Espaço métrico - Metric space

Em matemática , um espaço métrico é um conjunto junto com uma métrica no conjunto. A métrica é uma função que define um conceito de distância entre quaisquer dois membros do conjunto, que geralmente são chamados de pontos . A métrica satisfaz algumas propriedades simples. Informalmente:

  • a distância de até é zero se e somente se e forem o mesmo ponto,
  • a distância entre dois pontos distintos é positiva,
  • a distância de para é igual à distância de para , e
  • a distância de a é menor ou igual à distância de a via qualquer terceiro ponto .

Uma métrica em um espaço induz propriedades topológicas como conjuntos abertos e fechados , que levam ao estudo de espaços topológicos mais abstratos .

O espaço métrico mais conhecido é o espaço euclidiano tridimensional . Na verdade, uma "métrica" ​​é a generalização da métrica euclidiana que surge das quatro propriedades há muito conhecidas da distância euclidiana. A métrica euclidiana define a distância entre dois pontos como o comprimento do segmento de linha reta que os conecta. Outros espaços métricos ocorrem, por exemplo, na geometria elíptica e na geometria hiperbólica , onde a distância em uma esfera medida pelo ângulo é uma métrica, e o modelo hiperbolóide da geometria hiperbólica é usado pela relatividade especial como um espaço métrico de velocidades . Alguns dos espaços métricos não geométricos incluem espaços de cadeias finitas ( sequências finitas de símbolos de um alfabeto predefinido) equipados com, por exemplo, uma distância de Hamming ou Levenshtein , um espaço de subconjuntos de qualquer espaço métrico equipado com distância de Hausdorff , um espaço de real funções integráveis em um intervalo de unidade com uma métrica integral ou espaços probabilísticos em qualquer espaço métrico escolhido equipado com métrica de Wasserstein . Veja também a seção § Exemplos de espaços métricos .

História

Em 1906, Maurice Fréchet introduziu os espaços métricos em sua obra Sur quelques points du calcul fonctionnel . No entanto, o nome é devido a Felix Hausdorff .

Definição

Um espaço métrica é um par ordenado em que é um conjunto e é uma métrica no , ou seja, uma função

de modo que, para qualquer um , o seguinte é válido:

1 identidade de indiscerníveis
2 simetria
3 subadditividade ou desigualdade triangular

Dados os três axiomas acima, também temos isso para qualquer . Isso é deduzido da seguinte forma (de cima para baixo):

pela desigualdade do triângulo
por simetria
por identidade de indiscerníveis
nós temos não negatividade

A função também é chamada de função de distância ou simplesmente distância . Freqüentemente, é omitido e apenas se escreve para um espaço métrico se estiver claro no contexto qual métrica é usada.

Ignorando os detalhes matemáticos, para qualquer sistema de estradas e terrenos, a distância entre dois locais pode ser definida como o comprimento da rota mais curta conectando esses locais. Para ser uma métrica, não deve haver estradas de mão única. A desigualdade do triângulo expressa o fato de que os desvios não são atalhos. Se a distância entre dois pontos for zero, os dois pontos são indistinguíveis um do outro. Muitos dos exemplos abaixo podem ser vistos como versões concretas dessa ideia geral.

Exemplos de espaços métricos

  • A métrica British Rail (também chamada de “métrica dos correios” ou “ métrica SNCF ”) em um espaço vetorial normado é dada por para pontos distintos e , e . De forma mais geral, pode ser substituída por uma função tomando um conjunto arbitrário para reais não negativos e tomando o valor no máximo uma vez: então a métrica é definida em por para pontos distintos e , e . O nome alude à tendência das viagens ferroviárias de prosseguir via Londres (ou Paris) independentemente do destino final.
  • Se for um espaço métrico e um subconjunto de , então se torna um espaço métrico ao restringir o domínio de a .
  • A métrica discreta , onde se e de outra forma, é um exemplo simples, mas importante, e pode ser aplicada a todos os conjuntos. Isso, em particular, mostra que para qualquer conjunto, há sempre um espaço métrico associado a ele. Usando essa métrica, o singleton de qualquer ponto é uma bola aberta , portanto, cada subconjunto é aberto e o espaço tem a topologia discreta .
  • Um espaço métrico finito é um espaço métrico com um número finito de pontos. Nem todo espaço métrico finito pode ser isometricamente embutido em um espaço euclidiano .
  • O plano hiperbólico é um espaço métrico. De forma geral:
    • Se houver alguma variedade Riemanniana conectada , então podemos nos transformar em um espaço métrico definindo a distância de dois pontos como o menor dos comprimentos dos caminhos ( curvas continuamente diferenciáveis ) conectando-os.
  • Se é algum conjunto e é um espaço métrico, então, o conjunto de todas as funções limitadas (ou seja, aquelas funções cuja imagem é um subconjunto limitado de ) pode ser transformado em um espaço métrico, definindo para quaisquer duas funções limitadas e (onde é supremo ) . Essa métrica é chamada de métrica uniforme ou métrica supremo, e se estiver completo, então este espaço de função também está completo. Se X também for um espaço topológico, o conjunto de todas as funções contínuas limitadas de a (dotadas da métrica uniforme) também será uma métrica completa se M for.
  • Se for um grafo conectado não direcionado , então o conjunto de vértices de pode ser transformado em um espaço métrico, definindo como sendo o comprimento do caminho mais curto conectando os vértices e . Na teoria geométrica dos grupos, isso é aplicado ao gráfico de Cayley de um grupo, resultando na palavra métrica .
  • A distância de edição do gráfico é uma medida de dissimilaridade entre dois gráficos , definida como o número mínimo de operações de edição de gráfico necessárias para transformar um gráfico em outro.
  • A distância de Levenshtein é uma medida da dissimilaridade entre duas strings e , definida como o número mínimo de exclusões, inserções ou substituições de caracteres necessárias para transformar em . Isso pode ser considerado um caso especial da métrica de caminho mais curto em um gráfico e é um exemplo de distância de edição .
  • Dado um espaço métrico e uma função côncava crescente tal que se e somente se , então também é uma métrica ativada .
  • Dada uma função injetiva de qualquer conjunto para um espaço métrico , define uma métrica ativada .
  • Usando a teoria T , a pequena extensão de um espaço métrico também é um espaço métrico. O intervalo apertado é útil em vários tipos de análise.
  • O conjunto de todos por matrizes sobre algum campo é um espaço métrico com respeito à classificação distância .
  • A métrica Helly é usada na teoria dos jogos .
  • Conjuntos abertos e fechados, topologia e convergência

    Todo espaço métrico é um espaço topológico de maneira natural e, portanto, todas as definições e teoremas sobre espaços topológicos gerais também se aplicam a todos os espaços métricos.

    Sobre qualquer ponto em um espaço métrico , definimos a bola aberta de raio (onde é um número real) como o conjunto

    Essas bolas abertas formam a base para uma topologia em M , tornando-o um espaço topológico .

    Explicitamente, um subconjunto de é chamado aberto se para cada em existir um tal que esteja contido em . O complemento de um conjunto aberto é denominado fechado . Uma vizinhança do ponto é qualquer subconjunto que contenha uma bola aberta como um subconjunto.

    Um espaço topológico que pode surgir dessa forma de um espaço métrico é chamado de espaço metrizável .

    Diz-se que uma sequência ( ) em um espaço métrico converge para o limite se, e somente se, para cada , existe um número natural N tal que para todos . De forma equivalente, pode-se usar a definição geral de convergência disponível em todos os espaços topológicos.

    Um subconjunto do espaço métrico é fechado se e somente se todas as sequências em que convergem para um limite em têm seu limite em .

    Tipos de espaços métricos

    Espaços completos

    Um espaço métrico é considerado completo se todas as sequências de Cauchy convergem para dentro . Quer dizer: se como ambos e independentemente vão ao infinito, então há alguns com .

    Todo espaço euclidiano está completo, assim como todo subconjunto fechado de um espaço completo. Os números racionais, usando a métrica de valor absoluto , não estão completos.

    Cada espaço métrico tem uma conclusão única (até a isometria ) , que é um espaço completo que contém o espaço fornecido como um subconjunto denso . Por exemplo, os números reais são a conclusão dos racionais.

    Se for um subconjunto completo do espaço métrico , será fechado . Na verdade, um espaço é completo se e somente se for fechado em qualquer espaço métrico que o contenha.

    Todo espaço métrico completo é um espaço Baire .

    Espaços delimitados e totalmente delimitados

    Diâmetro de um conjunto.

    Um espaço métrico é chamado limitado se existe algum número, de modo quepara todos O menor possívelé chamado dediâmetro deO espaçoé chamadopré-compactadooutotalmente limitadose para cadaexistirem finitamente muitas bolas abertas de raiocuja união cobre.Como o conjunto dos centros dessas bolas é finito, ele tem diâmetro finito, do qual segue (usando a desigualdade do triângulo ) que todo espaço totalmente limitado é limitado. O inverso não é válido, uma vez que qualquer conjunto infinito pode receber a métrica discreta (um dos exemplos acima) sob a qual é limitado, mas não totalmente limitado.

    Observe que, no contexto de intervalos no espaço de números reais e, ocasionalmente, regiões em um espaço euclidiano, um conjunto limitado é referido como "um intervalo finito" ou "região finita". No entanto, a delimitação não deve, em geral, ser confundida com "finito", que se refere ao número de elementos, não a até que ponto o conjunto se estende; finitude implica limitação, mas não o contrário. Observe também que um subconjunto ilimitado de pode ter um volume finito .

    Espaços compactos

    Um espaço métrico é compacto se cada sequência em tem uma subsequência que converge para um ponto em . Isso é conhecido como compactação sequencial e, em espaços métricos (mas não em espaços topológicos em geral), é equivalente às noções topológicas de compactação contável e compactação definidas por meio de tampas abertas .

    Exemplos de espaços métricos compactos incluem o intervalo fechado com a métrica de valor absoluto, todos os espaços métricos com muitos pontos finitos e o conjunto de Cantor . Cada subconjunto fechado de um espaço compacto é ele próprio compacto.

    Um espaço métrico é compacto se e somente se for completo e totalmente limitado. Isso é conhecido como teorema de Heine-Borel . Observe que a compactação depende apenas da topologia, enquanto a limitação depende da métrica.

    O lema do número de Lebesgue afirma que para cada tampa aberta de um espaço métrico compacto , existe um "número de Lebesgue" tal que cada subconjunto de de diâmetro está contido em algum membro da tampa.

    Cada espaço métrico compacto é contável em segundos e é uma imagem contínua do conjunto Cantor . (O último resultado é devido a Pavel Alexandrov e Urysohn .)

    Espaços localmente compactos e adequados

    Um espaço métrico é considerado localmente compacto se cada ponto tiver uma vizinhança compacta. Os espaços euclidianos são localmente compactos, mas os espaços de Banach de dimensão infinita não.

    Um espaço é adequado se todas as bolas fechadas forem compactas. Espaços adequados são localmente compactos, mas o inverso não é verdade em geral.

    Conectividade

    Um espaço métrico é conectado se os únicos subconjuntos abertos e fechados forem o conjunto vazio e ele mesmo.

    Um espaço métrico é conectado por caminho se para quaisquer dois pontos existe um mapa contínuo com e . Cada espaço conectado de caminho está conectado, mas o inverso não é verdade em geral.

    Existem também versões locais dessas definições: espaços conectados localmente e espaços conectados por caminhos locais .

    Espaços simplesmente conectados são aqueles que, em certo sentido, não apresentam "buracos".

    Espaços separáveis

    Um espaço métrico é um espaço separável se tiver um subconjunto denso contável . Exemplos típicos são os números reais ou qualquer espaço euclidiano. Para espaços métricos (mas não para espaços topológicos gerais) a separabilidade é equivalente à contagem de segundos e também à propriedade de Lindelöf .

    Espaços métricos pontiagudos

    Se é um espaço métrico , é chamado de espaço métrico pontudo e é chamado de ponto distinto . Observe que um espaço métrico pontudo é apenas um espaço métrico não vazio com a atenção voltada para seu ponto distinto, e que qualquer espaço métrico não vazio pode ser visto como um espaço métrico pontudo. O ponto distinto às vezes é denotado devido ao seu comportamento semelhante a zero em certos contextos.

    Tipos de mapas entre espaços métricos

    Suponha que e sejam dois espaços métricos.

    Mapas contínuos

    O mapa é contínuo se tiver uma (e, portanto, todas) das seguintes propriedades equivalentes:

    Continuidade topológica geral
    para cada conjunto aberto em , a pré - imagem é aberta em
    Esta é a definição geral de continuidade em topologia .
    Continuidade sequencial
    se for uma sequência em que converge para , então a sequência converge para em .
    Essa é a continuidade sequencial , devido a Eduard Heine .
    definição ε-δ
    para cada e cada existe tal que para todo em que temos
    Isso usa a (ε, δ) -definição de limite , e é devido a Augustin Louis Cauchy .

    Além disso, é contínuo se e somente se for contínuo em cada subconjunto compacto de .

    A imagem de cada conjunto compacto em uma função contínua é compacta, e a imagem de cada conjunto conectado em uma função contínua é conectada.

    Mapas uniformemente contínuos

    O mapa é uniformemente contínuo se para cada existe tal

    Todo mapa uniformemente contínuo é contínuo. O inverso é verdadeiro se for compacto ( teorema de Heine-Cantor ).

    Mapas uniformemente contínuos transformam sequências de Cauchy em sequências de Cauchy em . Para mapas contínuos, isso geralmente está errado; por exemplo, um mapa contínuo do intervalo aberto para a linha real transforma algumas sequências de Cauchy em sequências ilimitadas.

    Mapas e contrações contínuas de Lipschitz

    Dado um número real , o mapa é K -Lipschitz contínuo se

    Todo mapa contínuo de Lipschitz é uniformemente contínuo, mas o inverso não é verdadeiro em geral.

    Se , então, é chamado de contração . Suponha e está completo. Se for uma contração, então admite um único ponto fixo ( teorema do ponto fixo de Banach ). Se for compacto, a condição pode ser um pouco enfraquecida: admite um único ponto fixo se

    .

    Isometrias

    O mapa é uma isometria se

    As isometrias são sempre injetivas ; a imagem de um conjunto compacto ou completo sob uma isometria é compacta ou completa, respectivamente. Porém, se a isometria não for sobrejetora , a imagem de um conjunto fechado (ou aberto) não precisa ser fechada (ou aberta).

    Quase-isometrias

    O mapa é uma quase isometria se existirem constantes e tais que

    e uma constante tal que cada ponto em tem uma distância no máximo de algum ponto na imagem .

    Observe que uma quase isometria não precisa ser contínua. Quase-isometrias comparam a "estrutura em grande escala" de espaços métricos; eles encontram uso na teoria geométrica dos grupos em relação à palavra métrica .

    Noções de equivalência de espaço métrico

    Dados dois espaços métricos e :

    • Eles são chamados de homeomórficos (topologicamente isomórficos) se houver um homeomorfismo entre eles (ou seja, uma bijeção contínua em ambas as direções).
    • Eles são chamados de uniformes (uniformemente isomórficos) se houver um isomorfismo uniforme entre eles (ou seja, uma bijeção uniformemente contínua em ambas as direções).
    • Eles são chamados de isométricos se houver uma isometria bijetiva entre eles. Nesse caso, os dois espaços métricos são essencialmente idênticos.
    • Eles são chamados de quase isométricos se houver uma quase isometria entre eles.

    Propriedades topológicas

    Os espaços métricos são espaços de Hausdorff paracompactos e, portanto, normais (na verdade, são perfeitamente normais). Uma consequência importante é que todo espaço métrico admite partições de unidade e que toda função contínua de valor real definida em um subconjunto fechado de um espaço métrico pode ser estendida para um mapa contínuo em todo o espaço ( teorema da extensão de Tietze ). Também é verdade que todo mapa contínuo de Lipschitz com valor real definido em um subconjunto de um espaço métrico pode ser estendido para um mapa contínuo de Lipschitz em todo o espaço.

    Espaços métricos são contáveis ​​em primeiro lugar, pois podem-se usar bolas com raio racional como base de vizinhança.

    A topologia métrica em um espaço métrico é a topologia mais grosseira em relação à qual a métrica é um mapa contínuo do produto de consigo mesmo para os números reais não negativos.

    Distância entre pontos e conjuntos; Distância de Hausdorff e métrica de Gromov

    Uma maneira simples de construir uma função separando um ponto de um conjunto fechado (conforme necessário para um espaço completamente regular ) é considerar a distância entre o ponto e o conjunto . Se é um espaço métrico, é um subconjunto de e é um ponto de , definimos a distância de a como

    onde representa o ínfimo .

    Então, se e somente se pertence ao encerramento de . Além disso, temos a seguinte generalização da desigualdade do triângulo:

    que em particular mostra que o mapa é contínuo.

    Dados dois subconjuntos e de , definimos sua distância de Hausdorff como sendo

    onde representa o supremo .

    Em geral, a distância de Hausdorff pode ser infinita. Dois conjuntos estão próximos um do outro na distância de Hausdorff se cada elemento de um dos conjuntos estiver próximo a algum elemento do outro conjunto.

    A distância de Hausdorff transforma o conjunto de todos os subconjuntos compactos não vazios de em um espaço métrico. Pode-se mostrar que está completo se estiver completo. (Uma noção diferente de convergência de subconjuntos compactos é dada pela convergência de Kuratowski .)

    Pode-se então definir a distância de Gromov-Hausdorff entre quaisquer dois espaços métricos, considerando a distância de Hausdorff mínima de versões isometricamente embutidas dos dois espaços. Usando essa distância, a classe de todas as (classes de isometria de) espaços métricos compactos torna-se um espaço métrico por si só.

    Espaços métricos do produto

    Se são espaços métricos, e é a norma Euclidiana em , em seguida, é um espaço métrico, onde a métrica do produto é definido por

    e a topologia induzida está de acordo com a topologia do produto . Pela equivalência de normas em dimensões finitas, uma métrica equivalente é obtida se for a norma de táxi , uma norma p , a norma máxima, ou qualquer outra norma que não seja decrescente conforme as coordenadas de um aumento positivo -tuplo (produzindo o desigualdade de triângulo).

    Da mesma forma, um produto contável de espaços métricos pode ser obtido usando a seguinte métrica

    Um produto incontável de espaços métricos não precisa ser metrizável. Por exemplo, não é contável pela primeira vez e, portanto, não é metrizável.

    Continuidade de distância

    No caso de um único espaço , o mapa de distância (da definição ) é uniformemente contínuo em relação a qualquer uma das métricas de produto acima e, em particular, é contínuo em relação à topologia de produto de .

    Espaços métricos quocientes

    Se M é um espaço métrico com a métrica , e é uma relação de equivalência em , então podemos dotar o conjunto quociente com uma pseudometric. Dadas duas classes de equivalência e , definimos

    onde o ínfimo é feita sobre todas as sequências finitos e com , , . Em geral, isso definirá apenas uma pseudométrica , ou seja , não necessariamente implica isso . No entanto, para algumas relações de equivalência (por exemplo, aquelas dadas pela colagem de poliedros ao longo de faces), é uma métrica.

    A métrica quociente é caracterizada pela seguinte propriedade universal . Se é um mapa métrico entre espaços métricos (ou seja, para todos ) , satisfazendo sempre que a função induzida , dada por , é um mapa métrico

    Um espaço topológico é sequencial se e somente se for um quociente de um espaço métrico.

    Generalizações de espaços métricos

    • Todo espaço métrico é um espaço uniforme de maneira natural, e todo espaço uniforme é naturalmente um espaço topológico . Espaços uniformes e topológicos podem, portanto, ser considerados generalizações de espaços métricos.
    • Relaxar a exigência de que a distância entre dois pontos distintos seja diferente de zero leva aos conceitos de um espaço pseudométrico ou um espaço métrico deslocado. Removendo a exigência de simetria, chegamos a um espaço quasimétrico . Substituir a desigualdade do triângulo por uma forma mais fraca leva a espaços semimétricos .
    • Se a função de distância assume valores na reta de número real estendida , mas de outra forma satisfaz as condições de uma métrica, ela é chamada de métrica estendida e o espaço correspondente é chamado de espaço -métrico . Se a função de distância assume valores em algum conjunto ordenado (adequado) (e a desigualdade do triângulo é ajustada de acordo), então chegamos à noção de ultramétrico generalizado .
    • Os espaços de aproximação são uma generalização dos espaços métricos, com base em distâncias ponto-a-conjunto, em vez de distâncias ponto-a-ponto.
    • Um espaço de continuidade é uma generalização de espaços métricos e posets , que podem ser usados ​​para unificar as noções de espaços e domínios métricos .
    • Um espaço métrico parcial pretende ser a menor generalização da noção de um espaço métrico, de modo que a distância de cada ponto de si mesmo não seja mais necessariamente zero.

    Espaços métricos como categorias enriquecidas

    O conjunto ordenado pode ser visto como uma categoria solicitando exatamente um morfismo se e nenhum caso contrário. Ao usar como produto tensorial e como identidade , torna-se uma categoria monoidal . Cada espaço métrico agora pode ser visto como uma categoria enriquecida com :

    • Definir
    • Para cada conjunto
    • O morfismo da composição será o morfismo único dado a partir da desigualdade do triângulo
    • O morfismo da identidade será o morfismo único dado pelo fato de .
    • Como é um poset, todos os diagramas necessários para uma categoria enriquecida comutam automaticamente.

    Veja o artigo de FW Lawvere listado abaixo.

    Veja também

    Referências

    Leitura adicional

    Este é reimpresso (com comentários do autor) em Reimpressões em teoria e aplicações de categorias também (com comentários do autor) em categorias enriquecidas na lógica da geometria e análise. Repr. Theory Appl. Categ. No. 1 (2002), 1-37.

    links externos