgebra universal fornece uma linguagem natural para o problema de satisfação de restrições (CSP) . CSP refere-se a uma importante classe de problemas computacionais, onde, dada uma álgebra relacional $A$ e um existencial frase sobre esta álgebra, a questão é saber se pode ser satisfeita em $A$ . A álgebra $A$ é freqüentemente fixa, de modo que $CSP$ $A$ se refere ao problema cuja instância é apenas a sentença existencial . ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ varphi}$

Está provado que todo problema computacional pode ser formulado como $CSP A$ para alguma álgebra $A$ .

Por exemplo, o problema de n- coloração pode ser declarado como CSP da álgebra , ou seja, uma álgebra com elementos e uma única relação, desigualdade. ${\ displaystyle {\ big (} \ {0,1, \ dots, n-1 \}, \ neq {\ big)}}$ ${\ displaystyle n}$

A conjectura dicotômica (provada em abril de 2017) afirma que se $A$ é uma álgebra finita, então $CSP A$ é P ou NP-completo .

Generalizações

A álgebra universal também foi estudada usando as técnicas da teoria das categorias . Nessa abordagem, em vez de escrever uma lista de operações e equações obedecidas por essas operações, pode-se descrever uma estrutura algébrica usando categorias de um tipo especial, conhecidas como teorias de Lawvere ou, mais geralmente, teorias algébricas . Alternativamente, pode-se descrever estruturas algébricas usando mônadas . As duas abordagens estão intimamente relacionadas, cada uma com suas próprias vantagens. Em particular, toda teoria de Lawvere fornece uma mônada na categoria de conjuntos, enquanto qualquer mônada "finitária" na categoria de conjuntos surge de uma teoria de Lawvere. No entanto, uma mônada descreve estruturas algébricas dentro de uma categoria particular (por exemplo, a categoria de conjuntos), enquanto as teorias algébricas descrevem a estrutura dentro de qualquer uma de uma grande classe de categorias (ou seja, aquelas com produtos finitos ).

Um desenvolvimento mais recente na teoria das categorias é a teoria do operad - um operad é um conjunto de operações, semelhante a uma álgebra universal, mas restrito no sentido de que as equações só são permitidas entre expressões com as variáveis, sem duplicação ou omissão de variáveis permitidas. Assim, os anéis podem ser descritos como as chamadas "álgebras" de algum operad, mas não grupos, uma vez que a lei duplica a variável g do lado esquerdo e a omite do lado direito. À primeira vista, isso pode parecer uma restrição problemática, mas a recompensa é que operads têm certas vantagens: por exemplo, pode-se hibridizar os conceitos de anel e espaço vetorial para obter o conceito de álgebra associativa , mas não se pode formar um híbrido semelhante de os conceitos de grupo e espaço vetorial. ${\ displaystyle gg ^ {- 1} = 1}$

Outro desenvolvimento é a álgebra parcial, onde os operadores podem ser funções parciais . Certas funções parciais também podem ser tratadas por uma generalização das teorias de Lawvere conhecidas como teorias essencialmente algébricas .

Outra generalização da álgebra universal é a teoria do modelo , que às vezes é descrita como "álgebra universal + lógica".

História

No livro A Treatise on Universal Algebra, de Alfred North Whitehead , publicado em 1898, o termo álgebra universal tinha essencialmente o mesmo significado que tem hoje. Whitehead credita William Rowan Hamilton e Augustus De Morgan como criadores do assunto, e James Joseph Sylvester por cunhar o próprio termo.

Na época, estruturas como álgebras de Lie e quatérnios hiperbólicos chamavam a atenção para a necessidade de expandir as estruturas algébricas além da classe associativamente multiplicativa. Em uma revisão, Alexander Macfarlane escreveu: "A idéia principal do trabalho não é a unificação dos vários métodos, nem a generalização da álgebra comum para incluí-los, mas sim o estudo comparativo de suas várias estruturas." Na época , a álgebra lógica de George Boole fazia um forte contraponto à álgebra numérica comum, de modo que o termo "universal" serviu para acalmar sensibilidades tensas.

Os primeiros trabalhos de Whitehead procuraram unificar quatérnios (devido a Hamilton), a Ausdehnungslehre de Grassmann e a álgebra da lógica de Boole. Whitehead escreveu em seu livro:

"Tais álgebras têm um valor intrínseco para um estudo detalhado separado; também são dignas de estudo comparativo, por causa da luz assim lançada sobre a teoria geral do raciocínio simbólico, e sobre o simbolismo algébrico em particular. O estudo comparativo pressupõe necessariamente algum estudo separado, sendo a comparação impossível sem conhecimento. "

Whitehead, entretanto, não teve resultados de natureza geral. O trabalho sobre o assunto foi mínimo até o início dos anos 1930, quando Garrett Birkhoff e Øystein Ore começaram a publicar álgebras universais. Desenvolvimentos em metamatemática e teoria das categorias nas décadas de 1940 e 1950 promoveram o campo, particularmente o trabalho de Abraham Robinson , Alfred Tarski , Andrzej Mostowski e seus alunos.

No período entre 1935 e 1950, a maioria dos artigos foi escrita de acordo com as linhas sugeridas pelos artigos de Birkhoff, lidando com álgebras livres , redes de congruência e subálgebra e teoremas de homomorfismo. Embora o desenvolvimento da lógica matemática tenha possibilitado as aplicações da álgebra, elas surgiram lentamente; os resultados publicados por Anatoly Maltsev na década de 1940 passaram despercebidos por causa da guerra. A palestra de Tarski no Congresso Internacional de Matemáticos de 1950 em Cambridge inaugurou um novo período no qual aspectos teóricos do modelo foram desenvolvidos, principalmente pelo próprio Tarski, bem como por CC Chang, Leon Henkin , Bjarni Jónsson , Roger Lyndon e outros.

No final dos anos 1950, Edward Marczewski enfatizou a importância das álgebras livres, levando à publicação de mais de 50 artigos sobre a teoria algébrica de álgebras livres pelo próprio Marczewski, juntamente com Jan Mycielski , Władysław Narkiewicz, Witold Nitka, J. Płonka, S Świerczkowski, K. Urbanik e outros.

Começando com a tese de William Lawvere em 1963, as técnicas da teoria das categorias tornaram-se importantes na álgebra universal.

Veja também

Notas de rodapé

Referências

Bergman, George M., 1998. An Invitation to General Algebra and Universal Constructions (pub. Henry Helson, 15 the Crescent, Berkeley CA, 94708) 398 pp. ISBN 0-9655211-4-1 .
Birkhoff, Garrett, 1946. Universal algebra. Comptes Rendus du Premier Congrès Canadien de Mathématiques , University of Toronto Press, Toronto, pp. 310-326.
Burris, Stanley N. e HP Sankappanavar, 1981. A Course in Universal Algebra Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 Edição online gratuita .
Cohn, Paul Moritz, 1981. Universal Algebra . Dordrecht, Holanda: D.Reidel Publishing. ISBN 90-277-1213-1 (publicado pela primeira vez em 1965 por Harper & Row)
Freese, Ralph e Ralph McKenzie, 1987. Commutator Theory for Congruence Modular Varieties , 1ª ed. Série de notas de aula da London Mathematical Society, 125. Cambridge Univ. Pressione. ISBN 0-521-34832-3 . Segunda edição online gratuita .
Grätzer, George, 1968. Universal Algebra D. Van Nostrand Company, Inc.
Higgins, PJ Grupos com vários operadores . Proc. London Math. Soc. (3) 6 (1956), 366–416.
Higgins, PJ, Algebras com um esquema de operadores. Mathematische Nachrichten (27) (1963) 115-132.
Hobby, David e Ralph McKenzie, 1988. The Structure of Finite Algebras American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3400-2 . Edição online gratuita.
Jipsen, Peter e Henry Rose, 1992. Varieties of Lattices , Lecture Notes in Mathematics 1533. Springer Verlag. ISBN 0-387-56314-8 . Edição online gratuita .
Pigozzi, Don. Teoria Geral das Álgebras . Edição online gratuita.
Smith, JDH, 1976. Mal'cev Varieties , Springer-Verlag.
Whitehead, Alfred North , 1898. A Treatise on Universal Algebra , Cambridge. ( Principalmente de interesse histórico. )

links externos

Algebra Universalis —um jornal dedicado à Álgebra Universal.

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