Subalgebra - Subalgebra

Em matemática , uma subálgebra é um subconjunto de uma álgebra , fechada em todas as suas operações e carregando as operações induzidas.

" Álgebra ", quando se refere a uma estrutura, geralmente significa um espaço vetorial ou módulo equipado com uma operação bilinear adicional. As álgebras na álgebra universal são muito mais gerais: são uma generalização comum de todas as estruturas algébricas . "Subalgebra" pode se referir a qualquer um dos casos.

Subalgebras para álgebras sobre um anel ou campo

Uma subálgebra de uma álgebra sobre um anel ou campo comutativo é um subespaço vetorial que é fechado sob a multiplicação de vetores. A restrição da multiplicação da álgebra a torna uma álgebra sobre o mesmo anel ou campo. Esta noção também se aplica à maioria das especializações, onde a multiplicação deve satisfazer propriedades adicionais, por exemplo, para álgebras associativas ou para álgebras de Lie . Apenas para álgebras unitais existe uma noção mais forte, de subálgebra unital , para a qual também é necessário que a unidade da subálgebra seja a unidade da álgebra maior.

Exemplo

As matrizes 2 × 2 sobre os reais formam uma álgebra unital da maneira óbvia. As matrizes 2 × 2 para as quais todas as entradas são zero, exceto a primeira na diagonal, formam uma subálgebra. Também é unital, mas não é uma subálgebra unital.

Subalgebras em álgebra universal

Em álgebra universal , uma subálgebra de uma álgebra A é um subconjunto S de A que também tem a estrutura de uma álgebra do mesmo tipo quando as operações algébricas estão restritos a S . Se os axiomas de um tipo de estrutura algébrica são descritos por leis equacionais , como é tipicamente o caso na álgebra universal, então a única coisa que precisa ser verificada é que S está fechado nas operações.

Alguns autores consideram álgebras com funções parciais . Existem várias maneiras de definir subálgebras para eles. Outra generalização das álgebras é permitir relações. Essas álgebras mais gerais são geralmente chamadas de estruturas e são estudadas na teoria de modelos e na ciência da computação teórica . Para estruturas com relações existem noções de subestruturas fracas e de subestruturas induzidas .

Exemplo

Por exemplo, a assinatura padrão para grupos em álgebra universal é (•, ⁻¹ , 1) . (A inversão e a unidade são necessárias para obter as noções corretas de homomorfismo e para que as leis de grupo possam ser expressas como equações.) Portanto, um subgrupo de um grupo G é um subconjunto S de G tal que:

• a identidade e de G pertence a S (de modo que S é fechado sob a operação da constante de identidade);
• sempre que x pertencer a S , o mesmo ocorrerá com x ⁻¹ (de forma que S é fechado sob a operação inversa);
• sempre que x e y pertencem a S , o mesmo acontece com x • Y (de modo a que S é fechada sob operação de multiplicação do grupo).

Referências

• Bourbaki, Nicolas (1989), Elements of mathematics, Algebra I , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-64243-5
• Burris, Stanley N .; Sankappanavar, HP (1981), A Course in Universal Algebra , Berlin, New York: Springer-Verlag