Teoria invariante geométrica - Geometric invariant theory

Em matemática , a teoria invariante geométrica (ou GIT ) é um método para construir quocientes por ações de grupo em geometria algébrica , usado para construir espaços de módulos . Foi desenvolvido por David Mumford em 1965, usando ideias do artigo ( Hilbert 1893 ) na teoria invariante clássica .

A teoria invariante geométrica estuda uma ação de um grupo G em uma variedade algébrica (ou esquema ) X e fornece técnicas para formar o 'quociente' de X por G como um esquema com propriedades razoáveis. Uma motivação era construir espaços de módulos em geometria algébrica como quocientes de esquemas parametrizando objetos marcados. Nas décadas de 1970 e 1980, a teoria desenvolveu interações com geometria simplética e topologia equivariante , e foi usada para construir espaços de módulos de objetos em geometria diferencial , como instantons e monopólos .

Fundo

Teoria invariante está preocupado com uma acção grupo de um grupo G em uma variedade algébrico (ou um esquema ) X . Endereços teoria clássica invariantes a situação quando X = V é um espaço vectorial e L é ou um grupo finito, ou um dos grupos de Lie clássicos que actua linearmente em V . Esta ação induz uma ação linear de G no espaço das funções polinomiais R ( V ) em V pela fórmula

{\ displaystyle g \ cdot f (v) = f (g ^ {- 1} v), \ quad g \ in G, v \ in V.}

Os polinomiais invariantes do L -action em V são aquelas funções polinomiais f em V que são fixados sob a 'mudança de variáveis' devido à acção do grupo, de modo que g · f = F para todos g em L . Eles formam uma álgebra comutativa A = R ( V ) ^G , e esta álgebra é interpretada como a álgebra de funções no ' quociente teórico invariante ' V // G porque qualquer uma dessas funções fornece o mesmo valor para todos os pontos que são equivalentes (isto é, para todos os $g$ ). Na linguagem da geometria algébrica moderna , ${\ displaystyle f (v) = f (gv)}$

{\ displaystyle V / \! \! / G = \ operatorname {Spec} A = \ operatorname {Spec} R (V) ^ {G}.}

Várias dificuldades emergem dessa descrição. O primeiro, abordado com sucesso por Hilbert no caso de um grupo linear geral , é provar que a álgebra A é gerada finitamente. Isso é necessário se alguém quiser que o quociente seja uma variedade algébrica afim . Se um fato semelhante vale para grupos arbitrários G, foi o assunto do décimo quarto problema de Hilbert , e Nagata demonstrou que a resposta foi negativa em geral. Por outro lado, no curso do desenvolvimento da teoria da representação na primeira metade do século XX, foi identificada uma grande classe de grupos para os quais a resposta é positiva; estes são chamados de grupos redutivos e incluem todos os grupos finitos e todos os grupos clássicos .

A geração finita da álgebra A é apenas o primeiro passo para a descrição completa de A , e o progresso na resolução dessa questão mais delicada foi bastante modesto. Os invariantes foram descritos classicamente apenas em uma gama restrita de situações, e a complexidade dessa descrição além dos primeiros casos ofereceu pouca esperança para a compreensão completa das álgebras dos invariantes em geral. Além disso, pode acontecer que qualquer invariante polinomial f tem o mesmo valor de um dado par de pontos de u e v em V , no entanto, estes pontos são em diferentes órbitas da L -action. Um exemplo simples é fornecido pelo grupo multiplicativo C ^* de números complexos diferentes de zero que atua em um espaço vetorial complexo n- dimensional C ⁿ por multiplicação escalar. Nesse caso, cada invariante polinomial é uma constante, mas existem muitas órbitas diferentes da ação. O vetor zero forma uma órbita por si mesmo, e os múltiplos diferentes de zero de qualquer vetor diferente de zero formam uma órbita, de modo que as órbitas diferentes de zero são parametrizadas pelos pontos do complexo espaço projetivo CP ^{n −1} . Se isso acontecer (diferentes órbitas com os mesmos valores de função), diz-se que "as invariantes não separam as órbitas", e a álgebra A reflete o quociente topológico do espaço X / G de maneira bastante imperfeita. Na verdade, o último espaço, com a topologia de quociente , é freqüentemente não separado (não- Hausdorff ). (Este é o caso em nosso exemplo - a órbita nula não é aberta porque qualquer vizinhança do vetor nulo contém pontos em todas as outras órbitas, então na topologia de quociente qualquer vizinhança da órbita nula contém todas as outras órbitas.) Em 1893 Hilbert formulou e provou ser um critério para determinar aquelas órbitas que não são separadas da órbita zero por polinômios invariantes. De forma bastante notável, ao contrário de seu trabalho anterior na teoria dos invariantes, que levou ao rápido desenvolvimento da álgebra abstrata , este resultado de Hilbert permaneceu pouco conhecido e pouco usado pelos próximos 70 anos. Muito do desenvolvimento da teoria dos invariantes na primeira metade do século XX envolveu cálculos explícitos com invariantes e, de qualquer forma, seguiram a lógica da álgebra em vez da geometria.

Livro de Mumford

A teoria invariante geométrica foi fundada e desenvolvida por Mumford em uma monografia, publicada pela primeira vez em 1965, que aplicou idéias da teoria invariante do século XIX, incluindo alguns resultados de Hilbert , a questões de geometria algébrica moderna. (O livro foi amplamente expandido em duas edições posteriores, com apêndices extras de Fogarty e Mumford, e um capítulo sobre quocientes simpléticos de Kirwan.) O livro usa teoria de esquema e técnicas computacionais disponíveis em exemplos. A definição abstrata usada é a de uma ação do grupo em um esquema X . A ideia simplória de um espaço orbital

G \ X ,

isto é, o espaço quociente de X pela ação do grupo, encontra dificuldades na geometria algébrica, por razões que são explicáveis em termos abstratos. Na verdade, não há nenhuma razão geral para que as relações de equivalência interajam bem com as funções regulares (um tanto rígidas) (funções polinomiais), que estão no cerne da geometria algébrica. As funções no espaço órbita G \ X que devem ser considerados são aqueles em X que são invariantes sob a ação do G . A abordagem direta pode ser feita, por meio do campo de função de uma variedade (isto é, funções racionais ): tome as funções racionais da variação G nele, como o campo de função da variedade quociente . Infelizmente, isso - o ponto de vista da geometria birracional - pode apenas dar uma primeira aproximação para a resposta. Como Mumford colocou no Prefácio do livro:

O problema é que, dentro do conjunto de todos os modelos da classe birracional resultante, existe um modelo cujos pontos geométricos classificam o conjunto de órbitas em alguma ação, ou o conjunto de objetos algébricos em algum problema de módulos .

No Capítulo 5, ele isola ainda mais o problema técnico específico abordado, em um problema de módulos de tipo bastante clássico - classificar o grande 'conjunto' de todas as variedades algébricas sujeitas apenas a serem não singulares (e uma condição necessária para a polarização ). Os módulos devem descrever o espaço de parâmetros. Por exemplo, para curvas algébricas , sabe-se desde o tempo de Riemann que deveria haver componentes de dimensões conectadas

0, 1, 3, 6, 9, ...

de acordo com o gênero g = 0, 1, 2, 3, 4,…, e os módulos são funções em cada componente. No problema de módulos grosseiros, Mumford considera que as obstruções são:

topologia não separada no espaço de módulos (ou seja, parâmetros insuficientes em boas condições)
infinitamente muitos componentes irredutíveis (o que não é evitável, mas a finitude local pode se manter)
falha dos componentes em serem representáveis como esquemas, embora topologicamente respeitáveis.

É o terceiro ponto que motivou toda a teoria. Como diz Mumford, se as duas primeiras dificuldades forem resolvidas

[a terceira questão] torna-se essencialmente equivalente à questão de se existe um espaço orbital de algum subconjunto localmente fechado dos esquemas de Hilbert ou Chow pelo grupo projetivo .

Para lidar com isso, ele introduziu uma noção (na verdade, três) de estabilidade . Isso lhe permitiu abrir a área antes traiçoeira - muito havia sido escrito, em particular por Francesco Severi , mas os métodos da literatura tinham limitações. O ponto de vista birracional pode se dar ao luxo de ser descuidado com os subconjuntos da codimensão 1. Ter um espaço de módulos como um esquema é, de um lado, uma questão sobre caracterizar esquemas como functores representáveis (como a escola de Grothendieck o veria); mas geometricamente é mais como uma questão de compactação , como revelaram os critérios de estabilidade. A restrição a variedades não singulares não levará a um espaço compacto em nenhum sentido como espaço de módulos: as variedades podem degenerar em singularidades. Por outro lado, os pontos que corresponderiam a variedades altamente singulares são definitivamente muito "ruins" para serem incluídos na resposta. O meio-termo correto, de pontos suficientemente estáveis para serem admitidos, foi isolado pelo trabalho de Mumford. O conceito não era inteiramente novo, uma vez que certos aspectos dele seriam encontrados nas idéias finais de David Hilbert sobre a teoria dos invariáveis, antes de ele passar para outros campos.

O prefácio do livro também enuncia a conjectura de Mumford , mais tarde provada por William Haboush .

Estabilidade

Se um grupo redutivo G atua linearmente em um espaço vetorial V , então um ponto diferente de zero de V é chamado

instável se 0 estiver no fechamento de sua órbita,
semi-estável se 0 não estiver no fechamento de sua órbita,
estável se sua órbita for fechada e seu estabilizador for finito.

Existem maneiras equivalentes de afirmar isso (este critério é conhecido como o critério de Hilbert-Mumford ):

Um ponto diferente de zero x é instável se e somente se houver um subgrupo de 1 parâmetro de G, todos cujos pesos em relação a x são positivos.
Um ponto x diferente de zero é instável se e somente se cada polinômio invariante tiver o mesmo valor em 0 e x .
Um ponto diferente de zero x é semestável se e somente se não houver um subgrupo de 1 parâmetro de G cujos pesos em relação a x são positivos.
Um ponto diferente de zero x é semestável se e somente se algum polinômio invariante tem valores diferentes em 0 e x .
Um ponto diferente de zero x é estável se e somente se cada subgrupo de 1 parâmetro de G tiver pesos positivos (e negativos) em relação a x .
Um ponto diferente de zero x é estável se e somente se para cada y fora da órbita de x houver algum polinômio invariante que tenha valores diferentes em y e x , e o anel de polinômios invariantes tenha grau de transcendência dim ( V ) −dim ( G ).

Um ponto do espaço projetivo correspondente de V é denominado instável, semi-estável ou estável se for a imagem de um ponto em V com a mesma propriedade. "Instável" é o oposto de "semestável" (não "estável"). Os pontos instáveis formam um conjunto fechado de espaço projetivo de Zariski, enquanto os pontos semestáveis e estáveis formam conjuntos abertos de Zariski (possivelmente vazios). Essas definições são de ( Mumford 1977 ) e não são equivalentes às da primeira edição do livro de Mumford.

Muitos espaços de módulos podem ser construídos como quocientes do espaço de pontos estáveis de algum subconjunto do espaço projetivo por alguma ação de grupo. Esses espaços podem frequentemente ser compactados adicionando certas classes de equivalência de pontos semestáveis. Órbitas estáveis diferentes correspondem a pontos diferentes no quociente, mas duas órbitas semestáveis diferentes podem corresponder ao mesmo ponto no quociente se seus fechamentos se cruzarem.

Exemplo: ( Deligne & Mumford 1969 ) Uma curva estável é uma curva reduzida conectada de gênero ≥2 tal que suas únicas singularidades são pontos duplos ordinários e cada componente racional não singular encontra os outros componentes em pelo menos 3 pontos. O espaço de módulos de curvas estáveis do gênero g é o quociente de um subconjunto do esquema de curvas de Hilbert em P ^{5 g -6} com polinômio de Hilbert (6 n −1) ( g −1) pelo grupo PGL _{5 g −5} .

Exemplo: Um pacote vetorial W sobre uma curva algébrica (ou sobre uma superfície de Riemann ) é um pacote vetorial estável se e somente se

{\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {\ deg (V)} {{\ hbox {rank}} (V)}} <{\ frac {\ deg (W)} {{\ hbox {rank}} (W) }}}

para todos os subconjuntos diferentes de zero V de W e é semi-estável se esta condição for mantida com <substituído por ≤.

Veja também

Referências

Deligne, Pierre ; Mumford, David (1969), "A irredutibilidade do espaço das curvas de gênero dado" , Publicações Mathématiques de l'IHÉS , 36 (1): 75–109, doi : 10.1007 / BF02684599 , MR 0262240
Hilbert, D. (1893), "Über die vollen Invariantensysteme", Math. Annalen , 42 (3): 313, doi : 10.1007 / BF01444162
Kirwan, Frances, Cohomology of quocientes em geometria simplética e algébrica . Mathematical Notes, 31. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1984. i + 211 pp. MR 0766741 ISBN 0-691-08370-3
Kraft, Hanspeter, Geometrische Methoden in der Invariantentheorie . (Alemão) (Métodos geométricos na teoria invariante) Aspects of Mathematics, D1. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1984. x + 308 pp. MR 0768181 ISBN 3-528-08525-8
Mumford, David (1977), "Estabilidade das variedades projetivas" , L'Enseignement Mathématique , 2e Série, 23 (1): 39-110, ISSN 0013-8584 , MR 0450272 , arquivado do original em 07-07-2011
Mumford, David ; Fogarty, J .; Kirwan, F. (1994), Teoria geométrica invariante , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)], 34 (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-642-57916-5 , hdl : 2433/102881 , ISBN 978-3-540-56963-3 , MR 1304906 ; MR 0214602 (1ª ed. 1965); MR 0719371 (2ª ed)
VL Popov , EB Vinberg , teoria dos invariantes , em geometria algébrica . 4. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 55 (traduzido da edição russa de 1989) Springer-Verlag, Berlin, 1994. vi + 284 pp. ISBN 3-540-54682-0

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