Axiom - Axiom


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Um axioma ou postulado é uma afirmação que é considerado como sendo verdadeira , para servir como uma premissa de ponto ou de partida para mais raciocínio e argumentos. A palavra vem do grego Axioma ( ἀξίωμα ) 'aquilo que é considerado digno ou ajuste' ou 'o que se recomenda, como é evidente.'

O termo tem diferenças subtis na definição quando usados no contexto de diferentes campos de estudo. Conforme definido na filosofia clássica , um axioma é uma afirmação que é tão evidente ou bem estabelecida, que é aceita sem controvérsia ou questão. Conforme utilizado na moderna lógica , um axioma é um ponto local ou de partida para o raciocínio.

Como usado em matemática , o termo axioma é usado em duas relacionados, mas distinguíveis sentidos: "axiomas lógicos" e "axiomas não-lógicos" . Axiomas lógicos são geralmente instruções que são tomadas para ser verdade dentro do sistema de lógica que define (por exemplo, ( A e B ) implica A ), frequentemente demonstrado de forma simbólica, enquanto axiomas não-lógicos (por exemplo, um + b = b + um ) são, na verdade, as afirmações substanciais sobre os elementos do domínio de uma teoria matemática específico (tais como aritmética ). Quando utilizado no último sentido, "axioma", "postulado", e "suposição" podem ser utilizados alternadamente. Em geral, um axioma não-lógico não é uma verdade auto-evidente, mas sim uma expressão lógica formal usada na dedução de construir uma teoria matemática. Para axiomatizar um sistema de conhecimento é mostrar que as suas reivindicações pode ser derivada a partir de um pequeno conjunto, bem entendido de frases (os axiomas). Há tipicamente várias maneiras de axiomatizar um determinado domínio matemático.

Qualquer axioma é uma afirmação que serve como ponto de partida a partir do qual outras afirmações são logicamente derivado. Se é significativo (e, em caso afirmativo, o que significa) para um axioma para ser "verdadeira" é um assunto de debate na filosofia da matemática .

Etimologia

A palavra axioma vem do grego palavra ἀξίωμα ( Axioma ), um substantivo verbal do verbo ἀξιόειν ( axioein ), que significa "considerem digna", mas também "exigir", que por sua vez vem de ἄξιος ( Axios ), que significa " estar em equilíbrio", e, portanto, 'ter (o mesmo) valor (as)', 'digna', 'bom'. Entre os antigos gregos filósofos um axioma era uma reivindicação que poderia ser visto para ser verdade sem qualquer necessidade de prova.

O significado da raiz da palavra postulado é a "procura"; por exemplo, Euclides exige que se concordar que algumas coisas podem ser feitas, por exemplo, quaisquer dois pontos podem ser unidos por uma linha reta, etc.

Geômetras antigos mantido alguma distinção entre axiomas e postulados. Ao comentar sobre os livros de Euclides, Proclus observa que, " Geminus considerou que este [4] Postulado não deve ser classificado como um postulado, mas como um axioma, uma vez que não faz, como os três primeiros postulados, afirmar a possibilidade de alguma construção, mas expressa uma propriedade essencial ". Boécio traduzido 'postulado', como petição e chamou os axiomas notiones comunas mas em manuscritos posteriores esse uso nem sempre foi rigorosamente mantido.

Desenvolvimento histórico

gregos cedo

O método lógico-dedutivo pelo qual conclusões (novo conhecimento) seguem a partir de premissas (conhecimentos de idade) através da aplicação de argumentos sólidos ( silogismos , regras de inferência), foi desenvolvido pelos antigos gregos, e tornou-se o princípio fundamental da matemática moderna. Tautologias excluídos, nada pode ser deduzido se nada for assumido. Axiomas e postulados são os pressupostos básicos subjacentes a um determinado corpo de conhecimento dedutivo. Eles são aceitos sem demonstração. Todas as outras afirmações ( teoremas , se estamos falando de matemática) deve ser comprovada com a ajuda destes pressupostos básicos. No entanto, a interpretação do conhecimento matemático mudou desde os tempos antigos para o moderno, e, consequentemente, os termos do axioma e postulado segurar um significado ligeiramente diferente para o presente matemático dia, do que eles fizeram para Aristóteles e Euclides .

Os antigos gregos considerada geometria como apenas uma das várias ciências , e segurou os teoremas da geometria em pé de igualdade com os fatos científicos. Como tal, eles desenvolvido e utilizado o método lógico-dedutivo como um meio para evitar o erro, e para a estruturação e o conhecimento comunicar. De Aristóteles análises posteriores é uma exposição definitiva da visão clássica.

Um "axioma", na terminologia clássica, se referia a uma suposição de auto-evidente comum a muitos ramos da ciência. Um bom exemplo seria a afirmação de que

Quando uma quantidade igual é retirado iguais, resulta um montante igual.

Na base das várias ciências colocar certas hipóteses adicionais que foram aceitos sem provas. Uma tal hipótese foi denominado um postulado . Enquanto os axiomas eram comuns a várias ciências, os postulados de cada ciência particular, eram diferentes. Sua validade teve de ser estabelecido por meio de experiência no mundo real. De fato, Aristóteles avisa que o conteúdo de uma ciência não pode ser comunicada com sucesso, se o aluno está em dúvida sobre a verdade dos postulados.

A abordagem clássica é bem ilustrada por Elementos de Euclides , onde uma lista de postulados é dada (fatos geométricos do senso-comum extraídas de nossa experiência), seguido de uma lista de "noções comuns" (afirmações muito básicos, auto-evidentes).

postulados
  1. É possível traçar uma linha reta a partir de qualquer ponto a qualquer outro ponto.
  2. É possível estender um segmento de linha contínua em ambos os sentidos.
  3. É possível descrever um círculo com qualquer centro e qualquer raio.
  4. É verdade que todos os ângulos retos são iguais entre si.
  5. ( " Postulado paralelo ") É verdade que, se uma linha recta que corta duas linhas rectas fazer os ângulos internos do mesmo lado inferior a dois ângulos retos, as duas linhas rectas, se produzidas indefinidamente, se cruzam naquele lado em que estão os ângulos menos do que os dois ângulos retos.
noções comuns
  1. Coisas que são iguais à mesma coisa também são iguais entre si.
  2. Se iguais são adicionados à iguais, os conjuntos são iguais.
  3. Se iguais são subtraídos iguais, os restantes são iguais.
  4. Coisas que coincidem um com o outro são iguais entre si.
  5. O todo é maior do que a parte.

desenvolvimento moderno

Uma lição aprendida pela matemática nos últimos 150 anos é que ele é útil para tirar o significado longe das afirmações matemáticas (axiomas, postulados, proposições , teoremas) e definições. Deve-se admitir a necessidade de noções primitivas , ou termos ou conceitos indefinidos, em qualquer estudo. Tal abstracção ou formalização faz conhecimento matemático mais geral, capaz de múltiplos significados diferentes, e, portanto, úteis em vários contextos. Alessandro Padoa , Mario Pieri , e Giuseppe Peano foram pioneiros neste movimento.

Matemática estruturalistas vai mais longe, e desenvolve teorias e axiomas (por exemplo, a teoria de campo , a teoria do grupo , topologia , espaços vetoriais ), sem qualquer aplicação específica em mente. A distinção entre um "axioma" e um "postulado" desaparece. Os postulados de Euclides são rentável motivado por dizer que eles levam a uma grande riqueza de fatos geométricos. A verdade desses fatos complicados repousa sobre a aceitação das hipóteses básicas. No entanto, jogando fora quinto postulado de Euclides temos teorias que têm significado em contextos mais amplos, geometria hiperbólica , por exemplo. Devemos simplesmente estar preparado para usar rótulos como "linha" e "paralelo" com maior flexibilidade. O desenvolvimento da geometria ensinou matemáticos hiperbólicas que postulados devem ser considerados como puramente declarações formais, e não como fatos com base na experiência.

Quando matemáticos empregam os campos axiomas, as intenções são ainda mais abstrato. As proposições da teoria de campo não dizem respeito qualquer aplicação em particular; o matemático agora trabalha em completa abstração. Há muitos exemplos de campos; teoria do campo dá conhecimento correto sobre todos eles.

Não é correto dizer que os axiomas da teoria de campo são "proposições que são considerados como verdade sem prova." Em vez disso, os axiomas de campo são um conjunto de restrições. Se um determinado sistema de adição e multiplicação satisfaz essas restrições, em seguida, um está em uma posição para saber instantaneamente uma grande quantidade de informação extra sobre este sistema.

Matemática moderna formaliza seus fundamentos de tal forma que as teorias matemáticas podem ser considerados como objetos matemáticos, e da própria matemática pode ser considerada como um ramo da lógica . Frege , Russell , Poincaré , Hilbert e Gödel são algumas das figuras-chave nesse desenvolvimento.

No entendimento moderno, um conjunto de axiomas é qualquer coleção de asserções formalmente declarados a partir do qual outras afirmações formalmente declarados seguem pela aplicação de certas regras bem definidas. Nesta visão, a lógica se torna apenas um outro sistema formal. Um conjunto de axiomas deve ser consistente ; que deveria ser impossível derivar uma contradição a partir do axioma. Um conjunto de axiomas deve também ser não-redundante; uma afirmação que pode ser deduzida a partir de outros axiomas não precisa ser considerado como um axioma.

Foi o início de esperança dos lógicos modernos que vários ramos da matemática, talvez toda a matemática, poderiam ser derivados de uma coleção consistente de axiomas básicos. Um sucesso inicial do programa formalista era formalização de Hilbert da geometria euclidiana , ea demonstração relacionados com a consistência dos axiomas.

Em um contexto mais amplo, houve uma tentativa de basear toda a matemática na de Cantor teoria dos conjuntos . Aqui o surgimento de paradoxo de Russell , e antinomias semelhantes de teoria dos conjuntos ingênua levantou a possibilidade de que tal sistema poderia vir a ser inconsistente.

O projeto formalista sofreu um revés decisivo, quando em 1931 Gödel mostrou que é possível, para qualquer suficientemente grande conjunto de axiomas ( axiomas de Peano , por exemplo) para construir uma declaração cuja verdade é independente do conjunto de axiomas. Como um corolário , Gödels provou que a consistência de uma teoria como aritmética de Peano é uma afirmação improvável dentro do âmbito de aplicação desta teoria.

É razoável acreditar na consistência da aritmética de Peano, pois está satisfeito com o sistema de números naturais , uma infinita sistema formal, mas intuitivamente acessível. No entanto, neste momento, não há nenhuma maneira conhecida de demonstrar a consistência dos modernos axiomas de Zermelo-Fraenkel para a teoria dos conjuntos. Além disso, usando técnicas de forçando ( Cohen ) pode-se mostrar que a hipótese do contínuo (Cantor) é independente dos axiomas Zermelo-Fraenkel. Assim, mesmo este conjunto muito geral de axiomas não pode ser considerado como a base definitiva para a matemática.

outras ciências

Axiomas desempenham um papel fundamental não só em matemática, mas também em outras ciências, nomeadamente em física teórica . Em particular, a obra monumental de Isaac Newton é essencialmente baseado em Euclides axiomas 's, aumentados por um postulado sobre a não-relação de tempo-espaço e a física que ocorrem nele a qualquer momento.

Em 1905, axiomas de Newton foram substituídos por aqueles de Albert Einstein 's relatividade especial , e mais tarde por aqueles de relatividade geral .

Outro papel de Albert Einstein e colegas de trabalho (ver EPR paradoxo ), quase imediatamente contradito por Niels Bohr , em causa a interpretação da mecânica quântica . Isso foi em 1935. De acordo com Bohr, essa nova teoria deve ser probabilística , enquanto que de acordo com Einstein deve ser determinista . Notavelmente, a teoria da mecânica quântica subjacente, ou seja, o conjunto de "teoremas" derivados por ele, parecia ser idêntica. Einstein ainda assumiu que seria suficiente para adicionar à mecânica quântica "variáveis ocultas" para impor determinismo. No entanto, trinta anos depois, em 1964, John Bell encontrou um teorema, envolvendo correlações ópticos complicadas (veja as desigualdades de Bell ), que rendeu mensurável resultados diferentes usando axiomas de Einstein comparado ao uso de axiomas de Bohr. E demorou cerca de mais vinte anos, até que um experimento de Alain Aspect tem resultado em favor de axiomas de Bohr, e não Einstein. (Axiomas de Bohr são simplesmente: A teoria deve ser probabilística, no sentido da interpretação de Copenhague ).

Como consequência, não é necessário citar explicitamente axiomas de Einstein, tanto mais que se referem os pontos sutis sobre a "realidade" e "localidade" de experimentos.

Independentemente disso, o papel de axioma na matemática e nas ciências acima mencionados é diferente. Em matemática uma nem "prova" nem "refuta" um axioma para um conjunto de teoremas; o ponto é simplesmente que na esfera conceitual identificado pelos axiomas, teoremas logicamente seguir. Em contraste, na física uma comparação com experimentos sempre faz sentido, uma vez que uma falsa teoria física precisa de modificação.

lógica matemática

No campo da lógica matemática , uma distinção clara entre duas noções de axiomas: lógica e não-lógico (um pouco semelhante à antiga distinção entre "axiomas" e "postulados", respectivamente).

axiomas lógicos

Estes são certas fórmulas em uma linguagem formal que são universalmente válida , isto é, fórmulas que são satisfeitas por cada atribuição de valores. Normalmente se leva axiomas como lógicas , pelo menos, um conjunto mínimo de tautologias que é suficiente para provar todas as tautologias na língua; no caso da lógica de predicados são necessários axiomas mais lógico do que, a fim de provar verdades lógicas que não são tautologias no sentido estrito.

Exemplos

Lógica proposicional

Na lógica proposicional é comum a tomar axiomas como lógicas todas as fórmulas das seguintes formas, onde , e podem ser quaisquer fórmulas da língua e onde os incluídos conectivos primitivos são apenas " " para negação do imediatamente seguinte proposição e " " para implicação de antecedente para conseqüente proposições:

Cada um desses padrões é um esquema de axioma , uma regra para gerar um número infinito de axiomas. Por exemplo, se , e são variáveis proposicionais , em seguida, e são ambas as instâncias do esquema axioma 1, e, portanto, são axiomas. Pode ser mostrado que, com apenas estes três axioma os esquemas e os modus ponens , pode-se provar todas as tautologias do cálculo proposicional. Ele também pode ser mostrado que nenhum par de estes esquemas é suficiente para provar todas tautologias com ponente modus .

Outros esquemas axioma envolvendo os mesmos ou diferentes conjuntos de conectivos primitivos podem ser alternativamente construída.

Estes esquemas axioma também são utilizados no cálculo de predicados , mas axiomas lógicos adicionais são necessários para incluir um quantificador no cálculo.

lógica de primeira ordem

Axioma da igualdade. Vamos ser uma linguagem de primeira ordem . Para cada variável , a fórmula

é universalmente válida.

Isto significa que, para qualquer símbolo variável a fórmula pode ser considerado como um axioma. Além disso, neste exemplo, para esta não cair na imprecisão e uma série interminável de "noções primitivas", quer uma noção precisa do que se entende por (ou, para essa matéria, "o ser igual") tem que ser bem estabelecido pela primeira vez, ou um uso puramente formal e sintática do símbolo deve ser executada somente considerando-o como uma string e somente uma seqüência de símbolos e lógica matemática, de fato, fazer isso.

Outro exemplo, mais interessante esquema de axioma , é o que nos fornece com o que é conhecido como Universal instanciação :

Esquema de axioma para Universal instanciação. Dada uma fórmula em uma linguagem de primeira ordem , uma variável e um termo que é substituível por em , a fórmula

é universalmente válida.

Onde o símbolo significa a fórmula com o termo substituído por . (Veja Substituição de variáveis .) Em termos informais, este exemplo permite-nos afirmar que, se sabemos que uma determinada propriedade vale para cada e que representa um objeto em particular na nossa estrutura, então devemos ser capazes de reivindicar . Mais uma vez, estamos afirmando que a fórmula é válido , isto é, temos de ser capazes de dar uma "prova" desse fato, ou mais propriamente falando, um metaproof . Na verdade, estes exemplos são metateoremas de nossa teoria da lógica matemática, uma vez que estamos lidando com o próprio conceito de prova em si. Afora isso, também podemos ter generalização existencial :

Esquema de axioma para Existencial Generalização. Dada uma fórmula em uma linguagem de primeira ordem , uma variável e um termo que é substituível por em , a fórmula

é universalmente válida.

axiomas não-lógicos

Axiomas não-lógicos são fórmulas que desempenham o papel de pressupostos específicos da teoria. Fundamentação cerca de duas estruturas diferentes, por exemplo os números naturais e os inteiros , pode envolver as mesmas axiomas lógicos; axiomas não-lógicos objectivo de capturar o que é de especial sobre uma estrutura particular (ou um conjunto de estruturas, tais como os grupos ). Axiomas, assim, não-lógicos, ao contrário de axiomas lógicos, não são tautologias . Outro nome para um axioma não-lógico é postulado .

Quase todos os moderna teoria matemática começa a partir de um dado conjunto de axiomas não-lógicos, e pensava-se que, em princípio, toda teoria poderia ser axiomatizada neste caminho e formalizada até o idioma nua de fórmulas lógicas.

Axiomas não-lógicos são muitas vezes simplesmente referido como axiomas em matemática discurso . Isso não significa que se afirma que elas são verdadeiras em algum sentido absoluto. Por exemplo, em alguns grupos, a operação de grupo é comutativa , e isso pode ser afirmado com a introdução de um axioma adicional, mas sem este axioma que podemos fazer muito bem em desenvolvimento (mais geral) a teoria do grupo, e pode até mesmo levar a sua negação como um axioma para o estudo de grupos não-conmutativos.

Assim, um axioma é uma base fundamental para um sistema de lógica formal que, juntamente com as regras de inferência definir um sistema dedutivo .

Exemplos

Esta seção dá exemplos de teorias matemáticas que são desenvolvidos inteiramente a partir de um conjunto de axiomas não-lógicos (axiomas, de agora em diante). Um tratamento rigoroso de qualquer um destes tópicos começa com uma especificação desses axiomas.

Teorias básicas, tais como aritmética , análise real e complexa análise são muitas vezes introduzidas não axiomaticamente, mas implícita ou explicitamente, geralmente há um pressuposto de que os axiomas sendo usado são os axiomas de Zermelo-Fraenkel com a escolha, abreviado ZFC, ou algum sistema muito semelhante da teoria dos conjuntos axiomático como Von Neumann-Bernays-Gödels definido teoria , uma extensão conservativa de ZFE. Teorias, por vezes, um pouco mais fortes, como Morse-Kelley teoria dos conjuntos ou a teoria dos conjuntos com um cardeal fortemente inacessível permitindo o uso de um universo de Grothendieck são utilizados, mas na verdade a maioria dos matemáticos realmente podem provar tudo o que precisam em sistemas mais fracos do que ZFC, como segunda encomendar aritmética .

O estudo de topologia em matemática se estende a todo através de topologia de ponto de ajuste , topologia algébrica , topologia diferencial , e todos os apetrechos relacionadas, tais como a teoria de homologia , homotopia . O desenvolvimento da álgebra abstrata trouxe consigo a teoria do grupo , anéis , campos e teoria de Galois .

Esta lista poderia ser expandida para incluir a maioria dos campos da matemática, incluindo a teoria da medida , teoria ergódica , probabilidade , teoria da representação , e geometria diferencial .

Aritmética

Os axiomas Peano é o mais amplamente utilizado axiomatization de aritmética de primeira ordem . Eles são um conjunto de axiomas fortes o suficiente para provar muitos fatos importantes sobre a teoria dos números e eles permitiram que Gödel para estabelecer seu famoso segundo teorema da incompletude .

Nós temos uma linguagem em que é um símbolo constante e é uma função unária e os seguintes axiomas:

  1. para qualquer fórmula com uma variável livre.

A estrutura padrão é onde é o conjunto de números naturais, é a função sucessor e é naturalmente interpretado como o número 0.

geometria euclidiana

Provavelmente, a lista mais antiga e mais famosa de axiomas são os 4 + 1 postulados de Euclides da geometria plana . Os axiomas são referidos como "4 + 1" porque por quase dois mil a quinta (paralelo) postular ( "através de um ponto fora de uma linha existe exactamente um paralelo") era suspeito de ser produzidos a partir dos quatro primeiros. Finalmente, o quinto postulado foi encontrado para ser independente dos quatro primeiros. De fato, pode-se supor que exatamente um paralelo através de um ponto fora existe uma linha, ou que infinitamente muitos existir. Essa escolha nos dá duas formas alternativas de geometria em que os interiores ângulos de um triângulo somam exatamente 180 graus ou menos, respectivamente, e são conhecidos como euclidiana e hiperbólica geometrias. Se um também remove o segundo postulado ( "uma linha pode ser prolongado indefinidamente"), em seguida, a geometria elíptica surge, onde não existe um paralelo através de um ponto fora de uma linha, e em que os ângulos internos de um triângulo somam mais do que 180 graus .

análise real

Os objetivos do estudo estão dentro do domínio de números reais . Os números reais são escolhidos de forma única para fora (até isomorfismo ) pelas propriedades de um campo completo Dedekind ordenada , o que significa que qualquer conjunto de números reais não vazio com um limite superior tem um limite mínimo superior. No entanto, expressando estas propriedades como axiomas requer a utilização de lógica de segunda ordem . Os teoremas Löwenheim-Skolem nos dizer que, se nos restringirmos a lógica de primeira ordem , qualquer sistema de axioma para os reais admite outros modelos, incluindo ambos os modelos que são menores do que os reais e os modelos que são maiores. Algumas destas últimas são estudados em análise não-padrão .

Papel na lógica matemática

sistemas dedutivos e completude

A dedutivo sistema consiste de um conjunto de axiomas lógicos, um conjunto de axiomas não-lógicos, e um conjunto de regras de inferência . A propriedade desejável de um sistema dedutivo é que seja completa . Um sistema é dito ser completo se, para todas as fórmulas ,

isto é, para qualquer afirmação de que é uma consequência lógica do que realmente existe uma dedução da declaração . Isso às vezes é expresso como "tudo o que é verdade é demonstrável", mas deve ser entendido que "verdade" aqui significa "feito verdade pelo conjunto de axiomas", e não, por exemplo, "verdade na interpretação pretendida". Teorema da completude de Gödel estabelece a completude de um certo tipo comumente usado de sistema dedutivo.

Note-se que "integridade" tem um significado diferente aqui do que no contexto do primeiro teorema da incompletude de Gödel , que afirma que não recursiva , consistente conjunto de axiomas não-lógicos da Teoria da aritmética é completa , no sentido de que haverá sempre existe uma declaração aritmética tal que nem nem pode ser provado a partir de um dado conjunto de axiomas.

Há, portanto, por um lado, a noção de completude de um sistema dedutivo e, por outro lado que a completude de um conjunto de axiomas não-lógicos . O teorema da completude eo teorema da incompletude, apesar de seus nomes, não se contradizem.

Uma discussão mais aprofundada

Primeiros matemáticos considerado geometria axiomática como um modelo de espaço físico , e, obviamente, só poderia haver um tal modelo. A idéia de que sistemas matemáticos alternativas possam existir era muito preocupante para os matemáticos do século 19 e os desenvolvedores de sistemas, tais como álgebra booleana feito esforços elaborados para derivar-los de aritmética tradicional. Galois mostrou pouco antes de sua morte prematura que esses esforços foram em grande parte desperdiçado. Em última análise, os paralelos abstrata entre sistemas algébricos foram vistos a ser mais importante do que os detalhes e álgebra moderna nasceu. Nos modernos axiomas vista pode ser qualquer conjunto de fórmulas, contanto que eles não são conhecidos por serem inconsistentes.

Veja também

Referências

Outras leituras

links externos