Quantificação universal - Universal quantification

Na lógica matemática , uma quantificação universal é um tipo de quantificador , uma constante lógica que é interpretada como "dado algum" ou "para todos". Expressa que um predicado pode ser satisfeito por cada membro de um domínio do discurso . Em outras palavras, é a predicação de uma propriedade ou relação com cada membro do domínio. Ele afirma que um predicado dentro do escopo de um quantificador universal é verdadeiro para todos os valores de uma variável de predicado .

É geralmente denotado pelo símbolo de operador lógico A (∀) virado , que, quando usado junto com uma variável de predicado, é chamado de quantificador universal (" x ", " ∀ ( x ) ", ou às vezes por " ( x ) " sozinho). A quantificação universal é distinta da quantificação existencial ("existe"), que apenas afirma que a propriedade ou relação vale para pelo menos um membro do domínio.

A quantificação em geral é abordada no artigo sobre quantificação (lógica) . O quantificador universal é codificado como U + 2200 FOR ALL em Unicode , e como \forallem LaTeX e editores de fórmulas relacionados,

Fundamentos

Suponha que seja dado que

2 · 0 = 0 + 0, e 2 · 1 = 1 + 1 e 2 · 2 = 2 + 2 , etc.

Esta parece ser uma conjunção lógica devido ao uso repetido de "e". No entanto, o "etc." não pode ser interpretado como uma conjunção na lógica formal . Em vez disso, a declaração deve ser reformulada:

Para todos os números naturais n , temos 2 · n = n + n .

Esta é uma afirmação única usando quantificação universal.

Esta afirmação pode ser considerada mais precisa do que a original. Enquanto o "etc." inclui informalmente números naturais e nada mais, isso não foi dado com rigor. Já na quantificação universal, os números naturais são mencionados explicitamente.

Este exemplo particular é verdadeiro , porque qualquer número natural poderia ser substituído por ne a afirmação "2 · n = n + n " seria verdadeira. Em contraste,

Para todos os números naturais n , um tem 2 · n > 2 + n

é falso , porque se n for substituído por, por exemplo, 1, a afirmação "2 · 1> 2 + 1" é falsa. É irrelevante que "2 · n > 2 + n " seja verdadeiro para a maioria dos números naturais n : mesmo a existência de um único contra - exemplo é suficiente para provar que a quantificação universal é falsa.

Por outro lado, para todos os números compostos n , temos 2 · n > 2 + n é verdadeiro, porque nenhum dos contra-exemplos são números compostos. Isso indica a importância do domínio do discurso , que especifica quais valores n pode assumir. Em particular, observe que se o domínio do discurso é restrito a consistir apenas naqueles objetos que satisfazem um certo predicado, então, para a quantificação universal, isso requer um condicional lógico . Por exemplo,

Para todos os números compostos n , um tem 2 · n > 2 + n

é logicamente equivalente a

Para todos os números naturais n , se n for composto, então 2 · n > 2 + n .

Aqui, a construção "se ... então" indica a condicional lógica.

Notação

Na lógica simbólica , o símbolo quantificador universal (um " A " transformado em uma fonte sem serifa , Unicode U + 2200) é usado para indicar a quantificação universal. Foi usado pela primeira vez desta maneira por Gerhard Gentzen em 1935, por analogia com Giuseppe Peano 's (virou E) notação para quantificação existencial e o uso posterior de notação de Peano por Bertrand Russell .

Por exemplo, se P ( n ) é o predicado "2 · n > 2 + n " e N é o conjunto de números naturais, então

é a declaração (falsa)

"para todos os números naturais n , tem-se 2 · n > 2 + n ".

Da mesma forma, se Q ( n ) é o predicado " n é composto", então

é a declaração (verdadeira)

"para todos os números naturais n , se n for composto, então 2 · n > 2 + n ".

Diversas variações na notação para quantificação (que se aplicam a todas as formas) podem ser encontradas no artigo Quantificador .

Propriedades

Negação

A negação de uma função quantificada universalmente é obtida mudando o quantificador universal em um quantificador existencial e negando a fórmula quantificada. Isso é,

onde denota negação .

Por exemplo, se P ( x ) é a função proposicional " x é casado", então, para o conjunto X de todos os seres humanos vivos, a quantificação universal

Dado qualquer pessoa viva x , essa pessoa é casada

está escrito

Esta afirmação é falsa. Sinceramente, afirma-se que

Não é o caso de que, dada qualquer pessoa viva x , essa pessoa seja casada

ou, simbolicamente:

.

Se a função P ( x ) não for verdadeira para cada elemento de X , então deve haver pelo menos um elemento para o qual a afirmação é falsa. Ou seja, a negação de é logicamente equivalente a "Existe uma pessoa x viva que não é casada", ou:

É errado confundir "todas as pessoas não são casadas" (ou seja, "não existe nenhuma pessoa que seja casada") com "nem todas as pessoas são casadas" (ou seja, "existe uma pessoa que não é casada"):

Outros conectivos

O quantificador universal (e existencial) move-se inalterado pelos conectivos lógicos , , e , contanto que o outro operando não seja afetado; isso é:

Por outro lado, para os conectivos lógicos , , e , os quantificadores invertem:

Regras de inferência

Uma regra de inferência é uma regra que justifica um passo lógico da hipótese à conclusão. Existem várias regras de inferência que utilizam o quantificador universal.

A instanciação universal conclui que, se a função proposicional é conhecida como universalmente verdadeira, então ela deve ser verdadeira para qualquer elemento arbitrário do universo do discurso. Simbolicamente, isso é representado como

onde c é um elemento completamente arbitrário do universo do discurso.

A generalização universal conclui que a função proposicional deve ser universalmente verdadeira se for verdadeira para qualquer elemento arbitrário do universo do discurso. Simbolicamente, para um c arbitrário,

O elemento  c deve ser completamente arbitrário; caso contrário, a lógica não segue: se c não é arbitrário e, em vez disso, é um elemento específico do universo do discurso, então P ( c ) implica apenas uma quantificação existencial da função proposicional.

O conjunto vazio

Por convenção, a fórmula é sempre verdadeira, independentemente da fórmula P ( x ); veja a verdade vazia .

Fechamento universal

O fechamento universal de uma fórmula φ é a fórmula sem variáveis ​​livres obtida pela adição de um quantificador universal para cada variável livre em φ. Por exemplo, o fechamento universal de

é

.

Como anexo

Na teoria das categorias e na teoria dos topoi elementares , o quantificador universal pode ser entendido como o adjunto certo de um functor entre conjuntos de potências , o functor de imagem inversa de uma função entre conjuntos; da mesma forma, o quantificador existencial é o adjunto esquerdo .

Para um conjunto , vamos denotar seu conjunto de poderes . Para qualquer função entre conjuntos e , há um functor de imagem inversa entre conjuntos de potência, que leva subconjuntos do codomínio de f de volta aos subconjuntos de seu domínio. O adjunto esquerdo deste functor é o quantificador existencial e o adjunto direito é o quantificador universal .

Ou seja, é um functor que, para cada subconjunto , dá o subconjunto dado por

aqueles na imagem de abaixo . Da mesma forma, o quantificador universal é um functor que, para cada subconjunto , dá o subconjunto dado por

aqueles cuja pré-imagem está contida em .

A forma mais familiar dos quantificadores, conforme usados ​​na lógica de primeira ordem, é obtida tomando a função f como a única função, de modo que o conjunto de dois elementos contém os valores verdadeiro e falso, um subconjunto S é aquele subconjunto para o qual o predicado se mantém, e

o que é verdade se não estiver vazio, e

que é falso se S não for X.

Os quantificadores universais e existenciais dados acima generalizam para a categoria pré - folha .

Veja também

Notas

  1. ^ Mais informações sobre o uso de domínios do discurso com afirmações quantificadas podem ser encontradas noartigo Quantificação (lógica) .

Referências

links externos

  • A definição de dicionário de todos no Wikcionário