Variedade (álgebra universal) - Variety (universal algebra)

Na álgebra universal , uma variedade de álgebras ou classes equacionais é a classe de todas as estruturas algébricas de uma determinada assinatura que satisfazem um determinado conjunto de identidades . Por exemplo, os grupos formam uma variedade de álgebras, assim como os grupos abelianos , os anéis , os monoides etc. De acordo com o teorema de Birkhoff, uma classe de estruturas algébricas da mesma assinatura é uma variedade se e somente se for fechada sob o tomada de homomórficos imagens, subálgebras e produtos (diretos) . No contexto da teoria das categorias , uma variedade de álgebras, juntamente com seus homomorfismos, formam uma categoria ; estes são geralmente chamados de categorias algébricas finitárias .

Uma covariedade é a classe de todas as estruturas carboníferas de uma determinada assinatura.

Terminologia

Uma variedade de álgebras não deve ser confundida com uma variedade algébrica , o que significa um conjunto de soluções para um sistema de equações polinomiais. Eles são formalmente bastante distintos e suas teorias têm pouco em comum.

O termo "variedade de álgebras" refere-se a álgebras no sentido geral de álgebra universal ; há também um sentido mais específico de álgebra, nomeadamente como álgebra sobre um campo , ou seja, um espaço vetorial equipado com uma multiplicação bilinear.

Definição

Uma assinatura (neste contexto) é um conjunto, cujos elementos são chamados de operações , cada um dos quais é atribuído a um número natural (0, 1, 2, ...) chamado de aridade . Dada uma assinatura e um conjunto , cujos elementos são chamados de variáveis , uma palavra é uma árvore com raiz planar finita em que cada nó é rotulado por uma variável ou uma operação, de modo que cada nó rotulado por uma variável não tenha ramificações fora da raiz e cada nó rotulado por uma operação tem tantos ramos distantes da raiz quanto o arity de . Uma lei equacional é um par de tais palavras; escrevemos o axioma que consiste nas palavras e como . ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle o}$${\ displaystyle o}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle v = w}$

Uma teoria é uma assinatura, um conjunto de variáveis ​​e um conjunto de leis equacionais. Qualquer teoria fornece uma variedade de álgebras como segue. Dada uma teoria , uma álgebra de consiste em um conjunto junto com, para cada operação de com aridade , uma função tal que para cada axioma e cada atribuição de elementos de às variáveis ​​nesse axioma, a equação mantém que é dada aplicando o operações aos elementos de conforme indicado pelas árvores que definem e . Chamamos a classe de álgebras de uma dada teoria de uma variedade de álgebras . ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle o}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle o_ {A} \ dois pontos A ^ {n} \ para A}$${\ displaystyle v = w}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle T}$

No entanto, em última análise, mais importante do que essa classe de álgebras é a categoria de álgebras e homomorfismos entre elas. Dadas duas álgebras de uma teoria , digamos e , um homomorfismo é uma função tal que ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle f \ dois pontos A \ a B}$

${\ displaystyle f (o_ {A} (a_ {1}, \ dots, a_ {n})) = o_ {B} (f (a_ {1}), \ dots, f (a_ {n}))}$

para cada operação do arity . Qualquer teoria fornece uma categoria em que os objetos são álgebras dessa teoria e os morfismos são homomorfismos. ${\ displaystyle o}$${\ displaystyle n}$

Exemplos

A classe de todos os semigrupos forma uma variedade de álgebras de assinatura (2), o que significa que um semigrupo tem uma única operação binária. Uma equação de definição suficiente é a lei associativa:

${\ displaystyle x (yz) = (xy) z.}$

A classe de grupos forma uma variedade de álgebras de assinatura (2,0,1), sendo as três operações, respectivamente, multiplicação (binária), identidade (nula, uma constante) e inversão (unária). Os axiomas familiares de associatividade, identidade e inverso formam um conjunto adequado de identidades:

${\ displaystyle x (yz) = (xy) z}$

${\ displaystyle 1x = x1 = x}$

${\ displaystyle xx ^ {- 1} = x ^ {- 1} x = 1.}$

A classe de anéis também forma uma variedade de álgebras. A assinatura aqui é (2,2,0,0,1) (duas operações binárias, duas constantes e uma operação unária).

Se fixarmos um anel R específico , podemos considerar a classe de módulos R à esquerda . Para expressar a multiplicação escalar com elementos de R , precisamos de uma operação unária para cada elemento de R. Se o anel for infinito, teremos infinitas operações, o que é permitido pela definição de uma estrutura algébrica em álgebra universal. Então, também precisaremos de um número infinito de identidades para expressar os axiomas do módulo, o que é permitido pela definição de uma variedade de álgebras. Portanto, os módulos R da esquerda formam uma variedade de álgebras.

Os campos que não formar uma variedade de álgebras; o requisito de que todos os elementos diferentes de zero sejam invertíveis não pode ser expresso como uma identidade universalmente satisfeita.

Os semigrupos cancelativos também não formam uma variedade de álgebras, visto que a propriedade de cancelamento não é uma equação, é uma implicação que não é equivalente a nenhum conjunto de equações. No entanto, eles formam uma quase - variedade, pois a implicação que define a propriedade de cancelamento é um exemplo de quase-identidade .

Teorema de Birkhoff

Dada uma classe de estruturas algébricas da mesma assinatura, podemos definir as noções de homomorfismo, subálgebra e produto . Garrett Birkhoff provou que uma classe de estruturas algébricas com a mesma assinatura é uma variedade se e somente se for fechada sob a obtenção de imagens homomórficas, subálgebras e produtos arbitrários. Este é um resultado de fundamental importância para a álgebra universal e conhecido como teorema de Birkhoff ou teorema HSP . H , S e P representam, respectivamente, as operações de homomorfismo, subálgebra e produto.

A classe de álgebras que satisfazem algum conjunto de identidades será fechada nas operações HSP. Provar o contrário - as classes de álgebras fechadas nas operações HSP devem ser equacionais - é mais difícil.

Usando o teorema de Birkhoff, podemos, por exemplo, verificar a afirmação feita acima, de que os axiomas de campo não são expressos por nenhum conjunto possível de identidades: o produto dos campos não é um campo, portanto, os campos não formam uma variedade.

Subvariedades

Uma subvariedade de uma variedade de álgebras V é uma subclasse de V que possui a mesma assinatura de V e é ela própria uma variedade, isto é, é definida por um conjunto de identidades.

Observe que embora cada grupo se torne um semigrupo quando a identidade como uma constante é omitida (e / ou a operação inversa é omitida), a classe de grupos não forma uma subvariedade da variedade de semigrupos porque as assinaturas são diferentes. Da mesma forma, a classe de semigrupos que são grupos não é uma subvariedade da variedade de semigrupos. A classe de monóides que são grupos contém e não contém sua subálgebra (mais precisamente, submonóide) . ${\ displaystyle \ langle \ mathbb {Z}, + \ rangle}$${\ displaystyle \ langle \ mathbb {N}, + \ rangle}$

No entanto, a classe de grupos abelianos é uma subvariedade da variedade de grupos porque consiste naqueles grupos que satisfazem sem nenhuma mudança de assinatura. Os grupos abelianos finitamente gerados não formam uma subvariedade, visto que pelo teorema de Birkhoff eles não formam uma variedade, já que um produto arbitrário de grupos abelianos finitamente gerados não é gerado finitamente. ${\ displaystyle xy = yx,}$

Vendo uma variedade V e seus homomorfismos como uma categoria , uma subvariedade U de V é uma subcategoria completa de V , o que significa que para quaisquer objetos a , b em U , os homomorfismos de a a b em U são exatamente aqueles de a a b em V .

Objetos livres

Suponha que V seja uma variedade não trivial de álgebras, isto é, V contém álgebras com mais de um elemento. Pode-se mostrar que, para cada conjunto de S , a variedade V contém uma álgebra livre F _S em S . Isso significa que existe um mapa de conjunto injetivo i  : S → F _S que satisfaz a seguinte propriedade universal : dada qualquer álgebra A em V e qualquer mapa k  : S → A , existe um único V -homomorfismo f  : F _S → A tal que . ${\ displaystyle f \ circ i = k}$

Isso generaliza as noções de grupo livre , grupo abeliano livre , álgebra livre , módulo livre etc. Tem a conseqüência de que toda álgebra em uma variedade é uma imagem homomórfica de uma álgebra livre.

Teoria da categoria

Se for uma categoria algébrica finitária (ou seja, a categoria de uma variedade de álgebras, com homomorfismos como morfismos), então o functor esquecido${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle G \ dois pontos V \ to \ mathbf {Set}}$

tem um adjunto à esquerda , ou seja, o functor que atribui a cada conjunto a álgebra livre desse conjunto. Esta adjunção é estritamente monádica , no sentido de que a categoria é isomórfica à categoria de Eilenberg-Moore para a mônada . ${\ displaystyle F \ colon \ mathbf {Set} \ to V}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Set} ^ {T}}$${\ displaystyle T = GF}$

A mônada é, portanto, suficiente para recuperar a categoria algébrica finitária, o que permite a seguinte generalização. Um diz uma categoria é uma categoria algébrica se é monádico sobre . Esta é uma noção mais geral do que "categoria algébrica finitária" porque admite categorias como CABA (álgebras booleanas atômicas completas) e CSLat ( semilattices completas), cujas assinaturas incluem operações infinitárias. Nesses dois casos, a assinatura é grande, o que significa que não forma um conjunto, mas uma classe própria, porque suas operações são de aridade ilimitada. A categoria algébrica de álgebras sigma também tem operações infinitas, mas sua aridade é contável, de forma que sua assinatura é pequena (forma um conjunto). ${\ displaystyle T \ colon \ mathbf {Set} \ to \ mathbf {Set}}$${\ displaystyle \ mathbf {Set}}$

Cada categoria algébrica finitária é uma categoria apresentável localmente .

Pseudovariedade de álgebras finitas

Uma vez que as variedades são fechadas sob produtos diretos arbitrários, todas as variedades não triviais contêm álgebras infinitas. Têm sido feitas tentativas para desenvolver um análogo finitário da teoria das variedades. Isso levou, por exemplo, à noção de variedade de semigrupos finitos . Este tipo de variedade utiliza apenas produtos finitários. No entanto, ele usa um tipo mais geral de identidades.

Uma pseudovariedade é geralmente definida como uma classe de álgebras de uma determinada assinatura, fechada sob a obtenção de imagens homomórficas, subálgebras e produtos diretos finitários. Nem todo autor assume que todas as álgebras de uma pseudovariedade são finitas; se for esse o caso, às vezes falamos de uma variedade de álgebras finitas . Para pseudovariedades, não há contraparte finitária geral para o teorema de Birkhoff, mas em muitos casos a introdução de uma noção mais complexa de equações permite que resultados semelhantes sejam derivados.

As pseudovariedades são de particular importância no estudo de semigrupos finitos e, portanto, na teoria da linguagem formal . O teorema de Eilenberg , freqüentemente referido como teorema da variedade , descreve uma correspondência natural entre variedades de linguagens regulares e pseudovariedades de semigrupos finitos.

Veja também

• Quasivariedade

Notas

links externos

Duas monografias disponíveis gratuitamente online:

• Stanley N. Burris e HP Sankappanavar (1981), A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN   3-540-90578-2 . [A prova do teorema de Birkhoff está em II§11.]
• Peter Jipsen e Henry Rose (1992), Varieties of Lattices , Lecture Notes in Mathematics 1533. Springer Verlag. ISBN   0-387-56314-8 .