Topologia de subespaço - Subspace topology

Em topologia e áreas relacionadas da matemática , um subespaço de um espaço topológico X é um subconjunto S de X que é equipado com uma topologia induzida daquela de X chamada topologia de subespaço (ou topologia relativa , ou topologia induzida , ou traço topologia ).

Definição

Dado um espaço topológico e um subconjunto de , a topologia subespaço em é definido pela ${\ displaystyle (X, \ tau)}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle \ tau _ {S} = \ lbrace S \ cap U \ mid U \ in \ tau \ rbrace.}$

Ou seja, um subconjunto de está aberto na topologia do subespaço se e somente se for a interseção de com um conjunto aberto em . Se estiver equipado com a topologia de subespaço, então é um espaço topológico por si só e é chamado de subespaço de . Os subconjuntos de espaços topológicos geralmente são considerados equipados com a topologia de subespaço, a menos que seja indicado o contrário. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (X, \ tau)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (X, \ tau)}$

Alternativamente, podemos definir a topologia de subespaço para um subconjunto de como a topologia mais grosseira para a qual o mapa de inclusão${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ iota: S \ hookrightarrow X}$

é contínuo .

De forma mais geral, suponha que seja uma injeção de um conjunto em um espaço topológico . Em seguida, a topologia de subespaço ativada é definida como a topologia mais grosseira para a qual é contínua. Os conjuntos abertos nesta topologia são precisamente os da forma para abrir em . é então homeomórfico à sua imagem em (também com a topologia de subespaço) e é chamado de incorporação topológica . ${\ displaystyle \ iota}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ iota}$${\ displaystyle \ iota ^ {- 1} (U)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ iota}$

Um subespaço é chamado de subespaço aberto se a injeção for um mapa aberto , ou seja, se a imagem frontal de um conjunto aberto de estiver aberta em . Da mesma forma, é chamado de subespaço fechado se a injeção for um mapa fechado . ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ iota}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ iota}$

Terminologia

A distinção entre um conjunto e um espaço topológico é freqüentemente borrada notacionalmente, por conveniência, o que pode ser uma fonte de confusão quando alguém encontra essas definições pela primeira vez. Assim, sempre que for um subconjunto de , e for um espaço topológico, os símbolos não adornados " " e " " podem frequentemente ser usados ​​para se referir a e considerados como dois subconjuntos de , e também para e como os espaços topológicos, relacionados conforme discutido acima de. Portanto, frases como " um subespaço aberto de " são usadas para significar que é um subespaço aberto de , no sentido usado abaixo; isto é: (i) ; e (ii) é considerado dotado da topologia de subespaço. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (X, \ tau)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (S, \ tau _ {S})}$${\ displaystyle (X, \ tau)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (S, \ tau _ {S})}$${\ displaystyle (X, \ tau)}$${\ displaystyle S \ in \ tau}$${\ displaystyle S}$

Exemplos

A seguir, representa os números reais com sua topologia usual. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

• A topologia de subespaço dos números naturais , como um subespaço de , é a topologia discreta .${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
• Os números racionais considerados como um subespaço de não têm a topologia discreta ({0} por exemplo, não é um conjunto aberto em ). Se um e b são racionais, então os intervalos ( um , b ) e [ a , b ] estão respectivamente aberto e fechado, mas se um e b são irracional, em seguida, o conjunto de todos os racional x com um < x < b é tanto aberto e fechado.${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$
• O conjunto [0,1] como um subespaço de é aberto e fechado, enquanto como um subconjunto dele é apenas fechado.${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
• Como um subespaço de , [0, 1] ∪ [2, 3] é composto de dois subconjuntos abertos disjuntos (que também são fechados) e, portanto, é um espaço desconectado .${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
• Seja S = [0, 1) um subespaço da reta real . Então [0, 1 ⁄ 2 ) está aberto em S, mas não em . Da mesma forma [ 1 ⁄ 2 , 1) é fechado em S, mas não em . S é aberto e fechado como um subconjunto de si mesmo, mas não como um subconjunto de .${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Propriedades

A topologia de subespaço tem a seguinte propriedade característica. Deixe ser um subespaço de e deixe ser o mapa de inclusão. Então, para qualquer espaço topológico, um mapa é contínuo se e somente se o mapa composto for contínuo. ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle i: Y \ a X}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle f: Z \ a Y}$${\ displaystyle i \ circ f}$

Esta propriedade é característica no sentido de que pode ser usada para definir a topologia do subespaço . ${\ displaystyle Y}$

Listamos algumas outras propriedades da topologia de subespaço. A seguir, deixe ser um subespaço de . ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$

• Se for contínuo, a restrição a é contínua.${\ displaystyle f: X \ a Y}$${\ displaystyle S}$
• Se for contínuo, então é contínuo.${\ displaystyle f: X \ a Y}$${\ displaystyle f: X \ a f (X)}$
• Os conjuntos fechados em são precisamente as interseções de com conjuntos fechados em .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$
• Se é um subespaço de então também é um subespaço de com a mesma topologia. Em outras palavras, a topologia de subespaço que herda é a mesma da qual ele herda .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$
• Suponha que seja um subespaço aberto de (so ). Então, um subconjunto de é aberto em se, e somente se, estiver aberto em .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S \ in \ tau}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$
• Suponha que seja um subespaço fechado de (so ). Então, um subconjunto de é fechado em se e somente se estiver fechado em .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X \ setminus S \ in \ tau}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$
• Se é uma base para, então é uma base para .${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B_ {S} = \ {U \ cap S: U \ in B \}}$${\ displaystyle S}$
• A topologia induzida em um subconjunto de um espaço métrico , restringindo a métrica a este subconjunto, coincide com a topologia de subespaço para este subconjunto.

Preservação de propriedades topológicas

Se um espaço topológico com alguma propriedade topológica implica que seus subespaços têm essa propriedade, então dizemos que a propriedade é hereditária . Se apenas subespaços fechados devem compartilhar a propriedade, chamamos isso de hereditário fraco .

• Cada subespaço aberto e todo fechado de um espaço completamente metrizável é completamente metrizável.
• Cada subespaço aberto de um espaço Baire é um espaço Baire.
• Cada subespaço fechado de um espaço compacto é compacto.
• Ser um espaço de Hausdorff é hereditário.
• Ser um espaço normal é fracamente hereditário.
• A delimitação total é hereditária.
• Estar totalmente desconectado é hereditário.
• A primeira e a segunda contagem são hereditárias.

Veja também

• o espaço quociente de noção dual
• topologia do produto
• topologia de soma direta

Referências

• Bourbaki, Nicolas, Elements of Mathematics: General Topology , Addison-Wesley (1966)
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( reimpressão de Dover da edição de 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR  0507446
• Willard, Stephen. Topologia geral , Dover Publications (2004) ISBN  0-486-43479-6