Augustus De Morgan - Augustus De Morgan

Augustus De Morgan
Augustus De Morgan (1806-1871)
Nascer	( 1806-06-27 )27 de junho de 1806 Madurai , Presidência de Madras , Império Britânico (atual Índia)
Faleceu	18 de março de 1871 (1871-03-18)(com 64 anos) Londres, Inglaterra
Nacionalidade	britânico
Alma mater	Trinity College , Cambridge
Conhecido por	Leis de Morgan Álgebra de De Morgan Álgebra de relações Álgebra universal
Carreira científica
Campos	Matemático e lógico
Instituições	University College London University College School
Orientadores acadêmicos	John Philips Higman George Peacock William Whewell
Alunos notáveis	Edward Routh James Joseph Sylvester Frederick Guthrie William Stanley Jevons Ada Lovelace Francis Guthrie Stephen Joseph Perry
Influências	George Boole
Influenciado	Thomas Corwin Mendenhall Isaac Todhunter
Notas
Ele era o pai de William De Morgan .

Augustus De Morgan (27 de junho de 1806 - 18 de março de 1871) foi um matemático e lógico britânico . Ele formulou as leis de De Morgan e introduziu o termo indução matemática , tornando sua ideia rigorosa.

Biografia

Infância

Augustus De Morgan nasceu em Madurai , Índia, em 1806. Seu pai era o tenente-coronel John De Morgan (1772-1816), que ocupou vários cargos a serviço da Companhia das Índias Orientais . Sua mãe, Elizabeth Dodson (1776-1856), era descendente de James Dodson , que calculou uma tabela de anti-logaritmos ( logaritmos inversos ). Augustus De Morgan ficou cego de um olho um ou dois meses depois de nascer. A família mudou-se para a Inglaterra quando Augusto tinha sete meses. Como o pai e o avô nasceram na Índia, De Morgan costumava dizer que não era inglês, nem escocês, nem irlandês, mas um britânico "independente", usando o termo técnico aplicado a um aluno de graduação de Oxford ou Cambridge que é não é membro de qualquer uma das Faculdades.

Quando De Morgan tinha dez anos, seu pai morreu. A Sra. De Morgan residia em vários lugares no sudoeste da Inglaterra, e seu filho recebeu educação primária em várias escolas de grande importância. Seu talento matemático passou despercebido até os quatorze anos, quando um amigo da família o descobriu fazendo um elaborado desenho de uma figura em Euclides com régua e compasso . Ela explicou o objetivo de Euclides a Augusto e deu-lhe uma iniciação à demonstração.

Ele recebeu sua educação secundária do Sr. Parsons, um membro do Oriel College, Oxford , que apreciava os clássicos mais do que a matemática. Sua mãe era um membro ativo e fervoroso da Igreja da Inglaterra e desejava que seu filho se tornasse clérigo, mas nessa época De Morgan já havia começado a mostrar sua disposição inconformada . Ele se tornou ateu.

Há uma palavra em nossa língua com a qual não devo confundir este assunto, tanto por causa do uso desonroso que freqüentemente se faz dele, quanto pela imputação lançada por uma seita sobre outra, e pela variedade de significados ligados a ela. Usarei a palavra Anti-Deísmo para significar a opinião de que não existe um Criador que fez e sustenta o Universo.

-  De Morgan 1838 , p. 22

formação universitária

Em 1823, com a idade de dezesseis anos, ele entrou no Trinity College, Cambridge , onde foi influenciado por George Peacock e William Whewell , que se tornaram seus amigos de longa data; do primeiro, ele derivou um interesse pela renovação da álgebra, e do último, um interesse pela renovação da lógica - os dois temas de seu trabalho futuro. Seu tutor na faculdade foi John Philips Higman , FRS (1793-1855).

Na faculdade, ele tocava flauta por recreação e era destaque nos clubes musicais. Seu amor pelo conhecimento por si só interferia no treinamento para a grande corrida matemática; como consequência, ele saiu em quarto lutador . Isso lhe deu o título de Bacharel em Artes; mas para obter o grau superior de Mestre em Artes e, assim, tornar-se elegível para uma bolsa, era necessário passar por um teste teológico. À assinatura de qualquer teste, De Morgan sentiu uma forte objeção, embora tivesse sido criado na Igreja da Inglaterra. Por volta de 1875, os testes teológicos para graus acadêmicos foram abolidos nas Universidades de Oxford e Cambridge.

Universidade de Londres

Como nenhuma carreira estava aberta para ele em sua própria universidade, ele decidiu ir para a Ordem dos Advogados e fixou residência em Londres; mas ele preferia muito mais ensinar matemática a ler direito. Nessa época, o movimento para a fundação da London University (agora University College London ) tomou forma. As duas antigas universidades de Oxford e Cambridge eram tão protegidas por testes teológicos que nenhum judeu ou dissidente fora da Igreja da Inglaterra poderia entrar como estudante, muito menos ser nomeado para qualquer cargo. Um corpo de homens de mente liberal resolveu enfrentar a dificuldade estabelecendo em Londres uma universidade com base no princípio da neutralidade religiosa. De Morgan, então com 22 anos, foi nomeado professor de matemática. Sua palestra introdutória "Sobre o estudo da matemática" é um discurso sobre a educação mental de valor permanente e foi recentemente reimpresso nos Estados Unidos.

A Universidade de Londres era uma instituição nova e as relações do Conselho de administração, do Senado de professores e do corpo discente não eram bem definidas. Surgiu uma disputa entre o professor de anatomia e seus alunos e, em decorrência da ação do Conselho, vários professores renunciaram, chefiados por De Morgan. Outro professor de matemática foi nomeado, que se afogou alguns anos depois. De Morgan havia se mostrado um príncipe dos professores: foi convidado a retornar à sua cadeira, que a partir de então se tornou o centro contínuo de seus trabalhos por trinta anos.

O mesmo corpo de reformadores - chefiado por Lord Brougham , um escocês eminente tanto na ciência quanto na política que instituiu a Universidade de Londres - fundou quase na mesma época uma Sociedade para a Difusão de Conhecimento Útil . Seu objetivo era difundir o conhecimento científico e outros por meio de tratados baratos e claramente escritos pelos melhores escritores da época. Um de seus escritores mais volumosos e eficazes foi De Morgan. Ele escreveu um ótimo trabalho sobre o Cálculo Diferencial e Integral, publicado pela Sociedade; e ele escreveu um sexto dos artigos na Penny Cyclopedia , publicado pela Society, e publicado em números de centavos. Quando De Morgan veio morar em Londres, ele encontrou um amigo simpático em William Frend , apesar de sua heresia matemática sobre as quantidades negativas. Ambos eram aritméticos e atuários, e suas visões religiosas eram um tanto semelhantes. Frend morava no que então era um subúrbio de Londres, em uma casa de campo anteriormente ocupada por Daniel Defoe e Isaac Watts . De Morgan com sua flauta foi um visitante bem-vindo.

A Universidade de Londres da qual De Morgan era professor era uma instituição diferente da Universidade de Londres . A Universidade de Londres foi fundada cerca de dez anos mais tarde pelo Governo com o objetivo de conceder graus após exame, sem qualquer qualificação de residência. A London University foi afiliada como uma faculdade de ensino à University of London, e seu nome foi mudado para University College. A Universidade de Londres não teve sucesso como corpo examinador; uma universidade de ensino foi exigida. De Morgan foi um professor de matemática muito bem-sucedido. Era seu plano dar aulas por uma hora e, no final de cada aula, apresentar uma série de problemas e exemplos ilustrativos do assunto abordado; seus alunos foram solicitados a sentar-se a eles e trazer os resultados, que ele examinou e devolveu revisados ​​antes da próxima aula. Na opinião de De Morgan, uma compreensão completa e assimilação mental de grandes princípios superavam em importância qualquer destreza meramente analítica na aplicação de princípios parcialmente compreendidos a casos particulares.

Nesse período, também promoveu o trabalho do autodidata matemático indiano Ramchundra , conhecido como Ramanujan de De Morgan . Ele supervisionou a publicação em Londres do livro de Ramchundra Tratado sobre os Problemas de Máximos e Mínimos em 1859. Ele ficou muito intrigado com outros matemáticos indianos como brahmagupta, mas Ram Chandra em geral, no prefácio que admirava seu trabalho

Ao examinar esta obra, vi nela não meramente um mérito digno de encorajamento, mas um mérito de um tipo peculiar, cujo encorajamento, como me pareceu, provavelmente promoveria o esforço nativo para a restauração da mente nativa na Índia.

Na introdução deste livro, ele reconheceu estar ciente da tradição lógica indiana, embora não se saiba se isso teve alguma influência em seu próprio trabalho. O próprio De Morgan escreveu em 1860 sobre a importância da lógica indiana:

"As duas raças que fundaram a matemática, as línguas sânscrita e grega, foram as duas que formaram sistemas lógicos independentemente.

Embora Mary Boole afirmasse que houve profunda influência - por meio de seu tio George Everest - do pensamento indiano em geral e da lógica indiana , em particular, em George Boole, bem como em Augustus De Morgan e Charles Babbage :

Pense no que deve ter sido o efeito da intensa hinduização de três homens como Babbage, De Morgan e George Boole na atmosfera matemática de 1830-65. Que participação teve na geração da Análise Vetorial e da matemática pela qual as investigações nas ciências físicas são conduzidas agora?

Jonardon Ganeri observou que neste período (quando os estudiosos foram atraídos pela lógica indiana) viu George Boole (1815-1864) e Augustus De Morgan (1806-1871) fazerem suas aplicações pioneiras de ideias algébricas para a formulação de lógica (como a algébrica lógica e lógica booleana ), e sugeriu que essas figuras provavelmente estavam cientes desses estudos em xenologia e, além disso, que sua consciência adquirida das deficiências da lógica proposicional provavelmente teria estimulado sua disposição de olhar para fora do sistema.

Família

Augusto foi um dos sete filhos, quatro dos quais sobreviveram à idade adulta.

• Eliza (1801–1836) casou-se com Lewis Hensley, um cirurgião que morava em Bath.
• Augusto (1806-1871)
• George (1808-1890), um advogado que se casou com Josephine, filha do vice-almirante Josiah Coghill, 3º Baronete Coghill
• Campbell Greig (1811–1876), um cirurgião do Hospital Middlesex

No outono de 1837, ele se casou com Sophia Elizabeth Frend (1809-1892), filha mais velha de William Frend (1757-1841) e Sarah Blackburne (1779-?), Uma neta de Francis Blackburne (1705-1787), arquidiácono de Cleveland .

De Morgan teve três filhos e quatro filhas, incluindo a autora de contos de fadas Mary de Morgan . Seu filho mais velho era o oleiro William De Morgan . Seu segundo filho, George, adquiriu distinção em matemática na University College e na University of London. Ele e outro ex-aluno da mesma opinião conceberam a ideia de fundar uma sociedade matemática em Londres, onde os artigos matemáticos não seriam apenas recebidos (como pela Royal Society ), mas realmente lidos e discutidos. A primeira reunião foi realizada no University College; De Morgan foi o primeiro presidente, seu filho o primeiro secretário. Foi o início da London Mathematical Society .

Aposentadoria e morte

Em 1866, a cadeira de filosofia mental no University College ficou vaga. James Martineau , um clérigo unitário e professor de filosofia mental, foi recomendado formalmente pelo Senado ao Conselho; mas no Concílio havia alguns que se opunham a um clérigo unitarista e outros que se opunham à filosofia teísta. Um leigo da escola de Bain and Spencer foi nomeado. De Morgan considerou que o antigo padrão de neutralidade religiosa havia sido derrubado e imediatamente renunciou. Ele estava agora com 60 anos de idade. Seus alunos garantiram-lhe uma pensão de 500 libras por ano, mas seguiram-se infortúnios. Dois anos depois, seu filho George - o "Bernoulli mais jovem", como Augusto gostava de ouvi-lo ser chamado, em alusão aos eminentes matemáticos pai e filho com esse nome - morreu. Este golpe foi seguido pela morte de uma filha. Cinco anos após sua renúncia do University College, De Morgan morreu de prostração nervosa em 18 de março de 1871.

Trabalho matemático

De Morgan foi um escritor brilhante e espirituoso, tanto como polêmico quanto como correspondente. Em sua época, floresceram dois Sir William Hamiltons que muitas vezes foram confundidos. Um era Sir William Hamilton, 9º Baronete (isto é, seu título foi herdado), um escocês, professor de lógica e metafísica na Universidade de Edimburgo ; o outro era um cavaleiro (ou seja, ganhou o título), um irlandês, professor de astronomia na Universidade de Dublin. O baronete contribuiu para a lógica, especialmente a doutrina da quantificação do predicado; o cavaleiro, cujo nome completo era William Rowan Hamilton , contribuiu para a matemática, especialmente para a álgebra geométrica , e descreveu pela primeira vez os quatérnios . De Morgan estava interessado no trabalho de ambos e se correspondeu com ambos; mas a correspondência com o escocês terminou em polêmica pública, enquanto a com o irlandês foi marcada pela amizade e encerrada apenas pela morte. Em uma de suas cartas a Rowan, De Morgan diz:

Saiba que descobri que você e o outro Sir WH são polares recíprocos em relação a mim (intelectual e moralmente, pois o baronete escocês é um urso polar, e você, eu ia dizer, é um cavalheiro polar ) Quando mando um pouco de investigação para Edimburgo, o WH desse tipo diz que tirei dele. Quando eu lhe envio um, você o tira de mim, generaliza de relance, concede-o assim generalizado à sociedade em geral e me torna o segundo descobridor de um teorema conhecido.

A correspondência de De Morgan com o matemático Hamilton estendeu-se por mais de vinte e quatro anos; contém discussões não apenas de questões matemáticas, mas também de assuntos de interesse geral. É marcado pela genialidade da parte de Hamilton e pela inteligência da parte de De Morgan. O que se segue é um espécime: Hamilton escreveu:

Minha cópia do trabalho de Berkeley não é minha; como Berkeley, você sabe, eu sou um irlandês.

De Morgan respondeu:

Sua frase 'minha cópia não é minha' não é um touro . É perfeitamente bom usar a mesma palavra em dois sentidos diferentes em uma frase, principalmente quando há uso. A incongruência da linguagem não é besteira, pois expressa significado. Mas a incongruência de ideias (como no caso do irlandês que estava puxando a corda e, descobrindo que ela não terminava, gritou que alguém havia cortado a outra ponta) é o touro genuíno.

De Morgan estava cheio de peculiaridades pessoais. Por ocasião da posse de seu amigo, Lord Brougham, como Reitor da Universidade de Edimburgo, o Senado ofereceu-se para conferir-lhe o grau honorário de LL. D .; ele recusou a honra como um nome impróprio. Certa vez, ele imprimiu seu nome: Augustus De Morgan, H - O - M - O - P - A - U - C - A - R - U - M - L - I - T - E - R - A - R - U - M (latim para "homem de poucas letras").

Ele não gostava das províncias fora de Londres e, enquanto sua família aproveitava o litoral e os homens da ciência se divertiam em uma reunião da Associação Britânica no país, ele permanecia nas bibliotecas quentes e empoeiradas da metrópole. Ele disse que se sentia como Sócrates , que declarou que quanto mais longe estava de Atenas, mais longe estava da felicidade. Ele nunca procurou se tornar um membro da Royal Society , e ele nunca compareceu a uma reunião da Sociedade; ele disse que não tinha idéias ou simpatias em comum com o filósofo físico. Sua atitude possivelmente se devia à enfermidade física, que o impedia de ser observador ou experimentador. Ele nunca votou em uma eleição e nunca visitou a Câmara dos Comuns , a Torre de Londres ou a Abadia de Westminster .

Se os escritos de De Morgan, como suas contribuições para a Useful Knowledge Society, fossem publicados na forma de obras coletadas, eles formariam uma pequena biblioteca. Principalmente por meio dos esforços de Peacock e Whewell, uma Sociedade Filosófica foi inaugurada em Cambridge, e De Morgan contribuiu com quatro memórias para suas transações sobre os fundamentos da álgebra e um número igual sobre a lógica formal. A melhor apresentação de sua visão da álgebra é encontrada em um volume intitulado Trigonometria e Álgebra Dupla , publicado em 1849; e sua visão anterior da lógica formal é encontrada em um volume publicado em 1847. Seu trabalho mais distinto é intitulado Um orçamento de paradoxos ; apareceu originalmente como letras nas colunas do jornal Ateneu ; foi revisado e ampliado por De Morgan nos últimos anos de sua vida e publicado postumamente por sua viúva.

A teoria da álgebra de George Peacock foi muito melhorada por DF Gregory , um membro mais jovem da Cambridge School, que enfatizou não a permanência de formas equivalentes, mas a permanência de certas leis formais. Essa nova teoria da álgebra como ciência dos símbolos e de suas leis de combinação foi levada ao seu problema lógico por De Morgan; e sua doutrina sobre o assunto ainda é seguida por algebraists ingleses em geral. Assim, George Chrystal fundou seu Textbook of Algebra na teoria de De Morgan; embora um leitor atento possa observar que ele praticamente o abandona ao retomar o assunto das séries infinitas. A teoria de De Morgan é declarada em seu volume sobre Trigonometria e Álgebra Dupla , onde no Livro II, Capítulo II, intitulado "Sobre álgebra simbólica", ele escreve:

Ao abandonar os significados dos símbolos, também abandonamos os das palavras que os descrevem. Assim, a adição deve ser, por enquanto, um som vazio de sentido. É um modo de combinação representado por ; quando recebe seu significado, o mesmo ocorre com a palavra adição . É muito importante que o aluno tenha em mente que, com uma exceção , nenhuma palavra ou sinal de aritmética ou álgebra tem um átomo de significado ao longo deste capítulo, cujo objeto são os símbolos e suas leis de combinação, dando um significado simbólico álgebra que daqui em diante pode se tornar a gramática de uma centena de álgebras significativas distintas . Se alguém afirmasse que e pode significar recompensa e punição, e , , , etc. pode ficar por virtudes e vícios, o leitor pode acreditar nele, ou contradizê-lo, o que lhe agrada, mas não por este capítulo.${\ displaystyle +}$${\ displaystyle +}$${\ displaystyle +}$${\ displaystyle -}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$

A única exceção mencionada acima, que tem algum significado, é o sinal colocado entre dois símbolos, como em . Isso indica que os dois símbolos têm o mesmo significado resultante, por quaisquer etapas diferentes alcançadas. Isso e , se as quantidades, são a mesma quantidade de quantidade; que se as operações, eles têm o mesmo efeito, etc. ${\ displaystyle =}$${\ displaystyle A = B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Trigonometria e Álgebra Dupla

O trabalho de De Morgan intitulado Trigonometria e Álgebra Dupla consiste em duas partes; o primeiro dos quais é um tratado sobre trigonometria , e o último um tratado sobre álgebra generalizada que ele chamou de "álgebra dupla". O primeiro estágio no desenvolvimento da álgebra é a aritmética , onde apenas números naturais e símbolos de operações como + , × , etc. são usados. O próximo estágio é a aritmética universal , onde letras aparecem em vez de números, de modo a denotar números universalmente, e os processos são conduzidos sem conhecer os valores dos símbolos. Deixe um e b representam os números naturais. Uma expressão como a - b ainda pode ser impossível, então na aritmética universal sempre há uma condição, desde que a operação seja possível . O terceiro estágio é a álgebra única , onde o símbolo pode denotar uma quantidade para a frente ou uma quantidade para trás, e é adequadamente representado por segmentos em uma linha reta passando por uma origem. As quantidades negativas não são mais impossíveis; eles são representados pelo segmento anterior. Mas uma impossibilidade ainda permanece na última parte de uma expressão como a + b √ −1 que surge na solução da equação quadrática. O quarto estágio é álgebra dupla . O símbolo algébrico denota em geral um segmento de uma linha em um determinado plano. É um símbolo duplo porque envolve duas especificações, a saber, comprimento e direção; e √ −1 é interpretado como denotando um quadrante. A expressão a + b √ −1 então representa uma reta no plano tendo uma abscissa a e uma ordenada b . Argand e Warren carregaram álgebra dupla até agora, mas eles foram incapazes de interpretar nesta teoria uma expressão como e ^{a √ −1} . De Morgan tentou isso reduzindo tal expressão à forma b + q √ −1 , e ele considerou que havia mostrado que ela poderia ser sempre assim reduzida. O fato notável é que essa dupla álgebra satisfaz todas as leis fundamentais acima enumeradas e, como toda combinação aparentemente impossível de símbolos foi interpretada, ela se parece com a forma completa da álgebra. No capítulo 6, ele introduziu as funções hiperbólicas e discutiu a conexão entre a trigonometria comum e a hiperbólica.

Se a teoria acima for verdadeira, o próximo estágio de desenvolvimento deve ser álgebra tripla e se a + b √ −1 realmente representar uma reta em um determinado plano, deve ser possível encontrar um terceiro termo que adicionado ao anterior seria representam uma linha no espaço. Argand e alguns outros adivinharam que era a + b √ −1 + c √ −1 ^{√ −1} embora isso contradiga a verdade estabelecida por Euler de que √ −1 ^{√ −1} = e ^{−π / 2} . De Morgan e muitos outros trabalharam duro para solucionar o problema, mas não deu em nada até que Hamilton o resolvesse. Agora vemos a razão claramente: o símbolo da álgebra dupla não denota um comprimento e uma direção; mas um multiplicador e um ângulo . Nele, os ângulos são confinados a um plano. Portanto, o próximo estágio será uma álgebra quádrupla , quando o eixo do plano é tornado variável. E isso dá a resposta à primeira pergunta; a álgebra dupla nada mais é do que trigonometria plana analítica, e é por isso que se descobriu que é a análise natural para correntes alternadas. Mas De Morgan nunca foi tão longe. Ele morreu com a crença de que “a álgebra dupla deve permanecer como o desenvolvimento completo das concepções da aritmética, no que diz respeito aos símbolos que a aritmética imediatamente sugere”.

No Livro II, Capítulo II, seguindo a passagem citada acima sobre a teoria da álgebra simbólica, De Morgan passa a fazer um inventário dos símbolos fundamentais da álgebra, e também um inventário das leis da álgebra. Os símbolos são , , , , , , ⁽⁾ , e as cartas; apenas estes, todos os outros são derivados. Como De Morgan explica, o último desses símbolos representa a escrita de uma última expressão sobrescrita sobre e após a anterior. Seu inventário das leis fundamentais é expresso em quatorze títulos, mas alguns deles são apenas definições. A lista de símbolos precedente é o assunto sob o primeiro desses títulos. As leis próprias podem ser reduzidas ao seguinte, que, como ele admite, não são todas independentes umas das outras, "mas o caráter assimétrico da operação exponencial, e a falta do processo de conexão de e ... torna necessário declare-os separadamente ": ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle +}$${\ displaystyle -}$${\ displaystyle \ times}$${\ displaystyle \ div}$${\ displaystyle ()}$${\ displaystyle +}$${\ displaystyle \ times}$

1. Leis de identidade. ${\ displaystyle a = 0 + a}$ ${\ displaystyle = + a}$ ${\ displaystyle = a + 0}$ ${\ displaystyle = a-0}$ ${\ displaystyle = 1 \ vezes a}$ ${\ displaystyle = \ times a}$ ${\ displaystyle = a \ times 1}$ ${\ displaystyle = a \ div 1}$ ${\ displaystyle = 0 + 1 \ vezes a}$
2. Lei dos signos. ${\ displaystyle + (+ a) = + a,}$ ${\ displaystyle + (- a) = - a,}$ ${\ displaystyle - (+ a) = - a,}$ ${\ displaystyle - (- a) = + a,}$ ${\ displaystyle \ times (\ times a) = \ times a,}$ ${\ displaystyle \ times (\ div a) = \ div a,}$ ${\ displaystyle \ div (\ times a) = \ div a,}$ ${\ displaystyle \ div (\ div a) = \ times a}$
3. Lei comutativa. ${\ displaystyle a + b = b + a,}$ ${\ displaystyle a \ times b = b \ times a}$
4. Lei distributiva. ${\ displaystyle a (b + c) = ab + ac,}$ ${\ displaystyle a (bc) = ab-ac,}$ ${\ displaystyle (b + c) \ div a = (b \ div a) + (c \ div a),}$ ${\ displaystyle (bc) \ div a = (b \ div a) - (c \ div a)}$
5. Leis de índice. ${\ displaystyle a ^ {0} = 1,}$ ${\ displaystyle a ^ {1} = a,}$ ${\ displaystyle (a \ times b) ^ {c} = a ^ {c} \ times b ^ {c},}$ ${\ displaystyle a ^ {b} \ times a ^ {c} = a ^ {b + c},}$ ${\ displaystyle (a ^ {b}) ^ {c} = a ^ {b \ times c}}$

De Morgan professa dar um inventário completo das leis que os símbolos da álgebra devem obedecer, pois ele diz: "Qualquer sistema de símbolos que obedeça a essas regras e nenhum outro - exceto que sejam formados pela combinação dessas regras - e que usa o símbolos precedentes e nenhum outro - exceto eles serem novos símbolos inventados em abreviações de combinações desses símbolos - é álgebra simbólica . " Do seu ponto de vista, nenhum dos princípios acima são regras; são leis formais, isto é, relações escolhidas arbitrariamente às quais os símbolos algébricos devem estar sujeitos. Ele não menciona a lei, que já havia sido apontada por Gregório, a saber, e à qual foi dado posteriormente o nome de lei da associação . Se a lei comutativa falhar, o associativo pode ser válido; mas não vice-versa . É uma coisa lamentável para o simbolista ou formalista que na aritmética universal não seja igual ; pois então a lei comutativa teria alcance total. Por que ele não dá todo o escopo? Porque os fundamentos da álgebra são, afinal, reais e não formais, materiais e não simbólicos. Para os formalistas, as operações de índice são excessivamente refratárias, por isso alguns não as levam em conta, mas as relegam à matemática aplicada. Fazer um inventário das leis às quais os símbolos da álgebra devem obedecer é uma tarefa impossível, e nos lembra muito a tarefa dos filósofos que tentam fazer um inventário do conhecimento a priori da mente. ${\ displaystyle (a + b) + c = a + (b + c), (ab) c = a (bc)}$${\ displaystyle m ^ {n}}$${\ displaystyle n ^ {m}}$

Lógica Formal

Quando o estudo da matemática reviveu na Universidade de Cambridge, o mesmo aconteceu com o estudo da lógica. O espírito comovente foi Whewell, o Mestre do Trinity College, cujos principais escritos foram História das Ciências Indutivas e Filosofia das Ciências Indutivas . Sem dúvida, De Morgan foi influenciado em suas investigações lógicas por Whewell; mas outros contemporâneos influentes foram Sir William Rowan Hamilton em Dublin e George Boole em Cork. O trabalho de De Morgan, Formal Logic , publicado em 1847, é principalmente notável por seu desenvolvimento do silogismo numericamente definido . Os seguidores de Aristóteles dizem que de duas proposições particulares, como Alguns M's são A's , e Alguns M's são B's, nada decorre necessariamente da relação entre A's e B's. Mas eles vão além e dizem que, para que qualquer relação entre os A e B possa seguir necessariamente, o termo do meio deve ser tomado universalmente em uma das premissas. De Morgan apontou que a maioria dos M's são A's e a maioria dos M's são B's , segue-se necessariamente que alguns A's são B's e ele formulou o silogismo numericamente definido que coloca esse princípio na forma quantitativa exata. Suponha que o número dos M's seja , dos M's que são A's is , e dos M's que são B's is ; então há pelo menos A's que são B's. Suponha que o número de almas a bordo de um navio fosse 1000, que 500 estivessem no salão e 700 fossem perdidas. Segue-se necessariamente que pelo menos 700 + 500 - 1000, ou seja, 200 passageiros do salão foram perdidos. Este único princípio é suficiente para provar a validade de todos os estados de espírito aristotélicos. É, portanto, um princípio fundamental no raciocínio necessário. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle (a + bm)}$

Nesse caso, De Morgan havia feito um grande avanço ao introduzir a quantificação dos termos . Naquela época, Sir William Hamilton estava ensinando em Edimburgo uma doutrina da quantificação do predicado, e uma correspondência surgiu. No entanto, De Morgan logo percebeu que a quantificação de Hamilton era de um caráter diferente; que significava, por exemplo, substituir as duas formas. O todo de A é o todo de B , e O todo de A é uma parte de B para a forma aristotélica. Todos os A's são B's . Hamilton pensou que ele havia colocado a pedra angular no arco aristotélico, como ele formulou. Embora deva ser um curioso arco que poderia suportar 2.000 anos sem uma pedra angular. Como consequência, ele não teve espaço para as inovações de De Morgan. Ele acusou De Morgan de plágio, e a controvérsia durou anos nas colunas do Ateneu e nas publicações dos dois escritores.

As memórias sobre lógica com as quais De Morgan contribuiu para as Transactions of the Cambridge Philosophical Society subsequentes à publicação de seu livro Formal Logic são de longe as contribuições mais importantes que ele fez para a ciência, especialmente sua quarta memória, na qual ele começa a trabalhar em o amplo campo da "lógica dos parentes".

Orçamento de Paradoxos

Na introdução ao Orçamento dos Paradoxos, De Morgan explica o que ele quer dizer com a palavra:

Muitos indivíduos, desde o surgimento do método matemático, têm, cada um por si, atacado suas consequências diretas e indiretas. Chamarei cada uma dessas pessoas de paradoxo e seu sistema de paradoxo . Eu uso a palavra no sentido antigo: um paradoxo é algo que está além da opinião geral, seja no assunto, método ou conclusão. Muitas das coisas apresentadas agora seriam chamadas de manias , que é a palavra mais próxima que temos do velho paradoxo . Mas há esta diferença, que ao chamar uma coisa de crotchet queremos dizer levianamente a respeito dela; que não era o sentido necessário de paradoxo. Assim, no século 16, muitos falavam do movimento da Terra como o paradoxo de Copérnico e tinham a engenhosidade dessa teoria em alta estima, e alguns acho que até se inclinaram para ela. No século XVII, ocorreu a privação de significado, pelo menos na Inglaterra.

Como pode o paradoxo do som ser distinguido do falso paradoxo? De Morgan fornece o seguinte teste:

A maneira pela qual um paradoxo se mostrará, quanto a bom senso ou contra-senso, não dependerá do que ele mantém, mas de se ele fez ou não um conhecimento suficiente do que foi feito por outros, especialmente quanto ao modo de fazê-lo, uma preliminar para inventar o conhecimento para si mesmo ... O novo conhecimento, quando para qualquer propósito, deve vir pela contemplação do conhecimento antigo, em todo assunto que diga respeito ao pensamento; artifícios mecânicos às vezes, não com muita freqüência, escapam a essa regra. Todos os homens que agora são chamados de descobridores, em todos os assuntos regidos pelo pensamento, foram homens versados ​​nas mentes de seus predecessores e versados ​​no que existia antes deles. Não há uma exceção.

O orçamento consiste na revisão de uma grande coleção de livros paradoxais que De Morgan acumulou em sua própria biblioteca, parte por compra em livrarias, parte de livros enviados a ele para revisão, parte de livros enviados a ele pelos autores. Ele dá a seguinte classificação: quadrados do círculo, trissetores do ângulo, duplicadores do cubo, construtores de movimento perpétuo, subversores da gravitação, estagnadores da terra, construtores do universo. Você ainda encontrará espécimes de todas essas classes no Novo Mundo e no novo século. De Morgan dá seu conhecimento pessoal de paradoxos.

Suspeito que conheço mais a aula de inglês do que qualquer homem na Grã-Bretanha. Nunca fiz contas: mas sei disso um ano com o outro? e menos nos últimos anos do que antes? - Falei com mais de cinco em cada ano, dando mais de cento e cinquenta espécimes. Disto estou certo, que é minha própria culpa se eles não foram mil. Ninguém sabe como eles enxameiam, exceto aqueles a quem recorrem naturalmente. Eles estão em todas as classes e ocupações, de todas as idades e personagens. Eles são pessoas muito sérias e seu propósito é, de boa fé , a disseminação de seus paradoxos. Muitos - a massa, na verdade - são analfabetos, e muitos desperdiçam seus recursos e estão na penúria ou se aproximando. Esses descobridores se desprezam.

Um paradoxo a quem De Morgan prestou o elogio que Aquiles fez a Hector - para arrastá-lo pelas paredes repetidas vezes - foi James Smith, um comerciante bem-sucedido de Liverpool. Ele encontrou . Seu modo de raciocinar era uma curiosa caricatura da reductio ad absurdum de Euclides. Ele disse let , e então mostrou que, com base nessa suposição, todos os outros valores de devem ser absurdos. Conseqüentemente, é o verdadeiro valor. O que se segue é um espécime de De Morgan sendo arrastado pelas paredes de Tróia: ${\ displaystyle \ pi = 3 {\ tfrac {1} {8}}}$${\ displaystyle \ pi = 3 {\ tfrac {1} {8}}}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ pi = 3 {\ tfrac {1} {8}}}$

O Sr. Smith continua a escrever-me longas cartas, às quais sugere que devo responder. Em seu último dos 31 lados de um papel de anotação bem escrito, ele me informa, com referência ao meu silêncio obstinado, que embora eu me ache e seja considerado por outros como um Golias matemático, resolvi jogar o caracol matemático e manter dentro da minha concha. Um caracol matemático ! Não pode ser a coisa assim chamada que regula o toque de um relógio; pois significaria que devo fazer o Sr. Smith soar a verdadeira hora do dia, o que eu de forma alguma faria com um relógio que ganha 19 segundos ímpares em cada hora por um valor quadrativo falso de . Mas ele se arrisca a me dizer que as pedras do estilingue da verdade simples e do bom senso acabarão por rachar minha casca e me colocar fora de combate . A confusão de imagens é divertida: Golias transformando-se em um caracol para evitar e James Smith, Esq., Do Mersey Dock Board: e colocar hors de combat por seixos de uma funda. Se Golias tivesse se infiltrado em uma concha de caracol, Davi teria rachado o filisteu com o pé. Há algo parecido com modéstia na implicação de que a pedra de crack ainda não fez efeito; pode-se pensar que o lançador já estaria cantando - E três vezes [e um oitavo] derrotei todos os meus inimigos, E três vezes [e um oitavo] matei os mortos.${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ pi = 3 {\ tfrac {1} {8}}}$

Na região da matemática pura, De Morgan podia detectar facilmente o falso do verdadeiro paradoxo; mas ele não era tão proficiente no campo da física. Seu sogro era um paradoxo e sua esposa uma paradoxal; e, na opinião dos filósofos físicos, o próprio De Morgan quase não escapou. Sua esposa escreveu um livro descrevendo os fenômenos do espiritualismo, bater na mesa, virar a mesa , etc .; e De Morgan escreveu um prefácio no qual disse que conhecia alguns dos fatos afirmados, acreditava em outros com base em testemunhos, mas não fingia saber se eram causados ​​por espíritos ou se tinham alguma origem desconhecida e inimaginável. Desta alternativa, ele deixou de fora as causas materiais comuns. Faraday proferiu uma palestra sobre o Espiritismo , na qual expôs que, na investigação, devemos partir com a ideia do que é fisicamente possível ou impossível; De Morgan não acreditou nisso.

Relações

De Morgan desenvolveu o cálculo das relações em seu Syllabus of a Proposed System of Logic (1966: 208-46), publicado pela primeira vez em 1860. De Morgan foi capaz de mostrar que o raciocínio com silogismos poderia ser substituído pela composição de relações . O cálculo foi descrito como a lógica dos parentes por Charles Sanders Peirce , que admirava De Morgan e o conheceu pouco antes de sua morte. O cálculo foi ainda estendido no terceiro volume de Ernst Schröder 's Vorlesungen über die álgebra der Logik . As relações binárias , especialmente a teoria da ordem , mostraram-se críticas para os Principia Mathematica de Bertrand Russell e Alfred North Whitehead . Por sua vez, esse cálculo tornou-se objeto de muitos trabalhos posteriores, começando em 1940, por Alfred Tarski e seus colegas e alunos da Universidade da Califórnia .

Espiritualismo

Mais tarde, De Morgan se interessou pelos fenômenos do espiritualismo . Em 1849, ele havia investigado a clarividência e ficou impressionado com o assunto. Mais tarde, ele realizou investigações paranormais em sua própria casa com a médium americana Maria Hayden. O resultado dessas investigações foi publicado posteriormente por sua esposa Sophia. De Morgan acreditava que sua carreira como cientista poderia ter sido afetada se ele tivesse revelado seu interesse pelo estudo do espiritualismo, então ajudou a publicar o livro anonimamente. O livro foi publicado em 1863, intitulado Da Matéria ao Espírito: O Resultado de Dez Anos de Experiência em Manifestações do Espírito .

De acordo com a historiadora Janet Oppenheim , a esposa de De Morgan, Sophia, era uma espiritualista convicta, mas De Morgan compartilhava uma posição de terceira via sobre os fenômenos espiritualistas, que Oppenheim definiu como uma "posição de esperar para ver"; ele não era crente nem cético. Em vez disso, seu ponto de vista era que a metodologia das ciências físicas não exclui automaticamente os fenômenos psíquicos , e que tais fenômenos podem ser explicados no tempo pela possível existência de forças naturais que os físicos ainda não haviam identificado.

No prefácio de From Matter to Spirit (1863), De Morgan afirmou:

Pensando ser muito provável que o universo possa conter algumas agências - digamos meio milhão - sobre as quais ninguém sabe nada, não posso deixar de suspeitar que uma pequena proporção dessas agências - digamos cinco mil - pode ser solidariamente competente para a produção de todos os fenômenos [espiritualistas], ou pode ser bastante adequado para a tarefa entre eles. As explicações físicas que tenho visto são fáceis, mas miseravelmente insuficientes: a hipótese espiritualista é suficiente, mas pesadamente difícil. O tempo e o pensamento decidirão, o segundo pedindo ao primeiro mais resultados do teste.

O pesquisador psíquico John Beloff escreveu que De Morgan foi o primeiro cientista notável na Grã-Bretanha a se interessar pelo estudo do espiritualismo e seus estudos influenciaram a decisão de William Crookes de estudar também o espiritualismo. Beloff também afirma que De Morgan era ateu e por isso foi impedido de trabalhar em Oxford ou Cambridge.

Legado

Além de seu grande legado matemático, a sede da London Mathematical Society é chamada De Morgan House e a sociedade estudantil do Departamento de Matemática da University College London é chamada de Augustus De Morgan Society.

A cratera De Morgan na Lua leva o seu nome.

Escritos selecionados

Veja também

• Lei de Murphy

Referências

Notas

Citações

Fontes

Leitura adicional

links externos

• Mídia relacionada a Augustus De Morgan no Wikimedia Commons
• Trabalhos de Augustus De Morgan no Project Gutenberg
• Trabalhos de ou sobre Augustus De Morgan no Internet Archive
• Trabalhos de Augustus De Morgan em LibriVox (audiolivros de domínio público)
• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Augustus De Morgan" , arquivo MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews
• Artigos de Augustus De Morgan mantidos pela Biblioteca da Câmara do Senado, Universidade de Londres
• Biblioteca de Augustus De Morgan
• "Material de arquivo relacionado com Augustus De Morgan" . Arquivos Nacionais do Reino Unido .
• Retratos de Augustus De Morgan na National Portrait Gallery, Londres