Categoria de módulos - Category of modules

Em álgebra, dado um anel R , a categoria de módulos esquerda mais de R é a categoria cujos objectos são todos esquerda módulos mais de R e cujo morphisms são todos homomorphisms módulo entre esquerda R -modules. Por exemplo, quando R é o anel de números inteiros Z , que é a mesma coisa que a categoria de grupos abelianos . A categoria de módulos direito é definido de uma forma similar.

Nota: Alguns autores usam o termo categoria módulo para a categoria de módulos; Este termo pode ser ambígua, uma vez que também pode se referir a uma categoria com uma ação monoidal-categoria .

propriedades

A categoria de módulos esquerda (ou de módulos de direito) é uma categoria abeliana . A categoria tem suficientes projetivas e injectives suficientes . Incorporação de teoremas de Mitchell estados cada categoria abelian surge como uma subcategoria total da categoria de módulos.

Limites projetivas e limites indutivos existir na categoria de módulos (digamos esquerda).

Ao longo de um anel conmutativo, em conjunto com o produto tensor de módulos ⊗, a categoria dos módulos é uma categoria simétrica monoidal .

Exemplo: a categoria de espaço vectorial

A categoria K-Vect (alguns autores usam Vect K ) tem todos os espaços vetoriais sobre um determinado campo K como objetos e K transformações -linear como morphisms . Desde espaços vetoriais sobre K (como um campo) são a mesma coisa que os módulos sobre o anel K , K-Vect é um caso especial de R-Mod , a categoria de esquerda R -modules.

Grande parte da álgebra linear diz respeito à descrição do K-Vect . Por exemplo, o teorema da dimensão para os espaços vector diz que as classes de isomorfismo em K-vect correspondem exactamente aos números cardinais , e que K-vect é equivalente à subcategoria de K-vect o qual tem como o seu objecto os espaços vector livre K n , em que n é qualquer número cardinal.

generalizações

A categoria de feixes de módulos ao longo de um espaço rodeado também tem injectives suficientes (embora não projetivas sempre suficiente).

Veja também

Referências

links externos