Até - Up to

Topo: Em um conjunto de vértices hexagonais , há 20 partições que possuem um subconjunto de três elementos (verde) e três subconjuntos de um único elemento (sem cor). Parte inferior: Destas, existem 4 partições até a rotação e 3 partições até a rotação e reflexão.

Dois matemáticos objetos um e b são chamados de igual até uma relação de equivalência R

  • se a e b são relacionados por R , isto é,
  • se aRb for mantido , isto é,
  • se as classes de equivalência de um e b com respeito a R são iguais.

Esta figura de linguagem é usada principalmente em conexão com expressões derivadas de igualdade, como unicidade ou contagem. Por exemplo, x é -se única para R significa que todos os objetos x em consideração estão na mesma classe de equivalência no que diz respeito à relação R .

Além disso, a relação de equivalência R é frequentemente designada de forma bastante implícita por uma condição geradora ou transformação. Por exemplo, a declaração "a fatoração de um número inteiro é única até a ordem" é uma maneira concisa de dizer que quaisquer duas listas de fatores primos de um determinado número são equivalentes em relação à relação R que relaciona duas listas, se uma puder ser obtida reordenando ( permutação ) do outro. Como outro exemplo, a afirmação "a solução para uma integral indefinida é sin ( x ), até a adição de uma constante" tacitamente emprega a relação de equivalência R entre funções, definida por fRg se f - g é uma função constante, e significa que a solução e a função sin ( x ) são iguais até este R . Na figura, "há 4 partições até a rotação" significa que o conjunto P tem 4 classes de equivalência em relação a R definido por aRb se b puder ser obtido a partir de a por rotação; um representante de cada classe é mostrado na parte inferior esquerda da imagem.

As relações de equivalência são freqüentemente usadas para ignorar possíveis diferenças de objetos, então "até R " pode ser entendido informalmente como "ignorar as mesmas sutilezas que R faz". No exemplo de fatoração, "até o pedido" significa "ignorando o pedido específico".

Outros exemplos incluem "até isomorfismo", "até permutações" e "até rotações", que são descritos na seção de Exemplos .

Em contextos informais, os matemáticos costumam usar a palavra módulo (ou simplesmente "mod") para fins semelhantes, como em "isomorfismo de módulo".

Exemplos

Tetris

Peças de Tetris I, J, L, O, S, T, Z

Um exemplo simples é "há sete tetrominós refletores , até rotações", que faz referência aos sete possíveis arranjos contíguos de tetrominós (coleções de quatro quadrados unitários dispostos para se conectar em pelo menos um lado) e que são freqüentemente considerados como os sete peças de Tetris (O, I, L, J, T, S, Z). Também se poderia dizer “há cinco tetrominós, até reflexos e rotações”, o que levaria então em consideração a perspectiva de que L e J (assim como S e Z) podem ser pensados ​​como a mesma peça quando refletidos. O jogo Tetris não permite reflexos, então a primeira afirmação provavelmente parecerá mais relevante.

Para adicionar a contagem exaustiva, não há notação formal para o número de peças de tetrominós. No entanto, é comum escrever que "há sete tetrominós refletores (= 19 no total) até rotações". Aqui, Tetris fornece um excelente exemplo, já que se pode simplesmente contar 7 peças x 4 rotações como 28, mas algumas peças (como 2 x 2 O) obviamente têm menos de quatro estados de rotação.

Oito rainhas

Uma solução para o problema das oito rainhas

No quebra-cabeça das oito rainhas , se as oito rainhas forem consideradas distintas, então existem 3709440 soluções distintas. Normalmente, no entanto, as rainhas são considerados idênticos, e um geralmente diz que "há 92 ( ) soluções únicas de até permutações das rainhas", ou que "há 92 soluções mod os nomes das rainhas", significando que dois arranjos diferentes das rainhas são considerados equivalentes se as rainhas foram trocadas, mas as mesmas casas no tabuleiro de xadrez são ocupadas por elas.

Se, além de tratar as rainhas como idênticas, fossem permitidas rotações e reflexos do tabuleiro, teríamos apenas 12 soluções distintas até a simetria e a nomeação das rainhas , significando que dois arranjos simétricos entre si são considerados equivalentes (para mais informações, veja o quebra-cabeça das oito rainhas § Soluções ).

Polígonos

O n -gon regular , para determinado n , é único até a similaridade . Em outras palavras, se todos os n -gonos semelhantes forem considerados instâncias do mesmo n -gon, então haverá apenas um n -gon regular .

Teoria do grupo

Na teoria dos grupos , pode-se ter um grupo G agindo em um conjunto X ; nesse caso, pode-se dizer que dois elementos de X são equivalentes "até a ação do grupo" - se eles estiverem na mesma órbita .

Outro exemplo típico é a afirmação de que "existem dois grupos diferentes de ordem 4 até isomorfismo ", ou " isomorfismo módulo , existem dois grupos de ordem 4". Isso significa que há duas classes de equivalência de grupos de ordem 4 - supondo que se considere os grupos equivalentes se eles forem isomórficos .

Análise fora do padrão

Um hiperreal x e sua parte padrão st ( x ) são iguais até uma diferença infinitesimal .

Ciência da Computação

Em ciência da computação, o termo técnicas up-to é uma noção precisamente definida que se refere a certas técnicas de prova para bissimulação (fraca) e para relacionar processos que só se comportam de maneira semelhante até etapas não observáveis.

Veja também

Referências

  1. ^ Nekovář, janeiro (2011). "Inglês matemático (um breve resumo)" (PDF) . Institut de mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche . Página visitada em 2019-11-21 .
  2. ^ a b "O glossário definitivo do jargão matemático superior - até" . Math Vault . 01/08/2019 . Página visitada em 2019-11-21 .
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Tetromino" . mathworld.wolfram.com . Página visitada em 2019-11-21 .
  4. ^ Damien Pous, técnicas up-to para o bisimulation fraco , Proc. 32º ICALP, Lecture Notes in Computer Science , vol. 3580, Springer Verlag (2005), pp. 730-741

Leitura adicional