Estrutura algébrica - Algebraic structure

Estruturas algébricas
grupo -como
Teoria do grupo
Semelhante a um anel
Teoria do anel
Semelhante a uma treliça
Módulo- like
álgebra -como

Na matemática , uma estrutura algébrica consiste em um conjunto não vazio A (chamado de conjunto subjacente , conjunto portador ou domínio ), uma coleção de operações em A de aridade finita (normalmente operações binárias ) e um conjunto finito de identidades , conhecido como axiomas , que essas operações devem satisfazer.

Uma estrutura algébrica pode ser baseada em outras estruturas algébricas com operações e axiomas envolvendo várias estruturas. Por exemplo, um espaço vetorial envolve uma segunda estrutura denominada campo e uma operação denominada multiplicação escalar entre elementos do campo (denominados escalares ) e elementos do espaço vetorial (denominados vetores ).

No contexto da álgebra universal , o conjunto A com esta estrutura é chamado de álgebra , enquanto, em outros contextos, é (de forma ambígua) chamada de estrutura algébrica , o termo álgebra sendo reservado para estruturas algébricas específicas que são espaços vetoriais sobre um campo ou módulos sobre um anel comutativo .

As propriedades de estruturas algébricas específicas são estudadas em álgebra abstrata . A teoria geral das estruturas algébricas foi formalizada na álgebra universal. A linguagem da teoria das categorias é usada para expressar e estudar relações entre diferentes classes de objetos algébricos e não algébricos. Isso ocorre porque às vezes é possível encontrar fortes conexões entre algumas classes de objetos, às vezes de tipos diferentes. Por exemplo, a teoria de Galois estabelece uma conexão entre certos campos e grupos: duas estruturas algébricas de diferentes tipos.

Introdução

Adição e multiplicação de números reais são os exemplos prototípicos de operações que combinam dois elementos de um conjunto para produzir um terceiro elemento do conjunto. Essas operações obedecem a várias leis algébricas. Por exemplo, a + ( b + c ) = ( a + b ) + c e a ( bc ) = ( ab ) c como as leis associativas . Também a + b = b + a e ab = ba como as leis comutativas. Muitos sistemas estudados por matemáticos têm operações que obedecem a algumas, mas não necessariamente todas, as leis da aritmética comum. Por exemplo, as rotações de um objeto no espaço tridimensional podem ser combinadas, por exemplo, executando a primeira rotação no objeto e, em seguida, aplicando a segunda rotação sobre ele em sua nova orientação feita pela rotação anterior. A rotação como operação obedece à lei associativa, mas pode deixar de cumprir a lei comutativa.

Os matemáticos dão nomes a conjuntos com uma ou mais operações que obedecem a uma coleção particular de leis e os estudam de forma abstrata como estruturas algébricas. Quando um novo problema pode ser mostrado para seguir as leis de uma dessas estruturas algébricas, todo o trabalho que foi feito naquela categoria no passado pode ser aplicado ao novo problema.

Em geral, as estruturas algébricas podem envolver uma coleção arbitrária de operações, incluindo operações que combinam mais de dois elementos ( operações de maior aridade ) e operações que levam apenas um argumento ( operações unárias ). Os exemplos usados ​​aqui não são de forma alguma uma lista completa, mas pretendem ser uma lista representativa e incluem as estruturas mais comuns. Listas mais longas de estruturas algébricas podem ser encontradas nos links externos e em Categoria: Estruturas algébricas . As estruturas são listadas em ordem aproximada de complexidade crescente.

Exemplos

Um conjunto com operações

Estruturas simples : nenhuma operação binária :

  • Conjunto : uma estrutura algébrica S degenerada sem operações.
  • Conjunto pontiagudo : S tem um ou mais elementos distintos, geralmente 0, 1 ou ambos.
  • Sistema Unário: S e uma única operação unária sobre S .
  • Sistema unário pontiagudo : um sistema unário com S um conjunto pontiagudo.

Estruturas semelhantes a grupos : uma operação binária. A operação binária pode ser indicada por qualquer símbolo, ou sem nenhum símbolo (justaposição), como é feito para a multiplicação normal de números reais.

Estruturas semelhantes a anéis ou Ringoides : duas operações binárias, freqüentemente chamadas de adição e multiplicação , com distribuição de multiplicação sobre adição.

  • Semiring : um anelóide tal que S é um monóide em cada operação. A adição é tipicamente assumida como comutativa e associativa, e o produto monóide é considerado distribuído sobre a adição em ambos os lados, e a identidade aditiva 0 é um elemento absorvente no sentido de que 0  x = 0 para todo x .
  • Anel próximo : um semirante cujo monóide aditivo é um grupo (não necessariamente abeliano).
  • Anel : um semirante cujo monóide aditivo é um grupo abeliano.
  • Anel de Lie : um ringóide cujo monóide aditivo é um grupo abeliano, mas cuja operação multiplicativa satisfaz a identidade de Jacobi ao invés da associatividade.
  • Anel comutativo : um anel em que a operação de multiplicação é comutativa.
  • Anel booleano : um anel comutativo com operação de multiplicação idempotente.
  • Campo : um anel comutativo que contém um inverso multiplicativo para cada elemento diferente de zero.
  • Álgebras de Kleene : uma semiragem com adição idempotente e uma operação unária, a estrela de Kleene , que satisfaz propriedades adicionais.
  • * -álgebra : um anel com uma operação unária adicional (*) satisfazendo propriedades adicionais.

Estruturas reticuladas : duas ou mais operações binárias, incluindo operações chamadas meet and join , conectadas pela lei de absorção .

  • Estrutura completa : uma estrutura na qual existem encontros e junções arbitrárias .
  • Rede limitada : uma rede com o maior elemento e o menor elemento.
  • Rede complementada : uma rede limitada com uma operação unária, complementação, denotada por postfix ⊥ . A junção de um elemento com seu complemento é o maior elemento, e o encontro dos dois elementos é o menor elemento.
  • Rede modular : uma rede cujos elementos satisfazem a identidade modular adicional .
  • Rede distributiva : uma rede na qual cada um se encontra e se junta e se distribui um sobre o outro. As redes distributivas são modulares, mas o inverso não é válido.
  • Álgebra booleana : uma rede distributiva complementada. Qualquer um de meet ou join pode ser definido em termos de outro e complementação. Isso pode ser mostrado como sendo equivalente à estrutura semelhante a um anel com o mesmo nome acima.
  • Álgebra de Heyting : uma rede distributiva limitada com uma operação binária adicionada, pseudo-complemento relativo , denotado por infixo → e governado pelos axiomas:
    • x  →  x = 1
    • x  ( x  →  y ) = x y
    • y  ( x  →  y ) = y
    • x  → ( y z ) = ( x  →  y ) ( x  →  z )

Aritmética : duas operações binárias , adição e multiplicação. S é um conjunto infinito . Aritméticas são sistemas unários pontiagudos, cuja operação unária é sucessora injetiva , e com elemento distinto 0.

  • Aritmética de Robinson . A adição e a multiplicação são definidas recursivamente por meio do sucessor. 0 é o elemento de identidade para adição e aniquila a multiplicação. A aritmética de Robinson está listada aqui, embora seja uma variedade, por causa de sua proximidade com a aritmética de Peano.
  • Aritmética de Peano . Aritmética de Robinson com um esquema axioma de indução . A maioria dos axiomas de anel e campo relacionados às propriedades de adição e multiplicação são teoremas da aritmética de Peano ou de suas extensões apropriadas.

Dois conjuntos com operações

Estruturas semelhantes a módulos : sistemas compostos envolvendo dois conjuntos e empregando pelo menos duas operações binárias.

  • Grupo com operadores : um grupo G com um conjunto Ω e uma operação binária Ω ×  G → G satisfazendo certos axiomas.
  • Módulo : um grupo abeliano M e um anel R agir como operadores M . Os membros de R às vezes são chamados de escalares , e a operação binária de multiplicação escalar é uma função R  ×  M → M , que satisfaz vários axiomas. Contando as operações do anel, esses sistemas têm pelo menos três operações.
  • Espaço vetorial : um módulo onde o anel R é um anel ou campo de divisão .
  • Espaço vetorial graduado : um espaço vetorial com uma decomposição de soma direta dividindo o espaço em "graus".
  • Espaço quadrática : um espaço vectorial V ao longo de um campo F com uma forma quadrática em V tomando valores em F .

Estruturas do tipo álgebra : sistema composto definido em dois conjuntos, um anel R e um R- módulo M equipado com uma operação chamada multiplicação. Isto pode ser visto como um sistema com cinco operações binárias: Duas operações em R , duas em M e um envolvendo ambos R e M .

  • Álgebra sobre um anel (também R-álgebra ): um módulo sobre um anel comutativo R , que também realiza uma operação de multiplicação compatível com a estrutura do módulo. Isto inclui distribuitivamente sobre adição e linearidade em relação à multiplicação por elementos de R . A teoria da álgebra sobre um campo é especialmente bem desenvolvida.
  • Álgebra associativa : uma álgebra sobre um anel de forma que a multiplicação seja associativa .
  • Álgebra não associativa : um módulo sobre um anel comutativo, equipado com uma operação de multiplicação de anéis que não é necessariamente associativa. Freqüentemente, a associatividade é substituída por uma identidade diferente, como alternância , a identidade Jacobi ou a identidade Jordan .
  • Coálgebra : um espaço vetorial com uma "comultiplicação" definida duplamente à das álgebras associativas.
  • Álgebra de Lie : um tipo especial de álgebra não associativa cujo produto satisfaz a identidade de Jacobi .
  • Lie coalgebra : um espaço vetorial com uma "comultiplicação" definida duplamente à das álgebras de Lie.
  • Álgebra graduada : um espaço vetorial graduado com uma estrutura de álgebra compatível com a graduação. A ideia é que, se as qualidades de dois elementos um e b são conhecidos, em seguida, o grau de ab é conhecido, e assim a localização do produto ab é determinada na decomposição.
  • Espaço interior do produto : um F de espaço vectorial V com uma forma bilinear definido V × V → F .

Quatro ou mais operações binárias:

Estruturas híbridas

Estruturas algébricas também podem coexistir com estrutura adicional de natureza não algébrica, como ordem parcial ou uma topologia . A estrutura adicionada deve ser compatível, em certo sentido, com a estrutura algébrica.

Álgebra universal

Artigo principal: Álgebra universal

As estruturas algébricas são definidas por meio de diferentes configurações de axiomas . A álgebra universal estuda abstratamente esses objetos. Uma grande dicotomia é entre estruturas que são axiomatizadas inteiramente por identidades e estruturas que não são. Se todos os axiomas que definem uma classe de álgebras são identidades, então esta classe é uma variedade (para não ser confundido com variedades algébricas de geometria algébrica ).

Identidades são equações formuladas usando apenas as operações que a estrutura permite e variáveis ​​que são tacitamente quantificadas universalmente no universo relevante . As identidades não contêm conectivos , variáveis ​​existencialmente quantificadas ou relações de qualquer tipo além das operações permitidas. O estudo das variedades é uma parte importante da álgebra universal . Uma estrutura algébrica em uma variedade pode ser entendida como a álgebra quociente da álgebra de termos (também chamada de " álgebra absolutamente livre ") dividida pelas relações de equivalência geradas por um conjunto de identidades. Assim, uma coleção de funções com determinadas assinaturas gerar uma álgebra livre, o termo álgebra T . Dado um conjunto de identidades equacionais (os axiomas), pode-se considerar a sua simétrica, transitivo fechamento E . O quociente de álgebra T / E é então a estrutura ou variedade algébrica. Assim, por exemplo, grupos têm uma assinatura contendo dois operadores: o operador de multiplicação m , levando dois argumentos, e o operador inverso i , levando um argumento, e o elemento de identidade e , uma constante, que pode ser considerado um operador que leva zero argumentos. Dado um conjunto (contável) de variáveis x , y , z , etc., o termo álgebra é a coleção de todos os termos possíveis envolvendo m , i , e e as variáveis; então, por exemplo, m ( i ( x ), m ( x , m ( y , e ))) seria um elemento do termo álgebra. Um dos axiomas que definem um grupo é a identidade m ( x , i ( x )) = e ; outro é m ( x , e ) = x . Os axiomas podem ser representados como árvores . Essas equações induzem classes de equivalência na álgebra livre; a álgebra quociente tem então a estrutura algébrica de um grupo.

Algumas estruturas não formam variedades, porque:

  1. É necessário que 0 ≠ 1, 0 sendo o elemento de identidade aditivo e 1 sendo um elemento de identidade multiplicativo, mas esta é uma não identidade;
  2. Estruturas como campos têm alguns axiomas que detêm apenas para membros diferentes de zero de S . Para que uma estrutura algébrica seja uma variedade, suas operações devem ser definidas para todos os membros de S ; não pode haver operações parciais.

Estruturas cujos axiomas inevitavelmente incluem não-identidades estão entre as mais importantes na matemática, por exemplo, campos e anéis de divisão . Estruturas com não-identidades apresentam desafios, mas as variedades não. Por exemplo, o produto direto de dois campos não é um campo, porque , mas os campos não têm divisores zero .

Teoria da categoria

A teoria das categorias é outra ferramenta para estudar estruturas algébricas (ver, por exemplo, Mac Lane 1998). Uma categoria é uma coleção de objetos com morfismos associados . Cada estrutura algébrica tem sua própria noção de homomorfismo , ou seja, qualquer função compatível com a (s) operação (ões) que definem a estrutura. Dessa forma, toda estrutura algébrica dá origem a uma categoria . Por exemplo, a categoria de grupos tem todos os grupos como objetos e todos os homomorfismos de grupos como morfismos. Esta categoria concreta pode ser vista como uma categoria de conjuntos com estrutura teórica de categorias adicionada. Da mesma forma, a categoria de grupos topológicos (cujos morfismos são os homomorfismos de grupos contínuos) é uma categoria de espaços topológicos com estrutura extra. Um functor esquecido entre categorias de estruturas algébricas "esquece" uma parte de uma estrutura.

Existem vários conceitos na teoria das categorias que tentam capturar o caráter algébrico de um contexto, por exemplo

Diferentes significados de "estrutura"

Em um pequeno abuso de notação , a palavra "estrutura" também pode se referir apenas às operações em uma estrutura, em vez do próprio conjunto subjacente. Por exemplo, a frase, "Definimos uma estrutura de anel no conjunto ", significa que definimos operações de anel no conjunto . Para outro exemplo, o grupo pode ser visto como um conjunto equipado com uma estrutura algébrica, ou seja , a operação .

Veja também

Notas

Referências

Teoria da categoria

links externos