Categoria de módulos - Category of modules
Em álgebra, dado um anel R , a categoria de módulos esquerda mais de R é a categoria cujos objectos são todos esquerda módulos mais de R e cujo morphisms são todos homomorphisms módulo entre esquerda R -modules. Por exemplo, quando R é o anel de números inteiros Z , que é a mesma coisa que a categoria de grupos abelianos . A categoria de módulos direito é definido de uma forma similar.
Nota: Alguns autores usam o termo categoria módulo para a categoria de módulos; Este termo pode ser ambígua, uma vez que também pode se referir a uma categoria com uma ação monoidal-categoria .
Conteúdo
propriedades
A categoria de módulos esquerda (ou de módulos de direito) é uma categoria abeliana . A categoria tem suficientes projetivas e injectives suficientes . Incorporação de teoremas de Mitchell estados cada categoria abelian surge como uma subcategoria total da categoria de módulos.
Limites projetivas e limites indutivos existir na categoria de módulos (digamos esquerda).
Ao longo de um anel conmutativo, em conjunto com o produto tensor de módulos ⊗, a categoria dos módulos é uma categoria simétrica monoidal .
Exemplo: a categoria de espaço vectorial
A categoria K-Vect (alguns autores usam Vect K ) tem todos os espaços vetoriais sobre um determinado campo K como objetos e K transformações -linear como morphisms . Desde espaços vetoriais sobre K (como um campo) são a mesma coisa que os módulos sobre o anel K , K-Vect é um caso especial de R-Mod , a categoria de esquerda R -modules.
Grande parte da álgebra linear diz respeito à descrição do K-Vect . Por exemplo, o teorema da dimensão para os espaços vector diz que as classes de isomorfismo em K-vect correspondem exactamente aos números cardinais , e que K-vect é equivalente à subcategoria de K-vect o qual tem como o seu objecto os espaços vector livre K n , em que n é qualquer número cardinal.
generalizações
A categoria de feixes de módulos ao longo de um espaço rodeado também tem injectives suficientes (embora não projetivas sempre suficiente).
Veja também
- K-teoria algébrica (a invariante importante da categoria de módulos.)
- Categoria de anéis
- categoria derivada
- espectro módulo
- Categoria de espaços vetoriais graduados
- Categoria de grupos abelian
- categoria de representações
Referências
- Bourbaki, Algèbre ; "Linéaire Algèbre."
- Dummit, David; Foote, Richard. Álgebra abstrata .
- Mac Lane, Saunders (Setembro de 1998). Categorias para o matemático de Trabalho . Graduate Texts in Mathematics . 5 (segunda ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8 . ZBL 0.906,18001 .
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