Incorporação - Embedding

Em matemática , uma incorporação (ou imbedding ) é um exemplo de uma estrutura matemática contido dentro de outro exemplo, tal como um grupo que é um subgrupo .

Quando um objecto X é dito para ser incorporado em outro objeto Y , o embutimento é dada por alguns injetivo mapa e de preservação da estrutura f  : X Y . O significado preciso de "preservação de estrutura" depende do tipo de estrutura matemática da qual X e Y são instâncias. Na terminologia da teoria das categorias , um mapa de preservação de estrutura é chamado de morfismo .

O facto de um mapa f  : X Y é uma incorporação é geralmente indicada pelo uso de um "seta viciado" ( L + 21AA seta para a direita COM GANCHO ); assim: (Por outro lado, essa notação às vezes é reservada para mapas de inclusão .)

Dados X e Y , vários embeddings diferentes de X em Y podem ser possíveis. Em muitos casos de interesse, há uma incorporação padrão (ou "canônica"), como aqueles dos números naturais nos inteiros , os inteiros nos números racionais , os números racionais nos números reais e os números reais nos números complexos . Em tais casos, é comum para identificar o domínio X com a sua imagem f ( X ) continha em Y , de modo a que f ( X ) ⊆ Y .

Topologia e geometria

Topologia geral

Na topologia geral , um embedding é um homeomorfismo em sua imagem. Mais explicitamente, um mapa injetivo contínuo entre espaços topológicos e é uma incorporação topológica se produz um homeomorfismo entre e (onde carrega a topologia de subespaço herdada de ). Intuitivamente, então, a incorporação nos permite tratar como um subespaço de . Cada incorporação é injetiva e contínua . Todo mapa injetivo, contínuo e aberto ou fechado é um embedding; no entanto, também existem embeddings que não são abertos nem fechados. O último acontece se a imagem não for um conjunto aberto nem um conjunto fechado em .

Para um determinado espaço , a existência de um embedding é uma invariante topológica de . Isso permite que dois espaços sejam distinguidos se um puder ser embutido em um espaço enquanto o outro não.

Topologia diferencial

Em topologia diferencial : Let and be smoothies e ser um smooth map. Em seguida, é chamado de imersão se seu derivado for injetivo em todos os lugares. Uma incorporação , ou uma incorporação suave , é definida como uma imersão injetiva que é uma incorporação no sentido topológico mencionado acima (isto é, homeomorfismo em sua imagem).

Em outras palavras, o domínio de uma incorporação é difeomórfico à sua imagem e, em particular, a imagem de uma incorporação deve ser uma subvariedade . Uma imersão é precisamente um embedding local , ou seja, para qualquer ponto existe uma vizinhança tal que é um embedding.

Quando a variedade de domínio é compacta, a noção de um encaixe suave é equivalente à de uma imersão injetiva.

Um caso importante é . O interesse aqui é quão grande deve ser para uma incorporação, em termos da dimensão de . O teorema de incorporação de Whitney afirma que isso é suficiente e é o melhor limite linear possível. Por exemplo, o espaço projetivo real RP m de dimensão , onde é uma potência de dois, requer para um encaixe. No entanto, isso não se aplica a imersões; por exemplo, RP 2 pode ser imerso como é explicitamente mostrado pela superfície de Boy - que tem autointerseções. A superfície romana deixa de ser uma imersão, pois contém capas cruzadas .

Uma incorporação é adequada se se comportar bem em relação aos limites : é necessário que o mapa seja tal que

  • , e
  • é transversal a qualquer ponto de .

A primeira condição é equivalente a ter e . A segunda condição, a grosso modo, diz que f ( X ) não é tangente ao limite de Y .

Geometria riemanniana e pseudo-riemanniana

Na geometria Riemanniana e na geometria pseudo-Riemanniana: Sejam ( M , g ) e ( N , h ) variedades Riemannianas ou, mais geralmente , variedades pseudo-Riemannianas . Um embedding isométrico é um embedding suave f  : M N que preserva a (pseudo-) métrica no sentido de que g é igual ao recuo de h por f , ou seja, g = f * h . Explicitamente, para quaisquer dois vetores tangentes , temos

Analogamente, a imersão isométrica é uma imersão entre variedades (pseudo) -Riemannianas que preservam as métricas (pseudo) -Riemannianas.

Equivalentemente, na geometria Riemanniana, um embedding isométrico (imersão) é um embedding suave (imersão) que preserva o comprimento das curvas (cf. teorema de embedding de Nash ).

Álgebra

Em geral, para uma categoria algébrica C , uma incorporação entre dois C estruturas -algebraic X e Y é um C -morphism e  : X Y que é injetivo.

Teoria de campo

Em teoria do campo , uma incorporação de um campo E de um campo F é um anel homomorphism σ  : E F .

O kernel de σ é um ideal de E que não pode ser todo o campo E , por causa da condição σ (1) = 1 . Além disso, é uma propriedade bem conhecida dos campos que seus únicos ideais sejam o ideal zero e todo o campo em si. Portanto, o kernel é 0, então qualquer incorporação de campos é um monomorfismo . Assim, E é isomorfo para o subcampo σ ( E ) de F . Isso justifica a incorporação do nome para um homomorfismo arbitrário de campos.

Álgebra universal e teoria do modelo

Se σ é uma assinatura e são estruturas σ (também chamadas de σ-álgebras na álgebra universal ou modelos na teoria de modelos ), então um mapa é uma incorporação de σ se todos os seguintes itens forem válidos :

  • é injetivo,
  • para cada símbolo de função -ary e temos ,
  • para cada símbolo de relação -ary e temos iff

Aqui está um modelo de notação teórica equivalente a . Na teoria do modelo, também há uma noção mais forte de incorporação elementar .

Teoria da ordem e teoria do domínio

Na teoria da ordem , uma incorporação de conjuntos parcialmente ordenados é uma função F entre os conjuntos parcialmente ordenados X e Y de modo que

A injetividade de F segue rapidamente a partir dessa definição. Na teoria do domínio , um requisito adicional é que

é dirigido .

Espaços métricos

Um mapeamento de espaços métricos é chamado de incorporação (com distorção ) se

por alguma constante .

Espaços normados

Um caso especial importante é o dos espaços normados ; neste caso, é natural considerar embeddings lineares.

Uma das questões básicas que podem ser feitas sobre um espaço normando de dimensão finita é: qual é a dimensão máxima em que o espaço de Hilbert pode ser embutido linearmente com distorção constante?

A resposta é dada pelo teorema de Dvoretzky .

Teoria da categoria

Na teoria das categorias , não existe uma definição satisfatória e geralmente aceita de embeddings que seja aplicável em todas as categorias. Seria de esperar que todos os isomorfismos e todas as composições de embeddings fossem embeddings e que todos os embeddings fossem monomorfismos. Outros requisitos típicos são: qualquer monomorfismo extremo é um embedding e os embeddings são estáveis ​​sob retrocessos .

Idealmente, a classe de todos os subobjetos embutidos de um determinado objeto, até o isomorfismo, também deve ser pequena e, portanto, um conjunto ordenado . Nesse caso, a categoria é dita bem potenciada no que diz respeito à classe de embeddings. Isso permite definir novas estruturas locais na categoria (como um operador de fechamento ).

Em uma categoria concreta , um embedding é um morfismo ƒ A  →  B que é uma função injetiva do conjunto subjacente de A para o conjunto subjacente de B e também é um morfismo inicial no seguinte sentido: Se g é uma função do conjunto subjacente de um objeto C ao conjunto subjacente de A , e se sua composição com ƒ for um morfismo ƒg C  →  B , então o próprio g é um morfismo.

Um sistema de fatoração para uma categoria também dá origem à noção de incorporação. Se ( E H ) é um sistema de fatoração, em seguida, os morphisms em H podem ser considerados como os mergulhos, especialmente quando a categoria é bem alimentado com respeito ao  M . As teorias concretas freqüentemente têm um sistema de fatoração em que M consiste nos embeddings no sentido anterior. Este é o caso da maioria dos exemplos dados neste artigo.

Como de costume na teoria das categorias, existe um conceito dual , conhecido como quociente. Todas as propriedades anteriores podem ser dualizadas.

Uma incorporação também pode se referir a um functor de incorporação .

Veja também

Notas

Referências

links externos