Cobertura (topologia) - Cover (topology)

Em matemática , particularmente na topologia , a cobertura de um conjunto é uma coleção de conjuntos cuja união inclui um subconjunto . Formalmente, se é uma família indexada de conjuntos, então é uma capa de se ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C = \ lbrace U _ {\ alpha}: \ alpha \ in A \ rbrace}$${\ displaystyle U _ {\ alpha},}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle X \ subseteq \ bigcup _ {\ alpha \ in A} U _ {\ alpha}.}$

Cobertura na topologia

As tampas são comumente usadas no contexto da topologia . Se o conjunto de X é um espaço topológico , em seguida, uma tampa C de X é um conjunto de subconjuntos L _α ( α ∈ A ) de X , cuja união é todo o espaço X . Neste caso, dizemos que C cobre X , ou que os conjuntos U _alfa cobrir X . Além disso, se Y é um subconjunto de X , então uma capa de Y é uma coleção de subconjuntos de X cuja união contém Y , ou seja, C é uma capa de Y se

${\ displaystyle Y \ subseteq \ bigcup _ {\ alpha \ in A} U _ {\ alpha}.}$

Deixe C ser uma cobertura de um espaço topológico X . Um subcobertura de C é um subconjunto de C , que ainda cobre X .

Dizemos que C é um tampa aberta se cada um de seus membros for umconjunto aberto(isto é, cadaU _α está contido emT, ondeTé a topologia emX).

Uma cobertura de X é considerada localmente finita se cada ponto de X tiver uma vizinhança que cruze apenas finitos conjuntos na cobertura. Formalmente, C = { U _α } é localmente finito se para algum existe alguma vizinhança N ( x ) de x tal que o conjunto ${\ displaystyle x \ in X,}$

${\ displaystyle \ left \ {\ alpha \ in A: U _ {\ alpha} \ cap N (x) \ neq \ varnothing \ right \}}$

é finito. Uma cobertura de X é considerada finita por pontos se cada ponto de X estiver contido em apenas um número finito de conjuntos na cobertura. Uma cobertura é um ponto finito se for localmente finito, embora o inverso não seja necessariamente verdadeiro.

Refinamento

Um refinamento de uma capa de um espaço topológico é uma nova capa de tal forma que cada conjunto de está contido em algum conjunto de . Formalmente, ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle D = \ {V _ {\ beta} \} _ {\ beta \ in B}}$é um refinamento de se para todos existe tal que${\ displaystyle C = \ {U _ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ in A}}$${\ displaystyle \ beta \ in B}$${\ displaystyle \ alpha \ in A}$${\ displaystyle V _ {\ beta} \ subseteq U _ {\ alpha}.}$

Em outras palavras, existe um mapa de refinamento que satisfaz cada um. Este mapa é usado, por exemplo, na cohomologia Čech de . ${\ displaystyle \ phi: B \ to A}$${\ displaystyle V _ {\ beta} \ subseteq U _ {\ phi (\ beta)}}$${\ displaystyle \ beta \ in B.}$${\ displaystyle X}$

Cada subcapa também é um refinamento, mas o oposto nem sempre é verdadeiro. Uma subcapa é feita a partir dos conjuntos que estão na capa, mas omitindo alguns deles; ao passo que um refinamento é feito a partir de quaisquer conjuntos que sejam subconjuntos dos conjuntos da capa.

A relação de refinamento é uma encomenda no conjunto de capas de . ${\ displaystyle X}$

De um modo geral, um refinamento de uma determinada estrutura é outro que, em certo sentido, a contém. Exemplos podem ser encontrados ao particionar um intervalo (um refinamento de ser ), considerando topologias (a topologia padrão no espaço euclidiano sendo um refinamento da topologia trivial ). Ao subdividir complexos simpliciais (a primeira subdivisão baricêntrica de um complexo simplicial é um refinamento), a situação é ligeiramente diferente: cada simplex no complexo mais fino é uma face de algum simplex no mais grosso, e ambos têm poliedros subjacentes iguais. ${\ displaystyle a_ {0} <a_ {1} <... <a_ {n}}$${\ displaystyle a_ {0} <b_ {0} <a_ {1} <a_ {2} <... <a_ {n-1} <b_ {1} <a_ {n}}$

Outra noção de refinamento é a do refinamento das estrelas .

Subcobertura

Uma maneira simples de obter uma subcapa é omitir os conjuntos contidos em outro conjunto na capa. Considere tampas especificamente abertas. Let Ser uma base topológica de e ser uma capa aberta de First take Então é um refinamento de . Em seguida, para cada um , selecionamos um conteúdo (exigindo o axioma de escolha). Então é uma subcobertura de. Portanto, a cardinalidade de uma subcobertura de uma cobertura aberta pode ser tão pequena quanto a de qualquer base topológica. Portanto, em particular, a segunda contagem implica que um espaço é Lindelöf . ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ {A \ in {\ mathcal {B}}: {\ text {existe}} U \ in {\ mathcal {O}} {\ text {tal que}} A \ subseteq U \}.}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}},}$${\ displaystyle U_ {A} \ in {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} = \ {U_ {A} \ in {\ mathcal {O}}: A \ in {\ mathcal {A}} \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}.}$

Compacidade

A linguagem de coberturas é freqüentemente usada para definir várias propriedades topológicas relacionadas à compactação . Um espaço topológico X é dito ser

Compactar

se toda tampa aberta tem uma subcobertura finita (ou equivalentemente, se toda tampa aberta tem um refinamento finito);

Lindelöf

se toda tampa aberta tem uma subcobertura contável (ou equivalentemente, se toda tampa aberta tem um refinamento contável);

Metacompacto

se toda tampa aberta tem um refinamento de abertura ponto-finito;

Paracompact

se toda tampa aberta admite um refinamento aberto localmente finito.

Para mais algumas variações, consulte os artigos acima.

Dimensão de cobertura

Diz-se que um espaço topológico X cobre a dimensão n se cada cobertura aberta de X tiver um refinamento aberto de ponto finito de modo que nenhum ponto de X seja incluído em mais de n + 1 conjuntos no refinamento e se n for o valor mínimo para o qual isso é verdade. Se tal n mínimo não existir, o espaço é considerado de dimensão de cobertura infinita.

Veja também

• Atlas (topologia)
• Espaço de cobertura
• Partição de um conjunto
• Definir problema de capa
• Refinamento de estrelas
• Topologia Grothendieck

Notas

Referências

1. Introdução à Topologia, Segunda Edição , Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene. Dover Publications 1999. ISBN  0-486-40680-6
2. Topologia Geral , John L. Kelley . D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, NJ. 1955.

links externos

• "Covering (of a set)" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]