Topologia do produto - Product topology

Em topologia e áreas relacionadas da matemática , um espaço de produto é o produto cartesiano de uma família de espaços topológicos equipados com uma topologia natural chamada topologia de produto . Essa topologia difere de outra topologia, talvez mais óbvia, chamada topologia de caixa , que também pode ser atribuída a um espaço de produto e que concorda com a topologia do produto quando o produto ocupa apenas um número finito de espaços. No entanto, a topologia do produto é "correta" porque torna o espaço do produto um produto categórico de seus fatores, enquanto a topologia da caixa é muito fina ; nesse sentido, a topologia do produto é a topologia natural do produto cartesiano.

Definição

Em todo o tempo, haverá algum conjunto de índices não vazio e para cada índice haverá um espaço topológico . Deixar ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle i \ in I,}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$

${\ displaystyle X: = \ prod _ {i \ in I} X_ {i}}$

ser o produto cartesiano dos conjuntos e denotar as projeções canônicas por A topologia do produto , às vezes chamada de topologia Tychonoff , em é definida como a topologia mais grosseira (ou seja, a topologia com o menor número de conjuntos abertos) para a qual todas as projeções são contínuas . O produto cartesiano dotado da topologia do produto é chamado de espaço do produto . A topologia do produto também é chamada de topologia de convergência pontual devido ao seguinte fato: uma sequência (ou rede ) em converge se e somente se todas as suas projeções para os espaços convergem. Em particular, se considerarmos que o espaço de todas as funções de valor real na convergência na topologia do produto é o mesmo que a convergência pontual de funções. ${\ displaystyle X_ {i},}$${\ displaystyle p_ {i}: X \ a X_ {i}.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle X: = \ prod _ {i \ in I} X_ {i}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {I}}$${\ displaystyle I,}$

Os conjuntos abertos na topologia do produto são uniões (finitos ou infinitos) de conjuntos da forma onde cada um é aberto em e apenas para muitos finitos Em particular, para um produto finito (em particular, para o produto de dois espaços topológicos), o conjunto de todos os produtos cartesianos entre um elemento de base de cada um fornece uma base para a topologia do produto de Ou seja, para um produto finito, o conjunto de todos onde é um elemento da base (escolhida) de é uma base para a topologia do produto de${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} U_ {i},}$${\ displaystyle U_ {i}}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle U_ {i} \ neq X_ {i}}$${\ displaystyle i.}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} X_ {i}.}$${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} U_ {i},}$${\ displaystyle U_ {i}}$${\ displaystyle X_ {i},}$${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} X_ {i}.}$

A topologia do produto é a topologia gerada por conjuntos do formulário onde e é um subconjunto aberto de Em outras palavras, os conjuntos ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p_ {i} ^ {- 1} \ left (U_ {i} \ right),}$${\ displaystyle i \ in I}$${\ displaystyle U_ {i}}$${\ displaystyle X_ {i}.}$

${\ displaystyle \ left \ {p_ {i} ^ {- 1} \ left (U_ {i} \ right) ~: ~ i \ in I {\ text {e}} U_ {i} \ subseteq X_ {i} {\ text {está aberto em}} X_ {i} \ right \}}$

forma uma subbase para a topologia em Um subconjunto de é aberto se e somente se for uma união (possivelmente infinita) de interseções de muitos conjuntos finitos da forma. As vezes são chamados de cilindros abertos e suas interseções são conjuntos de cilindros . ${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p_ {i} ^ {- 1} \ left (U_ {i} \ right).}$${\ displaystyle p_ {i} ^ {- 1} \ left (U_ {i} \ right)}$

O produto das topologias de cada uma forma uma base para o que é chamado de topologia de caixa em. Em geral, a topologia de caixa é mais precisa do que a topologia de produto, mas para produtos finitos eles coincidem. ${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle X.}$

Exemplos

Se a linha real for dotada de sua topologia padrão, então a topologia do produto no produto de cópias da topologia euclidiana comum em${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

O conjunto de Cantor é homeomórfico ao produto de muitas cópias contáveis do espaço discreto e o espaço dos números irracionais é homeomórfico ao produto de muitas cópias contáveis ​​dos números naturais , onde novamente cada cópia carrega a topologia discreta. ${\ displaystyle \ {0,1 \}}$

Vários exemplos adicionais são fornecidos no artigo sobre a topologia inicial .

Propriedades

O espaço do produto juntamente com as projeções canônicas, pode ser caracterizado pela seguinte propriedade universal : Se for um espaço topológico, e para todo for um mapa contínuo, então existe precisamente um mapa contínuo tal que para cada um o seguinte diagrama comuta : ${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle i \ in I,}$ ${\ displaystyle f_ {i}: Y \ a X_ {i}}$${\ displaystyle f: Y \ to X}$${\ displaystyle i \ in I}$

Isso mostra que o espaço do produto é um produto na categoria de espaços topológicos . Conclui-se da propriedade universal acima que um mapa é contínuo se, e somente se, for contínuo para todos. Em muitos casos, é mais fácil verificar se as funções do componente são contínuas. Verificar se um mapa é contínuo geralmente é mais difícil; tenta-se usar o fato de que são contínuos de alguma forma. ${\ displaystyle f: Y \ to X}$ ${\ displaystyle f_ {i} = p_ {i} \ circ f}$${\ displaystyle i \ in I.}$${\ displaystyle f_ {i}}$${\ displaystyle f: Y \ to X}$${\ displaystyle p_ {i}}$

Além de contínuas, as projeções canônicas são mapas abertos . Isso significa que qualquer subconjunto aberto do espaço do produto permanece aberto quando projetado para baixo. O inverso não é verdade: se é um sub - espaço do espaço do produto cujas projeções para baixo para todos estão abertas, então não precisa ser aberto em (considere, por exemplo ) As projeções canônicas geralmente não são mapas fechados (considere, por exemplo, o conjunto fechado cujas projeções em ambos os eixos são ). ${\ displaystyle p_ {i}: X \ a X_ {i}}$${\ displaystyle X_ {i}.}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle W = \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus (0,1) ^ {2}.}$${\ displaystyle \ left \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}: xy = 1 \ right \},}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}}$

Suponha que seja um produto de subconjuntos arbitrários, onde para cada Se todos forem não vazios, então será um subconjunto fechado do espaço do produto se e somente se cada for um subconjunto fechado de Mais geralmente, o fechamento do produto de subconjuntos arbitrários no produto o espaço é igual ao produto dos fechos: ${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} S_ {i}}$${\ displaystyle S_ {i} \ subseteq X_ {i}}$${\ displaystyle i \ in I.}$${\ displaystyle S_ {i}}$${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} S_ {i}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S_ {i}}$${\ displaystyle X_ {i}.}$${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} S_ {i}}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ operatorname {Cl} _ {X} \ left (\ prod _ {i \ in I} S_ {i} \ right) = \ prod _ {i \ in I} \ left (\ operatorname {Cl} _ {X_ {i}} S_ {i} \ right).}$

Qualquer produto dos espaços de Hausdorff é novamente um espaço de Hausdorff.

O teorema de Tychonoff , que é equivalente ao axioma da escolha , afirma que qualquer produto de espaços compactos é um espaço compacto. Uma especialização do teorema de Tychonoff que requer apenas o lema do ultrafiltro (e não a força total do axioma de escolha) afirma que qualquer produto de espaços compactos de Hausdorff é um espaço compacto.

Se for fixo, então o conjunto ${\ displaystyle z = \ left (z_ {i} \ right) _ {i \ in I} \ in X}$

${\ displaystyle \ left \ {x = \ left (x_ {i} \ right) _ {i \ in I} \ in X \ dois pontos x_ {i} = z_ {i} {\ text {para todos, exceto no máximo finitamente muitos}} i \ right \}}$

é um subconjunto denso do espaço do produto . ${\ displaystyle X}$

Relação com outras noções topológicas

Separação

• Cada produto de T ₀ espaços é T ₀
• Cada produto de T ₁ espaços é T ₁
• Cada produto dos espaços Hausdorff é Hausdorff
• Cada produto de espaços regulares é regular
• Cada produto dos espaços Tychonoff é Tychonoff
• Um produto de espaços normais não precisa ser normal

Compacidade

• Cada produto de espaços compactos é compacto ( teorema de Tychonoff )
• Um produto de espaços localmente compactos não precisa ser localmente compacto. No entanto, um produto arbitrário de espaços localmente compactos onde todos mas finitamente muitos são compactos é localmente compacto (Esta condição é suficiente e necessário).

Conectividade

• Cada produto de contacto (resp. Conectado-path) espaços está conectado (resp. Caminho-conectado)
• Cada produto de espaços hereditariamente desconectados é hereditariamente desconectado.

Espaços métricos

• Produtos contáveis ​​de espaços métricos são espaços metrizáveis

Axioma de escolha

Uma das muitas maneiras de expressar o axioma da escolha é dizer que ele é equivalente à afirmação de que o produto cartesiano de uma coleção de conjuntos não vazios é não vazio. A prova de que isso é equivalente ao enunciado do axioma em termos de funções de escolha é imediata: basta escolher um elemento de cada conjunto para encontrar um representante no produto. Por outro lado, um representante do produto é um conjunto que contém exatamente um elemento de cada componente.

O axioma da escolha ocorre novamente no estudo de espaços de produtos (topológicos); por exemplo, o teorema de Tychonoff sobre conjuntos compactos é um exemplo mais complexo e sutil de uma declaração que requer o axioma de escolha e é equivalente a ele em sua formulação mais geral, e mostra por que a topologia do produto pode ser considerada a topologia mais útil para colocar em um produto cartesiano.

Veja também

• União disjunta (topologia)
• Topologia final  - melhor topologia tornando algumas funções contínuas
• Topologia inicial  - topologia mais grosseira que torna certas funções contínuas - às vezes chamada de topologia de limite projetivo
• Limite inverso
• Convergência pontual  - noção de convergência em matemática
• Espaço quociente (topologia)
• Subespaço (topologia)
• Topologia fraca  - Topologia onde a convergência de pontos é definida pela convergência de sua imagem sob funcionais lineares contínuos

Notas

Referências

• Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Topologia geral: capítulos 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129 .
• Willard, Stephen (1970). Topologia geral . Reading, Mass .: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0486434796. Página visitada em 13 de fevereiro de 2013 .