categoria completa - Complete category
Em matemática , a categoria completa é uma categoria em que todos os pequenos limites existem. Isto é, uma categoria C está completa se cada diagrama F : J → C (onde J é pequena ) tem um limite em C . Duplamente , uma categoria cocomplete é aquele em que todas as pequenas colimites existe. A categoria bicomplete é uma categoria que é completa e cocomplete.
A existência de todos os limites (mesmo quando J é uma classe própria ) é muito forte para ser praticamente relevante. Qualquer categoria com esta propriedade é necessariamente uma categoria fina : para quaisquer dois objetos pode haver no máximo um morfismo de um objeto para o outro.
A forma mais fraca de completude é o da integralidade finito. Uma categoria é um número finito completa , se todos os limites finitos (isto é, existe limites de diagramas indexados por uma categoria finito J ). Duplamente, uma categoria é cocomplete finito se existem todos os colimites finitos.
teoremas
Resulta do teorema de existência de limites que uma categoria é completa se e somente se ele tem equalizadores (de todos os pares de morphisms) e todas as (pequenas) produtos . Desde equalizadores podem ser construídos a partir de retração e produtos binários (considere a retirada de ( f , g ) ao longo do Δ diagonal), uma categoria é completa se, e somente se ele tem pullbacks e produtos.
Duplamente, uma categoria é cocomplete se e somente se ele tem coequalizador e todas as (pequenas) co-produtos , ou, equivalentemente, pushouts e co-produtos.
Completude finito podem ser caracterizados de várias maneiras. Para uma categoria C , o seguinte é equivalente:
- C é um número finito completa,
- C tem equalizadores e todos os produtos finitos,
- C tem equalizadores, produtos binários, e um objecto do terminal ,
- C tem pullbacks e um objecto do terminal.
As demonstrações duplos também são equivalentes.
A categoria pequena C é completo se e só se é cocomplete. Uma pequena categoria completa é necessariamente fina.
A categoria posetal vacuously tem todos os equalizadores e coequalizador, de onde ele é (finito) completo se, e somente se ele tem todos os produtos (finitos), e duplamente para cocompleteness. Sem a restrição finitude uma categoria posetal com todos os produtos é automaticamente cocomplete, e duplamente, por um teorema sobre reticulados completos.
Exemplos e nonexamples
- As seguintes categorias estão bicomplete:
- Definir , a categoria de conjuntos
- Top , a categoria de espaços topológicos
- Grp , a categoria de grupos
- Ab , a categoria dos grupos abelianos
- Anel , a categoria de anéis
- K -Vect , a categoria de espaços vetoriais sobre um campo K
- R -Mod , a categoria dos módulos ao longo de um anel conmutativo R
- CmptH , a categoria de todos os espaços compactos de Hausdorff
- Cat , a categoria de todas as pequenas categorias
- WHL , a categoria de rodas
- sset , a categoria de conjuntos simpliciais
- As seguintes categorias são finitos completa e cocomplete finito, mas completa nem cocomplete:
- A categoria de conjuntos finitos
- A categoria de grupos abelianos finitos
- A categoria de dimensão finita espaços vetoriais
- Qualquer ( pré ) categoria abeliana é finito completo e cocomplete finito.
- A categoria dos reticulados completos é completa, mas não cocomplete.
- A categoria de espaços métricos , Met , é finito completa, mas não tem nem coprodutos binários nem produtos infinitos.
- A categoria de campos , campo , não é nem cocomplete finito completa nem finito.
- A poset , considerado como uma categoria pequena, é completo (e cocomplete) se e somente se é uma rede completa .
- A classe parcialmente ordenado de todos os números ordinais é cocomplete mas não completo (uma vez que não tem qualquer objeto terminal).
- Um grupo, considerado como uma categoria com um único objecto, está completa se e somente se é trivial . Um grupo não trivial tem pullbacks e pushouts, mas não os produtos, co-produtos, equalizadores, coequalizador, objectos terminais, ou objectos iniciais.
Referências
- ^ Abstrato e concreto Categorias, Jiří Adámek, Horst Herrlich, e George E. Strecker, o teorema 12.7, página 213
- ^ Riehl, Emily (2014). Categórica Teoria Homotopia . New York: Cambridge University Press. p. 32. ISBN 9781139960083 . OCLC 881162803 .
Outras leituras
- Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Abstrato e concreto Categorias (PDF) . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6 .
- Mac Lane, Saunders (1998). Categorias para o matemático de Trabalho . Graduate Texts in Mathematics 5 ((2ª ed.) Ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8 .