ângulo - Angle


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Um ângulo formado por dois raios que emanam a partir de um vértice.

Na geometria plana , um ângulo é a figura formada por dois raios , chamados os lados do ângulo, a partilha de uma extremidade comum, chamado o vértice do ângulo. Ângulos formados pelos dois raios se situam num plano, mas este plano não tem de ser um plano euclidiana . Ângulos são também formados pela intersecção de dois planos em euclidiana e outros espaços . Estes são chamados ângulos diedro . Ângulos formados pela intersecção das duas curvas em um avião está definido como o ângulo determinado pelos raios tangentes no ponto de intersecção. Indicações similares segurar no espaço, por exemplo, o ângulo esférica formada por duas grandes círculos em uma esfera é o ângulo diedro entre os planos determinados pelos círculos grandes.

Ângulo também é usado para designar a medida de um ângulo ou de uma rotação . Esta medida é a razão entre o comprimento de um arco circular para o seu raio . No caso de um ângulo geométrico, o arco é centrado no vértice e delimitada pelos lados. No caso de uma rotação, o arco está centrada no centro de rotação e delimitado por qualquer outro ponto e a sua imagem pela rotação.

A palavra ângulo vem do latim palavra angulus , que significa "esquina"; cognatos palavras são o grego ἀγκύλος (ankylοs) , que significa "torto, curvado," e o Inglês palavra " tornozelo ". Ambos são conectados com o Proto-Indo-Europeu raiz * ank- , que significa "dobrar" ou "arco".

Euclides define um ângulo plano que a inclinação para o outro, num plano, de duas linhas que se encontram um ao outro, e não se encontram em frente em relação uns aos outros. De acordo com Próclus um ângulo deve ser de uma qualidade ou uma quantidade, ou um relacionamento. O primeiro conceito foi utilizado por Eudemus , que considerado um ângulo como um desvio a partir de uma linha recta ; o segundo por Carpo de Antioquia , que consideravam como o intervalo ou espaço entre as linhas que se intersectam; Euclides adoptou o terceiro conceito, embora suas definições de ângulos retos, agudos e obtusos são certamente quantitativa.

identificar ângulos

Em expressões matemáticas, é comum a utilização de letras gregas ( α , β , γ , θ , φ ,...) Para servir como variáveis de pé para o tamanho de algum ângulo. (Para evitar confusão com a sua outra significação, o símbolo π é normalmente não utilizados para este fim.) Minúsculas letras romanas ( umbc ,...) Também são utilizados, como são letras maiúsculas romanas no contexto de polígonos . Veja as figuras neste artigo para obter exemplos.

Nas figuras geométricas, ângulos também pode ser identificado pelos marcadores ligados aos três pontos que as definem. Por exemplo, o ângulo no vértice A delimitada pelos raios AB e AC (ou seja, as linhas do ponto A para o ponto B e o ponto A para o ponto C) é denotada ∠BAC (em Unicode L + 2220 ÂNGULO ) ou . Às vezes, onde não há nenhum risco de confusão, o ângulo pode ser referido simplesmente por seu vértice ( "ângulo A").

Potencialmente, um ângulo denotado, digamos, ∠BAC pode se referir a qualquer um dos quatro ângulos: o ângulo horário de B para C, o ângulo anti-horário de B para C, o ângulo no sentido horário a partir de C para B, ou o ângulo no sentido contrário de C para B , em que a direcção na qual o ângulo é medido determina o seu sinal (ver ângulos positivos e negativos ). No entanto, em muitas situações geométricas é óbvio a partir do contexto que o ângulo positivo menor ou igual a 180 graus é significado, e nenhuma ambigüidade surge. Caso contrário, uma convenção podem ser adoptados de modo a que ∠BAC refere-se sempre ao ângulo sentido anti-horário (positivo) de B para C, e ∠CAB para o sentido anti-horário ângulo (positivo) de C para B.

Tipos de ângulos

ângulos individuais

  • Um ângulo igual a 0 ° é chamado um ângulo de zero.
  • Ângulos menores do que um ângulo direito (inferior a 90 °) são chamados ângulos agudos ( "aguda", que significa "sharp").
  • Um ângulo igual a 1 / 4 de volta (90 ° ou π / 2 radianos) é chamado um ângulo recto . Duas linhas que formam um ângulo recto são considerados normais , ortogonal , ou perpendicular .
  • Ângulos maiores do que um ângulo recto e menor do que um ângulo recto (entre 90 ° e 180 °) são chamados ângulos obtusos ( "obtuso" significando "blunt").
  • Um ângulo igual a 1 / 2 volta (180 ° ou pi radianos) é chamado um ângulo reto .
  • Ângulos maiores do que um ângulo reto mas menos do que uma vez (entre 180 ° e 360 °) são chamados ângulos de reflexo .
  • Um ângulo igual a uma volta (360 ° ou 2 pi radianos) é chamado um ângulo completo , ângulo completo , ou um perigon .
  • Ângulos que não são ângulos retos ou um múltiplo de um ângulo reto são chamados de ângulos oblíquos .

Os nomes, intervalos, e as unidades de medição são mostrados na tabela abaixo:

Aguda ( um ), obtuso ( b ), e (rectas c ) ângulos. Os ângulos agudos e obtusos também são conhecidos como ângulos oblíquos.
ângulo Reflex
Nome   zero agudo ângulo certo obtuso em linha reta reflexo perigon
Unidades Intervalo
voltas   0 (0,  1 / 4 ) 1 / 4 ( 1 / 41 / 2 ) 1 / 2 ( 1 / 2 , 1) 1
Radians 0 (0, 1 / 2 π ) 1 / 2 π ( 1 / 2 π , π ) π ( Π , 2 π ) 2 π
graus   0 ° (0, 90 °) 90 ° (90, 180) ° 180 ° (180, 360) ° 360 °
Gons   0 g (0, 100) g 100 g (100, 200) g 200 g (200, 400) g 400 g

pares ângulo de equivalência

  • Ângulos que têm a mesma medida (ou seja, a mesma magnitude) são referidos como sendo igual ou congruente . Um ângulo é definido pela sua medida e não é dependente dos comprimentos dos lados do ângulo (por exemplo, todos os ângulos rectos são iguais na medida).
  • Dois ângulos que compartilham os lados terminais, mas diferem em tamanho por um múltiplo inteiro de uma vez, são chamados ângulos coterminal .
  • Um ângulo de referência é a versão aguda de qualquer ângulo determinado por repetidamente subtraindo ou adicionando ângulo recto ( 1 / 2 por sua vez, de 180 °, ou pi radianos), para os resultados como necessário, até que a magnitude do resultado é um ângulo agudo, um valor entre 0 e 1 / 4 por sua vez, 90 °, ou pi / 2 radianos. Por exemplo, um ângulo de 30 graus tem um ângulo de referência de 30 graus, e um ângulo de 150 graus também tem um ângulo de referência de 30 graus (180-150). Um ângulo de 750 graus tem um ângulo de referência de 30 graus (750-720).

Vertical e pares de ângulo adjacentes

Ângulos A e B são um par de ângulos verticais; ângulos C e D são um par de ângulos verticais.

Quando duas linhas rectas que se intersectam num ponto, quatro ângulos são formados. Pairwise esses ângulos são nomeados de acordo com sua localização em relação ao outro.

  • Um par de ângulos opostos uns aos outros, formados por duas linhas rectas que se intersectam, que formam um "X", como forma, são chamados ângulos verticais ou ângulos opostos ou ângulos verticalmente opostos . Eles são abreviados como vert. opp. ∠s .
A igualdade de ângulos verticalmente opostos é chamado o teorema ângulo vertical . Eudemo de Rodes atribuído a prova para Tales de Mileto . A proposição mostraram que desde que ambos de um par de ângulos verticais são complementares a ambos os ângulos adjacentes, os ângulos verticais são iguais na medida. De acordo com uma nota histórica, quando Thales visitou o Egito, ele observou que sempre que os egípcios desenhou duas linhas que se cruzam, eles iriam medir os ângulos verticais para se certificar de que eles eram iguais. Thales concluiu que se poderia provar que todos os ângulos verticais são iguais quando se aceitou algumas noções gerais, tais como: todos os ângulos retos são iguais, é igual adicionado ao iguais são iguais, e é igual subtraído iguais são iguais.
Na figura, assumir a medição do ângulo A = x . Quando dois ângulos adjacentes formam uma linha recta, eles são complementares. Por conseguinte, a medição do ângulo C = 180 - x . Do mesmo modo, a medição do ângulo D = 180 - x . Ambos Ângulo C e Angle D ter medidas iguais a 180 - x e são congruentes. Desde ângulo B é complementar a dois ângulos C e D , qualquer uma destas medidas do ângulo pode ser usado para determinar a medida do ângulo B . Usando a medida de qualquer um ângulo C ou Ângulo D encontramos a medição do ângulo B = 180 - (180 - x ) = 180 - 180 + x = x . Portanto, tanto Ângulo A e ângulo B têm medidas iguais a x e são iguais na medida.
Ângulos A e B são adjacentes.
  • Ângulos adjacentes , muitas vezes abreviado como adj. ∠s , são ângulos que compartilham um vértice comum e borda, mas não compartilham todos os pontos interiores. Em outras palavras, eles são ângulos que estão lado a lado, ou adjacente, que partilham um "braço". Ângulos adjacentes que soma a um ângulo reto, ângulo reto ou o ângulo completo são especiais e são chamados respectivamente complementares , suplementares e explementary ângulos (consulte "Combinar pares ângulo" abaixo).

Um transversal é uma linha que intersecta um par de vezes (em paralelo) linhas e está associada com ângulos alternados interiores , ângulos correspondentes , ângulos internos , e os ângulos exteriores .

Combinando pares ângulo

Há três pares de ângulos especiais que envolvem o somatório de ângulos:

O complementares ângulos um e b ( b é o complemento de um , e um é o complemento de b ).
  • Ângulos complementares são pares ângulo cuja soma medidas para um ângulo recto ( 1 / 4 por sua vez, 90 °, ou pi / 2 radianos). Se os dois ângulos complementares são adjacentes seus lados não compartilhados formar um ângulo recto. Na geometria euclidiana, os dois ângulos agudos em um triângulo retângulo são complementares, porque a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus, eo próprio ângulo direito é responsável por noventa graus.
O complementar adjetivo é do latim complementum , associado ao verbo complere , "para encher". Um ângulo agudo é "preenchido" por seu complemento para formar um ângulo reto.
A diferença entre um ângulo e um ângulo direito é denominado o complemento do ângulo.
Se os ângulos A e B são complementares, as seguintes relações válidas:
(A tangente de um ângulo é igual ao co-tangente de seu complemento e sua secante é igual ao cossecante de seu complemento.)
O prefixo " co " nos nomes de alguns razões trigonométricas refere-se à palavra "complementar".
Os ângulos a e b são complementares ângulos.
  • Dois ângulos que resumem a um ângulo recto ( 1 / 2 por sua vez, de 180 °, ou π radianos) são chamados ângulos complementares .
Se os dois ângulos complementares são adjacentes (ou seja, ter um comum vértice e compartilhar apenas um lado), os seus lados não compartilhadas formar uma linha reta . Esses ângulos são chamados um par linear de ângulos . No entanto, ângulos complementares não tem que estar na mesma linha, e podem ser separados no espaço. Por exemplo, os ângulos adjacentes de um paralelogramo são complementares, e ângulos opostos de um quadrilátero cíclico (um cujos vértices caem todos em um único círculo) são complementares.
Se um ponto P é exterior a um círculo de centro O, e se as linhas tangentes de P tocar o círculo nos pontos de T e Q, em seguida, ∠TPQ e ∠TOQ são suplementares.
Os senos de ângulos complementares são iguais. Seus co-senos e tangentes (a menos indefinido) são iguais em magnitude, mas têm sinais opostos.
Na geometria euclidiana, qualquer soma dos dois ângulos de um triângulo é complementar para o terceiro, porque a soma dos ângulos internos de um triângulo é um ângulo reto.

Soma de dois explementary ângulos é um completo ângulo.
  • Dois ângulos que resumem a um ângulo completo (1 vez, de 360 °, ou 2 pi radianos) são chamados ângulos explementary ou ângulos conjugadas .
    A diferença entre um ângulo e um ângulo completo é denominado o explement do ângulo ou conjugado de um ângulo.

ângulos relacionados com polígono

ângulos internos e externos.
  • Um ângulo que é parte de um polígono simples é chamado de um ângulo interior se encontra no interior do que simples polígono. Um simples polígono côncava tem, pelo menos, um ângulo interno que é um ângulo de reflexo.
    Na geometria euclidiana , as medidas dos ângulos internos de um triângulo adicionar até ¸ radianos, 180 °, ou 1 / 2 por sua vez; as medidas dos ângulos internos de um simples convexa quadrilátero adicionar-se a 2 pi radianos, 360 °, ou uma sua vez. De um modo geral, as medidas dos ângulos internos de um convexa simples polígono com n lados adicionar-se a ( n  - 2) ¸ radianos, ou 180 ( n  - 2) graus, (2 n  - 4) perpendicularmente, ou ( n / 2  - 1) girar.
  • O suplemento de um ângulo interior é chamado um ângulo exterior , isto é, um ângulo interior e um ângulo exterior formam um par linear de ângulos . Existem dois ângulos exteriores em cada um dos vértices do polígono, cada um determinado estendendo-se por um dos dois lados do polígono, que se encontram no vértice; estes dois ângulos são ângulos verticais e, portanto, são iguais. Um ângulo exterior mede a quantidade de rotação um tem que fazer em um vértice para traçar o polígono. Se o ângulo interno correspondente é um ângulo de reflexo, o ângulo externo deve ser considerada negativa . Mesmo num polígono não-simples, pode ser possível para definir o ângulo externo, mas uma terá de escolher uma orientação do avião (ou superfície ) para decidir o sinal de medida do ângulo externo.
    Na geometria euclidiana, a soma dos ângulos exteriores de um polígono convexo simples será uma volta completa (360 °). O ângulo externo aqui poderia ser chamado de um ângulo exterior suplementar . Ângulos externos são comumente usados em Logo Turtle Geometry ao desenhar polígonos regulares.
  • Em um triângulo , as bissectrizes de dois ângulos exteriores e a bissectriz do outro ângulo interior são concorrente (se encontram em um ponto único).
  • Em um triângulo, três pontos de intersecção, cada um de uma bissectriz do ângulo externo com o oposto lado estendido , são colineares .
  • Em um triângulo, três pontos de intersecção, entre dois deles uma bissectriz do ângulo interior e o lado oposto, e a terceira entre a outra bissectriz exterior e o lado oposto estendido, são colineares.
  • Alguns autores usam o nome ângulo externo de um polígono simples para significar simplesmente o ângulo exterior explement ( não completar!) Do ângulo interior. Isso entra em conflito com o uso acima.

ângulos relacionados com avião

  • O ângulo entre dois planos (tal como duas faces adjacentes de um poliedro ) é chamado um ângulo diedro . Pode ser definido como o ângulo agudo entre duas linhas normais aos planos.
  • O ângulo entre um plano e uma linha recta que intersecta é igual a noventa graus menos o ângulo entre a linha de intersecção e a linha que passa pelo ponto de intersecção e é perpendicular ao plano.

medir ângulos

O tamanho de um ângulo geométrica é geralmente caracterizado pela magnitude da rotação menor que mapeia um dos raios para o outro. Ângulos que têm o mesmo tamanho são referidos como sendo igual ou congruente ou igual na medida .

Em alguns contextos, tais como a identificação de um ponto num círculo ou descrever a orientação de um objecto em duas dimensões em relação a uma orientação de referência, ângulos que diferem por um múltiplo exacto de um completo sua vez são efectivamente equivalentes. Noutros contextos, como a identificação de um ponto sobre uma espiral curva ou descrevendo a rotação cumulativa de um objecto em duas dimensões em relação a uma orientação de referência, ângulos que diferem por um múltiplo diferente de zero de uma volta completa não são equivalentes.

A medida do ângulo θ (em radianos) é o quociente entre s e r .

A fim de medir um ângulo θ , um arco de círculo centrado no vértice do ângulo é desenhada, por exemplo, com um par de bússolas . A relação entre o comprimento s do arco pelo raio R do círculo é a medida do ângulo em radianos .

A medida do ângulo em outra unidade angular é então obtida multiplicando a sua medida em radianos pelo factor de escala k / 2 π , onde k é a medida de uma volta completa na unidade escolhida (por exemplo 360 para graus ou 400 para grados ):

O valor de θ assim definido é independente do tamanho do círculo: se o comprimento do raio é alterado, em seguida, as mudanças de comprimento de arco, na mesma proporção, de modo que o rácio s / r é inalterado. (Prova. A fórmula acima pode ser reescrita como k = θr / s . Uma sua vez, para o qual θ = n unidades, corresponde a um arco de comprimento igual ao do círculo circunferência , que é 2 π r , então s = 2 π r . Substituindo N para θ e 2 π r para s na fórmula, resulta em k = nr / 2 π r = n / 2 π . )

Ângulo postulado disso

O postulado ângulo adição afirma que, se B é no interior de ângulo COA , depois

A medida do ângulo COA é a soma da medida do ângulo de MAA e a medida do ângulo de BOC . Neste postulado não importa em que unidade o ângulo é medido desde que cada ângulo é medido na mesma unidade.

Unidades

Unidades usadas para representar os ângulos estão listados abaixo em ordem decrescente de magnitude. Dessas unidades, o grau eo radiano são, de longe o mais comumente usado. Ângulos expressos em radianos são adimensionais, para efeitos de análise dimensional .

A maioria das unidades de medição angular são definidos de tal modo que uma vez (por exemplo, um círculo completo) é igual a n unidades, por algum número inteiro n . As duas excepções são o radiano e a parte de diâmetro.

Transformar ( n  = 1)
A sua vez , também ciclo , um círculo completo , revolução , e de rotação , é o movimento completo circular ou medida (como a retornar para o mesmo ponto) com círculo ou elipse. Uma vez é abreviado τ , CYC , rev , ou apodrecimento , dependendo da aplicação, mas na sigla rpm (rotações por minuto), apenas r é usado. Uma vez de n unidades é obtida através da criação k = 1 / 2 π na fórmula acima. A equivalência de um por sua vez, é de 360 °, 2 π rad, 400 graduado, e quatro ângulos rectos. O símbolo τ também pode ser usado como uma constante matemática para representar 2 pi radianos. Usado desta forma ( k = τ / ) permite radianos para ser expressa como uma fracção de um por sua vez. Por exemplo, metade de uma volta é τ / 2 = π .
Quadrante ( n  = 4)
O quadrante é 1 / 4 de uma vez, ou seja, um ângulo recto . É a unidade utilizada em Elementos de Euclides . Um quadrilátero. = 90 ° = π / 2  rad = 1 / 4 virada = 100 graduado. Em alemão o símbolo tem sido usado para denotar um quadrante.
Sextante ( n  = 6)
O sextante ( ângulo do triângulo equilátero ) é 1 / 6 de uma vez. Foi usada a unidade pelos babilônios , e é especialmente fácil de construir com régua e bússolas. O grau, minuto de arco e segundo de arco são sexagesimais subunidades da unidade babilônico. Uma unidade babilônico = 60 ° = π / 3 rad ≈ 1,047197551 rad.
θ = s / r Rad = 1 rad.
Radian ( n  = 2 π  = 6,283...)
O radiano é o ângulo subtendido por um arco de um círculo que tem o mesmo comprimento que o raio do círculo. O caso de radiano para a fórmula dada anteriormente, um radiano de n = 2 π unidades é obtida através da criação de k = 2 π / 2 π = 1. Uma vez é 2 pi radianos, e um radiano é 180 / π graus, ou sobre 57.2958 graus. O radiano é abreviado rad , embora este símbolo é muitas vezes omitido em textos matemáticos, onde radianos são assumidas salvo indicação em contrário. Quando radianos são ângulos usados são considerados como sem dimensão. O radiano é usado em praticamente todo o trabalho matemático para além geometria prática simples, devido, por exemplo, para o agradável e propriedades "naturais" que as funções trigonométricas mostrar quando seus argumentos são em radianos. O radiano é o (derivada) da unidade de medição angular no SI sistema.
Posição relógio ( n  = 12)
Uma posição de relógio é a direcção relativa de um objecto descrito usando a analogia de um relógio de 12 horas . Imagina-se um relógio deitado na vertical ou com plana na frente de si mesmo, e identifica as marcas doze horas com as direções nas quais eles apontam.
Ângulo horas ( n  = 24)
A astronomia ângulo horas é 1 / 24 de de uma vez. Como este sistema é passível de medição objectos que o ciclo uma vez por dia (por exemplo, a posição relativa das estrelas), as subunidades sexagesimais são chamados minutos de tempo e segundo de tempo . Estes são distintos, e 15 vezes maior do que, minutos e segundos de arco. 1 hora = 15 ° = π / 12  rad = 1 / 6  quad. = 1 / 24 de volta = 16 2 / 3   graduado.
(Bússola) ou ponto de vento ( n  = 32)
O ponto , usados na navegação , é 1 / 32 de uma vez. 1 ponto = 1 / 8 de um ângulo recto = 11,25 ° = 12,5 graduado. Cada ponto é subdividido em quatro quartas de pontos de modo que 1 vez equivale a 128 quartas-de-pontos.
Hexacontade ( n  = 60)
O hexacontade é uma unidade de 6 ° que Eratóstenes utilizado, de modo que uma volta inteira foi dividida em 60 unidades.
Pechus ( n  = 144-180)
-O pechus era um babilônico unitário igual a cerca de 2 ° ou 2 1 / 2  °.
Grau binário ( n  = 256)
O grau binário , também conhecido como o radiano binário (ou Brad ), é 1 / 256 de uma vez. O grau binário é usado na computação de modo que um ângulo pode ser eficientemente representado num único byte (embora a precisão limitada). Outras medidas de ângulo usado na computação podem basear-se em dividir uma vez, toda em 2 n partes iguais para outros valores de n .
Grau ( n  = 360)
O grau , denotada por um círculo pequeno sobrescrito (°), é 1/360 de uma volta, de modo que uma vez, é de 360 °. O caso de graus para a fórmula dada anteriormente, um grau de n = 360 ° unidades é obtida através da criação k = 360 ° / 2 π . Uma vantagem deste velho sexagesimal subunidade é que muitos ângulos comuns na geometria simples são medidos como um número inteiro de graus. Fracções de um grau pode ser escrito em notação decimal normal (por exemplo 3,5 ° C durante três e meia graus), mas o "minutos" e "segundo" subunidades sexagesimais do sistema de "grau minutos segundos" também estão em uso, especialmente por coordenadas geográficas e em astronomia e balística .
Parte de diâmetro ( n  = 376,99...)
A parte de diâmetro (ocasionalmente utilizado em matemática islâmicos) é 1 / 60 radianos. Uma "parte" de diâmetro é de cerca de 0,95493 °. Há cerca de 376,991 peças de diâmetro por turno.
Grad ( n  = 400)
O grad , também chamado grau , gradianos , ou gon , é 1 / 400 de uma vez, assim que um ângulo direito é de 100 grados. É uma subunidade decimal do quadrante. Um km foi historicamente definida como uma centi -grad de arco ao longo de um grande círculo da Terra, de modo que o km é o análogo decimal para o sexagesimal milhas náuticas. A graduação é usado principalmente em triangulação .
miliradiano
O miliradiano (mil ou mrad) é definido como um milésimo de um radiano, o que significa que uma rotação de um por sua vez é composto de 2000π mil (ou aproximadamente 6.283,185 ... mil), e quase todos os locais escopo para armas de fogo são calibrados com esta definição . Além disso, há três outras definições derivados utilizados para artilharia e de navegação, que são aproximadamente iguais a um miliradiano. Nestas três outras definições uma vez, torna-se durante exactamente 6000, 6300 ou 6400 mils, que é igual que abrangem a gama de 0,05625 a 0,06 graus (3,375 a 3,6 minutos). Em comparação, o verdadeiro miliradiano é de aproximadamente 0.05729578 ... graus (3.43775 ... minutos). Um " OTAN mil" é definido como 1 / 6400 de um círculo. Assim como com o verdadeiro miliradiano, cada uma das outras definições explora propriedade handby do mil de subtensions, ou seja, que o valor de um miliradiano aproximadamente igual ao ângulo subtendido por uma largura de 1 metro, como visto a partir de 1 km de distância ( 2 π / 6400 = 0.0009817 ... ≈ 1 / 1000 ).
Minuto de arco ( n  = 21600)
O minuto de arco (ou MOA , arcminute , ou apenas minutos ) é 1 / 60 de um grau = 1 / 21.600 vez. É denotado por um único nobre ( '). Por exemplo, 3 ° 30 'é igual a 3 x 60 + 30 = 210 minutos ou 3 +  30 / 60 = 3,5 graus. Um formato misturado com fracções decimais também é por vezes utilizado, por exemplo, 3 ° 5,72 '= 3 +  5,72 / 60 graus. Uma milha náutica foi historicamente definido como um minuto de arco ao longo de um grande círculo da Terra.
Segundo de arco ( n  = 1296000)
O segundo do arco (ou segundo de arco , ou apenas segundo ) é 1 / 60 de um minuto de arco e 1 / 3600 de um grau. Ele é indicado por um primo duplas ( "). Por exemplo, 3 ° 7 '30 "é igual a 3 + 7 / 60 + 30 / 3600 graus, ou de 3,125 graus.

ângulos positivos e negativos

Embora a definição da medição de um ângulo não suporta o conceito de um ângulo negativo, é frequentemente útil para impor uma convenção que permite valores angulares positivos e negativos para representar orientações e / ou rotações em sentidos opostos em relação a uma referência.

Numa bidimensional sistema de coordenadas cartesianas , um ângulo é tipicamente definida pelos seus dois lados, com o seu vértice na origem. O lado inicial é na positivo do eixo X , enquanto o outro lado ou lado do terminal é definido pela medida a partir do lado inicial em radianos, graus, ou curvas. Com ângulos positivos representam rotações para o positivo do eixo Y e os ângulos negativos representam rotações para o negativo y -axis. Quando as coordenadas cartesianas são representados pela posição padrão , definido pela x -axis para a direita e o y -axis para cima, as rotações são positivos no sentido contrário e as rotações são negativos no sentido horário .

Em muitos contextos, um ângulo de - θ é efetivamente equivalente a um ângulo de "um completo sua vez menos θ ". Por exemplo, uma orientação representada como -45 ° é efectivamente equivalente a uma orientação representada como 360 ° - 45 ° ou 315 °. Embora a posição final é a mesma, uma rotação física (movimento) de -45 ° não é o mesmo que uma rotação de 315 ° (por exemplo, a rotação de uma pessoa com um descanso vassoura num piso empoeirado deixaria visualmente diferentes traços de varreu regiões no chão).

Na geometria tridimensional, "dos ponteiros do relógio", e "anti-horário" não têm significado absoluto, de modo que a direcção dos ângulos positivos e negativos deve ser definido em relação a algum referência, o qual é tipicamente um vector que passa através do vértice do ângulo e perpendicular ao plano em que os raios do mentira ângulo.

Em navegação , rolamentos ou azimute são medidos em relação ao norte. Por convenção, visto de cima, ângulos de rolamento são ponteiros do relógio positivo, de modo que um rolamento de 45 ° corresponde a uma orientação norte-leste. Rolamentos negativos não são usados em navegação, assim uma orientação norte-oeste corresponde a um rolamento de 315 °.

formas alternativas de medir o tamanho de um ângulo

Existem várias alternativas para medir o tamanho de um ângulo pelo ângulo de rotação. O grau de um declive ou inclinação é igual à tangente do ângulo, ou às vezes (raramente) o sine . Um gradiente é muitas vezes expressa como uma percentagem. Para valores muito pequenos (menos de 5%), o grau de um declive é aproximadamente a medida do ângulo em radianos.

Na geometria racional da propagação entre duas linhas é definida como o quadrado do seno do ângulo entre as linhas. À medida que o seno de um ângulo e o seno do seu ângulo suplementar são os mesmos, qualquer ângulo de rotação que mapeia uma das linhas para as outras ligações para o mesmo valor para a difusão entre as linhas.

aproximações astronômicos

Astrônomos medir separação angular de objectos em graus a partir do ponto de observação.

  • 0,5 ° é aproximadamente a largura do sol ou lua.
  • 1 ° é aproximadamente a largura de um dedo mínimo à distância de um braço.
  • 10 ° é aproximadamente a largura de um punho fechado à distância de um braço.
  • 20 ° é aproximadamente a largura de um palmo no comprimento do braço.

Estas medições depende claramente do sujeito individual, e acima deve ser tratado como áspero regra de ouro apenas aproximações.

Ângulos entre as curvas

O ângulo entre as duas curvas na P é definido como o ângulo entre as tangentes A e B em P .

O ângulo entre uma linha e uma curva (ângulo misto) ou entre duas curvas de intersecção (ângulo curvilíneo) é definido como sendo o ângulo entre as tangentes no ponto de intersecção. Vários nomes (agora raramente, ou nunca, usado) foram dadas a casos particulares: - amphicyrtic (Gr. Ἀμφί , em ambos os lados, κυρτός, convexas) ou cissoidal (Gr κισσός, hera.), Lenticular; xystroidal ou sistroidal (Gr ξυστρίς, uma ferramenta de raspagem.), côncavo-convexo; amphicoelic (Gr. κοίλη, um oco) ou lunularis angulus , bicôncava.

Bisecting e triseccionar ângulos

Os antigos matemáticos gregos sabiam como bissetriz um ângulo (dividi-lo em dois ângulos de igual medida) usando apenas uma régua e compasso , mas só poderia trissecar certos ângulos. Em 1837 Pierre Wantzel mostrou que para a maioria dos ângulos esta construção não pode ser realizada.

produto escalar e generalizações

No espaço euclidiano , o ângulo θ entre dois vectores Euclidiana u e v é relacionada com o seu produto de pontos e os seus comprimentos pela fórmula

Esta fórmula fornece um método fácil de encontrar o ângulo entre dois planos (ou superfícies curvas) a partir dos seus vectores normais e entre linhas de inclinação das suas equações vector.

Produto Interno

Para definir ângulos em uma verdadeira abstrato espaço produto interno , substituímos o produto escalar euclidiana ( · ) pelo produto interno , ou seja,

Em um complexo espaço interior do produto , a expressão para o co-seno acima podem dar valores não reais, de modo que seja substituído com

ou, mais comumente, usando o valor absoluto, com

A última definição ignora a direcção dos vectores e assim descreve o ângulo entre subespaços unidimensionais e gerado pelos vectores e correspondentemente.

Ângulos entre subespaços

A definição do ângulo entre subespaços unidimensionais e dada pela

em um espaço de Hilbert podem ser estendido para subespaços de quaisquer dimensões finitas. Dado dois subespaços , com , isso leva a uma definição de ângulos chamados canônicos ou ângulos principais entre subespaços.

Ângulos em geometria Riemanniana

Na geometria Riemannianos , o tensor métrico é usado para definir o ângulo entre duas tangentes . Onde L e V são vectores tangentes e g ij são as componentes do tensor métrica L ,

ângulo hiperbólico

Um ângulo hiperbólica é um argumento de uma função hiperbólica da mesma maneira que o ângulo circular é o argumento de uma função circular . A comparação pode ser visualizado como o tamanho das aberturas de um sector hiperbólica e um sector circular uma vez que as áreas de estes sectores correspondem às grandezas angulares em cada caso. Ao contrário do ângulo circular, o ângulo hiperbólica é ilimitada. Quando as funções circulares e hiperbólicas são vistos como série infinita em seu argumento ângulo, as circulares são apenas séries alternadas formas das funções hiperbólicas. Esta tecelagem dos dois tipos de ângulo e função foi explicado por Leonhard Euler em Introdução à Análise do Infinito .

Ângulos em geografia e astronomia

Em geografia , a localização de qualquer ponto da Terra pode ser identificado através de um sistema de coordenadas geográficas . Este sistema especifica a latitude e longitude de qualquer localização em termos de ângulos subentendido no centro da Terra, usando o equador e (geralmente) o meridiano de Greenwich como referência.

Em astronomia , um dado ponto na esfera celeste (isto é, a posição aparente de um objecto astronomia) podem ser identificados utilizando qualquer um dos vários sistemas de coordenadas astronómicas , onde as referências variam de acordo com o sistema particular. Astrônomos medir a separação angular de duas estrelas imaginando duas linhas através do centro da Terra , que intersecta cada uma das estrelas. O ângulo entre as linhas pode ser medido, e é a separação angular entre as duas estrelas.

Em ambos geografia e astronomia, uma direcção de observação pode ser especificada em termos de um ângulo vertical , tais como a altitude / elevação em relação ao horizonte , bem como o azimute em relação ao norte .

Astrônomos também medir o tamanho aparente de objectos como um diâmetro angular . Por exemplo, a lua cheia tem um diâmetro angular de aproximadamente 0,5 °, quando visto da terra. Pode-se dizer, "de diâmetro da Lua subtende um ângulo de meio grau." A fórmula de pequeno ângulo pode ser usado para converter um tal medição angular em uma proporção distância / tamanho.

Veja também

Notas

Referências

Atribuição

links externos