Grupo algébrico linear - Linear algebraic group

Estrutura algébrica → Teoria de grupos Teoria de grupos
Noções básicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo de quociente (Semi) produto direto Homomorfismos de grupo núcleo imagem soma direta produto de grinalda simples finito infinito contínuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diédrico nilpotente solucionável açao Glossário da teoria dos grupos Lista de tópicos de teoria de grupo
Grupos finitos Classificação de grupos finitos simples cíclico alternando Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de Lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall p-grupo Grupo abeliano elementar Grupo Frobenius Multiplicador Schur Grupo simétrico S n Klein quatro grupos V Grupo diédrico D n Quaternion grupo Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Treliças Inteiros ( )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo livre Grupos modulares PSL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo aritmético Malha Grupo hiperbólico
Grupos topológicos e de Lie Solenóide Círculo GL linear geral ( n ) SL linear especial ( n ) Ortogonal O ( n ) E euclidiano ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitária U ( n ) SU unitário especial ( n ) Sp simplético ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difeomorfismo Ciclo Grupo de Lie dimensional infinito O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algébricos Grupo algébrico linear Grupo redutor Variedade abeliana Curva elíptica
v t e

Em matemática , um grupo algébrico linear é um subgrupo do grupo de matrizes invertíveis (sob multiplicação de matrizes ) que é definido por equações polinomiais . Um exemplo é o grupo ortogonal , definida pela relação , onde é a transposição de . ${\ displaystyle n \ times n}$ ${\ displaystyle M ^ {T} M = 1}$${\ displaystyle M ^ {T}}$${\ displaystyle M}$

Muitos grupos de Lie podem ser vistos como grupos algébricos lineares sobre o campo de números reais ou complexos . (Por exemplo, cada grupo de Lie compacto pode ser considerado como um grupo algébrico linear sobre R (necessariamente R -anisotrópico e redutivo), assim como muitos grupos não compactos, como o grupo de Lie simples SL ( n , R ) .) Os grupos de Lie simples foram classificados por Wilhelm Killing e Élie Cartan nas décadas de 1880 e 1890. Naquela época, não havia uso especial do fato de que a estrutura do grupo pode ser definida por polinômios, ou seja, que se trata de grupos algébricos. Os fundadores da teoria dos grupos algébricos incluem Maurer , Chevalley e Kolchin  ( 1948 ). Na década de 1950, Armand Borel construiu grande parte da teoria dos grupos algébricos como ela existe hoje.

Um dos primeiros usos da teoria foi definir os grupos de Chevalley .

Exemplos

Para um número inteiro positivo , o grupo linear geral sobre um campo , que consiste em todas as matrizes invertíveis , é um grupo algébrico linear . Ele contém os subgrupos ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle GL (n)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle U \ subset B \ subset GL (n)}$

consistindo em matrizes da forma

${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cccc} 1 & * & \ dots & * \\ 0 & 1 & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & * \\ 0 & \ dots & 0 & 1 \ end {array}} \ right)}$e .${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cccc} * & * & \ dots & * \\ 0 & * & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & * \\ 0 & \ dots & 0 & * \ end {array}} \ right)}$

O grupo é um exemplo de grupo algébrico linear unipotente , o grupo é um exemplo de grupo algébrico solucionável denominado subgrupo Borel de . É uma consequência do teorema de Lie-Kolchin que qualquer subgrupo solucionável conectado de é conjugado . Qualquer subgrupo unipotente pode ser conjugado em . ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle GL (n)}$${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n)}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle U}$

Outro subgrupo algébrico de é o grupo linear especial de matrizes com determinante 1. ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SL} (n)}$

O grupo é chamado de grupo multiplicativo , geralmente denotado por . O grupo de -points é o grupo multiplicativo de elementos diferentes de zero do campo . O grupo aditivo , cujos pontos- são isomórficos ao grupo aditivo de , também pode ser expresso como um grupo de matriz, por exemplo, como o subgrupo em  : ${\ displaystyle GL (1)}$${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {\ mathrm {m}}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {\ mathrm {m}} (k)}$${\ displaystyle k ^ {*}}$${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {\ mathrm {a}}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ mathrm {GL} (2)}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & * \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}.}$

Esses dois exemplos básicos de grupos algébricos lineares comutativos, os grupos multiplicativos e aditivos, se comportam de maneira muito diferente em termos de suas representações lineares (como grupos algébricos). Cada representação do grupo multiplicativo é uma soma direta de representações irredutíveis . (Todas as suas representações irredutíveis têm dimensão 1, da forma de um inteiro .) Em contraste, a única representação irredutível do grupo aditivo é a representação trivial. Portanto, cada representação de (como a representação bidimensional acima) é uma extensão iterada de representações triviais, não uma soma direta (a menos que a representação seja trivial). A teoria da estrutura de grupos algébricos lineares analisa qualquer grupo algébrico linear em termos desses dois grupos básicos e suas generalizações, grupos tori e unipotentes, conforme discutido abaixo. ${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {\ mathrm {m}}}$${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {\ mathrm {a}}}$${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {\ mathrm {a}}}$

Definições

Para um campo algebricamente fechado k , grande parte da estrutura de uma variedade algébrica X sobre k é codificada em seu conjunto X ( k ) de k - pontos racionais , o que permite uma definição elementar de um grupo algébrico linear. Em primeiro lugar, definir uma função do grupo resumo GL ( n , k ), para k para ser regular, se ele pode ser escrito como um polinómio nas entradas de um n × n matriz A e em 1 / det ( A ), onde Det é o determinante . Então, um grupo algébrico linear G sobre um campo algebraicamente fechado k é um subgrupo G ( k ) do grupo abstrato GL ( n , k ) para algum número natural n tal que G ( k ) é definido pelo desaparecimento de algum conjunto de regulares funções.

Para um campo arbitrário k , as variedades algébricas sobre k são definidas como um caso especial de esquemas sobre k . Nessa linguagem, um grupo algébrico linear G sobre um campo k é um esquema de subgrupo fechado suave de GL ( n ) sobre k para algum número natural n . Em particular, G é definido pelo desaparecimento de algum conjunto de funções regulares em GL ( n ) sobre k , e essas funções devem ter a propriedade de que para cada k comutativa - álgebra R , G ( R ) é um subgrupo do grupo abstrato GL ( n , R ). (Assim, um grupo algébrico G sobre k não é apenas o grupo abstrato G ( k ), mas sim toda a família de grupos G ( R ) para k -álgebras R comutativas ; esta é a filosofia de descrever um esquema por seu functor de pontos .)

Em qualquer das línguas, tem-se a noção de um homomorfismo de grupos algébricos lineares. Por exemplo, quando k é algebricamente fechado, um homomorphism de L ⊂ GL ( m ) a H ⊂ GL ( n ) é um dos grupos homomorphism sumário G ( k ) → H ( k ), que é definida por funções regulares em L . Isso transforma os grupos algébricos lineares sobre k em uma categoria . Em particular, isso define o que significa para dois grupos algébricos lineares serem isomórficos .

Na linguagem dos esquemas, um grupo algébrico linear G sobre um campo k é, em particular, um esquema de grupo sobre k , significando um esquema sobre k junto com um k- ponto 1 ∈ G ( k ) e morfismos

${\ displaystyle m \ dois pontos G \ times _ {k} G \ a G, \; i \ dois pontos G \ a G}$

sobre k que satisfazem os axiomas usuais para a multiplicação e mapas inversos em um grupo (associatividade, identidade, inversos). Um grupo algébrico linear também é suave e de tipo finito sobre k , e é afim (como um esquema). Por outro lado, todo esquema de grupo afim G de tipo finito sobre um corpo k tem uma representação fiel em GL ( n ) sobre k para algum n . Um exemplo é a incorporação do grupo aditivo G _a em GL (2), como mencionado acima. Como resultado, pode-se pensar em grupos algébricos lineares como grupos de matrizes ou, mais abstratamente, como esquemas suaves de grupos afins sobre um campo. (Alguns autores usam "grupo algébrico linear" para significar qualquer esquema de grupo afim de tipo finito sobre um campo.)

Para uma compreensão completa dos grupos algébricos lineares, é necessário considerar esquemas de grupos mais gerais (não suaves). Por exemplo, seja k um campo algebraicamente fechado de característica p > 0. Então o homomorfismo f : G _m → G _m definido por x ↦ x ^p induz um isomorfismo de grupos abstratos k * → k *, mas f não é um isomorfismo de grupos algébricos (porque x ^{1 / p} não é uma função regular). Na linguagem dos esquemas de grupo, há uma razão mais clara pela qual f não é um isomorfismo: f é sobrejetivo, mas tem um núcleo não trivial , a saber, o esquema de grupo μ _p das p as raízes da unidade. Este problema não surge na característica zero. Na verdade, todo esquema de grupo de tipo finito sobre um corpo k de característica zero é suave sobre k . Um esquema de grupo de tipo finito sobre qualquer corpo k é suave sobre k se e somente se for geometricamente reduzido , o que significa que a mudança de base é reduzida , onde é um fechamento algébrico de k . ${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$${\ displaystyle {\ overline {k}}}$

Uma vez que um esquema afim X é determinado por seu anel O ( X ) de funções regulares, um esquema de grupo afim G sobre um campo k é determinado pelo anel O ( G ) com sua estrutura de uma álgebra de Hopf (proveniente da multiplicação e inversa mapas em G ). Isso dá uma equivalência de categorias (setas reversas) entre esquemas de grupos afins sobre k e álgebras de Hopf comutativas sobre k . Por exemplo, a álgebra de Hopf correspondente ao grupo multiplicativo G _m = GL (1) é o anel polinomial de Laurent k [ x , x ⁻¹ ], com a comultiplicação dada por

${\ displaystyle x \ mapsto x \ otimes x.}$

Noções básicas

Para um grupo algébrico linear G sobre um campo k , o componente de identidade G ^o (o componente conectado contendo o ponto 1) é um subgrupo normal de índice finito . Portanto, há uma extensão de grupo

${\ displaystyle 1 \ a G ^ {\ circ} \ a G \ a F \ a 1,}$

onde F é um grupo algébrico finito. (Para k fechado algébricamente, F pode ser identificado com um grupo finito abstrato.) Por causa disso, o estudo de grupos algébricos concentra-se principalmente em grupos conectados.

Várias noções da teoria abstrata dos grupos podem ser estendidas para grupos algébricos lineares. É simples definir o que significa para um grupo algébrico linear ser comutativo , nilpotente ou solucionável , por analogia com as definições da teoria abstrata de grupos. Por exemplo, um grupo algébrico linear é solucionável se tiver uma série de composição de subgrupos algébricos lineares de modo que os grupos quocientes sejam comutativos. Além disso, o normalizador , o centro , e o centralizador de um subgrupo fechado H de um grupo linear algébrico L são naturalmente considerados como regimes de subgrupo fechado de L . Se eles são suaves sobre k , então eles são grupos algébricos lineares conforme definido acima.

Pode-se perguntar até que ponto as propriedades de um grupo algébrico linear conectado G sobre um corpo k são determinadas pelo grupo abstrato G ( k ). Um resultado útil nesta direção é que se o campo k for perfeito (por exemplo, da característica zero), ou se G for redutivo (conforme definido abaixo), então G é uniracional sobre k . Portanto, se na adição k é infinito, o grupo L ( k ) é Zariski denso em L . Por exemplo, sob as premissas mencionadas, G é comutativo, nilpotente ou solucionável se e somente se G ( k ) tiver a propriedade correspondente.

A suposição de conexão não pode ser omitida nesses resultados. Por exemplo, vamos L ser o grupo u ₃ ⊂ GL (1) de raízes cubo de unidade ao longo dos números racionais Q . Então G é um grupo algébrico linear sobre Q para o qual G ( Q ) = 1 não é Zariski denso em G , porque é um grupo de ordem 3. ${\ displaystyle G ({\ overline {\ mathbf {Q}}})}$

Sobre um campo algébricamente fechado, há um resultado mais forte sobre grupos algébricos como variedades algébricas: cada grupo algébrico linear conectado em um campo algébrico fechado é uma variedade racional .

A álgebra de Lie de um grupo algébrico

A álgebra de Lie de um grupo algébrico G pode ser definida de várias maneiras equivalentes: como o espaço tangente T ₁ ( G ) no elemento identidade 1 ∈ G ( k ), ou como o espaço de derivações invariantes à esquerda . Se k é algebricamente fechado, uma derivação D : O ( G ) → O ( G ) sobre k do anel coordenado de G é invariante à esquerda se ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle D \ lambda _ {x} = \ lambda _ {x} D}$

para todo x em G ( k ), onde λ _x : O ( G ) → O ( G ) é induzido pela multiplicação à esquerda por x . Para um campo arbitrário k , a invariância à esquerda de uma derivação é definida como uma igualdade análoga de dois mapas lineares O ( G ) → O ( G ) ⊗ O ( G ). O colchete de Lie de duas derivações é definido por [ D ₁ , D ₂ ] = D ₁ D ₂ - D ₂ D ₁ .

A passagem de G para é, portanto, um processo de diferenciação . Para um elemento x ∈ G ( k ), a derivada em 1 ∈ G ( k ) do mapa de conjugação G → G , g ↦ xgx ⁻¹ , é um automorfismo de , dando a representação adjunta : ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Ad} \ dois pontos G \ to \ operatorname {Aut} ({\ mathfrak {g}}).}$

Sobre um campo de característica zero, um subgrupo H conectado de um grupo algébrico linear G é determinado exclusivamente por sua álgebra de Lie . Mas nem todos os subálgebra de Lie de corresponde a um subgrupo algébrica de L , como se vê no exemplo do toro G = ( L _m ) ² sobre C . Na característica positiva, pode haver muitos subgrupos conectados diferentes de um grupo G com a mesma álgebra de Lie (novamente, o toro G = ( G _m ) ² fornece exemplos). Por essas razões, embora a álgebra de Lie de um grupo algébrico seja importante, a teoria da estrutura de grupos algébricos requer ferramentas mais globais. ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} \ subset {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Elementos semissimples e unipotentes

Para um campo algebricamente fechado k , uma matriz g em GL ( n , k ) é chamada de semi - simples se for diagonalizável e unipotente se a matriz g - 1 for nilpotente . Equivalentemente, g é unipotente se todos os autovalores de g forem iguais a 1. A forma canônica de Jordan para matrizes implica que cada elemento g de GL ( n , k ) pode ser escrito exclusivamente como um produto g = g _ss g _u tal que g _ss é semi-simples, g _u é unipotente e g _ss e g _u comutam entre si.

Para qualquer campo k , um elemento g de GL ( n , k ) é dito semisimples se tornar-se diagonalizável sobre o fechamento algébrico de k . Se o campo k for perfeito, então as partes semisimples e unipotentes de g também estão em GL ( n , k ). Finalmente, para qualquer grupo algébrico linear G ⊂ GL ( n ) sobre um campo k , defina um ponto k de G como semisimples ou unipotente se for semisimples ou unipotente em GL ( n , k ). (Estas propriedades são de facto independente da escolha de uma representação fiel da L .) Se o campo k é perfeita, então as partes semisimples e unipotente de um k -ponto de L são automaticamente em L . Isto é (a decomposição de Jordan ): cada elemento g de G ( k ) pode ser escrito exclusivamente como um produto g = g _ss g _u em G ( k ) de modo que g _ss é semisimples, g _u é unipotente e g _ss e g _u comutar um com o outro. Isso reduz o problema de descrever as classes de conjugação em G ( k ) aos casos semi-simples e unipotentes.

Tori

Um toro sobre um corpo algebricamente fechado k significa um grupo isomorfo a ( G _m ) ⁿ , o produto de n cópias do grupo multiplicativo sobre k , para algum número natural n . Para um grupo algébrico linear G , um toro máximo em G significa um toro em G que não está contido em nenhum toro maior. Por exemplo, o grupo de matrizes diagonais em GL ( n ) sobre k é um toro máximo em GL ( n ), isomórfico a ( G _m ) ⁿ . Um resultado básico da teoria é que quaisquer dois toros máximos em um grupo G sobre um campo algebricamente fechado k são conjugados por algum elemento de G ( k ). A classificação de G significa a dimensão de qualquer toro máximo.

Para um campo arbitrário k , um toro T sobre k significa um grupo algébrico linear sobre k cuja mudança de base para o fechamento algébrico de k é isomórfico para ( G _m ) ⁿ over , para algum número natural n . Um toro dividido em k significa um grupo isomórfico a ( G _m ) ⁿ em k para algum n . Um exemplo de um toro não dividido sobre os números reais R é ${\ displaystyle T _ {\ overline {k}}}$${\ displaystyle {\ overline {k}}}$

${\ displaystyle T = \ {(x, y) \ in A _ {\ mathbf {R}} ^ {2}: x ^ {2} + y ^ {2} = 1 \},}$

com estrutura de grupo dada pela fórmula para multiplicar números complexos x + iy . Aqui T é um toro de dimensão 1 sobre R . Não é dividido, porque seu grupo de pontos reais T ( R ) é o grupo do círculo , que não é isomórfico mesmo como um grupo abstrato para G _m ( R ) = R *.

Cada ponto de um toro sobre um campo k é semi-simples. Por outro lado, se G é um grupo algébrico linear conectado de forma que cada elemento de é semisimples, então G é um toro. ${\ displaystyle G ({\ overline {k}})}$

Para um grupo algébrico linear G sobre um corpo geral k , não se pode esperar que todos os toros máximos em G sobre k sejam conjugados por elementos de G ( k ). Por exemplo, tanto o multiplicativo grupo L _m e o grupo de círculo T acima ocorrer como máxima tori em SL (2) ao longo de R . No entanto, é sempre verdade que quaisquer dois toros divididos máximos em G sobre k (significando toros divididos em G que não estão contidos em um toro dividido maior ) são conjugados por algum elemento de G ( k ). Como resultado, faz sentido definir a k -rank ou posto separação de um grupo L sobre k como a dimensão de qualquer toro mima dividida em L ao longo k .

Para qualquer toro máximo T em um grupo algébrico linear G sobre um campo k , Grothendieck mostrou que é um toro máximo em . Segue-se que quaisquer dois toros máximos em G sobre um campo k têm a mesma dimensão, embora não precisem ser isomórficos. ${\ displaystyle T _ {\ overline {k}}}$${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$

Grupos unipotentes

Seja U _n o grupo de matrizes triangulares superiores em GL ( n ) com entradas diagonais iguais a 1, sobre um campo k . Um esquema de grupo sobre um campo k (por exemplo, um grupo algébrico linear) é chamado de unipotente se for isomórfico a um esquema de subgrupo fechado de U _n para algum n . É fácil verificar se o grupo U _n é nilpotente. Como resultado, todo esquema de grupo unipotente é nilpotente.

Um grupo algébrico linear G sobre um corpo k é unipotente se e somente se cada elemento de for unipotente. ${\ displaystyle G ({\ overline {k}})}$

O grupo B _n de matrizes triangulares superiores em GL ( n ) é um produto semidireto

${\ displaystyle B_ {n} = T_ {n} \ lvezes U_ {n},}$

onde T _n é o toro diagonal ( G _m ) ⁿ . De modo mais geral, todos os grupos algébrica linear solúvel ligado é um produto semidirect de um toro com um grupo unipotentes, t ⋉ L .

Um grupo unipotente conectado suavemente sobre um campo perfeito k (por exemplo, um campo algebricamente fechado) tem uma série de composição com todos os grupos de quocientes isomórficos ao grupo aditivo G _a .

Subgrupos de Borel

Os subgrupos de Borel são importantes para a teoria da estrutura de grupos algébricos lineares. Para um grupo algébrico linear G sobre um campo algébricamente fechado k , um subgrupo Borel de G significa um subgrupo máximo solucionável conectado suavemente. Por exemplo, um subgrupo Borel de GL ( n ) é o subgrupo B de matrizes triangulares superiores (todas as entradas abaixo da diagonal são zero).

Um resultado básico da teoria é que quaisquer dois subgrupos de Borel de um grupo conectado G sobre um campo algebricamente fechado k são conjugados por algum elemento de G ( k ). (Uma prova padrão utiliza a -ponto fixo teorema Borel : para um grupo solúvel ligado G actua sobre uma adequada variedade X sobre um corpo algebricamente fechado k , existe um k -ponto em X que está fixado pela acção de G .) O a conjugação de subgrupos de Borel em GL ( n ) equivale ao teorema de Lie-Kolchin : todo subgrupo solúvel de GL ( n ) é conjugado a um subgrupo do subgrupo triangular superior em GL ( n ).

Para um campo arbitrário k , um subgrupo B de G do Borel é definido como um subgrupo sobre k tal que, sobre um fechamento algébrico de k , é um subgrupo do Borel de . Assim, G pode ou não ter um subgrupo Borel sobre k . ${\ displaystyle {\ overline {k}}}$${\ displaystyle B _ {\ overline {k}}}$${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$

Para um esquema de subgrupo fechado H de G , o espaço quociente G / H é um esquema quase projetivo suave sobre k . Um subgrupo suave P de um grupo conectado G é chamado de parabólico se G / P é projetivo sobre k (ou equivalentemente, próprio sobre k ). Uma propriedade importante do Borel subgrupos B é que G / B é uma variedade projetiva, chamada de variedade bandeira de G . Ou seja, os subgrupos de Borel são subgrupos parabólicos. Mais precisamente, para k fechado algebricamente, os subgrupos de Borel são exatamente os subgrupos parabólicos mínimos de G ; inversamente, todo subgrupo contendo um subgrupo Borel é parabólico. Assim, pode-se listar todos os subgrupos parabólicos de G (até a conjugação por G ( k )) listando todos os subgrupos algébricos lineares de G que contêm um subgrupo fixo de Borel. Por exemplo, os subgrupos P ⊂ GL (3) sobre k que contêm o subgrupo B de Borel de matrizes triangulares superiores são o próprio B , o grupo inteiro GL (3) e os subgrupos intermediários

${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {bmatrix} * & * & * \\ 0 & * & * \\ 0 & * & * \ end {bmatrix}} \ right \}}$ e ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {bmatrix} * & * & * \\ * & * & * \\ 0 & 0 & * \ end {bmatrix}} \ right \}.}$

As variedades homogêneas projetivas correspondentes GL (3) / P são (respectivamente): a variedade de bandeira de todas as cadeias de subespaços lineares

${\ displaystyle 0 \ subset V_ {1} \ subset V_ {2} \ subset A_ {k} ^ {3}}$

com V _i de dimensão i ; um ponto; o espaço projetivo P ² de retas ( subespaços lineares unidimensionais ) em A ³ ; e o espaço projetivo dual P ² de planos em A ³ .

Grupos semisimples e redutivos

Um grupo algébrico linear conectado G sobre um campo algébricamente fechado é chamado de semisimples se todo subgrupo normal solucionável de G é trivial. De maneira mais geral, um grupo algébrico linear conectado G sobre um campo algebraicamente fechado é chamado de redutivo se todo subgrupo normal unipotente conectado suave de G for trivial. (Alguns autores não exigem que grupos redutivos sejam conectados.) Um grupo semi-simples é redutor. Um grupo G sobre um campo arbitrário k é denominado semisimples ou redutivo se for semisimples ou redutivo. Por exemplo, o grupo SL ( n ) de N × n matrizes com um determinante sobre qualquer campo k é semisimples, ao passo que um toro não trivial é redutora mas não semisimples. Da mesma forma, GL ( n ) é redutor, mas não semisimples (porque seu centro G _m é um subgrupo normal não trivial que pode ser resolvido com conexão suave). ${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$

Todo grupo de Lie compacto conectado tem uma complexificação , que é um grupo algébrico redutivo complexo. Na verdade, esta construção dá uma correspondência um-a-um entre grupos de Lie compactos conectados e grupos redutivos complexos, até o isomorfismo.

Um grupo algébrica linear L ao longo de um campo k é chamada simples (ou k - simples ) se for semisimples, não trivial, e cada subgrupo normal liso ligada de L ao longo k é trivial ou igual a G . (Alguns autores chamam essa propriedade de "quase simples".) Isso difere um pouco da terminologia para grupos abstratos, pois um grupo algébrico simples pode ter centro não trivial (embora o centro deva ser finito). Por exemplo, para qualquer número inteiro n pelo menos 2 e qualquer campo k , o grupo SL ( n ) sobre k é simples, e seu centro é o esquema de grupo μ _n de n- ésimas raízes da unidade.

Todo grupo algébrico linear conectado G sobre um campo perfeito k é (de uma maneira única) uma extensão de um grupo redutor R por um grupo unipotente conectado suavemente U , chamado de radical unipotente de G :

${\ displaystyle 1 \ a U \ a G \ a R \ a 1.}$

Se k tem a característica zero, então temos a decomposição de Levi mais precisa : todo grupo algébrico linear conectado G sobre k é um produto semidireto de um grupo redutor por um grupo unipotente. ${\ displaystyle R \ ltimes U}$

Classificação de grupos redutivos

Os grupos redutivos incluem os grupos algébricos lineares mais importantes na prática, como os grupos clássicos : GL ( n ), SL ( n ), os grupos ortogonais SO ( n ) e os grupos simpléticos Sp (2 n ). Por outro lado, a definição de grupos redutivos é bastante "negativa" e não está claro que se possa esperar dizer muito sobre eles. Notavelmente, Claude Chevalley deu uma classificação completa dos grupos redutivos sobre um campo algebraicamente fechado: eles são determinados por dados de raiz . Em particular, grupos simples sobre um corpo algebricamente fechado k são classificados (até quocientes por esquemas de subgrupos centrais finitos) por seus diagramas Dynkin . É surpreendente que essa classificação seja independente da característica de k . Por exemplo, os grupos de Lie excepcionais G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ e E ₈ podem ser definidos em qualquer característica (e mesmo como esquemas de grupo sobre Z ). A classificação de grupos finitos simples diz que a maioria dos grupos finitos simples surgem como o grupo de k pontos de um grupo algébrico simples sobre um corpo finito k , ou como variantes menores dessa construção.

Cada grupo redutor sobre um campo é o quociente por um esquema de subgrupo central finito do produto de um toro e alguns grupos simples. Por exemplo,

${\ displaystyle GL (n) \ cong (G_ {m} \ times SL (n)) / \ mu _ {n}.}$

Para um campo arbitrário k , um grupo redutivo G é chamado de divisão se ele contém um toro máximo dividido em k (ou seja, um toro dividido em G que permanece máximo em um fechamento algébrico de k ). Por exemplo, GL ( n ) é um grupo redutor dividido em qualquer campo k . Chevalley mostrou que a classificação dos grupos redutivos divididos é a mesma em qualquer campo. Em contraste, a classificação de grupos redutivos arbitrários pode ser difícil, dependendo do campo base. Por exemplo, toda forma quadrática não degenerada q sobre um campo k determina um grupo redutor SO ( q ), e toda álgebra central simples A sobre k determina um grupo redutor SL ₁ ( A ). Como resultado, o problema de classificar grupos redutivos em k inclui essencialmente o problema de classificar todas as formas quadráticas em k ou todas as álgebras simples centrais em k . Esses problemas são fáceis para k fechados algebricamente e são compreendidos para alguns outros campos, como campos numéricos , mas para campos arbitrários há muitas questões em aberto.

Formulários

Teoria da representação

Uma razão para a importância dos grupos redutivos vem da teoria da representação. Toda representação irredutível de um grupo unipotente é trivial. Mais geralmente, para qualquer grupo algébrico linear G escrito como uma extensão

${\ displaystyle 1 \ a U \ a G \ a R \ a 1}$

com L unipotentes e R redutiva, cada representação irredutível de G factores através R . Isso concentra a atenção na teoria da representação de grupos redutivos. (Para ser claro, as representações consideradas aqui são representações de G como um grupo algébrico . Assim, para um grupo G sobre um corpo k , as representações estão em espaços de vetores k , e a ação de G é dada por funções regulares. é um problema importante, mas diferente, para classificar representações contínuas do grupo G ( R ) para um grupo redutor real G , ou problemas semelhantes em outros campos.)

Chevalley mostrou que as representações irredutíveis de um grupo redutor dividido sobre um campo k são de dimensão finita e indexadas por pesos dominantes . Isso é o mesmo que acontece na teoria da representação de grupos de Lie compactos conectados, ou a teoria da representação de dimensão finita de álgebras de Lie semissimples complexas . Para k de característica zero, todas essas teorias são essencialmente equivalentes. Em particular, toda representação de um grupo redutivo G sobre um campo de característica zero é uma soma direta de representações irredutíveis e, se G for dividido, os caracteres das representações irredutíveis são dados pela fórmula de caractere de Weyl . O Borel-Weil teorema dá uma construção geométrica das representações irredutíveis de um grupo redutiva L na característica zero, como espaços de secções de feixes de linha sobre a bandeira colector L / B .

A teoria da representação de grupos redutivos (exceto tori) sobre um campo de característica positiva p é menos bem compreendida. Nessa situação, uma representação não precisa ser uma soma direta de representações irredutíveis. E embora as representações irredutíveis sejam indexadas por pesos dominantes, as dimensões e os caracteres das representações irredutíveis são conhecidos apenas em alguns casos. Andersen, Jantzen e Soergel ( 1994 ) determinaram esses caracteres (comprovando a conjectura de Lusztig ) quando a característica p é suficientemente grande em comparação com o número de Coxeter do grupo. Para pequenos primos p , não há nem mesmo uma conjectura precisa.

Ações de grupo e teoria geométrica invariante

Uma ação de um grupo algébrico linear G em uma variedade (ou esquema) X sobre um campo k é um morfismo

${\ displaystyle G \ times _ {k} X \ a X}$

que satisfaça os axiomas de uma ação de grupo . Como em outros tipos de teoria dos grupos, é importante estudar as ações do grupo, uma vez que os grupos surgem naturalmente como simetrias de objetos geométricos.

Parte da teoria das ações de grupo é a teoria invariante geométrica , que visa construir uma variedade quociente X / G , descrevendo o conjunto de órbitas de um grupo algébrico linear G em X como uma variedade algébrica. Várias complicações surgem. Por exemplo, se X é uma variedade afim, em seguida, pode-se tentar construir X / L como Spec do anel de invariantes Ó ( X ) ^L . No entanto, Masayoshi Nagata mostrou que o anel de invariantes não precisa ser finitamente gerado como uma k- álgebra (e então Spec do anel é um esquema, mas não uma variedade), uma resposta negativa ao 14º problema de Hilbert . Na direção positiva, o anel de invariantes é finitamente gerado se G for redutivo, pelo teorema de Haboush , provado na característica zero por Hilbert e Nagata.

Teoria dos invariantes geométrica envolve mais sutilezas quando um grupo redutora G age em um projetiva variedade X . Em particular, a teoria define subconjuntos abertos de pontos "estáveis" e "semestáveis" em X , com o morfismo de quociente definido apenas no conjunto de pontos semestáveis.

Noções relacionadas

Os grupos algébricos lineares admitem variantes em várias direções. Descartando a existência do mapa inverso , obtém-se a noção de um monóide algébrico linear . ${\ displaystyle i \ dois pontos G \ a G}$

Grupos de mentiras

Para um grupo algébrico linear G sobre os números reais R , o grupo de pontos reais G ( R ) é um grupo de Lie , essencialmente porque os polinômios reais, que descrevem a multiplicação em G , são funções suaves . Da mesma forma, para um grupo algébrico linear G sobre C , G ( C ) é um grupo de Lie complexo . Muito da teoria dos grupos algébricos foi desenvolvida por analogia com os grupos de Lie.

Existem várias razões pelas quais um grupo de Lie podem não ter a estrutura de um grupo algébrico linear R .

• Um grupo de Lie com um grupo infinito de componentes G / G ^o não pode ser realizado como um grupo algébrico linear.
• Um grupo algébrico G sobre R pode ser conectado como um grupo algébrico, enquanto o grupo de Lie G ( R ) não está conectado, e da mesma forma para grupos simplesmente conectados . Por exemplo, o grupo algébrica SL (2) está simplesmente ligada sobre qualquer campo, enquanto que o grupo de Lie SL (2, R ) tem grupo fundamental isomorfo ao inteiros Z . A tampa dupla H de SL (2, R ), conhecido como o grupo metaplectic , é um grupo de Lie que não pode ser visto como um grupo algébrica linear ao longo de R . Mais fortemente, H não tem nenhuma representação de dimensão finita fiel.
• Anatoly Maltsev mostrou que todo grupo de Lie nilpotente simplesmente conectado pode ser visto como um grupo algébrico unipotente G sobre R de uma maneira única. (Como uma variedade, G é isomórfico ao espaço afim de alguma dimensão sobre R. ) Em contraste, existem grupos de Lie solucionáveis ​​simplesmente conectados que não podem ser vistos como grupos algébricos reais. Por exemplo, a tampa universal H do produto semidirect S ¹ ⋉ R ² tem centro isomorfo a Z , o qual não é um grupo algébrica linear, e assim por H não pode ser visto como um grupo algébrica linear ao longo de R .

Variedades abelianas

Os grupos algébricos que não são afins se comportam de maneira muito diferente. Em particular, um esquema de grupo conectado suave que é uma variedade projetiva sobre um campo é chamado de variedade abeliana . Em contraste com os grupos algébricos lineares, toda variedade abeliana é comutativa. No entanto, as variedades abelianas têm uma teoria rica. Mesmo o caso de curvas elípticas (variedades abelianas de dimensão 1) é central para a teoria dos números , com aplicações incluindo a prova do Último Teorema de Fermat .

Categorias tannakianas

As representações de dimensão finita de um grupo algébrico L , em conjunto com o produto tensor de representações, formam uma categoria tannakian Rep _L . Na verdade, as categorias tannakian com um "functor de fibra" sobre um campo são equivalentes aos esquemas de grupos afins. (Todo esquema de grupo afim sobre um campo k é pró-algébrico no sentido de que é um limite inverso dos esquemas de grupo afim de tipo finito sobre k .) Por exemplo, o grupo Mumford-Tate e o grupo motívico de Galois são construídos usando isso formalismo. Certas propriedades de um grupo (pró) algébrico G podem ser lidas a partir de sua categoria de representações. Por exemplo, sobre um campo de característica zero, Rep _G é uma categoria semi - simples se e somente se o componente de identidade de G é pró-redutivo.

Veja também

• Os grupos do tipo Lie são os grupos finitos simples construídos a partir de grupos algébricos simples sobre campos finitos.
• Teorema de Lang
• Variedade de bandeira generalizada , decomposição de Bruhat , par BN , grupo Weyl , subgrupo Cartan , grupo de tipo adjunto , indução parabólica
• Forma real (teoria de Lie) , diagrama de Satake
• Grupo algébrico adélico , conjectura de Weil sobre números de Tamagawa
• Classificação de Langlands , programa de Langlands , programa geométrico de Langlands
• Torsor , cohomology não- abelianos , grupo especial , invariante cohomológica , dimensão essencial , Kneser-Tits conjectura , conjectura II de Serre
• Grupo pseudo-redutor
• Teoria diferencial de Galois
• Distribuição em um grupo algébrico linear

Notas

Referências

• Andersen, HH ; Jantzen, JC ; Soergel, W. (1994), Representations of Quantum Groups at a p th Root of Unity and of Semiisimple Groups in Characteristic p : Independence of p, Astérisque, 220 , Société Mathématique de France , ISSN  0303-1179 , MR  1272539
• Borel, Armand (1991) [1969], Linear Algebraic Groups (2ª ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97370-2, MR  1102012
• Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo (1985), Representations of Compact Lie Groups , Springer Nature , ISBN 0-387-13678-9, MR  0781344
• Conrad, Brian (2014), "Reductive group scheme" (PDF) , Autour des schémas en groupes , 1 , Paris: Société Mathématique de France , pp. 93-444, ISBN 978-2-85629-794-0, MR  3309122
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links externos

• "Linear algebraic group" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]