Homomorfismo de anel - Ring homomorphism

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Na teoria dos anéis , um ramo da álgebra abstrata , um homomorfismo de anel é uma função de preservação de estrutura entre dois anéis . Mais explicitamente, se R e S são anéis, então um homomorfismo de anel é uma função f  : R → S tal que f é:

adição de preservação:

${\ displaystyle f (a + b) = f (a) + f (b)}$para todo um e b em R ,

preservação da multiplicação:

${\ displaystyle f (ab) = f (a) f (b)}$para todo um e b em R ,

e unidade (identidade multiplicativa) preservando:

${\ displaystyle f (1_ {R}) = 1_ {S}}$.

Os inversos aditivos e a identidade aditiva também fazem parte da estrutura, mas não é necessário exigir explicitamente que eles também sejam respeitados, porque essas condições são consequências das três condições acima.

Se, além disso, f é uma bijeção , então seu inverso f ⁻¹ também é um homomorfismo de anel. Nesse caso, f é chamado de isomorfismo de anel , e os anéis R e S são chamados de isomórfico . Do ponto de vista da teoria dos anéis, anéis isomórficos não podem ser distinguidos.

Se R e S são RNG , em seguida, a noção de que é correspondente de um homomorphism rng , definido como acima, excepto sem a terceira condição f (1 _R ) 1 = _S . Um homomorfismo rng entre anéis (unitais) não precisa ser um homomorfismo de anel.

A composição de dois homomorfismos de anel é um homomorfismo de anel. Segue-se que a classe de todos os anéis forma uma categoria com homomorfismos de anel como morfismos (cf. a categoria dos anéis ). Em particular, obtém-se as noções de endomorfismo de anel, isomorfismo de anel e automorfismo de anel.

Propriedades

Deixe ser um homomorfismo de anel. Então, diretamente dessas definições, pode-se deduzir: ${\ displaystyle f \ colon R \ rightarrow S}$

• f (0 _R ) = 0 _S .
• f (- um ) = - f ( um ) para todos um em R .
• Para qualquer elemento unitário a em R , f ( a ) é um elemento unitário tal que f ( a ⁻¹ ) = f ( a ) ⁻¹ . Em particular, f induz um homomorfismo de grupo do grupo (multiplicativo) de unidades de R para o grupo (multiplicativo) de unidades de S (ou de im ( f )).
• A imagem de f , im denotado ( f ), é um subanel de S .
• O núcleo de f , definido como ker ( f ) = { uma em R  : f ( a ) 0 = _S } , é um ideal em R . Todo ideal em um anel R surge de algum homomorfismo de anel dessa maneira.
• O homomorfismo f é injetivo se e somente se ker ( f ) = {0 _R } .
• Se existe um anel homomorphism f  : R → S , em seguida, a característica de S divide a característica de R . Isso às vezes pode ser usado para mostrar que entre certos anéis R e S , nenhum homomorfismo de anel R → S pode existir.
• Se R _p é o menor subanel contido em R e S _p é o menor subanel contido em S , então todo homomorfismo de anel f  : R → S induz um homomorfismo de anel f _p  : R _p → S _p .
• Se R é um campo (ou mais geralmente um campo inclinado ) e S não é o anel zero , então f é injetivo.
• Se tanto R e S são campos , em seguida, im ( f ) é um subcampo de S , de modo que S pode ser visto como uma extensão do campo de R .
• Se R e S são conmutativo e I é um ideal de S , em seguida, f ^-1 (I) é um ideal de R .
• Se R e S são conmutativo e P é um ideal primo de S , em seguida, f ^-1 ( P ) é um ideal primo de R .
• Se R e S são conmutativo, M é um máximo ideal de S , e f é sobrejetivo, em seguida, f ^-1 (H) é um máximo ideal de R .
• Se R e S são comutativa e S é um domínio integral , então ker ( f ) é um ideal primo de R .
• Se R e S são conmutativo, S é um campo, e f é sobrejetivo, em seguida, ker ( f ) é um máximo ideal de R .
• Se f é sobrejetivo, P é primo (máxima) ideal em R e ker ( f ) ⊆ P , em seguida, f ( P ) é privilegiada (máxima) ideal em S .

Além disso,

• A composição dos homomorfismos de anel é um homomorfismo de anel.
• Para cada anel R , o mapa de identidade R → R é um homomorfismo de anel.
• Portanto, a classe de todos os anéis juntamente com os homomorfismos de anel formam uma categoria, a categoria dos anéis .
• O mapa zero R → S enviando todos os elementos de R para 0 é um homomorfismo de anel apenas se S for o anel zero (o anel cujo único elemento é zero).
• Para cada anel R , não há um único anel homomorphism Z → R . Isso diz que o anel de inteiros é um objeto inicial na categoria dos anéis.
• Para cada anel R , há um homomorfismo de anel único de R ao anel zero. Isso diz que o anel zero é um objeto terminal na categoria dos anéis.

Exemplos

• A função f  : Z → Z _n , definida por f ( um ) = [ a ] _n = um mod n é um sobrejetivo homomorphism anel Com o kernel n Z (ver aritmética modular ).
• A função f  : Z ₆ → Z ₆ definida por f ([ a ] ₆ ) = [ 4a ] ₆ é um homomorfismo rng (e endomorfismo rng), com kernel 3 Z ₆ e imagem 2 Z ₆ (que é isomorfo a Z ₃ )
• Não há homomorfismo de anel Z _n → Z para n ≥ 1 .
• A conjugação complexa C → C é um homomorfismo de anel (este é um exemplo de um automorfismo de anel).
• Se R e S são anéis, a função zero de R para S é um homomorfismo de anel se e somente se S é o anel zero . (Caso contrário, ele falha em mapear 1 _R para 1 _S. ) Por outro lado, a função zero é sempre um homomorfismo rng.
• Se R [ X ] denota o anel de todos os polinômios na variável X com coeficientes nos números reais R , e C denota os números complexos , então a função f  : R [ X ] → C definida por f ( p ) = p ( i ) (substitua a unidade imaginária i pela variável X no polinômio p ) é um homomorfismo de anel sobrejetivo. O kernel de f consiste em todos os polinômios em R [ X ] que são divisíveis por X ² + 1 .
• Se f  : R → S é um homomorfismo de anel entre os anéis R e S , então f induz um homomorfismo de anel entre os anéis da matriz M _n ( R ) → M _n ( S ) .
• Um homomorfismo de álgebra unital entre álgebras associativas unitais sobre um anel comutativo R é um homomorfismo de anel que também é R- linear .

Não exemplos

• Dado um produto de anéis , a inclusão natural não é um homomorfismo de anel (a menos que seja o anel zero); isso ocorre porque o mapa não envia a identidade multiplicativa de para a de , a saber .${\ displaystyle S = R_ {1} \ vezes R_ {2}}$${\ displaystyle R_ {1} \ to S, x \ mapsto (x, 0)}$${\ displaystyle R_ {2}}$${\ displaystyle R_ {1}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (1,1)}$

A categoria de anéis

Endomorfismos, isomorfismos e automorfismos

• Um endomorfismo de anel é um homomorfismo de anel de um anel para ele mesmo.
• Um isomorfismo de anel é um homomorfismo de anel tendo um inverso de 2 lados que também é um homomorfismo de anel. Pode-se provar que um homomorfismo de anel é um isomorfismo se e somente se for bijetivo como uma função nos conjuntos subjacentes. Se existe um isomorfismo de anel entre dois anéis R e S , então R e S são chamados de isomórficos . Os anéis isomórficos diferem apenas por uma nova rotulagem de elementos. Exemplo: Até o isomorfismo, existem quatro anéis de ordem 4. (Isso significa que existem quatro anéis não isomórficos par a par de ordem 4, de modo que todos os outros anéis de ordem 4 são isomórficos a um deles.) Por outro lado, até o isomorfismo, existem onze anéis de ordem 4.
• Um automorfismo de anel é um isomorfismo de anel de um anel para ele mesmo.

Monomorfismos e epimorfismos

Homomorphisms anel injetivas são idênticos aos Monomorfismo na categoria de anéis: Se f  : R → S é um monomorfismo que não é injetivo, então ele envia alguns R ₁ e R ₂ para o mesmo elemento de S . Considere os dois mapas g ₁ e g ₂ de Z [ x ] para R que mapeiam x para r ₁ e r ₂ , respectivamente; f ∘ g ₁ e f ∘ g ₂ são idênticas, mas uma vez que f é um monomorfismo isto é impossível.

No entanto, os homomorfismos de anéis sobrejetivos são muito diferentes dos epimorfismos na categoria dos anéis. Por exemplo, a inclusão Z ⊆ Q é um epimorfismo em anel, mas não uma sobreposição. No entanto, eles são exatamente iguais aos epimorfismos fortes .

Veja também

• Mudança de anéis
• Extensão de anel

Citações

Notas

Referências