Teoria da representação - Representation theory
A teoria da representação é um ramo da matemática que estuda estruturas algébricas abstratas , representando seus elementos como transformações lineares de espaços vetoriais , e estuda módulos sobre essas estruturas algébricas abstratas. Em essência, uma representação torna um objeto algébrico abstrato mais concreto ao descrever seus elementos por matrizes e suas operações algébricas (por exemplo, adição de matriz , multiplicação de matriz ). A teoria de matrizes e operadores lineares é bem compreendida, então representações de objetos mais abstratos em termos de objetos familiares de álgebra linear ajudam a coletar propriedades e às vezes simplificar cálculos em teorias mais abstratas.
Os objetos algébricos passíveis de tal descrição incluem grupos , álgebras associativas e álgebras de Lie . A mais proeminente delas (e historicamente a primeira) é a teoria da representação de grupos , na qual os elementos de um grupo são representados por matrizes invertíveis de tal forma que a operação do grupo é a multiplicação de matrizes.
A teoria da representação é um método útil porque reduz os problemas de álgebra abstrata a problemas de álgebra linear , um assunto que é bem compreendido. Além disso, o espaço vetorial no qual um grupo (por exemplo) é representado pode ter dimensão infinita e, ao permitir que seja, por exemplo, um espaço de Hilbert , métodos de análise podem ser aplicados à teoria dos grupos. A teoria da representação também é importante na física porque, por exemplo, descreve como o grupo de simetria de um sistema físico afeta as soluções das equações que descrevem esse sistema.
A teoria da representação é difundida nos campos da matemática por duas razões. Em primeiro lugar, as aplicações da teoria da representação são diversas: além de seu impacto na álgebra, a teoria da representação:
- ilumina e generaliza a análise de Fourier por meio da análise harmônica ,
- está conectado à geometria por meio da teoria invariante e do programa Erlangen ,
- tem impacto na teoria dos números por meio de formas automórficas e do programa de Langlands .
Em segundo lugar, existem diversas abordagens para a teoria da representação. Os mesmos objectos pode ser estudada utilizando métodos de geometria algébrica , teoria módulo , teoria analítica dos números , geometria diferencial , teoria operador , combinatória algébricos e topologia .
O sucesso da teoria da representação levou a numerosas generalizações. Uma das mais gerais é a teoria das categorias . Os objetos algébricos aos quais a teoria da representação se aplica podem ser vistos como tipos particulares de categorias, e as representações como functores da categoria de objeto para a categoria de espaços vetoriais . Essa descrição aponta para duas generalizações óbvias: primeiro, os objetos algébricos podem ser substituídos por categorias mais gerais; em segundo lugar, a categoria alvo de espaços vetoriais pode ser substituída por outras categorias bem compreendidas.
Definições e conceitos
Vamos V ser um espaço vectorial ao longo de um campo F . Por exemplo, suponha que V seja R n ou C n , o espaço n- dimensional padrão de vetores de coluna sobre os números reais ou complexos , respectivamente. Nesse caso, a ideia da teoria da representação é fazer álgebra abstrata concretamente usando n × n matrizes de números reais ou complexos.
Existem três tipos principais de objetos algébricos para os quais isso pode ser feito: grupos , álgebras associativas e álgebras de Lie .
- O conjunto de todos invertível n × n matrizes é um grupo sob a multiplicação de matrizes , e a teoria da representação de grupos analisa um grupo descrevendo ( "representa") dos seus elementos, em termos de matrizes inversíveis.
- Matriz de adição e multiplicação fazer o conjunto de todos os n × n matrizes em uma álgebra associativa, e, portanto, existe um correspondente teoria representação de álgebra associativos .
- Se substituirmos matriz multiplicação MN pela matriz comutador MN - NM , em seguida, o n × n matrizes tornar-se, em vez de uma álgebra de Lie, levando a uma teoria da representação de álgebras de Lie .
Isso generaliza para qualquer campo F e qualquer espaço vetorial V sobre F , com mapas lineares substituindo matrizes e composição substituindo a multiplicação de matrizes: há um grupo GL ( V , F ) de automorfismos de V , uma álgebra associativa Final F ( V ) de todos endomorfismos de V , e uma álgebra de Lie correspondente gl ( V , F ).
Definição
Existem duas maneiras de dizer o que é uma representação. O primeiro usa a ideia de uma ação , generalizando a maneira como as matrizes agem nos vetores de coluna por multiplicação de matrizes. Uma representação de um grupo G ou álgebra (associativa ou de Lie) A em um espaço vetorial V é um mapa
com duas propriedades. Primeiro, para qualquer g em G (ou a em A ), o mapa
é linear (sobre F ). Em segundo lugar, se introduzir a notação g · v para ( g , v ), em seguida, para qualquer g 1 , g 2 em L e v em V :
onde e é o elemento de identidade de L e g 1 g 2 é o produto em L . O requisito para álgebras associativas é análogo, exceto que as álgebras associativas nem sempre têm um elemento de identidade, caso em que a equação (1) é ignorada. A equação (2) é uma expressão abstrata da associatividade da multiplicação de matrizes. Isso não vale para o comutador de matriz e também não há elemento de identidade para o comutador. Portanto, para álgebras de Lie, o único requisito é que para qualquer x 1 , x 2 em A e v em V :
onde [ x 1 , x 2 ] é o colchete de Lie , que generaliza o comutador de matriz MN - NM .
A segunda forma de definir uma representação foca no mapa φ enviando g em G para um mapa linear φ ( g ): V → V , que satisfaz
e da mesma forma nos outros casos. Essa abordagem é mais concisa e mais abstrata. A partir deste ponto de vista:
- uma representação de um grupo G em um espaço vetorial V é um homomorfismo de grupo φ : G → GL ( V , F );
- uma representação de uma álgebra associativa A em um espaço vetorial V é um homomorfismo de álgebra φ : A → Fim F ( V );
- uma representação de uma álgebra de Lie 𝖆 em um espaço vetorial V é um homomorfismo da álgebra de Lie φ : 𝖆 → gl ( V , F ).
Terminologia
O espaço vetorial V é chamado de espaço de representação de φ e sua dimensão (se finita) é chamada de dimensão da representação (às vezes grau , como em). Também é prática comum referir-se ao próprio V como a representação quando o homomorfismo φ é claro no contexto; caso contrário, a notação ( V , φ ) pode ser usada para denotar uma representação.
Quando V é de dimensão finita n , pode-se escolher uma base para V para identificar V com F n , e, consequentemente, recuperar uma representação matricial com entradas no campo F .
Uma representação efetiva ou fiel é uma representação ( V , φ ), para a qual o homomorfismo φ é injetivo .
Mapas e isomorfismos equivariantes
Se V e W são espaços vetoriais sobre F , equipados com representações φ e ψ de um grupo G , então um mapa equivariante de V para W é um mapa linear α : V → W tal que
para todos g em L e v em V . Em termos de φ : G → GL ( V ) e ψ : G → GL ( W ), isso significa
para todo g em G , ou seja, o seguinte diagrama comuta :
Os mapas equivariantes para representações de uma álgebra associativa ou de Lie são definidos de forma semelhante. Se α é invertível, então se diz que é um isomorfismo , caso em que V e W (ou, mais precisamente, φ e ψ ) são representações isomórficas , também formuladas como representações equivalentes . Um mapa equivariante é freqüentemente chamado de mapa entrelaçado de representações. Além disso, no caso de um grupo G , às vezes é chamado de G -map.
As representações isomórficas são, para fins práticos, "o mesmo"; eles fornecem as mesmas informações sobre o grupo ou álgebra que está sendo representado. A teoria das representações, portanto, busca classificar as representações até o isomorfismo .
Subrepresentações, quocientes e representações irredutíveis
Se é uma representação de (digamos) um grupo , e é um subespaço linear que é preservado pela ação de no sentido de que para todos e , ( Serre chama esses estáveis sob ), então é chamado de sub - representação : definindo
onde é a restrição de a , é uma representação de e a inclusão de é um mapa equivariante. O espaço quociente também pode ser transformado em uma representação de . Se tiver exatamente duas sub-representações, a saber, o subespaço trivial {0} e ele mesmo, então a representação é considerada irredutível ; se tem uma sub-representação não trivial adequada, a representação é dita redutível . A definição de uma representação irredutível implica no lema de Schur : um mapa equivariante
entre representações irredutíveis está o mapa zero ou um isomorfismo, já que seu núcleo e imagem são sub-representações. Em particular, quando , isso mostra que os endomorfismos equivariantes de formam uma álgebra de divisão associativa sobre o campo F subjacente . Se F é algebricamente fechado , os únicos endomorfismos equivariantes de uma representação irredutível são os múltiplos escalares da identidade. As representações irredutíveis são os blocos de construção da teoria da representação para muitos grupos: se uma representação não é irredutível, então ela é construída a partir de uma sub-representação e de um quociente que são ambos "mais simples" em algum sentido; por exemplo, se for finito-dimensional, então a sub-representação e o quociente têm dimensão menor. Existem contra-exemplos em que uma representação tem uma sub-representação, mas tem apenas um componente irredutível não trivial. Por exemplo, o grupo aditivo tem uma representação bidimensional
Este grupo tem o vetor fixado por este homomorfismo, mas o subespaço complemento mapeia para
dando apenas uma subreprentação irredutível. Isso é verdadeiro para todos os grupos unipotentes, pág . 112 .
Somas diretas e representações indecomponíveis
Se ( V , φ ) e ( W , ψ ) são representações de (digamos) um grupo G , então a soma direta de V e W é uma representação, de forma canônica, através da equação
A soma direta de duas representações não contém mais informações sobre o grupo G do que as duas representações individualmente. Se uma representação é a soma direta de duas sub-representações não triviais adequadas, diz-se que pode ser decomposta. Caso contrário, é considerado indecomponível.
Redutibilidade completa
Em circunstâncias favoráveis, toda representação de dimensão finita é uma soma direta de representações irredutíveis: tais representações são ditas semisimples . Nesse caso, basta compreender apenas as representações irredutíveis. Exemplos onde esse fenômeno de " redutibilidade completa " ocorre incluem grupos finitos (veja o teorema de Maschke ), grupos compactos e álgebras de Lie semisimples.
Nos casos em que a redutibilidade completa não é válida, deve-se entender como representações indecomponíveis podem ser construídas a partir de representações irredutíveis como extensões de um quociente por uma sub-representação.
Produtos tensores de representações
Suponha e sejam representações de um grupo . Então, podemos formar uma representação de G agindo no espaço vetorial de produto tensorial da seguinte forma:
- .
Se e são representações de uma álgebra de Lie, a fórmula correta a ser usada é
- .
Este produto pode ser reconhecido como o coproduto em um carvão vegetal . Em geral, o produto tensorial de representações irredutíveis não é irredutível; o processo de decompor um produto tensorial como uma soma direta de representações irredutíveis é conhecido como teoria de Clebsch-Gordan .
No caso da teoria da representação do grupo SU (2) (ou equivalentemente, de sua álgebra de Lie complexificada ), a decomposição é fácil de trabalhar. As representações irredutíveis são rotuladas por um parâmetro que é um inteiro não negativo ou meio inteiro; a representação então tem dimensão . Suponha que tomemos o produto tensorial da representação de duas representações, com rótulos e onde assumimos . Em seguida, o produto tensorial se decompõe como uma soma direta de uma cópia de cada representação com rótulo , onde varia de a em incrementos de 1. Se, por exemplo,, então os valores de que ocorrem são 0, 1 e 2. Assim, o a representação do produto tensorial da dimensão decompõe-se como uma soma direta de uma representação unidimensional, uma representação tridimensional e uma representação 5-dimensional .
Ramos e tópicos
A teoria da representação é notável pelo número de ramos que possui e pela diversidade de abordagens para estudar representações de grupos e álgebras. Embora todas as teorias tenham em comum os conceitos básicos já discutidos, eles diferem consideravelmente em detalhes. As diferenças são de pelo menos 3 vezes:
- A teoria da representação depende do tipo de objeto algébrico que está sendo representado. Existem várias classes diferentes de grupos, álgebras associativas e álgebras de Lie, e todas as suas teorias de representação têm um sabor individual.
- A teoria da representação depende da natureza do espaço vetorial no qual o objeto algébrico é representado. A distinção mais importante é entre representações de dimensão finita e representações de dimensão infinita. No caso de dimensão infinita, estruturas adicionais são importantes (por exemplo, se o espaço é ou não um espaço de Hilbert , espaço de Banach , etc.). Estruturas algébricas adicionais também podem ser impostas no caso de dimensão finita.
- A teoria da representação depende do tipo de campo sobre o qual o espaço vetorial é definido. Os casos mais importantes são o campo de números complexos, o campo de números reais, campos finitos e campos de números p-ádicos . Dificuldades adicionais surgem para campos de característica positiva e para campos que não são algebricamente fechados .
Grupos finitos
As representações de grupo são uma ferramenta muito importante no estudo de grupos finitos. Eles também surgem nas aplicações da teoria dos grupos finitos à geometria e cristalografia . As representações de grupos finitos exibem muitas das características da teoria geral e apontam o caminho para outros ramos e tópicos da teoria da representação.
Sobre um campo de característica zero , a representação de um grupo finito G tem várias propriedades convenientes. Primeiro, as representações de G são semi-simples (completamente redutíveis). Isso é uma consequência do teorema de Maschke , que afirma que qualquer sub-representação V de uma representação- G W tem um complemento -invariante- G . Uma prova é escolher qualquer projeção π de W para V e substituí-la por sua média π G definida por
π G é equivariante e seu kernel é o complemento necessário.
As representações G de dimensão finita podem ser entendidas usando a teoria do caráter: o caráter de uma representação φ : G → GL ( V ) é a função de classe χ φ : G → F definida por
onde está o traço . Uma representação irredutível de G é completamente determinada por seu caráter.
Teorema de Maschke detém mais geralmente para campos de característica positiva p , tais como os campos finitos , enquanto o primo p é coprime ao fim do G . Quando p e | G | têm um fator comum , há representações G que não são semisimples, que são estudadas em uma sub-ramificação chamada teoria da representação modular .
As técnicas de média também mostram que se F são os números reais ou complexos, então qualquer representação G preserva um produto interno em V no sentido de que
para todos g em L e v , w em W . Portanto, qualquer representação G é unitária .
As representações unitárias são automaticamente semisimples, uma vez que o resultado de Maschke pode ser comprovado tomando o complemento ortogonal de uma sub-representação. Ao estudar representações de grupos que não são finitos, as representações unitárias fornecem uma boa generalização das representações reais e complexas de um grupo finito.
Resultados como o teorema de Maschke e a propriedade unitária que depende da média podem ser generalizados para grupos mais gerais substituindo a média por uma integral, desde que uma noção adequada de integral possa ser definida. Isso pode ser feito para grupos topológicos compactos (incluindo grupos de Lie compactos), usando a medida de Haar , e a teoria resultante é conhecida como análise harmônica abstrata .
Sobre campos arbitrários, outra classe de grupos finitos que têm uma boa teoria de representação são os grupos finitos do tipo Lie . Exemplos importantes são grupos algébricos lineares sobre campos finitos. A teoria da representação de grupos algébricos lineares e grupos de Lie estende esses exemplos a grupos de dimensão infinita, sendo o último intimamente relacionado às representações da álgebra de Lie . A importância da teoria do caráter para grupos finitos tem um análogo na teoria dos pesos para representações de grupos de Lie e álgebras de Lie.
As representações de um grupo finito G também estão diretamente ligadas às representações da álgebra por meio da álgebra de grupo F [ G ], que é um espaço vetorial sobre F com os elementos de G como base, equipado com a operação de multiplicação definida pela operação de grupo, linearidade , e o requisito de que a operação do grupo e a multiplicação escalar comutem.
Representações modulares
As representações modulares de um grupo finito G são representações sobre um campo cuja característica não é coprime de | G |, de modo que o teorema de Maschke não é mais válido (porque | G | não é invertível em F e, portanto, não se pode dividir por ele). No entanto, Richard Brauer estendida grande parte da teoria personagem para representações modulares, e esta teoria teve um papel importante no progresso inicial para a classificação dos grupos finitos simples , especialmente para grupos simples, cuja caracterização não era passível de métodos puramente grupo da teoria porque seu Sylow 2 -os subgrupos eram "muito pequenos".
Além de ter aplicações para a teoria dos grupos, as representações modulares surgem naturalmente em outros ramos da matemática , como geometria algébrica , teoria da codificação , combinatória e teoria dos números .
Representações unitárias
Uma representação unitária de um grupo L é uma representação linear φ de L , em tempo real ou (usualmente) complexo de Hilbert espaço V de tal modo que φ ( g ) é um operador unitária para cada g ∈ L . Tais representações têm sido amplamente aplicadas na mecânica quântica desde a década de 1920, graças em particular à influência de Hermann Weyl , e isso inspirou o desenvolvimento da teoria, principalmente através da análise de representações do grupo de Poincaré por Eugene Wigner . Um dos pioneiros na construção de uma teoria geral de representações unitárias (para qualquer grupo G em vez de apenas para grupos específicos úteis em aplicações) foi George Mackey , e uma extensa teoria foi desenvolvida por Harish-Chandra e outros nas décadas de 1950 e 1960.
Um dos principais objetivos é descrever a " unitária dupla ", o espaço de representação unitária irredutíveis da G . A teoria é mais bem desenvolvida no caso em que G é um grupo topológico localmente compacto (Hausdorff) e as representações são fortemente contínuas . Para G abelian, a dupla unitária é apenas o espaço de caracteres , enquanto que para G compacto, o teorema de Peter-Weyl mostra que a representação unitária irredutíveis são de dimensão finita e unitária dupla é discreto. Por exemplo, se G é o grupo círculo S 1 , então os caracteres são dadas por números inteiros, e o duplo unitário é Z .
Para G não compacto , a questão de quais representações são unitárias é sutil. Embora representações unitárias irredutíveis devam ser "admissíveis" (como módulos Harish-Chandra ) e seja fácil detectar quais representações admissíveis têm uma forma sesquilinear invariante não degenerada , é difícil determinar quando essa forma é definida positivamente. Uma descrição eficaz do dual unitário, mesmo para grupos relativamente bem comportados, como grupos de Lie redutivos reais (discutidos abaixo), permanece um importante problema em aberto na teoria da representação. Foi resolvido para muitos grupos específicos, como SL (2, R ) e o grupo Lorentz .
Análise harmônica
A dualidade entre o grupo circular S 1 e os inteiros Z , ou mais geralmente, entre um toro T n e Z n é bem conhecida na análise como a teoria da série de Fourier , e a transformada de Fourier expressa de forma semelhante o fato de que o espaço dos caracteres em um espaço vetorial real está o espaço vetorial dual . Assim, a teoria da representação unitária e a análise harmônica estão intimamente relacionadas, e a análise harmônica abstrata explora essa relação, desenvolvendo a análise de funções em grupos topológicos localmente compactos e espaços relacionados.
Um dos principais objetivos é fornecer uma forma geral da transformada de Fourier e do teorema de Plancherel . Isso é feito construindo uma medida no dual unitário e um isomorfismo entre a representação regular de G no espaço L 2 ( G ) de funções quadradas integráveis em G e sua representação no espaço de funções L 2 no dual unitário. A dualidade de Pontrjagin e o teorema de Peter-Weyl conseguem isso para abeliano e G compacto, respectivamente.
Outra abordagem envolve considerar todas as representações unitárias, não apenas as irredutíveis. Estes formam uma categoria , e a dualidade Tannaka-Kerin fornece uma maneira de recuperar um grupo compacto de sua categoria de representações unitárias.
Se o grupo não é abeliano nem compacto, nenhuma teoria geral é conhecida com um análogo do teorema de Plancherel ou inversão de Fourier, embora Alexander Grothendieck tenha estendido a dualidade Tannaka-Kerin a uma relação entre grupos algébricos lineares e categorias tannakianas .
Análise harmónica foi também estendida a partir da análise de funções num grupo L para as funções em espaços homogéneos para L . A teoria é particularmente bem desenvolvida para espaços simétricos e fornece uma teoria de formas automórficas (discutida abaixo).
Grupos de mentiras
Grupos de mentiras |
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Um grupo de Lie é um grupo que também é uma variedade regular . Muitos grupos clássicos de matrizes sobre os números reais ou complexos são grupos de Lie. Muitos dos grupos importantes em física e química são grupos de Lie, e sua teoria de representação é crucial para a aplicação da teoria de grupo nesses campos.
A teoria da representação de grupos de Lie pode ser desenvolvida primeiro considerando os grupos compactos, aos quais se aplicam os resultados da teoria da representação compacta. Esta teoria pode ser estendida para representações de dimensão finita de grupos de Lie semisimples usando o truque unitário de Weyl : cada grupo de Lie real semisimples G tem uma complexificação, que é um grupo de Lie complexo G c , e este grupo de Lie complexo tem um subgrupo K compacto máximo . As representações de dimensão finita de L estreitamente correspondem às de K .
Um grupo de Lie geral é um produto semidireto de um grupo de Lie solucionável e um grupo de Lie semi-simples (a decomposição de Levi ). A classificação de representações de grupos de Lie solucionáveis é intratável em geral, mas frequentemente fácil em casos práticos. As representações de produtos semidiretos podem então ser analisadas por meio de resultados gerais chamados de teoria de Mackey , que é uma generalização dos métodos usados na classificação de representações de Wigner do grupo de Poincaré.
Álgebras de Lie
Uma álgebra de Lie sobre um campo F é um espaço vetorial sobre F equipado com uma operação bilinear skew-simétrica chamada de colchete de Lie , que satisfaz a identidade de Jacobi . As álgebras de Lie surgem em particular como espaços tangentes aos grupos de Lie no elemento de identidade , levando à sua interpretação como "simetrias infinitesimais". Uma abordagem importante para a teoria da representação de grupos de Lie é estudar a teoria da representação correspondente das álgebras de Lie, mas as representações das álgebras de Lie também têm um interesse intrínseco.
Álgebras de Lie, como grupos de Lie, têm uma decomposição de Levi em partes semi-simples e solúveis, com a teoria de representação de álgebras de Lie solucionáveis sendo intratáveis em geral. Em contraste, as representações de dimensão finita de álgebras de Lie semisimples são completamente compreendidas, após o trabalho de Élie Cartan . Uma representação de uma álgebra de Lie semisimples 𝖌 é analisada escolhendo uma subálgebra de Cartan , que é essencialmente uma subálgebra máxima genérica 𝖍 de 𝖌 na qual o colchete de Lie é zero ("abeliano"). A representação de 𝖌 pode ser decomposta em espaços de peso que são autoespaços para a ação de 𝖍 e o análogo infinitesimal de caracteres. A estrutura das álgebras de Lie semisimples, então, reduz a análise das representações a uma combinação facilmente compreensível dos possíveis pesos que podem ocorrer.
Álgebras de Lie de dimensão infinita
Existem muitas classes de álgebras de Lie de dimensão infinita cujas representações foram estudadas. Entre elas, uma classe importante são as álgebras de Kac – Moody. Eles foram nomeados em homenagem a Victor Kac e Robert Moody , que os descobriram independentemente. Essas álgebras formam uma generalização das álgebras de Lie semissimples de dimensão finita e compartilham muitas de suas propriedades combinatórias. Isso significa que eles têm uma classe de representações que podem ser entendidas da mesma forma que as representações de álgebras de Lie semisimples.
Álgebras Affine Lie são um caso especial de álgebras de Kac-Moody, que têm particular importância em matemática e física teórica , especialmente a teoria de campo conforme e a teoria de modelos exatamente solucionáveis . Kac descobriu uma prova elegante de certas identidades combinatórias, identidades Macdonald , que é baseada na teoria de representação de álgebras afins de Kac-Moody.
Superálgebras de Lie
As superálgebras de Lie são generalizações de álgebras de Lie nas quais o espaço vetorial subjacente tem uma graduação Z 2 e as propriedades de simetria de inclinação e identidade de Jacobi do colchete de Lie são modificadas por sinais. Sua teoria de representação é semelhante à teoria de representação das álgebras de Lie.
Grupos algébricos lineares
Grupos lineares algébricas (ou mais geralmente, afim esquemas de grupo ) são análogos em geometria algébrica de grupos de Lie , mas os campos ao longo de mais do que apenas gerais R ou C . Em particular, sobre campos finitos, eles dão origem a grupos finitos do tipo Lie . Embora os grupos algébricos lineares tenham uma classificação muito semelhante à dos grupos de Lie, sua teoria de representação é bastante diferente (e muito menos bem compreendida) e requer técnicas diferentes, uma vez que a topologia de Zariski é relativamente fraca e as técnicas de análise não são mais acessível.
Teoria Invariante
A teoria dos invariantes estuda as ações sobre as variedades algébricas do ponto de vista de seu efeito sobre as funções, que formam representações do grupo. Classicamente, a teoria tratava da questão da descrição explícita de funções polinomiais que não se alteram, ou são invariantes , sob as transformações de um determinado grupo linear . A abordagem moderna analisa a decomposição dessas representações em irredutíveis.
A teoria invariante de grupos infinitos está inextricavelmente ligada ao desenvolvimento da álgebra linear , especialmente, as teorias das formas quadráticas e determinantes . Outro assunto com forte influência mútua é a geometria projetiva , onde a teoria invariante pode ser usada para organizar o assunto, e durante a década de 1960, uma nova vida foi soprada no assunto por David Mumford na forma de sua teoria invariante geométrica .
A teoria da representação de grupos de Lie semisimples tem suas raízes na teoria invariante e as fortes ligações entre a teoria da representação e a geometria algébrica têm muitos paralelos na geometria diferencial, começando com o programa Erlangen de Felix Klein e as conexões de Élie Cartan , que colocam grupos e simetria no cerne da geometria. Desenvolvimentos modernos vinculam a teoria da representação e a teoria dos invariantes a áreas tão diversas como holonomia , operadores diferenciais e a teoria de várias variáveis complexas .
Formas automórficas e teoria dos números
As formas automórficas são uma generalização das formas modulares para funções analíticas mais gerais , talvez de várias variáveis complexas , com propriedades de transformação semelhantes. A generalização envolve a substituição do grupo modular PSL 2 ( R ) e um subgrupo de congruência escolhido por um grupo de Lie semi-simples G e um subgrupo discreto Γ . Assim como as formas modulares podem ser vistas como formas diferenciais em um quociente da metade superior do espaço H = PSL 2 ( R ) / SO (2), as formas automórficas podem ser vistas como formas diferenciais (ou objetos semelhantes) em Γ \ G / K , onde K é (tipicamente) um subgrupo compacta máxima de G . Algum cuidado é necessário, entretanto, já que o quociente normalmente tem singularidades. O quociente de um grupo de Lie semisimples por um subgrupo compacto é um espaço simétrico e, portanto, a teoria das formas automórficas está intimamente relacionada à análise harmônica em espaços simétricos.
Antes do desenvolvimento da teoria geral, muitos casos especiais importantes foram trabalhados em detalhes, incluindo as formas modulares de Hilbert e as formas modulares de Siegel . Resultados importantes na teoria incluem a fórmula do traço de Selberg e a compreensão de Robert Langlands de que o teorema de Riemann-Roch poderia ser aplicado para calcular a dimensão do espaço de formas automórficas. A noção subsequente de "representação automórfica" provou ser de grande valor técnico para lidar com o caso de que G é um grupo algébrico , tratado como um grupo algébrico adélico . Como resultado, toda uma filosofia, o programa de Langlands desenvolveu-se em torno da relação entre a representação e as propriedades teóricas dos números das formas automórficas.
Álgebras associativas
Em certo sentido, as representações da álgebra associativa generalizam tanto as representações de grupos quanto as álgebras de Lie. Uma representação de um grupo induz uma representação de um anel de grupo correspondente ou álgebra de grupo , enquanto as representações de uma álgebra de Lie correspondem bijetivamente às representações de sua álgebra universal envolvente . No entanto, a teoria da representação de álgebras associativas gerais não tem todas as propriedades interessantes da teoria da representação de grupos e álgebras de Lie.
Teoria do módulo
Ao considerar as representações de uma álgebra associativa, pode-se esquecer o campo subjacente e simplesmente considerar a álgebra associativa como um anel e suas representações como módulos. Essa abordagem é surpreendentemente frutífera: muitos resultados na teoria da representação podem ser interpretados como casos especiais de resultados sobre módulos sobre um anel.
Álgebras de Hopf e grupos quânticos
As álgebras de Hopf fornecem uma maneira de melhorar a teoria da representação de álgebras associativas, ao mesmo tempo que mantém a teoria da representação de grupos e álgebras de Lie como casos especiais. Em particular, o produto tensorial de duas representações é uma representação, assim como o espaço vetorial dual.
As álgebras de Hopf associadas a grupos têm uma estrutura de álgebra comutativa e, portanto, as álgebras de Hopf gerais são conhecidas como grupos quânticos , embora esse termo seja frequentemente restrito a certas álgebras de Hopf que surgem como deformações de grupos ou de suas álgebras envolventes universais. A teoria da representação de grupos quânticos adicionou descobertas surpreendentes à teoria da representação de grupos de Lie e álgebras de Lie, por exemplo, por meio da base de cristal de Kashiwara.
Generalizações
Representações teóricas de conjuntos
Uma representação teórica de conjuntos (também conhecida como ação de grupo ou representação de permutação ) de um grupo G em um conjunto X é dada por uma função ρ de G a X X , o conjunto de funções de X a X , tal que para todo g 1 , g 2 em G e todo x em X :
Esta condição e as axioma para um grupo implica que ρ ( g ) é um bijeç~ao (ou permutação ) para todos g em L . Assim podemos definir um equivalentemente representação permutação ser um homomorphism grupo de G para o grupo simétrico S X de X .
Representações em outras categorias
Cada grupo G pode ser visto como uma categoria com um único objeto; morphisms nesta categoria são apenas os elementos de G . Dada uma categoria arbitrária C , uma representação de L em C é um funtor de G para C . Tal functor selecciona um objecto X em C e um homomorphism grupo de G para Aut ( X ), o grupo automorphism de X .
No caso em que C é Vect F , a categoria dos espaços vetoriais sobre um campo F , esta definição é equivalente a uma representação linear. Da mesma forma, uma representação teórica de conjuntos é apenas uma representação de G na categoria de conjuntos .
Para outro exemplo, considere a categoria de espaços topológicos , Top . Representações em Topo são homomorphisms de G para o homeomorphism grupo de um espaço topológico X .
Dois tipos de representações intimamente relacionadas às representações lineares são:
- representações projetivas : na categoria dos espaços projetivos . Elas podem ser descritas como "representações lineares até transformações escalares".
- representações afins : na categoria dos espaços afins . Por exemplo, o grupo euclidiano atua com afinidade no espaço euclidiano .
- corepresentações de grupos unitários e antiunitários : na categoria de espaços vetoriais complexos com morfismos sendo transformações lineares ou antilineares .
Representações de categorias
Como os grupos são categorias, também se pode considerar a representação de outras categorias. A generalização mais simples é para monóides , que são categorias com um objeto. Os grupos são monóides para os quais todo morfismo é invertível. Monóides gerais têm representações em qualquer categoria. Na categoria de conjuntos, essas são ações monoidais , mas as representações monoidais em espaços vetoriais e outros objetos podem ser estudadas.
De maneira mais geral, pode-se relaxar a suposição de que a categoria representada tem apenas um objeto. Em geral, esta é simplesmente a teoria dos functores entre categorias, e pouco pode ser dito.
Um caso especial teve um impacto significativo na teoria da representação, a saber, a teoria da representação dos quivers. Uma aljava é simplesmente um gráfico direcionado (com loops e várias setas permitidos), mas pode ser transformado em uma categoria (e também em uma álgebra) considerando os caminhos no gráfico. As representações de tais categorias / álgebras iluminaram vários aspectos da teoria da representação, por exemplo, permitindo que questões da teoria da representação não semi-simples sobre um grupo fossem reduzidas em alguns casos a questões da teoria da representação semi-simples sobre uma aljava.
Veja também
Notas
Referências
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links externos
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- Kevin Hartnett, (2020), artigo sobre teoria da representação na revista Quanta