Axioma da escolha - Axiom of choice


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Ilustração do axioma de escolha, com cada S i e x i representada como um frasco e um mármore colorido, respectivamente
(S i ) é um infinito família de conjuntos indexadas através da números reais R ; ou seja, há um conjunto S de i para cada número real i , com uma pequena amostra mostrado acima. Cada conjunto contém pelo menos um e possivelmente infinitos, elementos. O axioma da escolha permite seleccionar arbitrariamente um único elemento de cada conjunto, formando uma família correspondente de elementos ( x i ) também indexados ao longo dos números reais, com x i desenhada de S i . Em geral, as coleções podem ser indexados sobre qualquer conjunto I , não apenas R .

Em matemática , o axioma da escolha , ou AC , é um axioma da teoria dos conjuntos equivalente à afirmação de que o produto cartesiano de uma colecção de conjuntos não vazios não é vazio . Informalmente colocado, o axioma da escolha afirma que dado qualquer coleção de caixas, cada uma contendo pelo menos um objeto, é possível fazer uma seleção de exatamente um objeto de cada bin, mesmo que a coleção é infinito . Formalmente, ele afirma que para cada família indexada de nonempty define existe uma família indexada de elementos de tal forma que para cada . O axioma de escolha foi formulada em 1904 por Ernst Zermelo para formalizar a sua prova do teorema bem-ordenação .

Em muitos casos, uma seleção pode ser feita sem invocar o axioma da escolha; este é em particular o caso se o número de conjuntos é finito, ou se uma regra de seleção está disponível - alguma propriedade distintiva que acontece para conter exatamente um elemento em cada set. Um exemplo ilustrativo é conjuntos escolhidos a partir dos números naturais. A partir de tais conjuntos, um pode sempre escolher o menor número, por exemplo em {{4,5,6}, {10,12}, {1,400,617,8000}} os elementos menores são {4, 10, 1}. Neste caso "selecione o menor número" é uma função de escolha . Mesmo se infinitamente muitos conjuntos foram coletados a partir dos números naturais, será sempre possível escolher o menor elemento de cada conjunto para produzir um conjunto. Ou seja, a função de escolha fornece o conjunto de elementos escolhidos. No entanto, nenhuma função de escolha é conhecida pela coleção de todos os subconjuntos não vazios dos números reais (se existem reais não constructible ). Nesse caso, o axioma da escolha deve ser invocado.

Russell cunhado uma analogia: para qualquer recolha (até infinito) de pares de sapatos, pode-se escolher o sapato esquerdo de cada par para se obter uma selecção adequada; isso torna possível definir diretamente uma função de escolha. Para uma infinita coleção de pares de meias (que se assume não têm características distintivas), não há nenhuma maneira óbvia de fazer uma função que seleciona uma meia de cada par, sem invocar o axioma da escolha.

Embora originalmente controverso, o axioma da escolha é agora utilizada sem reservas pela maioria dos matemáticos, e está incluído no formulário padrão da teoria dos conjuntos axiomática , Zermelo-Fraenkel com o axioma de escolha ( ZFC ). Uma motivação para este uso é que uma série de resultados matemáticos geralmente aceitos, como o teorema de Tychonoff , exigem o axioma de escolha para as suas provas. Conjunto de teóricos contemporâneos também estudam axiomas que não são compatíveis com o axioma da escolha, como o axioma de determinação . O axioma da escolha é evitado em algumas variedades de matemática construtivas , embora haja variedades de matemática construtivas em que o axioma da escolha é abraçada.

Declaração

Uma função de escolha é uma função de f , definido de uma colecção de X dos conjuntos não vazios, tais que, para cada conjunto Um em X , f ( A ) é um elemento de um . Com este conceito, o axioma pode ser indicado:

Axiom  -  Para qualquer conjunto X de conjuntos não vazios, existe uma função de escolha f definido em X .

Formalmente, este pode ser expresso como se segue:

Assim, a negação do axioma da escolha afirma que existe uma coleção de conjuntos não vazios que não tem função de escolha.

Cada função de escolha em um conjunto X de conjuntos não vazios é um elemento do produto cartesiano dos conjuntos em X . Esta não é a situação mais geral de um produto cartesiano de uma família de conjuntos, em que um determinado conjunto pode ocorrer mais de uma vez como um fator; no entanto, pode-se concentrar em elementos de um tal produto que seleccionam o mesmo elemento de cada vez que um dado conjunto aparece como o factor, e tais elementos correspondem a um elemento do produto cartesiano de todos os distintos conjuntos na família. O axioma da escolha afirma a existência de tais elementos; é, portanto, equivalente a:

Dado qualquer família de conjuntos não vazios, seu produto cartesiano é um conjunto não-vazio.

Nomenclatura ZF, AC, e ZFC

Neste artigo e outras discussões sobre o axioma da escolha as seguintes abreviaturas são comuns:

  • AC - o axioma da escolha.
  • ZF - Zermelo-Fraenkel omitindo o axioma da escolha.
  • ZFC - Zermelo-Fraenkel, estendido para incluir o axioma da escolha.

variantes

Há muitas outras declarações equivalentes do axioma da escolha. Estes são equivalentes no sentido de que, na presença de outros axiomas básicos da teoria dos conjuntos, elas implicam o axioma da escolha e estão implícitas por ele.

Uma variação evita a utilização das funções de escolha por, em efeito, substituir cada função de escolha com a sua gama.

Dado qualquer conjunto X de disjuntos pares conjuntos não vazios, existe, pelo menos, um conjunto C que contém exactamente um elemento em comum com cada um dos conjuntos em X .

Isto garante para qualquer partição de um conjunto X a existência de um subconjunto C de X que contém exactamente um elemento de cada parte da partição.

Outro axioma equivalente considera apenas coleções X que são essencialmente powersets de outros conjuntos:

Para qualquer conjunto A, o conjunto de alimentação de A (com o conjunto vazio removido) tem uma função de escolha.

Autores que utilizam esta formulação muitas vezes falam da função de escolha em A , mas esteja ciente de que esta é uma noção ligeiramente diferente da função de escolha. O seu domínio é o powerset de A (com o conjunto vazio removido), e assim faz sentido para qualquer conjunto A , enquanto que com a definição usada em outras partes deste artigo, o domínio de uma função de escolha de um conjunto de conjuntos é que a recolha, e por isso só faz sentido para conjuntos de conjuntos. Com essa noção alternativa de função de escolha, o axioma da escolha pode ser compacta indicado como

Cada jogo tem uma função de escolha.

o qual é equivalente a

Para qualquer conjunto A, há uma função f tal que para qualquer não-vazia subconjunto B de A , f ( B ) encontra-se em B .

A negação do axioma pode assim ser expressa como:

Há um conjunto Um tal que, para todas as funções f (sobre o conjunto de subconjuntos não vazios de A ), existe um B , tal que f ( B ) não se encontra em B .

Restrição para conjuntos finitos

A declaração do axioma da escolha não especifica se a coleção de conjuntos não vazios é finito ou infinito, e, portanto, implica que cada coleção finita de conjuntos não vazios tem uma função de escolha. No entanto, nesse caso particular é um teorema do Zermelo-Fraenkel sem o axioma da escolha (ZF); é facilmente provado por indução matemática . No caso mais simples de uma coleção de um conjunto, uma função de escolha apenas corresponde a um elemento, então esta instância do axioma da escolha diz que todo conjunto não vazio tem um elemento; isso vale trivialmente. O axioma de escolha pode ser visto como afirmando a generalização desta propriedade, já evidente para coleções finitas, a coleções arbitrárias.

Uso

Até o final do século 19, o axioma da escolha foi muitas vezes utilizado de forma implícita, embora ainda não havia sido formalmente declarado. Por exemplo, após ter verificado que o conjunto X contém apenas os conjuntos não vazios, um matemático poderia ter dito "deixar F (s) é um dos membros do s para todos s em X ". Em geral, é impossível provar que F existe sem o axioma da escolha, mas isso parece ter passado despercebido até Zermelo .

Nem toda situação requer o axioma da escolha. Para conjuntos finitos X , o axioma da escolha decorre dos outros axiomas da teoria dos conjuntos. Nesse caso, é equivalente a dizer que, se tivermos vários (um número finito de) caixas, cada uma contendo pelo menos um item, então podemos escolher exatamente um item de cada caixa. É claro que pode fazer isso: Nós começamos na primeira caixa, escolher um item; ir para a segunda caixa, escolher um item; e assim por diante. O número de caixas é finito, então, eventualmente, o nosso procedimento de escolha chega ao fim. O resultado é uma função explícita escolha: uma função que recebe a primeira caixa para o primeiro elemento que escolhemos, a segunda caixa para o segundo elemento que escolhemos, e assim por diante. (A prova formal para todos os conjuntos finitos usaria o princípio da indução matemática para provar "para cada número natural k , cada família de k conjuntos não vazios tem uma função de escolha.") Este método não pode, contudo, ser usados para mostrar que cada contável família de conjuntos não vazios tem uma função de escolha, como é afirmado pelo axioma da escolha contável . Se o método for aplicado a uma sequência infinita ( X i  : i ∈ω) de conjuntos não vazios, uma função é obtida em cada fase finito, mas não há nenhuma fase em que uma função de escolha para toda a família é construído, e não " limitante" função de escolha pode ser construído, em geral, em ZF sem o axioma da escolha.

Exemplos

A natureza dos conjuntos não vazios individuais na coleção pode tornar possível para evitar o axioma da escolha, mesmo para determinados conjuntos infinitos. Por exemplo, suponha que cada membro do conjunto de X é um subconjunto não vazio dos números naturais. Cada tal subconjunto tem um menor elemento, por assim especificar a nossa função escolha que pode simplesmente dizer que mapeia cada set para o mínimo elemento desse conjunto. Isto dá-nos uma escolha definitiva de um elemento de cada conjunto, e faz com que seja necessário aplicar o axioma da escolha.

A dificuldade aparece quando não há escolha natural de elementos de cada set. Se não podemos fazer escolhas explícitas, como é que sabemos que o nosso conjunto existe? Por exemplo, suponha que X é o conjunto de todos os subconjuntos não vazios dos números reais . Primeiro podemos tentar proceder como se X fosse finito. Se tentamos escolher um elemento de cada conjunto, então, porque X é infinita, nosso procedimento de escolha nunca vai chegar a um fim, e, consequentemente, nunca seremos capazes de produzir uma função de escolha para todos os X . Em seguida, pode tentar especificar o mínimo elemento de cada conjunto. Mas alguns subconjuntos dos números reais não têm menos elementos. Por exemplo, a abertura de intervalo (0,1), não têm um elemento menos: se X é em (0,1), então é assim x / 2 e x / 2 é sempre estritamente menor do que x . Então esta tentativa também falha.

Além disso, considerar, por exemplo, a unidade de círculo S , e a acção de S por um grupo L que consiste em todas as rotações racionais. Ou seja, estes são rotações por ângulos que são múltiplos racionais de  π . Aqui G é contável, enquanto S é incontável. Daí S divide em uncountably muitas órbitas sob  G . Usando o axioma da escolha, poderíamos escolher um único ponto de cada órbita, obtendo-se um subconjunto incontável X de S com a propriedade de que todos os seus traduz por L são disjuntos de  X . O conjunto dos que se traduz partições o círculo em uma coleção contável de conjuntos disjuntos, que são congruentes pares. Desde X não é mensurável por qualquer medida finita countably aditivo rotação invariante em S , encontrar um algoritmo para selecionar um ponto em cada órbita requer o axioma da escolha. Veja conjunto não mensurável para mais detalhes.

A razão pela qual somos capazes de escolher menos elementos de subconjuntos dos números naturais é o fato de que os números naturais são bem ordenada : todo subconjunto não vazio de números naturais tem um elemento menos exclusivo sob a ordem natural. Pode-se dizer, "Mesmo que a ordem habitual dos números reais não funcionar, pode ser possível encontrar uma ordenação diferente dos números reais, que é uma boa ordenação. Então a nossa função de escolha pode escolher o mínimo elemento de cada conjunto sob nosso ordenamento incomum." O problema torna-se então que a de construir uma boa ordenação, o que acaba por exigir que o axioma da escolha para a sua existência; cada conjunto pode ser bem ordenada se e somente se o axioma da escolha segura.

Críticas e aceitação

Uma prova que exige o axioma da escolha pode estabelecer a existência de um objeto sem explicitamente definindo o objeto na linguagem da teoria dos conjuntos. Por exemplo, enquanto o axioma da escolha implica que há uma boa ordenação dos números reais, existem modelos da teoria dos conjuntos com o axioma de escolha em que nenhuma boa ordenação dos reais é definível. Da mesma forma, embora um subconjunto dos números reais que não é Lebesgue mensurável pode ser provado de existir usando o axioma da escolha, é consistente que tal conjunto é definível.

O axioma de escolha comprova a existência desses intangíveis (objetos que, comprovadamente, existir, mas que não podem ser explicitamente construídos), que podem entrar em conflito com alguns princípios filosóficos. Porque não há nenhum canônica boa ordenação de todos os conjuntos, uma construção que depende de uma boa ordenação pode não produzir um resultado canônica, mesmo resultado canônica é desejada (como é frequentemente o caso na teoria da categoria ). Isso tem sido usado como um argumento contra o uso do axioma da escolha.

Outro argumento contra o axioma da escolha é que ela implica a existência de objetos que podem parecer contra-intuitivo. Um exemplo é o paradoxo de Banach-Tarski que diz que é possível decompor a bola de unidade sólida de 3-dimensional para um número finito de peças e, usando apenas rotações e translações, remontar as peças em duas bolas sólidas, cada um com o mesmo volume que o original . As peças nesta decomposição, construído usando o axioma da escolha, são conjuntos não mensuráveis .

Apesar destas aparentemente paradoxais fatos, a maioria dos matemáticos aceitar o axioma da escolha como um princípio válido para provar novos resultados em matemática. O debate é interessante o suficiente, no entanto, que é considerado digno de nota quando um teorema em ZFC (ZF mais AC) é logicamente equivalente (com apenas os axiomas ZF) para o axioma da escolha, e os matemáticos procuram resultados que requeiram o axioma da escolha para ser falsa, embora este tipo de dedução é menos comum do que o tipo que exige o axioma da escolha para ser verdade.

É possível provar muitos teoremas usando nem o axioma da escolha nem sua negação; tais declarações venham a ser verdade em qualquer modelo de ZF, independentemente da veracidade ou falsidade do axioma da escolha nesse modelo particular. A restrição a ZF torna qualquer alegação de que depende quer o axioma da escolha ou a sua negação improvável. Por exemplo, o paradoxo de Banach-Tarski não é nem provável nem refutável da ZF sozinho: é impossível construir a decomposição necessária da bola unidade ZF, mas também impossível provar não existe tal decomposição. Da mesma forma, todas as instruções listadas abaixo, que exigem escolha ou alguma versão mais fraca da mesma para a sua prova são improváveis em ZF, mas uma vez que cada é demonstrável em ZF mais o axioma da escolha, existem modelos de ZF em que cada afirmação é verdadeira. Declarações como o paradoxo de Banach-Tarski pode ser reformulada como instruções condicionais, por exemplo, "Se AC detém, então a decomposição no paradoxo de Banach-Tarski existe." Tais declarações condicionais são demonstráveis em ZF quando as demonstrações originais são dedutível de ZF e o axioma da escolha.

Em matemática construtiva

Como discutido acima, em ZFC, o axioma da escolha é capaz de fornecer " provas não-construtiva " em que a existência de um objeto é provado embora nenhum exemplo explícita é construído. ZFC, no entanto, ainda está formalizada na lógica clássica. O axioma de escolha também tem sido exaustivamente estudada no contexto da matemática construtivas, onde a lógica não-clássica é empregado. O status do axioma da escolha varia entre as diferentes variedades de matemática construtivas.

Em teoria tipo Martin-Löf e de ordem superior Heyting aritmética , a declaração apropriada do axioma da escolha é (dependendo da abordagem) incluído como um axioma ou demonstrável como um teorema. Errett Bishop argumentou que o axioma da escolha foi construtiva aceitável, dizendo

Uma função de escolha existe em matemática construtivas, porque a escolha está implícito no próprio significado da existência.

Em teoria dos conjuntos construtiva , no entanto, o teorema de Diaconescu mostra que o axioma da escolha implica a lei do terceiro excluído (ao contrário da teoria dos tipos Martin-Löf, onde não faz). Assim, o axioma da escolha não é geralmente disponíveis em teoria dos conjuntos construtiva. A causa para esta diferença é que o axioma da escolha, em teoria, tipo não tem as extensionalidade propriedades que o axioma da escolha na teoria dos conjuntos construtiva faz.

Alguns resultados em teoria dos conjuntos construtiva usar o axioma da escolha contábil ou o princípio da escolha dependente , que não implicam a lei do terceiro excluído na teoria dos conjuntos construtiva. Embora o axioma da escolha contábil em particular é comumente usado em matemática construtivas, seu uso também tem sido questionada.

Independência

Em 1938, Kurt Gödel demonstrou que a negação do axioma da escolha não é um teorema da ZF através da construção de um modelo interno (o universo constructible ) que satisfaz ZFC e, assim, mostrando que ZFC é consistente se a própria ZF é consistente. Em 1963, Paul Cohen empregada a técnica de forçar , desenvolvido para esta finalidade, para mostrar que: assumindo ZF é consistente, o axioma da própria escolha não é um teorema da ZF através da construção de um modelo muito mais complexa que satisfaz ZF¬C (ZF com a negação de AC adicionado como axioma) e, assim, mostrando que ZF¬C é consistente. Juntos, estes resultados estabelecem que o axioma da escolha é logicamente independente da ZF. A suposição de que ZF é consistente é inofensivo porque adicionar outro axioma para um sistema já inconsistente não pode piorar a situação. Por causa da independência, a decisão de usar o axioma da escolha (ou sua negação) em uma prova não pode ser feita recorrendo a outros axiomas da teoria dos conjuntos. A decisão deve ser tomada por outros motivos.

Um argumento em favor de usar o axioma da escolha é que é conveniente para usá-lo porque permite provar algumas proposições simplificadoras que de outra forma não poderia ser provado. Muitos teoremas que são provable usando escolha são de caráter geral elegantes e cada ideal em um anel está contido em um ideal maximal , cada espaço vector tem uma base , e cada produto de espaços compactos é compacto. Sem o axioma da escolha, estes teoremas não podem exercer para objetos matemáticos de grande cardinalidade.

A prova do resultado independência também mostra que uma ampla classe de enunciados matemáticos, incluindo todas as declarações que podem ser formuladas na linguagem da aritmética de Peano , são demonstráveis em ZF se e somente se eles são demonstráveis em ZFC. Demonstrações nesta classe incluem a afirmação de que P = NP , a hipótese de Riemann , e muitos outros problemas matemáticos não resolvidos. Quando se tenta resolver problemas nesta classe, não faz diferença se ZF ou ZFC é empregada se a única questão é a existência de uma prova. É possível, no entanto, que há uma prova mais curta de um teorema de ZFC que da ZF.

O axioma da escolha não é a única declaração significativa que é independente da ZF. Por exemplo, a hipótese do contínuo generalizada (GCH) é não apenas independente de ZF, mas também independente de ZFE. No entanto, a ZF mais GCH implica AC, tornando GCH uma reivindicação estritamente mais forte do que AC, embora ambos são independentes da ZF.

axiomas mais fortes

O axioma de construtibilidade ea hipótese do continuum generalizada cada implicam o axioma da escolha e por isso são estritamente mais forte do que ele. Em teorias de classe, como Von Neumann-Bernays-Gödel a teoria dos conjuntos e Morse-Kelley teoria dos conjuntos , existe um axioma chamado o axioma da escolha global, que é mais forte do que o axioma da escolha para conjuntos porque também se aplica a classes próprias. O axioma de escolha mundial decorre do axioma da limitação de tamanho .

equivalentes

Há declarações importantes que, assumindo os axiomas de ZF mas nem AC nem ¬AC, são equivalentes ao axioma da escolha. O mais importante entre eles estão o lema de Zorn eo teorema bem-ordenação . Na verdade, Zermelo inicialmente introduzido o axioma da escolha, a fim de formalizar a prova do teorema bem-ordenação.

teoria da categoria

Existem vários resultados em teoria da categoria que invocam o axioma de escolha para a sua prova. Estes resultados podem ser mais fraca do que, equivalente ou mais forte do que o axioma da escolha, dependendo da força dos fundamentos técnicos. Por exemplo, se um define categorias em termos de conjuntos, isto é, como conjuntos de objetos e morfismos (geralmente chamado de uma pequena categoria ), ou mesmo localmente pequenas categorias, cujos hom-objetos são conjuntos, então não há nenhuma categoria de todos os conjuntos , e por isso é difícil para uma formulação categoria da teoria para aplicar a todos os sets. Por outro lado, outras descrições fundamentais da teoria da categoria são consideravelmente mais forte, e uma declaração categoria teórico-idênticos de escolha pode ser mais forte do que a formulação padrão, à la teoria de classe, mencionado acima.

Exemplos de declarações categoria teórica que exigem escolha incluem:

  • Cada pequena categoria tem um esqueleto .
  • Se duas pequenas categorias são fracamente equivalente, então eles são equivalentes .
  • Cada functor contínua em um pequeno-complete categoria que satisfaça a condição solução conjunto apropriado tem uma esquerda-adjuntos (o Freyd adjunta functor teorema).

formas mais fracas

Existem vários mais fraco declarações que não são equivalente ao axioma da escolha, mas estão intimamente relacionados. Um exemplo é o princípio da escolha dependente (DC). Um exemplo ainda mais fraco é o axioma da escolha contábil (AC ω ou CC), que afirma que a função de escolha existe para qualquer conjunto contável de conjuntos não vazios. Esses axiomas são suficientes para muitas provas em elementar análise matemática , e são consistentes com alguns princípios, tais como a mensurabilidade Lebesgue de todos os conjuntos de reais, que são refutável do axioma cheio de escolha.

Outra escolha axiomas mais fraco do que o axioma de escolha incluem o teorema ideal primo booleana eo axioma da uniformização . O primeiro é equivalente em ZF para a existência de um ultrafiltro contendo cada filtro determinado, o que prova Tarski em 1930.

Resultados que requeiram AC (ou formas mais fracos), mas mais fraca do que

Um dos aspectos mais interessantes do axioma da escolha é o grande número de lugares em matemática que ele aparece. Aqui estão algumas declarações que exigem o axioma da escolha no sentido de que eles não são demonstráveis ​​da ZF, mas são dedutível de ZFC (ZF mais AC). Equivalentemente, essas afirmações são verdadeiras em todos os modelos de ZFC, mas falsa em alguns modelos de ZF.

implicações possivelmente equivalentes de AC

Existem várias instruções do conjunto da teoria historicamente importantes implícitos por AC cuja equivalência ao AC está aberto. O princípio de partição, que foi formulada antes da própria AC, foi citada por Zermelo como justificativa para acreditar AC. Em 1906 Russell declarou PP para ser equivalente, mas se a partição princípio implica AC ainda é o mais antigo problema em aberto na teoria dos conjuntos, e as equivalências das outras declarações são igualmente duro velhos problemas abertos. Em cada conhecido modelo de ZF onde a escolha falhar, essas declarações falhar também, mas não se sabe se eles podem segurar sem escolha.

  • Teoria de conjuntos
    • princípio de partição: se houver uma surjection de A para B, tem uma injecção de B para A. De forma equivalente, cada partição P de um conjunto S é menos do que ou igual a S em tamanho.
    • Converse Schröder-Bernstein teorema : se dois conjuntos têm surjections uns aos outros, eles são equinumerous.
    • princípio partição ruim: Uma partição de um conjunto S não pode ser estritamente maior do que S. Se WPP detém, isso já implica a existência de um conjunto não mensurável. Cada uma das três declarações anteriores está implícito no anterior, mas não se sabe se alguma destas implicações pode ser revertida.
    • Não há infinito sequência de cardeais diminuindo. A equivalência foi conjecturado por Schoenflies em 1905.
  • álgebra abstrata
    • Hahn teorema da imersão : Cada grupo abeliano ordenada L-fim incorpora subgrupo do grupo de aditivos ℝ Ω dotado com uma ordem léxicografica, onde Ω é o conjunto de classes de equivalência de Arquimedes de Ω. Esta equivalência foi conjecturado por Hahn em 1907.

formas mais fortes da negação da AC

Agora, considere formas mais fortes da negação da AC. Por exemplo, se abreviar pela BP a alegação de que cada conjunto de números reais tem a propriedade de Baire , então BP é mais forte do que ¬AC, que afirma a inexistência de qualquer função de escolha de talvez apenas um único conjunto de conjuntos não vazios. Note-se que reforçou negações podem ser compatíveis com formas atenuadas de AC. Por exemplo, ZF + DC + BP é consistente, se ZF é.

Também é consistente com ZF + DC que cada conjunto de reais é Lebesgue mensurável ; no entanto, este resultado consistência, devido a Robert M. Solovay , não pode ser provado em si ZFC, mas requer um leve grande cardeal suposição (a existência de um cardeal inacessível ). O muito mais forte axioma de determinação , ou AD, implica que cada conjunto de reais é Lebesgue mensurável, tem a propriedade de Baire, e tem a propriedade de conjunto perfeito (todos os três destes resultados são refutadas por si só AC). ZF + DC + AD é consistente desde que uma suficientemente forte grande axioma cardinal é consistente (a existência de um número infinito de cardeais Woodin ).

sistema da teoria dos conjuntos axiomática de Quine, "novas bases" (NF), leva o seu nome a partir do título ( “Novas Bases para a Lógica Matemática”) do artigo de 1937, que introduziu-lo. No sistema axiomático NF, o axioma da escolha pode ser refutada.

Demonstrações consistentes com a negação da AC

Existem modelos da teoria dos conjuntos Zermelo-Fraenkel em que o axioma da escolha é falsa. Vamos abreviar "Zermelo-Fraenkel mais a negação do axioma de escolha", ZF¬C. Para certos modelos de ZF¬C, é possível provar a negação de alguns fatos padrão. Note que qualquer modelo de ZF¬C é também um modelo de ZF, por isso, para cada uma das seguintes afirmações, não existe um modelo de ZF em que essa afirmação é verdadeira. Para cada uma das seguintes afirmações, há algum modelo de ZF¬C onde é verdadeira:

  • Em alguns modelos, existe um conjunto que pode ser dividida em mais estritamente classes de equivalência do que o conjunto original tem elementos, e uma função cujo domínio é estritamente menor que o seu alcance. Na verdade, este é o caso em todos os conhecidos modelos.
  • Existe uma função F a partir dos números reais para os números reais tais que f não é contínua em um , mas f é sequencialmente contínua em uma , isto é, para qualquer sequência { x n } convergindo para um , lim n f ( x n ) = f (a).
  • Em alguns modelos, existe um conjunto infinito de números reais sem um subconjunto infinito contável.
  • Em alguns modelos, os números reais são uma união contável de conjuntos contáveis.
  • Em alguns modelos, há um campo sem fecho algébrico.
  • Em todos os modelos de ZF¬C há um espaço vetorial sem base.
  • Em alguns modelo em que há um espaço vectorial, com duas bases de diferentes cardinais.
  • Em alguns modelos, há uma livre álgebra booleana completa em countably muitos geradores.
  • Em alguns modelos, há um conjunto que não pode ser linearmente ordenados .

Para provas, ver Jech (2008) .

Axioma da escolha, em teoria, tipo

Em teoria dos tipos , um tipo diferente de declaração é conhecido como o axioma da escolha. Esta forma começa com dois tipos, σ e τ, e uma relação R entre objectos do tipo σ e objectos do tipo τ. O axioma da escolha afirma que se, para cada x de tipo σ existe um y de tipo τ tal que R ( x , y ), em seguida, existe uma função F a partir de objectos do tipo σ para objectos do tipo τ tal que R ( x , f ( x )) é válida para todos os x do tipo σ:

Ao contrário da teoria dos conjuntos, o axioma da escolha em teoria tipo é normalmente referido como um esquema axioma , em que R varia ao longo de todas as fórmulas ou mais de todas as fórmulas de uma forma lógica em particular.

citações

O axioma da escolha é obviamente verdade, o princípio da boa ordenação obviamente falsa, e quem pode dizer sobre o lema de Zorn ?

Isso é uma piada: embora os três são todos matematicamente equivalente, muitos matemáticos encontrar o axioma da escolha para ser intuitivo, o princípio da boa ordenação a ser contra-intuitivo, e lema de Zorn ser demasiado complexo para qualquer intuição.

O axioma da escolha é necessário selecionar um conjunto de um número infinito de pares de meias, mas não um número infinito de pares de sapatos.

A observação aqui é que se pode definir uma função para selecionar a partir de um número infinito de pares de sapatos, afirmando por exemplo, para escolher um sapato esquerdo. Sem o axioma da escolha, não se pode afirmar que tal função existe para pares de meias, porque meias esquerdo e direito são (presumivelmente) indistinguíveis.

Tarski tentou publicar seu teorema [a equivalência entre AC e "todo conjunto infinito A tem a mesma cardinalidade como A  ×  A ", veja acima] em Rendus , mas Fréchet e Lebesgue recusou-se a apresentá-lo. Fréchet escreveu que uma implicação entre dois bem conhecidos [verdadeiros] proposições não é um resultado novo e Lebesgue escreveu que uma implicação entre duas proposições falsas não é de interesse.

Matemático polonês-americano Jan Mycielski relata esta anedota em um artigo de 2006 nos Avisos da AMS.

O axioma recebe o seu nome não porque os matemáticos preferem a outros axiomas.

Esta citação vem do famoso Dia de tolos de abril artigo no recriações de computador coluna da Scientific American , Abril de 1989.

Notas

Referências

Traduzido em: Jean van Heijenoort , 2002. A partir Frege de Gödel: Um Livro Fonte em Lógica Matemática, 1879-1931 . Nova edição. Harvard University Press . ISBN  0-674-32449-8
  • 1904. "A prova de que cada jogo pode ser bem ordenada", 139-41.
  • 1908. "As investigações nos fundamentos da teoria dos conjuntos I," 199-215.

links externos