Teorema de Tychonoff - Tychonoff's theorem

Para outros teoremas com o nome de Tychonoff, consulte o teorema de Tychonoff (desambiguação) .

Em matemática , o teorema de Tychonoff afirma que o produto de qualquer coleção de compactos espaços topológicos é compacto em relação à topologia produto . O teorema é nomeado após Andrey Nikolayevich Tikhonov (cujo sobrenome às vezes é transcrito Tychonoff ), que o provou pela primeira vez em 1930 para potências do intervalo de unidade fechada e em 1935 afirmou o teorema completo junto com a observação de que sua prova era a mesma que para o caso especial. A primeira prova publicada conhecida está contida em um artigo de 1937 de Eduard Čech .

O teorema de Tychonoff é freqüentemente considerado como talvez o resultado mais importante na topologia geral (junto com o lema de Urysohn ). O teorema também é válido para espaços topológicos baseados em conjuntos fuzzy .

Definições topológicas

O teorema depende crucialmente das definições precisas de compactação e da topologia do produto ; na verdade, o artigo de Tychonoff de 1935 define a topologia do produto pela primeira vez. Por outro lado, parte de sua importância é dar confiança de que essas definições específicas são as mais úteis (ou seja, as mais bem comportadas).

De fato, a definição Heine-Borel de compactação - que toda cobertura de um espaço por conjuntos abertos admite uma subcobertura finita - é relativamente recente. Mais popular no século 19 e no início do século 20 foi o critério de Bolzano-Weierstrass de que toda sequência admite uma subsequência convergente, agora chamada de compactação sequencial . Essas condições são equivalentes para espaços metrizáveis , mas nenhuma implica a outra na classe de todos os espaços topológicos.

É quase trivial provar que o produto de dois espaços sequencialmente compactos é sequencialmente compacto - passa-se para uma subsequência para o primeiro componente e depois para uma subsubsequência para o segundo componente. Um argumento de "diagonalização" apenas ligeiramente mais elaborado estabelece a compactação sequencial de um produto contável de espaços sequencialmente compactos. No entanto, o produto do contínuo de muitas cópias do intervalo de unidade fechada (com sua topologia usual) falha em ser sequencialmente compacto com respeito à topologia do produto, embora seja compacto pelo teorema de Tychonoff (por exemplo, ver Wilansky 1970 , p. 134) .

Esta é uma falha crítica: se X é um espaço de Hausdorff completamente regular , há uma incorporação natural de X em [0,1] C ( X , [0,1]) , onde C ( X , [0,1]) é o conjunto de mapas contínuos de X a [0,1]. A compactação de [0,1] C ( X , [0,1]) mostra, portanto, que todo espaço de Hausdorff completamente regular embute em um espaço de Hausdorff compacto (ou, pode ser "compactado".) Esta construção é a compactação Stone – Čech . Por outro lado, todos os subespaços de espaços de Hausdorff compactos são Hausdorff completamente regulares, então isso caracteriza os espaços de Hausdorff completamente regulares como aqueles que podem ser compactados. Esses espaços são agora chamados de espaços de Tychonoff .

Formulários

O teorema de Tychonoff foi usado para provar muitos outros teoremas matemáticos. Estes incluem teoremas sobre compactação de certos espaços, como o teorema de Banach – Alaoglu sobre a compactação fraca- * da esfera unitária do espaço dual de um espaço vetorial normado e o teorema de Arzelà – Ascoli que caracteriza as sequências de funções em que cada subsequência tem uma subsequência uniformemente convergente . Eles também incluem declarações menos obviamente relacionadas à compactação, como o teorema de De Bruijn-Erdős afirmando que todo grafo k- cromático mínimo é finito, e o teorema de Curtis-Hedlund-Lyndon fornecendo uma caracterização topológica de autômatos celulares .

Como regra prática, qualquer tipo de construção que tome como entrada um objeto bastante geral (muitas vezes de natureza algébrica ou topológica-algébrica) e produza um espaço compacto provavelmente usará Tychonoff: por exemplo, o espaço de Gelfand de ideais máximos de uma álgebra C * comutativa , o espaço de Stone dos ideais máximos de uma álgebra booleana e o espectro de Berkovich de um anel de Banach comutativo .

Provas do teorema de Tychonoff

1) A prova de Tychonoff de 1930 usou o conceito de um ponto de acumulação completo .

2) O teorema é um corolário rápido do teorema da subbase de Alexander .

Demonstrações mais modernas foram motivadas pelas seguintes considerações: a abordagem para compactação via convergência de subsequências leva a uma prova simples e transparente no caso de conjuntos de índices contáveis. No entanto, a abordagem para convergência em um espaço topológico usando sequências é suficiente quando o espaço satisfaz o primeiro axioma de contabilidade (como os espaços metrizáveis ​​fazem), mas geralmente não o contrário. No entanto, o produto de incontáveis ​​espaços metrizáveis, cada um com pelo menos dois pontos, deixa de ser contável pela primeira vez. Portanto, é natural esperar que uma noção adequada de convergência em espaços arbitrários leve a um critério de compactação generalizando compactação sequencial em espaços metrizáveis ​​que será facilmente aplicado para deduzir a compactação de produtos. Este acabou sendo o caso.

3) A teoria da convergência via filtros, de Henri Cartan e desenvolvida por Bourbaki em 1937, leva ao seguinte critério: assumindo o lema do ultrafiltro , um espaço é compacto se e somente se cada ultrafiltro no espaço convergir. Com isso em mãos, a prova torna-se fácil: a imagem (filtro gerado pela) imagem de um ultrafiltro no espaço do produto sob qualquer mapa de projeção é um ultrafiltro no espaço do fator, que portanto converge para pelo menos um x i . Mostra-se então que o ultrafiltro original converge para x  = ( x i ). Em seu livro, Munkres dá uma reformulação da prova de Cartan-Bourbaki que não usa explicitamente qualquer linguagem teórica de filtro ou preliminares.

4) Da mesma forma, a teoria de Moore-Smith de convergência via redes, complementada pela noção de Kelley de uma rede universal , leva ao critério de que um espaço é compacto se e somente se cada rede universal no espaço converge. Esse critério leva a uma prova (Kelley, 1950) do teorema de Tychonoff, que é, palavra por palavra, idêntico à prova de Cartan / Bourbaki usando filtros, exceto pela substituição repetida de "rede universal" por "base de ultrafiltro".

5) Uma prova usando redes, mas não redes universais, foi dada em 1992 por Paul Chernoff.

Teorema de Tychonoff e o axioma da escolha

Todas as provas acima usam o axioma da escolha (AC) de alguma forma. Por exemplo, a terceira prova usa que todo filtro está contido em um ultrafiltro (ou seja, um filtro máximo), e isso é visto invocando o lema de Zorn . O lema de Zorn também é usado para provar o teorema de Kelley, de que toda rede tem uma sub-rede universal. Na verdade, esses usos de AC são essenciais: em 1950, Kelley provou que o teorema de Tychonoff implica o axioma da escolha em ZF . Observe que uma formulação de AC é que o produto cartesiano de uma família de conjuntos não vazios é não vazio; mas, uma vez que o conjunto vazio é certamente compacto, a prova não pode prosseguir ao longo de linhas tão simples. Assim, o teorema de Tychonoff junta vários outros teoremas básicos (por exemplo, que todo espaço vetorial tem uma base) ao ser equivalente a AC.

Por outro lado, a afirmação de que todo filtro está contido em um ultrafiltro não implica AC. Na verdade, não é difícil ver que é equivalente ao teorema do ideal primo Booleano (BPI), um ponto intermediário bem conhecido entre os axiomas da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) e a teoria de ZF aumentada pelo axioma da escolha (ZFC). Uma primeira olhada na segunda prova de Tychnoff pode sugerir que a prova usa não mais que (BPI), em contradição com o anterior. No entanto, os espaços em que cada filtro convergente tem um limite único são precisamente os espaços de Hausdorff. Em geral, devemos selecionar, para cada elemento do conjunto de índices, um elemento do conjunto não vazio de limites da base do ultrafiltro projetada e, é claro, este usa AC. No entanto, também mostra que a compactação do produto de espaços compactos de Hausdorff pode ser provada usando (BPI), e de fato o inverso também é válido. Estudar a força do teorema de Tychonoff para várias classes restritas de espaços é uma área ativa na topologia da teoria dos conjuntos .

O análogo do teorema de Tychonoff em topologia inútil não requer qualquer forma de axioma de escolha.

Prova do axioma de escolha do teorema de Tychonoff

Para provar que o teorema de Tychonoff em sua versão geral implica o axioma da escolha, estabelecemos que todo produto cartesiano infinito de conjuntos não vazios é não vazio. A parte mais complicada da prova é apresentar a topologia certa. A topologia certa, ao que parece, é a topologia de cofinito com uma pequena torção. Acontece que cada conjunto com essa topologia torna-se automaticamente um espaço compacto. Uma vez que tenhamos esse fato, o teorema de Tychonoff pode ser aplicado; em seguida, usamos a definição de compactação da propriedade de interseção finita (FIP). A prova em si (devido a JL Kelley ) segue:

Seja { A i } uma família indexada de conjuntos não vazios, para i variando em I (onde I é um conjunto de indexação arbitrário). Queremos mostrar que o produto cartesiano desses conjuntos não é vazio. Agora, para cada i , tome X i como sendo A i com o próprio índice i adicionado (renomeando os índices usando a união disjunta se necessário, podemos assumir que i não é um membro de A i , então simplesmente tome X i = A i ∪ { i }).

Agora defina o produto cartesiano

junto com os mapas de projeção natural π i que levam um membro de X ao seu i ésimo termo.

Damos a cada X i a topologia cujos conjuntos abertos são os subconjuntos de cofinito de X i , mais o conjunto vazio (a topologia de cofinito) e o singleton { i }. Isso torna X i compacto e, pelo teorema de Tychonoff, X também é compacto (na topologia do produto). Os mapas de projeção são contínuos; tudo o A i ' s são fechadas, sendo complementos da Singleton conjunto aberto { i } em X i . Assim, as imagens inversas pi i -1 ( A i ) são subconjuntos fechados de X . Nós notamos que

e comprovar que essas imagens inversas não são vazias e possuem o FIP. Deixe- i 1 , ..., i N ser um conjunto finito de índices em I . Então, o produto finito A i 1 × ... × A i N não é vazio (apenas finitas opções aqui, então AC não é necessário); consiste meramente em N- duplas. Seja a = ( a 1 , ..., a N ) tal N -tuplo. Estendemos a para todo o conjunto de índices: leve a para a função f definida por f ( j ) = a k se j = i k , e f ( j ) = j caso contrário. Esta etapa é onde a adição do ponto extra a cada espaço é crucial , pois nos permite definir f para tudo fora do N -tuplo de forma precisa e sem escolhas (já podemos escolher, por construção, j de X j ) π i k ( f ) = a k é obviamente um elemento de cada A i k de forma que f está em cada imagem inversa; assim nós temos

Pela definição de compactação do FIP, toda a interseção sobre I deve ser não vazia e a prova está completa.

Veja também

Notas

Referências

  • Chernoff, Paul R. (1992), "Uma prova simples do teorema de Tychonoff via redes", American Mathematical Monthly , 99 (10): 932-934, doi : 10.2307 / 2324485 , JSTOR  2324485.
  • Johnstone, Peter T. (1982), Stone spaces , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 3 , Nova York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-23893-5.
  • Johnstone, Peter T. (1981), "Teorema de Tychonoff sem o axioma da escolha", Fundamenta Mathematicae , 113 : 21-35, doi : 10.4064 / fm-113-1-21-35.
  • Kelley, John L. (1950), "Convergence in topology", Duke Mathematical Journal , 17 (3): 277-283, doi : 10.1215 / S0012-7094-50-01726-1.
  • Kelley, John L. (1950), "O teorema do produto de Tychonoff implica o axioma da escolha", Fundamenta Mathematicae , 37 : 75-76, doi : 10.4064 / fm-37-1-75-76.
  • Munkres, James R. (2000). Topologia (segunda edição). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260 .
  • Tychonoff, Andrey N. (1930), "Über die topologische Erweiterung von Räumen", Mathematische Annalen (em alemão), 102 (1): 544–561, doi : 10.1007 / BF01782364.
  • Wilansky, A. (1970), Topology for Analysis , Ginn and Company
  • Willard, Stephen (2004) [1970]. Topologia geral . Dover Books on Mathematics (Primeira edição). Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .
  • Wright, David G. (1994), "Teorema de Tychonoff.", Proc. Amer. Matemática. Soc. , 120 (3): 985–987, doi : 10.1090 / s0002-9939-1994-1170549-2.

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