Fórmula de caractere Weyl - Weyl character formula

Em matemática , a fórmula de caractere de Weyl na teoria da representação descreve os caracteres de representações irredutíveis de grupos de Lie compactos em termos de seus pesos mais altos . Foi provado por Hermann Weyl  ( 1925 , 1926a , 1926b ). Existe uma fórmula intimamente relacionada para o caráter de uma representação irredutível de uma álgebra de Lie semisimples. Na abordagem de Weyl para a teoria da representação de grupos compactos de Lie conectados , a prova da fórmula do caráter é um passo fundamental para provar que todo elemento integral dominante realmente surge como o peso mais alto de alguma representação irredutível. Consequências importantes da fórmula do caractere são a fórmula da dimensão de Weyl e a fórmula da multiplicidade de Kostant .

Por definição, o caráter de uma representação de G é o traço de , em função de um elemento do grupo . As representações irredutíveis, neste caso, são todas de dimensão finita (isso é parte do teorema de Peter-Weyl ); portanto, a noção de traço é a usual da álgebra linear. O conhecimento do caráter de dá muitas informações sobre si mesmo. ${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ pi (g)}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ pi}$

A fórmula de Weyl é uma fórmula fechada para o personagem , em termos de outros objetos construídos a partir de G e sua álgebra de Lie . ${\ displaystyle \ chi}$

Declaração da fórmula de caractere de Weyl

A fórmula de caractere pode ser expressa em termos de representações de álgebras de Lie semisimples complexas ou em termos da teoria de representação (essencialmente equivalente) de grupos de Lie compactos.

Álgebras de Lie semisimples complexas

Let Ser uma representação irredutível de dimensão finita de uma álgebra de Lie semissimples complexa . Suponha que seja uma subálgebra de Cartan . O caráter de é então a função definida por ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ operatorname {ch} _ {\ pi}: {\ mathfrak {h}} \ rightarrow \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle \ operatorname {ch} _ {\ pi} (H) = \ operatorname {tr} (e ^ {\ pi (H)}).}$

O valor do personagem em é a dimensão de . Por considerações elementares, o personagem pode ser calculado como ${\ displaystyle H = 0}$${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle \ operatorname {ch} _ {\ pi} (H) = \ sum _ {\ mu} m _ {\ mu} e ^ {\ mu (H)}}$,

onde a soma varia sobre todos os pesos de e onde está a multiplicidade de . (A expressão anterior às vezes é considerada a definição do caractere.) ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle m _ {\ mu}}$${\ displaystyle \ mu}$

A fórmula do caractere afirma que também pode ser calculado como ${\ displaystyle \ operatorname {ch} _ {\ pi} (H)}$

${\ displaystyle \ operatorname {ch} _ {\ pi} (H) = {\ frac {\ sum _ {w \ in W} \ varejpsilon (w) e ^ {w (\ lambda + \ rho) (H)} } {\ prod _ {\ alpha \ in \ Delta ^ {+}} (e ^ {\ alpha (H) / 2} -e ^ {- \ alpha (H) / 2})}}}$

Onde

• ${\ displaystyle W}$é o grupo Weyl ;
• ${\ displaystyle \ Delta ^ {+}}$é o conjunto das raízes positivas do sistema radicular ;${\ displaystyle \ Delta}$
• ${\ displaystyle \ rho}$é a meia soma das raízes positivas, freqüentemente chamada de vetor de Weyl ;
• ${\ displaystyle \ lambda}$é o maior peso da representação irredutível ;${\ displaystyle V}$
• ${\ displaystyle \ varepsilon (w)}$é o determinante da ação de na subálgebra de Cartan . Isso é igual a , onde é o comprimento do elemento do grupo de Weyl , definido como o número mínimo de reflexões em relação às raízes simples, de modo que seja igual ao produto dessas reflexões.${\ displaystyle w}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} \ subset {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle (-1) ^ {\ ell (w)}}$${\ displaystyle \ ell (w)}$${\ displaystyle w}$

Discussão

Usando a fórmula do denominador de Weyl (descrita abaixo), a fórmula do caractere pode ser reescrita como

${\ displaystyle \ operatorname {ch} _ {\ pi} (H) = {\ frac {\ sum _ {w \ in W} \ varejpsilon (w) e ^ {w (\ lambda + \ rho) (H)} } {\ sum _ {w \ in W} \ varejpsilon (w) e ^ {w (\ rho) (H)}}}}$,

ou equivalente,

${\ displaystyle \ operatorname {ch} _ {\ pi} (H) {\ sum _ {w \ in W} \ varejpsilon (w) e ^ {w (\ rho) (H)}} = \ sum _ {w \ in W} \ varepsilon (w) e ^ {w (\ lambda + \ rho) (H)}.}$

O próprio personagem é uma grande soma de exponenciais. Nessa última expressão, multiplicamos o caractere por uma soma alternada de exponenciais - o que aparentemente resultará em uma soma ainda maior de exponenciais. A parte surpreendente da fórmula do caractere é que, quando calculamos esse produto, apenas um pequeno número de termos permanece. Muitos mais termos do que este ocorrem pelo menos uma vez no produto do caractere e do denominador de Weyl, mas a maioria desses termos se anula a zero. Os únicos termos que sobrevivem são os termos que ocorrem apenas uma vez, a saber (que é obtido tomando o maior peso e o maior peso do denominador de Weyl) e coisas na órbita do grupo de Weyl de . ${\ displaystyle e ^ {(\ lambda + \ rho) (H)}}$${\ displaystyle \ operatorname {ch} _ {\ pi}}$${\ displaystyle e ^ {(\ lambda + \ rho) (H)}}$

Grupos compactos de Lie

Seja um grupo de Lie compacto e conectado e seja um toro máximo . Let Ser uma representação irredutível de . Em seguida, definimos o caráter de ser a função ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ Pi}$

${\ displaystyle \ mathrm {X} (x) = \ operatorname {trace} (\ Pi (x)), \ quad x \ in K.}$

O caractere é facilmente visto como uma função de classe em e o teorema de Peter-Weyl afirma que os caracteres formam uma base ortonormal para o espaço de funções de classe quadradas integráveis ​​em . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$

Como é uma função de classe, é determinada por sua restrição a . Agora, para a álgebra de Lie de , temos ${\ displaystyle \ mathrm {X}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle {\ mathfrak {t}}}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle \ operatorname {trace} (\ Pi (e ^ {H})) = \ operatorname {trace} (e ^ {\ pi (H)})}$,

onde está a representação associada da álgebra de Lie de . Assim, a função é simplesmente o caráter da representação associada de , conforme descrito na subseção anterior. A restrição do caractere de a é então dada pela mesma fórmula que no caso da álgebra de Lie: ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle {\ mathfrak {k}}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle H \ mapsto \ operatorname {trace} (\ Pi (e ^ {H}))}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle {\ mathfrak {k}}}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle \ mathrm {X} (e ^ {H}) = {\ frac {\ sum _ {w \ in W} \ varejpsilon (w) e ^ {w (\ lambda + \ rho) (H)}} {\ sum _ {w \ in W} \ varejpsilon (w) e ^ {w (\ rho) (H)}}}.}$

A prova de Weyl da fórmula de caractere na configuração de grupo compacto é completamente diferente da prova algébrica da fórmula de caractere na configuração de álgebras de Lie semisimples. Na configuração de grupo compacto, é comum usar "raízes reais" e "pesos reais", que diferem por um fator de das raízes e pesos usados ​​aqui. Assim, a fórmula na configuração de grupo compacto tem fatores de no expoente por toda parte. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i}$

O caso SU (2)

No caso do grupo SU (2), considere a representação irredutível da dimensão . Se considerarmos que é o subgrupo diagonal de SU (2), a fórmula do caractere, neste caso, é ${\ displaystyle m + 1}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle \ mathrm {X} \ left ({\ begin {pmatrix} e ^ {i \ theta} & 0 \\ 0 & e ^ {- i \ theta} \ end {pmatrix}} \ right) = {\ frac {e ^ {i (m + 1) \ theta} -e ^ {- i (m + 1) \ theta}} {e ^ {i \ theta} -e ^ {- i \ theta}}} = {\ frac { \ sin ((m + 1) \ theta)} {\ sin \ theta}}.}$

(Tanto o numerador quanto o denominador na fórmula do caractere têm dois termos.) É instrutivo verificar essa fórmula diretamente neste caso, para que possamos observar o fenômeno de cancelamento implícito na fórmula do caractere de Weyl.

Uma vez que as representações são conhecidas muito explicitamente, o caráter da representação pode ser escrito como

${\ displaystyle \ mathrm {X} \ left ({\ begin {pmatrix} e ^ {i \ theta} & 0 \\ 0 & e ^ {- i \ theta} \ end {pmatrix}} \ right) = e ^ {im \ theta} + e ^ {i (m-2) \ theta} + \ cdots + e ^ {- im \ theta}.}$

O denominador de Weyl, entretanto, é simplesmente a função . Multiplicando o caractere pelo denominador de Weyl dá ${\ displaystyle e ^ {i \ theta} -e ^ {- i \ theta}}$

${\ displaystyle \ mathrm {X} \ left ({\ begin {pmatrix} e ^ {i \ theta} & 0 \\ 0 & e ^ {- i \ theta} \ end {pmatrix}} \ right) (e ^ {i \ theta} -e ^ {- i \ theta}) = \ left (e ^ {i (m + 1) \ theta} + e ^ {i (m-1) \ theta} + \ cdots + e ^ {- i (m-1) \ theta} \ right) - \ left (e ^ {i (m-1) \ theta} + \ cdots + e ^ {- i (m-1) \ theta} + e ^ {- i (m + 1) \ theta} \ right).}$

Agora podemos verificar facilmente que a maioria dos termos se cancelam entre os dois termos do lado direito acima, deixando-nos apenas com

${\ displaystyle \ mathrm {X} \ left ({\ begin {pmatrix} e ^ {i \ theta} & 0 \\ 0 & e ^ {- i \ theta} \ end {pmatrix}} \ right) (e ^ {i \ theta} -e ^ {- i \ theta}) = e ^ {i (m + 1) \ theta} -e ^ {- i (m + 1) \ theta}}$

de modo a

${\ displaystyle \ mathrm {X} \ left ({\ begin {pmatrix} e ^ {i \ theta} & 0 \\ 0 & e ^ {- i \ theta} \ end {pmatrix}} \ right) = {\ frac {e ^ {i (m + 1) \ theta} -e ^ {- i (m + 1) \ theta}} {e ^ {i \ theta} -e ^ {- i \ theta}}} = {\ frac { \ sin ((m + 1) \ theta)} {\ sin \ theta}}.}$

O caractere, neste caso, é uma série geométrica com e o argumento anterior é uma pequena variante da derivação padrão da fórmula para a soma de uma série geométrica finita. ${\ displaystyle R = e ^ {2i \ theta}}$

Fórmula do denominador de Weyl

No caso especial da representação unidimensional trivial, o caractere é 1, então a fórmula do caractere de Weyl torna-se a fórmula do denominador de Weyl :

${\ displaystyle {\ sum _ {w \ in W} \ varepsilon (w) e ^ {w (\ rho) (H)} = \ prod _ {\ alpha \ in \ Delta ^ {+}} (e ^ { \ alpha (H) / 2} -e ^ {- \ alpha (H) / 2})}.}$

Para grupos unitários especiais, isso é equivalente à expressão

${\ displaystyle \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \, X_ {1} ^ {\ sigma (1) -1} \ cdots X_ {n} ^ {\ sigma (n) -1} = \ prod _ {1 \ leq i <j \ leq n} (X_ {j} -X_ {i})}$

para o determinante de Vandermonde .

Fórmula de dimensão de Weyl

Ao avaliar o caractere em , a fórmula de caractere de Weyl fornece a fórmula de dimensão de Weyl${\ displaystyle H = 0}$

${\ displaystyle \ dim (V _ {\ lambda}) = {\ prod _ {\ alpha \ in \ Delta ^ {+}} (\ lambda + \ rho, \ alpha) \ over \ prod _ {\ alpha \ in \ Delta ^ {+}} (\ rho, \ alpha)}}$

para a dimensão de uma representação dimensional finita com maior peso . (Como de costume, ρ é a metade da soma das raízes positivas e os produtos correm sobre as raízes positivas α.) A especialização não é completamente trivial, porque tanto o numerador quanto o denominador da fórmula de caractere de Weyl desaparecem em alta ordem no elemento de identidade, portanto, é necessário tomar um limite do traço de um elemento que tende à identidade, usando uma versão da regra de L'Hospital . No caso SU (2) descrito acima, por exemplo, podemos recuperar a dimensão da representação usando a regra de L'Hospital para avaliar o limite como tende a zero de . ${\ displaystyle V _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle m + 1}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ sin ((m + 1) \ theta) / \ sin \ theta}$

Podemos considerar como exemplo a álgebra de Lie semi-simples complexa sl (3, C ), ou equivalentemente o grupo compacto SU (3). Nesse caso, as representações são rotuladas por um par de inteiros não negativos. Neste caso, existem três raízes positivas e não é difícil verificar se a fórmula da dimensão assume a forma explícita ${\ displaystyle (m_ {1}, m_ {2})}$

${\ displaystyle \ dim (V_ {m_ {1}, m_ {2}}) = {\ frac {1} {2}} (m_ {1} +1) (m_ {2} +1) (m_ {1 } + m_ {2} +2)}$

O caso é a representação padrão e, de fato, a fórmula da dimensão fornece o valor 3 neste caso. ${\ displaystyle m_ {1} = 1, \, m_ {2} = 0}$

Fórmula de multiplicidade de Kostant

A fórmula do caractere de Weyl fornece o caractere de cada representação como um quociente, em que o numerador e o denominador são, cada um, uma combinação linear finita de exponenciais. Embora essa fórmula em princípio determine o caráter, não é especialmente óbvio como se pode calcular esse quociente explicitamente como uma soma finita de exponenciais. Já no caso SU (2) descrito acima, não é imediatamente óbvio como ir da fórmula do caractere de Weyl, que retorna o caractere para a fórmula do caractere como uma soma de exponenciais: ${\ displaystyle \ sin ((m + 1) \ theta) / \ sin \ theta}$

${\ displaystyle e ^ {im \ theta} + e ^ {i (m-2) \ theta} + \ cdots + e ^ {- im \ theta}.}$

Nesse caso, talvez não seja terrivelmente difícil reconhecer a expressão como a soma de uma série geométrica finita, mas em geral precisamos de um procedimento mais sistemático. ${\ displaystyle \ sin ((m + 1) \ theta) / \ sin \ theta}$

Em geral, o processo de divisão pode ser realizado calculando um recíproco formal do denominador de Weyl e, em seguida, multiplicando o numerador na fórmula do caractere de Weyl por esse recíproco formal. O resultado fornece o caractere como uma soma finita de exponenciais. Os coeficientes dessa expansão são as dimensões dos espaços dos pesos, ou seja, as multiplicidades dos pesos. Assim, obtemos da fórmula de caracteres de Weyl uma fórmula para as multiplicidades dos pesos, conhecida como fórmula de multiplicidade de Kostant . Uma fórmula alternativa, que é mais tratável computacionalmente em alguns casos, é fornecida na próxima seção.

Fórmula de Freudenthal

A fórmula de Hans Freudenthal é uma fórmula recursiva para as multiplicidades de peso que dá a mesma resposta que a fórmula de multiplicidade de Kostant, mas às vezes é mais fácil de usar para cálculos, pois pode haver muito menos termos para somar. A fórmula é baseada no uso do elemento Casimir e sua derivação é independente da fórmula do caractere. Afirma

${\ displaystyle (\ | \ Lambda + \ rho \ | ^ {2} - \ | \ lambda + \ rho \ | ^ {2}) m _ {\ Lambda} (\ lambda) = 2 \ sum _ {\ alpha \ em \ Delta ^ {+}} \ sum _ {j \ geq 1} (\ lambda + j \ alpha, \ alpha) m _ {\ Lambda} (\ lambda + j \ alpha)}$

Onde

• Λ é o peso mais alto,
• λ é algum outro peso,
• m _Λ (λ) é a multiplicidade do peso λ na representação irredutível V _Λ
• ρ é o vetor de Weyl
• A primeira soma é sobre todas as raízes positivas α.

Fórmula de caractere Weyl-Kac

A fórmula de caractere de Weyl também é válida para representações integráveis ​​de maior peso de álgebras de Kac – Moody , quando é conhecida como fórmula de caractere de Weyl – Kac . Da mesma forma, há uma identidade de denominador para álgebras de Kac – Moody , que no caso das álgebras de Lie afins é equivalente às identidades de Macdonald . No caso mais simples da álgebra de Lie afim do tipo A _1, esta é a identidade de produto triplo de Jacobi

${\ displaystyle \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (1-x ^ {2m} \ right) \ left (1-x ^ {2m-1} y \ right) \ left (1- x ^ {2m-1} y ^ {- 1} \ right) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} x ^ {n ^ {2}} y ^ {n}.}$

A fórmula de caractere também pode ser estendida para representações integráveis ​​de maior peso de álgebras de Kac-Moody generalizadas , quando o caractere é dado por

${\ displaystyle {\ sum _ {w \ in W} (- 1) ^ {\ ell (w)} w (e ^ {\ lambda + \ rho} S) \ over e ^ {\ rho} \ prod _ { \ alpha \ in \ Delta ^ {+}} (1-e ^ {- \ alpha})}.}$

Aqui S é um termo de correção dado em termos das raízes simples imaginárias por

${\ displaystyle S = \ sum _ {I} (- 1) ^ {| I |} e ^ {\ Sigma I} \,}$

onde a soma corre sobre todos os subconjuntos finitos I das raízes simples imaginárias que são ortogonais e ortogonais aos pares ao maior peso λ, e | I | é a cardinalidade do I e Σ I é a soma dos elementos da I .

A fórmula do denominador para a álgebra de Lie monstro é a fórmula do produto

${\ displaystyle j (p) -j (q) = \ left ({1 \ over p} - {1 \ over q} \ right) \ prod _ {n, m = 1} ^ {\ infty} (1- p ^ {n} q ^ {m}) ^ {c_ {nm}}}$

para a função modular elíptica j .

Peterson deu uma fórmula de recursão para as multiplicidades mult (β) das raízes β de uma álgebra de Kac-Moody simetrizável (generalizada), que é equivalente à fórmula do denominador de Weyl-Kac, mas mais fácil de usar para cálculos:

${\ displaystyle (\ beta, \ beta -2 \ rho) c _ {\ beta} = \ sum _ {\ gamma + \ delta = \ beta} (\ gamma, \ delta) c _ {\ gamma} c _ {\ delta} \,}$

onde a soma é sobre as raízes positivas γ, δ e

${\ displaystyle c _ {\ beta} = \ sum _ {n \ geq 1} {\ operatorname {mult} (\ beta / n) \ over n}.}$

Fórmula de Personagem Harish-Chandra

Harish-Chandra mostrou que a fórmula do caráter de Weyl admite uma generalização para representações de um grupo real e redutor . Suponha que seja uma representação irredutível e admissível de um grupo redutor real G com caráter infinitesimal . Deixe ser o personagem Harish-Chandra de ; é dado por integração em relação a uma função analítica no conjunto regular. Se H é um subgrupo Cartan de G e H 'é o conjunto de elementos regulares em H, então ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ Theta _ {\ pi}}$${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle \ Theta _ {\ pi} | _ {H '} = {\ sum _ {w \ in W / W _ {\ lambda}} a_ {w} e ^ {w \ lambda} \ over e ^ {\ rho} \ prod _ {\ alpha \ in \ Delta ^ {+}} (1-e ^ {- \ alpha})}.}$

Aqui

• W é o grupo Weyl complexo de com respeito a${\ displaystyle H _ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle G _ {\ mathbb {C}}}$
• ${\ displaystyle W _ {\ lambda}}$é o estabilizador de em W${\ displaystyle \ lambda}$

e o resto da notação é como acima.

Os coeficientes ainda não são bem compreendidos. Os resultados desses coeficientes podem ser encontrados em artigos de Herb , Adams, Schmid e Schmid-Vilonen, entre outros. ${\ displaystyle a_ {w}}$

Veja também

• Teoria do caráter
• Personagem algébrico
• Fórmula de personagem de desmamamento
• Fórmula de integração Weyl

Referências

• Fulton, William e Harris, Joe (1991). Teoria das representações: um primeiro curso. Nova York: Springer-Verlag. ISBN  0387974954 . OCLC 22861245.

• Hall, Brian C. (2015), grupos de Lie, álgebras de Lie e representações: uma introdução elementar , textos de graduação em matemática, 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, James E. (1972), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory , Berlim, Nova York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7.
• Álgebras de Lie de dimensão infinita , VG Kac, ISBN  0-521-37215-1
• Duncan J. Melville (2001) [1994], "Weyl – Kac character formula" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Weyl, Hermann (1925), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen eu.", Mathematische Zeitschrift , Springer Berlin / Heidelberg, 23 : 271-309, doi : 10,1007 / BF01506234 , ISSN  0025-5874
• Weyl, Hermann (1926a), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen II.", Mathematische Zeitschrift , Springer Berlin / Heidelberg, 24 : 328-376, doi : 10,1007 / BF01216788 , ISSN  0025-5874
• Weyl, Hermann (1926b), "Darstellung Theorie der kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen III.", Mathematische Zeitschrift , Springer Berlin / Heidelberg, 24 : 377-395, DOI : 10,1007 / BF01216789 , ISSN  0.025-5874