Categoria de grupos - Category of groups

Estrutura algébrica → Teoria de grupos Teoria de grupos
Noções básicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo de quociente Produto (semi) direto Homomorfismos de grupo núcleo imagem soma direta produto de grinalda simples finito infinito contínuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diédrico nilpotente solucionável açao Glossário da teoria dos grupos Lista de tópicos de teoria de grupo
Grupos finitos Classificação de grupos finitos simples cíclico alternando Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de Lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall p-grupo Grupo abeliano elementar Grupo Frobenius Multiplicador Schur Grupo simétrico S n Klein quatro grupos V Grupo diédrico D n Quaternion grupo Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Treliças Inteiros ( )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo livre Grupos modulares PSL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo aritmético Malha Grupo hiperbólico
Grupos topológicos e de Lie Solenóide Círculo GL linear geral ( n ) SL linear especial ( n ) Ortogonal O ( n ) E Euclidiano ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitária U ( n ) SU unitário especial ( n ) Sp simplético ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difeomorfismo Ciclo Grupo de Lie dimensional infinito O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algébricos Grupo algébrico linear Grupo redutor Variedade abeliana Curva elíptica
v t e

Em matemática , a categoria Grp (ou Gp ) contém a classe de todos os grupos para objetos e homomorfismos de grupo para morfismos . Como tal, é uma categoria concreta . O estudo desta categoria é conhecido como teoria dos grupos .

Relação com outras categorias

Existem dois functores esquecidos de Grp , M: Grp → Mon de grupos para monoides e U: Grp → Set de grupos para conjuntos . M tem dois adjuntos : um direito, I: Seg → Grp , e um esquerdo, K: Mon → Grp . I: Mon → Grp é o functor que envia todos os monóides para o submonóide dos elementos invertíveis e K: Mon → Grp é o functor que envia todos os monóides para o grupo Grothendieck daquele monóide. O functor esquecido U: Grp → Set tem um adjunto à esquerda dado pelo composto KF: Set → Mon → Grp , onde F é o functor livre ; este functor atribui a cada conjunto S o grupo livre em S.

Propriedades categóricas

Os monomorfismos em Grp são precisamente os homomorfismos injetivos , os epimorfismos são precisamente os homomorfismos sobrejetivos e os isomorfismos são precisamente os homomorfismos bijetivos .

A categoria Grp é completa e co-completa . O produto da categoria teórica no Grp é apenas o produto direto de grupos, enquanto o coproduto da categoria teórica no Grp é o produto livre dos grupos. Os objetos zero em Grp são os grupos triviais (consistindo apenas em um elemento de identidade).

Todo morfismo f  : G → H em Grp tem um núcleo categórico (dado pelo núcleo comum da álgebra ker f = { x em G | f ( x ) = e }), e também um cokernel categórico (dado por o grupo de fatores de H pelo fechamento normal de f ( G ) em H ). Ao contrário das categorias abelianas, não é verdade que todo monomorfismo em Grp é o núcleo de seu cokernel.

Não aditivo e, portanto, não abeliano

A categoria de grupos abelianos , Ab , é uma subcategoria completa de Grp . Ab é uma categoria abeliana , mas Grp não. Na verdade, Grp não é nem mesmo uma categoria aditiva , porque não há uma maneira natural de definir a "soma" de dois homomorfismos de grupo. Uma prova disso é a seguinte: O conjunto de morfismos do grupo simétrico S ₃ de ordem três para si mesmo ,, tem dez elementos: um elemento z cujo produto em cada lado com cada elemento de E é z (o homomorfismo enviando todos os elementos à identidade), três elementos tais que seu produto em um lado fixo é sempre ele mesmo (as projeções sobre os três subgrupos de ordem dois) e seis automorfismos. Se Grp fosse uma categoria aditiva, então este conjunto E de dez elementos seria um anel . Em qualquer anel, o elemento zero é apontada pela propriedade que 0 x = x 0 = 0 para todos os x no anel, e assim z teria que ser o zero da E . No entanto, não há dois elementos diferentes de zero de E cujo produto é z , portanto, esse anel finito não teria divisores zero . Um anel finito sem divisores zero é um campo , mas não existe um campo com dez elementos porque todo corpo finito tem em sua ordem a potência de um primo. ${\ displaystyle E = \ operatorname {Hom} (S_ {3}, S_ {3})}$

Sequências exatas

A noção de sequência exata é significativa no Grp , e alguns resultados da teoria das categorias abelianas, como o lema nove , o lema cinco , e suas consequências são verdadeiras no Grp . O lema da cobra, entretanto, não é verdadeiro no Grp .

Grp é uma categoria regular .

Referências

• Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, a Análise Categorial da Lógica (edição revisada). Publicações de Dover . ISBN 978-0-486-45026-1. Página visitada em 2009-11-25 .