Compactificação (matemática) - Compactification (mathematics)
Em matemática , na topologia geral , compactificação é o processo ou resultado de transformar um espaço topológico em um espaço compacto . Um espaço compacto é um espaço em que cada tampa aberta do espaço contém uma subcobertura finita. Os métodos de compactação são vários, mas cada um é uma forma de controlar os pontos de "ir para o infinito", de alguma forma adicionando "pontos no infinito" ou evitando tal "fuga".
Um exemplo
Considere a linha real com sua topologia comum. Este espaço não é compacto; em certo sentido, os pontos podem ir para o infinito à esquerda ou à direita. É possível transformar a reta real em um espaço compacto adicionando um único "ponto no infinito" que denotaremos por ∞. A compactação resultante pode ser considerada um círculo (que é compacto como um subconjunto fechado e limitado do plano euclidiano). Cada sequência que se estende ao infinito na linha real convergirá para ∞ nesta compactação.
Intuitivamente, o processo pode ser representado da seguinte forma: primeiro reduza a reta real ao intervalo aberto (- π , π) no eixo x ; em seguida, dobre as extremidades desse intervalo para cima (na direção y positiva ) e mova-os em direção um ao outro, até obter um círculo com um ponto faltando (o mais alto). Este ponto é o nosso novo ponto ∞ "no infinito"; adicionando-o completa o círculo compacto.
Um pouco mais formalmente: representamos um ponto no círculo unitário por seu ângulo , em radianos , indo de -π a π para simplificar. Identifique cada um desses pontos θ no círculo com o ponto correspondente na linha real tan (θ / 2). Esta função é indefinida no ponto π, pois tan (π / 2) é indefinido; identificaremos este ponto com o nosso ponto ∞.
Como as tangentes e as tangentes inversas são contínuas, nossa função de identificação é um homeomorfismo entre a reta real e o círculo unitário sem ∞. O que construímos é chamado de compactação de um ponto de Alexandroff da linha real, discutida de forma mais geral abaixo. Também é possível compactar a reta real adicionando dois pontos, + ∞ e -∞; isso resulta na linha real estendida .
Definição
Uma incorporação de um espaço topológico X como um denso subconjunto de um espaço compacto é chamado um compactificaç~ao de X . Muitas vezes é útil incorporar espaços topológicos em espaços compactos , devido às propriedades especiais que os espaços compactos possuem.
Embeddings em espaços compactos de Hausdorff podem ser de particular interesse. Uma vez que todo espaço compacto de Hausdorff é um espaço de Tychonoff e todo subespaço de um espaço de Tychonoff é Tychonoff, concluímos que qualquer espaço que possui uma compactação de Hausdorff deve ser um espaço de Tychonoff. Na verdade, o inverso também é verdadeiro; ser um espaço de Tychonoff é necessário e suficiente para possuir uma compactificação de Hausdorff.
O fato de que classes grandes e interessantes de espaços não compactos têm de fato compactações de tipos particulares torna a compactação uma técnica comum em topologia.
Alexandroff compactificação de um ponto
Para qualquer espaço topológico não compacto X, a compactação de um ponto α X de X ( Alexandroff ) é obtida adicionando um ponto extra ∞ (muitas vezes chamado de ponto no infinito ) e definindo os conjuntos abertos do novo espaço como os conjuntos abertos de X junto com os conjuntos da forma G ∪ {∞}, onde G é um subconjunto aberto de X tal que X \ G é fechado e compacto. A compactação de um ponto de X é Hausdorff se e somente se X for Hausdorff, não compacta e localmente compacta .
Compactação Stone – Čech
De particular interesse são as compactificações de Hausdorff, ou seja, compactificações em que o espaço compacto é de Hausdorff . Um espaço topológico tem uma compactificação de Hausdorff se e somente se for Tychonoff . Nesse caso, há uma compactação de Hausdorff única ( até o homeomorfismo ) "mais geral", a compactação de Stone-Čech de X , denotada por β X ; formalmente, isso exibe a categoria de espaços compactos de Hausdorff e mapas contínuos como uma subcategoria reflexiva da categoria de espaços de Tychonoff e mapas contínuos.
"Mais geral" ou formalmente "reflexivo" significa que o espaço β X é caracterizado pela propriedade universal de que qualquer função contínua de X a um espaço de Hausdorff compacto K pode ser estendida a uma função contínua de β X a K de uma maneira única. Mais explicitamente, β X é um espaço de Hausdorff compacto contendo X tal que a topologia induzida em X por β X é a mesma que a topologia dada em X , e para qualquer mapa contínuo f : X → K , onde K é um espaço de Hausdorff compacto , existe um único mapa contínuo g : β X → K para o qual g restrito a X é identicamente f .
A compactação de Stone – Čech pode ser construída explicitamente como segue: seja C o conjunto de funções contínuas de X ao intervalo fechado [0,1]. Em seguida, cada ponto em X pode ser identificado com uma função de avaliação em C . Assim, X pode ser identificado com um subconjunto de [0,1] C , o espaço de todas as funções de C a [0,1]. Visto que o último é compacto pelo teorema de Tychonoff , o fechamento de X como um subconjunto desse espaço também será compacto. Esta é a compactificação Stone-Čech.
Compactação do espaço-tempo
Walter Benz e Isaak Yaglom mostraram como a projeção estereográfica em um hiperbolóide de folha única pode ser usada para fornecer uma compactação para números complexos divididos . Na verdade, o hiperbolóide é parte de uma quádrica no quatro-espaço projetivo real. O método é semelhante ao usado para fornecer uma variedade de base para a ação do grupo do grupo conforme do espaço-tempo .
Espaço projetivo
O espaço projetivo real RP n é uma compactificação do espaço euclidiano R n . Para cada "direção" possível na qual os pontos em R n podem "escapar", um novo ponto no infinito é adicionado (mas cada direção é identificada com seu oposto). A compactificação de um ponto Alexandroff de R que construímos no exemplo acima é de fato homeomórfica a RP 1 . Observe, entretanto, que o plano projetivo RP 2 não é a compactação de um ponto do plano R 2, pois mais de um ponto é adicionado.
O espaço projetivo complexo CP n é também uma compactificação de C n ; a compactificação de um ponto de Alexandroff do plano C é (homeomórfica para) a linha projetiva complexa CP 1 , que por sua vez pode ser identificada com uma esfera, a esfera de Riemann .
A passagem para o espaço projetivo é uma ferramenta comum na geometria algébrica porque os pontos adicionados no infinito levam a formulações mais simples de muitos teoremas. Por exemplo, quaisquer duas linhas diferentes em RP 2 se cruzam precisamente em um ponto, uma afirmação que não é verdadeira em R 2 . De forma mais geral, o teorema de Bézout , que é fundamental na teoria da interseção , é válido no espaço projetivo, mas não no espaço afim. Este comportamento distinto de intersecções no espaço afim e espaço projetivo é refletido na topologia algébrica nos anéis de cohomologia - a cohomologia do espaço afim é trivial, enquanto a cohomologia do espaço projetivo é não trivial e reflete as características principais da teoria da intersecção (dimensão e grau de uma subvariedade, com a intersecção sendo Poincaré dual para o produto da xícara ).
A compactação de espaços de módulos geralmente requer permitir certas degenerescências - por exemplo, permitir certas singularidades ou variedades redutíveis. Isto é notavelmente usado na compactação Deligne-Mumford do espaço de módulos de curvas algébricas .
Compactificação e subgrupos discretos de grupos de Lie
No estudo de subgrupos discretos de grupos de Lie , o espaço quociente de cosets é freqüentemente um candidato para compactação mais sutil para preservar a estrutura em um nível mais rico do que apenas topológico.
Por exemplo, curvas modulares são compactadas pela adição de pontos únicos para cada cúspide , tornando-as superfícies de Riemann (e assim, por serem curvas algébricas compactas ). Aqui, as cúspides estão aí por um bom motivo: as curvas parametrizam um espaço de reticulados , e esses reticulados podem degenerar ('ir para o infinito'), muitas vezes de várias maneiras (levando em consideração alguma estrutura auxiliar de nível ). As cúspides representam essas diferentes "direções para o infinito".
Isso é tudo para treliças no avião. No espaço euclidiano n- dimensional , as mesmas questões podem ser feitas, por exemplo, sobre SO (n) \ SL n ( R ) / SL n ( Z ). Isso é mais difícil de compactar. Há uma variedade de compactificações, como a compactificação Borel-Serre , a compactificação redutiva Borel-Serre e as compactificações Satake , que podem ser formadas.
Outras teorias de compactificação
- As teorias dos fins de um espaço e dos fins primários .
- Algumas teorias de "fronteira", como o encapsulamento de uma variedade aberta , fronteira de Martin , fronteira de Shilov e fronteira de Furstenberg .
- A compactação de Bohr de um grupo topológico surge da consideração de funções quase periódicas .
- A linha projetiva sobre um anel para um anel topológico pode compactá-lo.
- A compactificação Baily-Borel de um quociente de um espaço simétrico Hermitiano .
- A maravilhosa compactação de um quociente de grupos algébricos.
- As compactificações que são simultaneamente subconjuntos convexos em um espaço localmente convexo são chamadas de compactificações convexas , sua estrutura linear adicional permitindo, por exemplo, o desenvolvimento de um cálculo diferencial e considerações mais avançadas, por exemplo, em relaxamento no cálculo variacional ou teoria de otimização.