Esfera de Riemann - Riemann sphere

A esfera de Riemann pode ser visualizada como o plano de número complexo enrolado em uma esfera (por alguma forma de projeção estereográfica - os detalhes são fornecidos abaixo).

Em matemática , a esfera de Riemann , em homenagem a Bernhard Riemann , é um modelo do plano complexo estendido , o plano complexo mais um ponto no infinito . Este plano estendido representa os números complexos estendidos , ou seja, os números complexos mais um valor ∞ para o infinito . Com o modelo de Riemann, o ponto "∞" está próximo de números muito grandes, assim como o ponto "0" está próximo de números muito pequenos.

Os números complexos estendidos são úteis na análise complexa porque permitem a divisão por zero em algumas circunstâncias, de uma forma que torna as expressões como bem comportadas . Por exemplo, qualquer função racional no plano complexo pode ser estendida a uma função holomórfica na esfera de Riemann, com os pólos da função racional mapeando ao infinito. De maneira mais geral, qualquer função meromórfica pode ser considerada uma função holomórfica cujo codomínio é a esfera de Riemann.

Em geometria , a esfera de Riemann é o exemplo prototípico de uma superfície de Riemann e é uma das variedades complexas mais simples . Na geometria projetiva , a esfera pode ser pensada como a linha projetiva complexa P 1 ( C ), o espaço projetivo de todas as linhas complexas em C 2 . Como acontece com qualquer superfície compacta de Riemann, a esfera também pode ser vista como uma curva algébrica projetiva , tornando-a um exemplo fundamental em geometria algébrica . Ele também encontra utilidade em outras disciplinas que dependem de análise e geometria, como a esfera de Bloch da mecânica quântica e em outros ramos da física .

O plano complexo estendido também é chamado de plano complexo fechado .

Números complexos estendidos

Os números complexos estendidos consistem nos números complexos C junto com ∞. O conjunto de números complexos estendidos pode ser escrito como C ∪ {∞}, e é frequentemente denotado pela adição de alguma decoração à letra C , como

Geometricamente, o conjunto de números complexos estendidos é conhecido como esfera de Riemann (ou plano complexo estendido ).

Operaçoes aritimeticas

A adição de números complexos pode ser estendida definindo, para zC ,

para qualquer número complexo z , e a multiplicação pode ser definida por

para todos os números complexos diferentes de zero z , com ∞ × ∞ = ∞ . Observe que ∞ - ∞ e 0 × ∞ são deixados indefinidos . Ao contrário dos números complexos, os números complexos estendidos não formam um campo , já que não possui inverso aditivo nem multiplicativo . No entanto, é costume definir a divisão em C ∪ {∞ } por

para todos os números complexos diferentes de zero z com /0= ∞ e0/= 0 . Os quocientes0/0 e / são deixados indefinidos.

Funções racionais

Qualquer função racional f ( z ) =g ( z )/h ( z )(em outras palavras, f ( z ) é a razão das funções polinomiais g ( z ) eh ( z ) de z com coeficientes complexos, de modo que g ( z ) eh ( z ) não têm fator comum) pode ser estendido para uma função contínua na esfera de Riemann. Especificamente, se z 0 é um número complexo tal que o denominador h ( z 0 ) é zero, mas o numerador g ( z 0 ) é diferente de zero, então f ( z 0 ) pode ser definido como ∞. Além disso, f (∞) pode ser definido como o limite de f ( z ) como z → ∞ , que pode ser finito ou infinito.

O conjunto de funções racionais complexas - cujo símbolo matemático é C ( z ) - forma todas as funções holomórficas possíveis da esfera de Riemann para si mesma, quando é vista como uma superfície de Riemann , exceto para a função constante levando o valor ∞ em todos os lugares. As funções de C ( z ) formam um campo algébrico, conhecido como o campo das funções racionais na esfera .

Por exemplo, dada a função

podemos definir f (± 5) = ∞ , já que o denominador é zero em z = ± 5 , e f (∞) = 3, pois f ( z ) → 3 como z → ∞ . Usando essas definições, f torna-se uma função contínua da esfera de Riemann para si mesma.

Como uma variedade complexa

Como unidimensional colector de complexo, a esfera de Riemann pode ser descrito por dois gráficos, tanto com o domínio igual ao número complexo plano C . Vamos ζ ser um número complexo em uma cópia de C , e deixe ξ ser um número complexo em outra cópia do C . Identifique cada número complexo diferente de zero ζ do primeiro C com o número complexo diferente de zero1/ξdo segundo C . Então o mapa

é chamado de mapa de transição entre as duas cópias de C - os chamados gráficos - colando-os. Como os mapas de transição são holomórficos , eles definem uma variedade complexa, chamada esfera de Riemann . Como uma variedade complexa de 1 dimensão complexa (ou seja, 2 dimensões reais), também é chamada de superfície de Riemann .

Intuitivamente, os mapas de transição indicam como colar dois planos para formar a esfera de Riemann. Os planos são colados "de dentro para fora", de modo que se sobreponham em quase todos os lugares, com cada plano contribuindo com apenas um ponto (sua origem) ausente do outro plano. Em outras palavras, (quase) todos os pontos na esfera de Riemann têm um valor ζ e um valor ξ , e os dois valores estão relacionados por ζ =1/ξ. O ponto onde ξ = 0 deve então ter ζ -valor "1/0"; neste sentido, a origem do gráfico ξ desempenha o papel de" ∞ "no gráfico ζ . Simetricamente, a origem do gráfico ζ desempenha o papel de ∞ no gráfico ξ .

Topologicamente , o espaço resultante é a compactação de um ponto de um plano na esfera. No entanto, a esfera de Riemann não é apenas uma esfera topológica. É uma esfera com uma estrutura bem definida estrutura complexa , de modo que em torno de cada ponto na esfera existe uma vizinhança que pode ser biholomorphically identificada com C .

Por outro lado, o teorema da uniformização , um resultado central na classificação das superfícies de Riemann, afirma que toda superfície de Riemann simplesmente conectada é biolomórfica ao plano complexo, ao plano hiperbólico ou à esfera de Riemann. Destas, a esfera de Riemann é a única que é uma superfície fechada (uma superfície compacta sem limite ). Conseqüentemente, a esfera bidimensional admite uma estrutura complexa única, transformando-a em uma variedade complexa unidimensional.

Como a complexa linha projetiva

A esfera de Riemann também pode ser definida como a linha projetiva complexa . Os pontos da linha projetiva complexa são classes de equivalência estabelecidas pela seguinte relação nos pontos de C 2 \ {(0,0)}:

Se para algum λ ≠ 0, w = λ u e z = λ v , então

Neste caso, a classe de equivalência é escrita [ w, z ] usando coordenadas projetivas . Dado qualquer ponto [ w, z ] na linha projetiva complexa, um de w e z deve ser diferente de zero, digamos w ≠ 0. Então, pela relação de equivalência,

que está em um gráfico para a variedade da esfera de Riemann.

Este tratamento da esfera de Riemann se conecta mais facilmente à geometria projetiva. Por exemplo, qualquer linha (ou cônica suave) no plano projetivo complexo é biolomórfica em relação à linha projetiva complexa. Também é conveniente para estudar os automorfismos da esfera , mais adiante neste artigo.

Como uma esfera

Projeção estereográfica de um número complexo A em um ponto α da esfera de Riemann

A esfera de Riemann pode ser visualizada como a esfera unitária x 2  +  y 2  +  z 2  = 1 no espaço real tridimensional R 3 . Para tanto, considere a projeção estereográfica da esfera unitária menos o ponto (0, 0, 1) no plano z  = 0, que identificamos com o plano complexo por ζ = x + iy . Em coordenadas cartesianas ( x , y , z ) e coordenadas esféricas ( θ , φ ) na esfera (com θ o zênite e φ o azimute ), a projeção é

Da mesma forma, a projeção estereográfica de (0, 0, −1) no plano z = 0 , identificado com outra cópia do plano complexo por ξ = x - iy , é escrita

Para cobrir a esfera unitária, são necessárias as duas projeções estereográficas: a primeira cobrirá toda a esfera exceto o ponto (0, 0, 1) e a segunda exceto o ponto  (0, 0, −1) . Portanto, são necessários dois planos complexos, um para cada projeção, que podem ser intuitivamente vistos como colados costas com costas em  z = 0 . Observe que os dois planos complexos são identificados de forma diferente com o plano z = 0 . Uma orientação -reversal é necessária para manter a orientação consistente na esfera e, em particular, a conjugação complexa faz com que os mapas de transição sejam holomórficos.

Os mapas de transição entre ζ -coordenadas e ξ -coordenadas são obtidos compondo uma projeção com o inverso da outra. Eles acabaram sendo ζ =1/ξe ξ =1/ζ, como descrito acima. Assim, a esfera unitária é difeomórfica à esfera de Riemann.

Sob este difeomorfismo, o círculo unitário no gráfico ζ , o círculo unitário no gráfico ξ e o equador da esfera unitária são todos identificados. O disco da unidade | ζ | <1 é identificado com o hemisfério sul z <0 , enquanto o disco unitário | ξ | <1 é identificado com o hemisfério norte  z > 0 .

Métrica

Uma superfície Riemann não vem equipada com nenhuma métrica Riemanniana particular . A estrutura conforme da superfície de Riemann, entretanto, determina uma classe de métricas: todas aquelas cuja estrutura conforme subordinada é a dada. Em mais detalhes: A estrutura complexa da superfície de Riemann determina de maneira única uma métrica até a equivalência conforme . (Diz-se que duas métricas são conformemente equivalentes se diferirem por multiplicação por uma função suave positiva .) Por outro lado, qualquer métrica em uma superfície orientada determina exclusivamente uma estrutura complexa, que depende da métrica apenas até a equivalência conforme. Estruturas complexas em uma superfície orientada estão, portanto, em correspondência um-para-um com classes conformais de métricas naquela superfície.

Dentro de uma determinada classe conforme, pode-se usar a simetria conforme para encontrar uma métrica representativa com propriedades convenientes. Em particular, há sempre uma métrica completa com curvatura constante em qualquer classe conforme.

No caso da esfera de Riemann, a Gauss-Bonnet teorema implica que uma métrica constante-curvatura deve ter positiva curvatura K . Conclui-se que a métrica deve ser isométrica à esfera do raio1/Kem R 3 via projeção estereográfica. No gráfico ζ da esfera de Riemann, a métrica com K = 1 é dada por

Em coordenadas reais ζ = u + iv , a fórmula é

Até um fator constante, esta métrica está de acordo com a métrica padrão de Fubini-Study no espaço projetivo complexo (da qual a esfera de Riemann é um exemplo).

Até a escala, esta é a única métrica na esfera cujo grupo de isometrias que preservam a orientação é tridimensional (e nenhuma é mais do que tridimensional); esse grupo é denominado SO (3) . Nesse sentido, esta é de longe a métrica mais simétrica da esfera. (O grupo de todas as isometrias, conhecido como O (3) , também é tridimensional, mas ao contrário de SO (3) não é um espaço conectado.)

Inversamente, deixe S denotar a esfera (como uma variedade topológica ou lisa abstrata ). Pelo teorema da uniformização, existe uma estrutura complexa única em S , até a equivalência conforme. Segue-se que qualquer métrica em S é conformalmente equivalente à métrica redonda . Todas essas métricas determinam a mesma geometria conforme. A métrica redonda, portanto, não é intrínseca à esfera de Riemann, uma vez que "circularidade" não é uma invariante da geometria conforme. A esfera de Riemann é apenas uma variedade conforme , não uma variedade Riemanniana . No entanto, se for necessário fazer geometria Riemanniana na esfera de Riemann, a métrica redonda é uma escolha natural (com qualquer raio fixo, embora raio = 1 seja a escolha mais simples e comum). Isso porque apenas uma métrica redonda na esfera de Riemann faz com que seu grupo de isometria seja um grupo tridimensional. (Ou seja, o grupo conhecido como SO (3) , um grupo contínuo ("Mentira") que é topologicamente o espaço projetivo tridimensional P 3. )

Automorfismos

Uma transformação de Möbius atuando na esfera e no plano por projeção estereográfica

O estudo de qualquer objeto matemático é auxiliado por uma compreensão de seu grupo de automorfismos, ou seja, os mapas do objeto para si mesmo que preservam a estrutura essencial do objeto. No caso da esfera de Riemann, um automorfismo é um mapa conformal invertível (isto é, mapa biolomórfico) da esfera de Riemann para si mesmo. Acontece que os únicos mapas são as transformações de Möbius . Estas são funções do formulário

onde a , b , c e d são números complexos tais que ad - bc ≠ 0 . Exemplos de transformações de Möbius incluem dilatações , rotações , translações e inversões complexas. Na verdade, qualquer transformação de Möbius pode ser escrita como uma composição delas.

As transformações de Möbius são homografias na complexa linha projetiva. Em coordenadas projetivas , a transformação f pode ser escrita

Assim, as transformações de Möbius podem ser descritas como matrizes complexas 2 × 2 com determinante diferente de zero . Uma vez que atuam em coordenadas projetivas, duas matrizes produzem a mesma transformação de Möbius se e somente se diferem por um fator diferente de zero. O grupo de transformações de Möbius é o grupo linear projetivo PGL (2, C ) .

Se alguém dota a esfera de Riemann com a métrica Fubini-Study , então nem todas as transformações de Möbius são isometrias; por exemplo, as dilatações e traduções não. As isometrias formam um subgrupo apropriado de PGL (2, C ) , a saber PSU (2). Este subgrupo é isomórfico ao grupo de rotação SO (3) , que é o grupo de simetrias da esfera unitária em R 3 (que, quando restritas à esfera, passam a ser as isometrias da esfera).

Formulários

Na análise complexa, uma função meromórfica no plano complexo (ou em qualquer superfície de Riemann, nesse caso) é uma razão f/gde duas funções holomórficas f e g . Como um mapa para os números complexos, é indefinido onde g é zero. No entanto, ele induz um mapa holomórfico ( f , g ) para a linha projetiva complexa que é bem definida mesmo onde g = 0 . Esta construção é útil no estudo das funções holomórficas e meromórficas. Por exemplo, em uma superfície compacta de Riemann não há mapas holomórficos não constantes para os números complexos, mas mapas holomórficos para a linha projetiva complexa são abundantes.

A esfera de Riemann tem muitos usos na física. Na mecânica quântica, os pontos na linha projetiva complexa são valores naturais para estados de polarização de fótons , estados de spin de partículas massivas de spin 1/2e partículas de 2 estados em geral (veja também Quantum bit e Bloch sphere ). A esfera de Riemann foi sugerida como um modelo relativístico para a esfera celeste . Na teoria das cordas , as planilhas de mundo das cordas são superfícies de Riemann, e a esfera de Riemann, sendo a superfície de Riemann mais simples, desempenha um papel significativo. Também é importante na teoria dos twistores .

Veja também

Referências

links externos