Álgebra sobre um campo - Algebra over a field

Em matemática , uma álgebra sobre um campo (geralmente chamada simplesmente de álgebra ) é um espaço vetorial equipado com um produto bilinear . Assim, uma álgebra é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto junto com operações de multiplicação e adição e multiplicação escalar por elementos de um campo e que satisfazem os axiomas implícitos em "espaço vetorial" e "bilinear".

A operação de multiplicação em uma álgebra pode ou não ser associativa , levando às noções de álgebras associativas e álgebras não associativas . Dado um inteiro n , o anel de matrizes quadradas reais de ordem n é um exemplo de álgebra associativa sobre o campo de números reais sob adição e multiplicação de matrizes, uma vez que a multiplicação de matrizes é associativa. O espaço euclidiano tridimensional com multiplicação dada pelo produto vetorial vetorial é um exemplo de álgebra não associativa sobre o campo de números reais, uma vez que o produto vetorial vetorial é não associativo, satisfazendo a identidade de Jacobi .

Uma álgebra é unital ou unitária se tiver um elemento de identidade em relação à multiplicação. O anel de matrizes quadradas reais de ordem n forma uma álgebra unital, uma vez que a matriz identidade de ordem n é o elemento identidade com respeito à multiplicação da matriz. É um exemplo de álgebra associativa unital, um anel (unital) que também é um espaço vetorial.

Muitos autores usam o termo álgebra para significar álgebra associativa , ou álgebra associativa unital , ou em alguns assuntos, como geometria algébrica , álgebra associativa unital comutativa .

Substituir o campo de escalares por um anel comutativo leva à noção mais geral de uma álgebra sobre um anel . As álgebras não se confundem com espaços vetoriais dotados de forma bilinear , como os espaços produtos internos , pois, para tal espaço, o resultado de um produto não está no espaço, mas sim no campo dos coeficientes.

Definição e motivação

Exemplos motivadores


Álgebra	Espaço vetorial	operador bilinear	associatividade	comutatividade
números complexos	${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$	produto de números complexos ${\ displaystyle \ left (a + ib \ right) \ cdot \ left (c + id \ right)}$	sim	sim
produto cruzado de vetores 3D	${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$	produto cruzado ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ times {\ vec {b}}}$	Não	Não ( anticommutativo )
quaternions	${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$	Produto Hamilton ${\ displaystyle (a + {\ vec {v}}) (b + {\ vec {w}})}$	sim	Não

Definição

Vamos $K$ ser um campo, e deixar $Um$ ser um espaço vetorial sobre $K$ equipado com um adicional de operação binária de $A \times A$ para $A$ , denotada aqui por $\cdot$ (isto é, se $x$ e $y$ são quaisquer dois elementos de $A$ , então $x \cdot y$ é um elemento de $um$ que é chamado o produto de $x$ e $y$ ). Em seguida, $uma$ é uma álgebra sobre $K$ se as seguintes identidades válida para todos os elementos de $x, y, z$ em $A$ , e todos os elementos (muitas vezes chamados escalares ) $um$ e $b$ em $K$ :

Distributividade correta : $(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$
Distributividade à esquerda: $z \cdot (x + y) = z \cdot x + z \cdot y$
Compatibilidade com escalares: $(ax) \cdot (por) = (ab) (x \cdot y)$ .

Esses três axiomas são outra maneira de dizer que a operação binária é bilinear . Uma álgebra sobre $K$ é por vezes também chamado de $K$ -álgebra , e $K$ é chamado o campo de base de $A$ . A operação binária é muitas vezes referida como a multiplicação em $A$ . A convenção adotada neste artigo é que a multiplicação de elementos de uma álgebra não é necessariamente associativa , embora alguns autores usem o termo álgebra para se referir a uma álgebra associativa .

Quando uma operação binária em um espaço vetorial é comutativa , a distributividade à esquerda e a distributividade à direita são equivalentes e, neste caso, apenas uma distributividade requer uma prova. Em geral, para operações não comutativas, a distributividade esquerda e a distributividade direita não são equivalentes e requerem provas separadas.

Conceitos Básicos

Homomorfismos de álgebra

Dado K -álgebras A e B , um K -álgebra homomorphism é um K - mapa linear f : Um → B de modo a que f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) para todos os x , y em um . O espaço de todos os homomorfismos de álgebra K entre A e B é frequentemente escrito como

{\ displaystyle \ mathbf {Hom} _ {K {\ text {-alg}}} (A, B).}

A K -álgebra isomorfismo é um bijective K homomorphism -álgebra. Para todos os efeitos práticos, as álgebras isomórficas diferem apenas pela notação.

Subalgebras e ideais

A subálgebra de uma álgebra sobre um campo K é um subespaço linear que tem a propriedade de que o produto de quaisquer dois de seus elementos está novamente no subespaço. Em outras palavras, uma subálgebra de uma álgebra é um subconjunto não vazio de elementos que é fechado sob adição, multiplicação e multiplicação escalar. Em símbolos, dizemos que um subconjunto L de um K -álgebra A é um subálgebra se para todo x , y em L e C em K , temos que x · y , x + y , e cx estão todos em L .

No exemplo acima dos números complexos vistos como uma álgebra bidimensional sobre os números reais, a linha real unidimensional é uma subálgebra.

Um ideal de esquerda de uma álgebra K é um subespaço linear que possui a propriedade de que qualquer elemento do subespaço multiplicado à esquerda por qualquer elemento da álgebra produz um elemento do subespaço. Em símbolos, dizemos que um subconjunto L de um K -álgebra A é um ideal esquerda se para todo x e y em L , z em A e C em K , temos o seguinte três declarações.

x + y está em L ( L é fechado sob adição),
cx está em L ( L é fechado na multiplicação escalar),
z · x está em L ( L é fechado na multiplicação à esquerda por elementos arbitrários).

Se (3) fosse substituído por x · z está em L , então isso definiria um ideal correto . Um ideal bilateral é um subconjunto que é tanto um ideal esquerdo quanto direito. O termo ideal por si só é geralmente usado para significar um ideal bilateral. É claro que, quando a álgebra é comutativa, todas essas noções de ideal são equivalentes. Note-se que as condições (1) e (2) em conjunto, são equivalentes a L ser um subespaço linear de Uma . Segue da condição (3) que todo ideal de esquerda ou direita é uma subálgebra.

É importante notar que essa definição difere da definição de um ideal de anel , por aqui exigirmos a condição (2). Obviamente, se a álgebra for unital, a condição (3) implica a condição (2).

Extensão de escalares

Se temos uma extensão de campo F / K , que é dizer um maior campo F que contém K , então há uma maneira natural de construir uma álgebra sobre F a partir de qualquer álgebra sobre K . É a mesma construção que usamos para fazer um espaço vetorial sobre um campo maior, ou seja, o produto tensorial . Então, se A é uma álgebra sobre K , então é uma álgebra sobre F . ${\ displaystyle V_ {F}: = V \ otimes _ {K} F}$ ${\ displaystyle A_ {F}}$

Tipos de álgebras e exemplos

Álgebras sobre campos vêm em muitos tipos diferentes. Esses tipos são especificados insistindo em alguns axiomas adicionais, como comutatividade ou associatividade da operação de multiplicação, que não são exigidos na definição ampla de uma álgebra. As teorias correspondentes aos diferentes tipos de álgebras costumam ser muito diferentes.

Álgebra unital

Uma álgebra é unital ou unitária se tem uma unidade ou elemento de identidade I com Ix = x = xI para todo x na álgebra.

Álgebra zero

Uma álgebra é chamada de álgebra zero se uv = 0 para todo u , v na álgebra, não deve ser confundida com a álgebra com um elemento. É inerentemente não unital (exceto no caso de apenas um elemento), associativo e comutativo.

Pode-se definir uma álgebra zero unital tomando a soma direta dos módulos de um campo (ou mais geralmente um anel) K e um espaço vetorial K (ou módulo) V , e definindo o produto de cada par de elementos de V como sendo zero. Ou seja, se λ , μ ∈ K e u , v ∈ V , então ( λ + u ) ( μ + v ) = λμ + ( λv + μu ) . Se e ₁ , ... e _d é uma base de V , a álgebra zero unital é o quociente do anel polinomial K [ E ₁ , ..., E _n ] pelo ideal gerado pelo E _i E _j para cada par ( i , j ) .

Um exemplo de álgebra zero unital é a álgebra de números duais , a álgebra R zero unital construída a partir de um espaço vetorial real unidimensional.

Essas álgebras zero unitais podem ser mais geralmente úteis, pois permitem traduzir qualquer propriedade geral das álgebras em propriedades de espaços vetoriais ou módulos . Por exemplo, a teoria das bases de Gröbner foi introduzida por Bruno Buchberger para ideais em um anel polinomial R = K [ x ₁ , ..., x _n ] sobre um campo. A construção da álgebra zero unital sobre um módulo R livre permite estender esta teoria como uma teoria de base de Gröbner para submódulos de um módulo livre. Esta extensão permite, para calcular uma base de Gröbner de um submódulo, usar, sem qualquer modificação, qualquer algoritmo e qualquer software para calcular as bases de ideais de Gröbner.

Álgebra associativa

Exemplos de álgebras associativas incluem

o álgebra de tudo n -by- n matrizes sobre um campo (ou anel conmutativo) K . Aqui, a multiplicação é uma multiplicação de matriz comum .
álgebras de grupo , onde um grupo serve como base para o espaço vetorial e a multiplicação da álgebra estende a multiplicação de grupo.
a álgebra comutativa K [ x ] de todos os polinômios sobre K (ver anel polinomial ).
álgebras de funções , como a álgebra R de todas as funções contínuas de valor real definidas no intervalo [0,1], ou a álgebra C de todas as funções holomórficas definidas em algum conjunto aberto fixo no plano complexo . Estes também são comutativos.
Álgebras de incidência são construídas em certos conjuntos parcialmente ordenados .
álgebras de operadores lineares , por exemplo em um espaço de Hilbert . Aqui, a multiplicação da álgebra é dada pela composição de operadores. Essas álgebras também carregam uma topologia ; muitos deles são definidos em um espaço de Banach subjacente , o que os transforma em álgebras de Banach . Se também for dada uma involução, obtemos B * -álgebras e C * -álgebras . Estes são estudados na análise funcional .

Álgebra não associativa

Uma álgebra não associativa (ou álgebra distributiva ) sobre um campo K é um K -espaço vetorial A equipado com um K - mapa bilinear . O uso de "não associativo" aqui pretende transmitir que a associatividade não é assumida, mas não significa que seja proibida - ou seja, significa "não necessariamente associativo". ${\ displaystyle A \ times A \ rightarrow A}$

Os exemplos detalhados no artigo principal incluem:

Espaço euclidiano R ³ com multiplicação dada pelo produto vetorial vetorial
Octonions
Álgebras de Lie
Álgebras de Jordan
Álgebras alternativas
Álgebras flexíveis
Álgebras associativas de poder

Álgebras e anéis

A definição de uma K- álgebra associativa com unidade também é freqüentemente fornecida de uma maneira alternativa. Neste caso, uma álgebra sobre um campo K é um anel A junto com um homomorfismo de anel

{\ displaystyle \ eta \ dois pontos K \ a Z (A),}

onde Z ( A ) é o centro de um . Como η é um homomorfismo de anel, então deve-se ter que A é o anel zero ou que η é injetivo . Esta definição é equivalente àquela acima, com multiplicação escalar

{\ displaystyle K \ times A \ a A}

dado por

{\ displaystyle (k, a) \ mapsto \ eta (k) a.}

Dadas duas dessas K -álgebras A e B unitais associativas , um homomorfismo unital K -álgebra f : A → B é um homomorfismo de anel que comuta com a multiplicação escalar definida por η , que se pode escrever como

{\ displaystyle f (ka) = kf (a)}

para todos e . Em outras palavras, o diagrama a seguir comuta: ${\ displaystyle k \ in K}$ ${\ displaystyle a \ in A}$

{\ displaystyle {\ begin {matrix} && K && \\ & \ eta _ {A} \ swarrow & \, & \ eta _ {B} \ searrow & \\ A && {\ begin {matrix} f \\\ longrightarrow \ end {matriz}} && B \ end {matriz}}}

Coeficientes de estrutura

Para álgebra de mais de um campo, a multiplicação de bilinear Um × A para A é completamente determinada pela multiplicação de base, elementos de Uma . Por outro lado, uma vez que uma base para A tenha sido escolhida, os produtos dos elementos da base podem ser definidos arbitrariamente e então estendidos de uma maneira única para um operador bilinear em A , ou seja, a multiplicação resultante satisfaz as leis da álgebra.

Assim, dado o campo K , qualquer álgebra de dimensão finita pode ser especificada até o isomorfismo , dando sua dimensão (digamos n ) e especificando n ³ coeficientes de estrutura c _{i , j , k} , que são escalares . Esses coeficientes de estrutura determinam a multiplicação em A por meio da seguinte regra:

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ mathbf {e} _ {j} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} c_ {i, j, k} \ mathbf {e} _ {k }}

onde e ₁ , ..., e _n formam uma base de A .

Observe, entretanto, que vários conjuntos diferentes de coeficientes de estrutura podem dar origem a álgebras isomórficas.

Na física matemática , os coeficientes de estrutura são geralmente escritos com índices superiores e inferiores, de modo a distinguir suas propriedades de transformação sob transformações de coordenadas. Especificamente, os índices mais baixos são índices covariantes e se transformam por meio de pullbacks , enquanto os índices superiores são contravariantes , transformando-se sob pushforwards . Assim, os coeficientes de estrutura são frequentemente escritos c _{i , j}^k , e sua regra de definição é escrita usando a notação de Einstein como

e _i e _j = c _{i , j}^k e _k .

Se você aplicar isso a vetores escritos em notação de índice , então isso se torna

( xy ) ^k = c _{i , j}^k x ⁱ y ^j .

Se K é de apenas um anel comutativo e não um campo, então o mesmo processo funciona se A é um módulo livre sobre K . Se não for, então a multiplicação ainda é completamente determinada por sua ação em um conjunto que se estende por A ; entretanto, as constantes de estrutura não podem ser especificadas arbitrariamente neste caso, e saber apenas as constantes de estrutura não especifica a álgebra até o isomorfismo.

Classificação de álgebras associativas unitais de baixa dimensão sobre os números complexos

Álgebras associativas unitais bidimensionais, tridimensionais e quadridimensionais sobre o campo dos números complexos foram completamente classificadas até o isomorfismo por Eduard Study .

Existem duas dessas álgebras bidimensionais. Cada álgebra consiste em combinações lineares (com coeficientes complexos) de dois elementos de base, 1 (o elemento de identidade) e a . De acordo com a definição de um elemento de identidade,

{\ displaystyle \ textstyle 1 \ cdot 1 = 1 \ ,, \ quad 1 \ cdot a = a \ ,, \ quad a \ cdot 1 = a \ ,.}

Resta especificar

{\ displaystyle \ textstyle aa = 1}

para a primeira álgebra,

{\ displaystyle \ textstyle aa = 0}

para a segunda álgebra.

Existem cinco dessas álgebras tridimensionais. Cada álgebra consiste em combinações lineares de três elementos básicos, 1 (o elemento de identidade), a e b . Levando em consideração a definição de um elemento de identidade, é suficiente especificar

{\ displaystyle \ textstyle aa = a \ ,, \ quad bb = b \ ,, \ quad ab = ba = 0}

para a primeira álgebra,

{\ displaystyle \ textstyle aa = a \ ,, \ quad bb = 0 \ ,, \ quad ab = ba = 0}

para a segunda álgebra,

{\ displaystyle \ textstyle aa = b \ ,, \ quad bb = 0 \ ,, \ quad ab = ba = 0}

para a terceira álgebra,

{\ displaystyle \ textstyle aa = 1 \ ,, \ quad bb = 0 \ ,, \ quad ab = -ba = b}

para a quarta álgebra,

{\ displaystyle \ textstyle aa = 0 \ ,, \ quad bb = 0 \ ,, \ quad ab = ba = 0}

para a quinta álgebra.

A quarta dessas álgebras é não comutativa e as outras são comutativas.

Generalização: álgebra sobre um anel

Em algumas áreas da matemática, como a álgebra comutativa , é comum considerar o conceito mais geral de uma álgebra sobre um anel , onde um comutativa unital anel R substitui o campo K . A única parte da definição que muda é que A é considerado um módulo R (em vez de um espaço vetorial sobre K ).

Álgebras associativas sobre anéis

Um anel A é sempre uma álgebra associativa sobre seu centro e sobre os inteiros . Um exemplo clássico de álgebra sobre seu centro é a álgebra de biquaternion dividido , que é isomórfica a , o produto direto de duas álgebras de quaternion . O centro desse anel é e, portanto, tem a estrutura de uma álgebra sobre seu centro, que não é um campo. Observe que a álgebra de biquatérnio dividido também é naturalmente uma álgebra de 8 dimensões . ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ times \ mathbb {H}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Em álgebra comutativa, se A é um anel comutativo , então qualquer homomorfismo de anel unital define uma estrutura de módulo R em A , e isso é conhecido como estrutura de álgebra R. Portanto, um anel vem com uma estrutura de módulo natural , uma vez que se pode pegar o homomorfismo único . Por outro lado, nem todos os anéis podem receber a estrutura de uma álgebra sobre um campo (por exemplo, os inteiros). Veja Campo com um elemento para uma descrição de uma tentativa de dar a cada anel uma estrutura que se comporta como uma álgebra sobre um campo. ${\ displaystyle R \ a A}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ para A}$

Veja também

Notas

Referências

Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Álgebras, anéis e módulos . 1 . Springer. ISBN 1-4020-2690-0.

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