Compactação Stone – Čech - Stone–Čech compactification

Na disciplina matemática de topologia geral , compactificação Stone – Čech (ou compactificação Čech – Stone ) é uma técnica para construir um mapa universal de um espaço topológico X para um espaço compacto de Hausdorff βX . A compactação Stone-Čech βX de um espaço topológico X é o maior e mais geral espaço compacto de Hausdorff "gerado" por X , no sentido de que qualquer mapa contínuo de X para um espaço de Hausdorff compacto é fatorado por βX (de uma maneira única). Se X é um espaço de Tychonoff, então o mapa de X para sua imagem em βX é um homeomorfismo , então X pode ser pensado como um subespaço (denso) de βX ; todo outro espaço compacto de Hausdorff que contém X densamente é um quociente de βX . Para espaços topológicos gerais X , o mapa de X a βX não precisa ser injetivo.

Uma forma do axioma de escolha é necessária para provar que todo espaço topológico tem uma compactação Stone-Čech. Mesmo para espaços X bastante simples , uma descrição concreta acessível de βX muitas vezes permanece indefinida. Em particular, provas de que βX  \  X é não vazio não dá uma descrição explícita de qualquer ponto específico no βX  \  X .

A compactação Stone-Čech ocorre implicitamente em um artigo de Andrey Nikolayevich Tychonoff  ( 1930 ) e foi dada explicitamente por Marshall Stone  ( 1937 ) e Eduard Čech  ( 1937 ).

História

Andrey Nikolayevich Tikhonov introduziu os espaços completamente regulares em 1930 para evitar a situação patológica dos espaços de Hausdorff, cujas únicas funções reais contínuas avaliadas são mapas constantes.

No mesmo artigo de 1930 em que Tychonoff definiu espaços completamente regulares, ele também provou que todo espaço de Tychonoff (isto é, espaço completamente regular de Hausdorff ) tem uma compactação de Hausdorff (neste mesmo artigo, ele também provou o teorema de Tychonoff ). Em 1937, Čech estendeu a técnica de Tychonoff e introduziu a notação β X para esta compactação. Stone também construiu β X em um artigo de 1937, embora usando um método muito diferente. Apesar do artigo de Tychonoff sendo o primeiro trabalho sobre o tema da compactification Pedra-Čech e, apesar do artigo de Tychonoff sendo referenciado por ambos Stone e Čech, o nome de Tychonoff raramente é associado com β X .

Propriedade universal e funcionalidade

A compactação Stone – Čech do espaço topológico X é um espaço de Hausdorff compacto βX junto com um mapa contínuo i _X  : X → βX que tem a seguinte propriedade universal : qualquer mapa contínuo f  : X → K , onde K é um espaço de Hausdorff compacto , estende-se exclusivamente a um mapa contínuo βf  : βX → K , ou seja, ( βf ) i _X = f .

Como é usual para propriedades universais, esta propriedade universal caracteriza βX até o homeomorfismo .

Como é descrito no § Construções , abaixo, pode-se provar (usando o axioma da escolha) que uma tal pedra de Cech compactificaç~ao i _X  : X → βX existe para cada espaço topológico X . Além disso, a imagem i _X ( X ) é densa em βX .

Alguns autores acrescentam a suposição de que o espaço inicial X seja Tychonoff (ou mesmo localmente compacto de Hausdorff), pelas seguintes razões:

• O mapa de X para sua imagem em βX é um homeomorfismo se e somente se X for Tychonoff.
• O mapa de X para sua imagem em βX é um homeomorfismo para um subespaço aberto se e somente se X for localmente compacto de Hausdorff.

A construção Stone – Čech pode ser realizada para espaços mais gerais X , mas nesse caso o mapa X → βX não precisa ser um homeomorfismo para a imagem de X (e às vezes nem mesmo é injetivo).

Como é usual para construções universais como essa, a propriedade de extensão torna β um functor de Top (a categoria dos espaços topológicos ) para CHaus (a categoria dos espaços compactos de Hausdorff). Além disso, se deixarmos U ser o functor de inclusão de CHaus em Top , os mapas de βX a K (para K em CHaus ) correspondem bijetivamente aos mapas de X a UK (considerando sua restrição a X e usando a propriedade universal de βX ). ie

Hom ( βX , K ) ≅ Hom ( X , UK ),

o que significa que β é deixado adjunta para L . Isso implica que CHaus é uma subcategoria reflexiva de Top com refletor β .

Exemplos

Se X é um espaço compacto de Hausdorff, então ele coincide com sua compactação Stone-Čech. A maioria das outras compactações Stone-Čech carecem de descrições concretas e são extremamente pesadas. As exceções incluem:

A compactação Stone-Čech do primeiro ordinal incontável , com a topologia de ordem , é o ordinal . A compactação Stone – Čech da prancha Tychonoff excluída é a prancha Tychonoff. ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {1} +1}$

Construções

Construção usando produtos

Uma tentativa de construir a compactação Stone-Čech de X é tirar o fechamento da imagem de X em

${\ displaystyle \ prod \ nolimits _ {f: X \ to K} K}$

onde o produto é sobre todos os mapas de X para compactar espaços de Hausdorff K . De acordo com o teorema de Tychonoff, este produto de espaços compactos é compacto, e o fechamento de X neste espaço é, portanto, também compacto. Isso funciona intuitivamente, mas falha pelo motivo técnico de que a coleção de todos esses mapas é uma classe adequada, e não um conjunto. Existem várias maneiras de modificar essa ideia para fazê-la funcionar; por exemplo, pode-se restringir os espaços compactos de Hausdorff K para ter o conjunto subjacente P ( P ( X )) (o conjunto de potência do conjunto de potência de X ), que é suficientemente grande para ter cardinalidade pelo menos igual à de cada compacto Espaço de Hausdorff para o qual X pode ser mapeado com imagem densa.

Construção usando o intervalo de unidade

Uma maneira de construir βX é deixar C ser o conjunto de todas as funções contínuas de X em [0, 1] e considerar o mapa onde ${\ displaystyle e: X \ to [0,1] ^ {C}}$

${\ displaystyle e (x): f \ mapsto f (x)}$

Este pode ser visto como um mapa contínuo em sua imagem, se [0, 1] ^C for dada a topologia do produto . Pelo teorema de Tychonoff temos que [0, 1] ^C é compacto já que [0, 1] é. Consequentemente, o fecho de X no intervalo [0, 1] ^C é um compactificaç~ao de X .

Na verdade, esse fechamento é a compactação Stone-Čech. Para verificar isso, precisamos apenas verificar se o fechamento satisfaz a propriedade universal apropriada. Fazemos este primeiro para K = [0, 1], em que a extensão desejada de f  : X → [0, 1] é apenas a projecção para o f coordenar no intervalo [0, 1] ^C . A fim de obter isso para o compacto geral Hausdorff K , usamos o acima para notar que K pode ser embutido em algum cubo, estender cada uma das funções de coordenadas e, em seguida, obter o produto dessas extensões.

A propriedade especial do intervalo de unidade necessário para esta construção ao trabalho é que ele é um co-gerador da categoria de espaços compactos de Hausdorff: isto significa que, se A e B são espaços compactos de Hausdorff, e f e g são mapas distintos de A para B , então há um mapa h  : B → [0, 1] tal que hf e hg são distintos. Qualquer outro cogerador (ou conjunto de cogeração) pode ser usado nesta construção.

Construção usando ultrafiltros

Alternativamente, se é discreto , então é possível construir como o conjunto de todos os ultrafiltros em com os elementos de correspondentes aos principais ultrafiltros . A topologia no conjunto de ultrafiltros, conhecida como${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ beta X}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X}$ Topologia de pedra , é gerada por conjuntos do formulárioparaum subconjunto de${\ displaystyle \ {F: U \ in F \}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X.}$

Novamente verificamos a propriedade universal: Pois com Hausdorff compacto e um ultrafiltro em nós temos uma base de ultrafiltro no pushforward de. Isso tem um limite único porque é Hausdorff compacto, digamos e nós definimos Isso pode ser verificado como uma extensão contínua de${\ displaystyle f: X \ a K}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f (F)}$${\ displaystyle K,}$${\ displaystyle F.}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle x,}$${\ displaystyle \ beta f (F) = x.}$${\ displaystyle f.}$

Equivalentemente, pode-se tomar o espaço Stone da álgebra booleana completa de todos os subconjuntos de como compactação Stone – Čech. Esta é realmente a mesma construção, já que o espaço Stone desta álgebra booleana é o conjunto de ultrafiltros (ou ideais primos equivalentes , ou homomorfismos para a álgebra booleana de 2 elementos) da álgebra booleana, que é o mesmo que o conjunto de ultrafiltros em${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$

A construção pode ser generalizada para espaços de Tychonoff arbitrários usando filtros máximos de conjuntos de zero em vez de ultrafiltros. (Filtros de conjuntos fechados são suficientes se o espaço for normal .)

Construção usando álgebras C *

A compactificação Stone – Čech é naturalmente homeomórfica ao espectro de C _b ( X ). Aqui C _b ( X ) denota a C * -álgebra de todas as funções de valor complexo limitadas contínuas em X com sup-norm. Observe que C _b ( X ) é canonicamente isomórfico à álgebra do multiplicador de C ₀ ( X ).

A compactação Stone-Čech dos números naturais

No caso em que X é localmente compacto , por exemplo, N ou R , a imagem de X forma um subconjunto aberto de βX , ou mesmo de qualquer compactação, (esta também é uma condição necessária, pois um subconjunto aberto de um espaço de Hausdorff compacto está localmente compactar). Neste caso, um muitas vezes estuda o restante do espaço, βX  \  X . Este é um subconjunto fechado de βX e, portanto, é compacto. Consideramos N com sua topologia discreta e escrevemos β N  \  N = N * (mas isso não parece ser a notação padrão para X geral ).

Tal como explicado acima, pode-se ver β N como o conjunto de ultrafiltros em N , com a topologia gerados por conjuntos da forma de L de um subconjunto de N . O conjunto N corresponde ao conjunto dos ultrafiltros principais e o conjunto N * ao conjunto dos ultrafiltros livres . ${\ displaystyle \ {F: U \ in F \}}$

O estudo de β N , e em particular N *, é uma área importante da topologia moderna da teoria dos conjuntos . Os principais resultados que motivam isso são os teoremas de Parovicenko , caracterizando essencialmente seu comportamento sob o pressuposto da hipótese do contínuo .

Estes estados:

• Cada espaço compacto de Hausdorff de peso no máximo (ver número de Aleph ) é a imagem contínua de N * (isso não precisa da hipótese do contínuo, mas é menos interessante em sua ausência).${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$
• Se a hipótese do contínuo for válida, então N * é o único espaço de Parovicenko , até o isomorfismo.

Isso foi provado originalmente considerando álgebras booleanas e aplicando a dualidade de Stone .

Jan van Mill descreveu β N como um "monstro de três cabeças" - as três cabeças sendo uma cabeça sorridente e amigável (o comportamento sob a hipótese da hipótese do continuum), a cabeça feia da independência que constantemente tenta confundi-lo (determinando o que o comportamento é possível em diferentes modelos da teoria dos conjuntos), e a terceira cabeça é a menor de todas (o que você pode provar sobre isso no ZFC ). Foi relativamente recentemente observado que esta caracterização não está muito certa - há de fato uma quarta cabeça de β N , em que axiomas forçados e axiomas do tipo Ramsey dão propriedades de β N quase diametralmente opostas àquelas sob a hipótese do contínuo, dando muito poucos mapas de N * de fato. Exemplos desses axiomas incluem a combinação do axioma de Martin e do axioma de coloração aberta que, por exemplo, prova que ( N *) ² ≠ N *, enquanto a hipótese do contínuo implica o oposto.

Uma aplicação: o espaço dual do espaço de sequências limitadas de reais

A compactificação de Stone-Čech β N pode ser usada para caracterizar (o espaço de Banach de todas as sequências limitadas no campo escalar R ou C , com norma supremo ) e seu espaço dual . ${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty} (\ mathbf {N})}$

Dada uma sequência limitada , existe uma bola fechada B no campo escalar que contém a imagem de a . um é então uma função de N de B . Como N é discreto e B é compacto e Hausdorff, a é contínuo. De acordo com a propriedade universal, existe uma extensão única pA  : β N → B . Esta extensão não depende da bola B que consideramos. ${\ displaystyle a \ in \ ell ^ {\ infty} (\ mathbf {N})}$

Nós definimos um mapa de extensão a partir do espaço de sequências de valor escalares limitadas ao espaço de funções contínuas sobre β N .

${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty} (\ mathbf {N}) \ para C (\ beta \ mathbf {N})}$

Este mapa é bijetivo, uma vez que todas as funções em C ( β N ) devem ser limitadas e podem então ser restritas a uma sequência escalar limitada.

Se considerarmos ainda os dois espaços com a norma sup, o mapa de extensão torna-se uma isometria. De fato, se na construção acima pegarmos a menor bola B possível , vemos que a norma sup da sequência estendida não cresce (embora a imagem da função estendida possa ser maior).

Assim, pode ser identificado com C ( β N ). Isso nos permite usar o teorema de representação de Riesz e achar que o espaço dual de pode ser identificado com o espaço da finitos medidas Borel sobre β N . ${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty} (\ mathbf {N})}$${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty} (\ mathbf {N})}$

Finalmente, deve ser notado que esta técnica se generaliza para o L ^∞ espaço de uma arbitrária espaço medida X . No entanto, ao invés de simplesmente considerar o espaço βX dos ultrafiltros em X , a maneira certa de generalizar esta construção é considerar o espaço de Pedra Y da álgebra de medida de X : os espaços C ( Y ) e L ^∞ ( X ) são isomórficos como C * -álgebras, desde que X satisfaça uma condição de finitude razoável (que qualquer conjunto de medidas positivas contenha um subconjunto de medidas positivas finitas).

Uma operação monóide na compactação Stone – Čech dos naturais

Os números naturais formam um monóide sob adição . Acontece que esta operação pode ser estendida (geralmente em mais de uma maneira, mas exclusivamente sob uma outra condição) para β N , tornando este espaço também um monóide, embora surpreendentemente não comutativo.

Para qualquer subconjunto, A , de N e um inteiro positivo n em N , definimos

${\ displaystyle An = \ {k \ in \ mathbf {N} \ mid k + n \ in A \}.}$

Dados dois ultrafiltros F e G em N , definimos sua soma por

${\ displaystyle F + G = {\ Big \ {} A \ subseteq \ mathbf {N} \ mid \ {n \ in \ mathbf {N} \ mid An \ in F \} \ in G {\ Big \}} ;}$

pode-se verificar que este é novamente um ultrafiltro, e que a operação + é associativa (mas não comutativa) em β N e estende a adição em N ; 0 serve como um elemento neutro para a operação + em β N . A operação também é contínua à direita, no sentido de que para cada ultrafiltro F , o mapa

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ beta \ mathbf {N} \ to \ beta \ mathbf {N} \\ G \ mapsto F + G \ end {cases}}}$

é contínuo.

Mais geralmente, se S é um semigrupo com a topologia discreta, a operação de S pode ser estendida para βS , obtendo uma operação associativa contínua à direita.

Veja também

• Compactificação (matemática)  - Incorporação de um espaço topológico em um espaço compacto como um subconjunto denso
• Conjunto corona de um espaço, complemento da sua imagem na compactação Stone – Čech.
• Filtros na topologia  - Uso de filtros para descrever e caracterizar todas as noções e resultados topológicos básicos.
• Compactação de um ponto
• Compactificação de Wallman

Notas

Referências

• Čech, Eduard (1937), "On bicompact spaces", Annals of Mathematics , 38 (4): 823–844, doi : 10.2307 / 1968839 , hdl : 10338.dmlcz / 100420 , JSTOR  1968839
• Dunford, Nelson ; Schwarz, Jacob T. (1988). Operadores lineares parte I: teoria geral (Wiley Classics ed.). John Wiley & Sons. p. 276.
• Hindman, Neil; Strauss, Dona (1998), Algebra in the Stone – Cech compactification. Theory and applications , de Gruyter Expositions in Mathematics, 27 (2ª edição revisada e estendida de 2012), Berlin: Walter de Gruyter & Co., pp. Xiv + 485 pp, doi : 10.1515 / 9783110809220 , ISBN 978-3-11-015420-7, MR  1642231
• Koshevnikova, IG (2001) [1994], "Stone-Čech compactification" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espaços vetoriais topológicos . Matemática pura e aplicada (segunda edição). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Shields, Allen (1987), "Years ago", Mathematical Intelligencer , 9 (2): 61–63, doi : 10.1007 / BF03025901 , S2CID  189886579
• Stone, Marshall H. (1937), "Applications of the theory of Boolean rings to general topology", Transactions of the American Mathematical Society , 41 (3): 375–481, doi : 10.2307 / 1989788 , JSTOR  1989788
• Tychonoff, Andrey (1930), "Über die topologische Erweiterung von Räumen", Mathematische Annalen , 102 : 544–561, doi : 10.1007 / BF01782364 , ISSN  0025-5831 , S2CID  124737286

links externos

• Stone-Čech Compactification no Planet Math
• Dror Bar-Natan, Ultrafiltros, Compacidade e compactação Stone-Čech