Anel de funções polinomiais - Ring of polynomial functions

Em matemática , o anel de funções polinomiais em um espaço vectorial V ao longo de um campo k dá um análogo livre de coordenadas de um anel polinomial . Ele é designado por K [ V ]. Se V tem dimensão finita e é visto como uma variedade algébrica , então k [ V ] é precisamente o anel de coordenadas de V .

A definição explícita do anel pode ser dada como se segue. Se é um anel de polinômios, então podemos visualizar como coordenar funções em ; ou seja, quando Isto sugere o seguinte: dada uma espaço vectorial V , deixar k [ V ] a ser gerado por anel o espaço dual , que é um subanel do anel de todas as funções . Se fixarmos uma base para V e escrever para a sua base dupla, então k [ V ] consiste de polinômios em . ${\ Displaystyle k [t_ {1}, \ pontos, t_ {n}]}$${\ Displaystyle t_ {i}}$${\ Displaystyle k ^ {n}}$${\ Displaystyle T_ {i} (x) = x_ {i}}$${\ Displaystyle x = (x_ {1}, \ pontos, x_ {n}).}$ ${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\ Displaystyle V \ a k}$${\ Displaystyle t_ {i}}$${\ Displaystyle t_ {i}}$

Se k é infinito, então k [ V ] é a álgebra simétrico do espaço dual . ${\ Displaystyle V ^ {*}}$

Em aplicações, também define uma k [ V ] em que V é definida através de alguns subcampo k (por exemplo, K é o campo complexo e V é um espaço vectorial real.) A mesma definição aplica-se ainda.

Ao longo do artigo, para simplicidade, o campo de base k é assumida como sendo infinita.

Relação com anel polinomial

Let É o conjunto de todos os polinômios sobre um campo K e B o conjunto de todas as funções polinomiais em uma variável ao longo do K . Ambos Um e B são álgebras sobre K dadas pela multiplicação e adição padrão de polinómios e funções. Podemos mapear cada em A para a B pela regra . A verificação de rotina mostra que o mapeamento é um homomorphism da álgebra Um e B . Este homomorfismo é um isomorfismo se e somente se K é um campo infinito. Por exemplo, se K é um campo finito então deixe . p é um polinomial diferente de zero em K [ X ], no entanto, para todos t em K , de modo que é a função de zero e a homomorphism não é um isomorfismo (e, na verdade, as algebras não são isomorfos, uma vez que a álgebra de polinómios é infinita, enquanto que de funções polinomiais é finita). ${\ Displaystyle A = K [x]}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle {\ hat {f}}}$${\ Displaystyle {\ chapéu {f}} (t) = f (t)}$${\ Displaystyle f \ mapsto {\ hat {f}}}$${\ Displaystyle p (x) = \ prod \ limites _ {t \ em K} (xt)}$${\ Displaystyle p (t) = 0}$${\ Displaystyle {\ hat {p}} = 0}$

Se K é infinito em seguida, escolher um polinômio f tal que . Queremos mostrar isso implica que . Deixe e deixar ser n  + 1 elementos distintos de K . Em seguida, para e por Lagrange interpolação temos . Por isso, o mapeamento é injetivo. Uma vez que este mapeamento é claramente sobrejetivo, é bijective e, assim, um isomorfismo álgebra de A e B . ${\ Displaystyle {\ hat {f}} = 0}$${\ Displaystyle f = 0}$${\ Displaystyle \ deg f = n}$${\ Displaystyle t_ {0}, t_ {1}, \ pontos, t_ {n}}$${\ F displaystyle (T_ {i}) = 0}$${\ Displaystyle 0 \ leq i \ leq n}$${\ Displaystyle f = 0}$${\ Displaystyle f \ mapsto {\ hat {f}}}$

Simétricas mapas multilineares

Vamos k ser um campo infinito de característica zero (ou pelo menos muito grande) e V um espaço vectorial de dimensão finita.

Vamos denotar o espaço vectorial de funcionais multilineales que são simétricas; é a mesma para todas as permutações de 's. ${\ Displaystyle S ^ {q} (V)}$${\ Displaystyle \ textstyle \ lambda: \ prod _ {1} ^ {q} V \ a k}$${\ Displaystyle \ lambda (v_ {1}, \ pontos, v_ {q})}$${\ Displaystyle v_ {i}}$

Qualquer λ em dá origem a uma função polinomial homogênea f de grau q : nós apenas vamos Para ver que f é uma função polinomial, escolha uma base de V e seu duplo. Então ${\ Displaystyle S ^ {q} (V)}$${\ Displaystyle f (v) = \ lambda (v, \ pontos, v).}$${\ Displaystyle e_ {i}, \, 1 \ i \ leq leq n}$${\ Displaystyle t_ {i}}$

${\ Displaystyle \ lambda (v_ {1}, \ pontos, v_ {q}) = \ soma _ {i_ {1}, \ pontos, i_ {q} = 1} ^ {n} \ lambda (e_ {i_ { 1}}, \ pontos, e_ {i_ {q}}) {t_ i_ {1}} (v_ {1}) \ cdots T_ {i_ {q}} (v_ {q})}$,

o que implica f é um polinômio em t _i 's.

Assim, existe um mapa linear bem definidos:

${\ Displaystyle \ phi: S ^ {q} (V) \ a k [V] _ {q}, \, \ phi (\ lambda) (v) = \ lambda (v, \ cdots, v)}.$

Mostramos que é um isomorfismo. Escolhendo uma base como antes, qualquer função polinomial homogênea f de grau q pode ser escrita como:

${\ Displaystyle f = \ soma _ {i_ {1}, \ pontos, i_ {q} = 1} ^ {n} {{1} \ cdots i_ {}} T_ {{1}} \ cdots i_ A_ i_ q t_ {i_ {q}}}$

onde são simétricas em . Deixei ${\ Displaystyle a_ {i_ {1} \ cdots i_ {q}}}$${\ Displaystyle i_ {1}, \ pontos, i_ {q}}$

${\ Displaystyle \ psi (f) (v_ {1}, \ pontos, v_ {q}) = \ soma _ {i_ {1}, \ cdots, i_ {q} = 1} ^ {n} A_ {i_ { 1} \ cdots i_ {q}} T_ {i_ {1}} (v_ {1}) \ cdots T_ {i_ {q}} (v_ {q}).}$

Claramente, φ ∘ ψ é a identidade; em particular, é φ sobrejetivo. Para ver φ é injective, suponha que φ (λ) = 0. Considere

${\ Displaystyle \ phi (\ lambda) (t_ {1} v_ {1} + \ cdots + T_ {q} v_ {q}) = \ lambda (T_ {1} v_ {1} + \ cdots + T_ {q } v_ {q}, ..., t_ {1} v_ {1} + \ cdots + t_ {q} v_ {q})}$,

que é igual a zero. O coeficiente de t ₁ t ₂ ... t _q na expressão acima é q! vezes λ ( v ₁ , ..., v _q ); segue-se que λ = 0.

Nota: φ é independente de uma escolha da base; por isso a prova acima mostra que ψ também é independente de uma base, o fato de não a priori óbvio.

Exemplo: Um bilinear funcional dá origem a uma forma quadrática de um modo único e qualquer forma quadrática surge deste modo.

expansão da série de Taylor

Dada uma função suave, localmente, um pode obter um derivado parcial da função da sua expansão em série de Taylor e, por outro lado, pode-se recuperar a função da expansão em série. Este facto continua a manter para polinômios funções em um espaço vetorial. Se f é em k [ V ], em seguida, podemos escrever: para x , y em V ,

${\ Displaystyle f (x + y) = \ soma _ {n = 0} ^ {\ infty} g_ {n} (x, y)}$

onde g _n (x, y) são homogéneas de grau N em Y e apenas um número finito muitos deles são diferentes de zero. Em seguida, deixar

${\ Displaystyle (P_ {y f}) (x) = g_ {1} (x, y),}$

resultando na endomorfismo linear P _y de K [ V ]. Ele é chamado o operador polarização. Temos, então, como prometido:

Prova: Em primeiro lugar temos conhecimento de que ( P _y f ) ( x ) é o coeficiente de t em f ( x + T y ); em outras palavras, desde g ₀ ( x , y ) = g ₀ ( x , 0) = f ( x ),

${\ Displaystyle P_ {y} f (x) = \ left {d \ over dt} \ right |. _ {T = 0} f (x + ty)}$

onde o lado direito é, por definição,

${. \ Displaystyle \ left {f (x + ty) -f (x) \ over t} \ right |. _ {T = 0}}$

O teorema segue a partir deste. Por exemplo, para n = 2, temos:

${\ Displaystyle P_ {y} ^ {2} f (x) = \ esquerda {\ \ parcial sobre \ t_ parcial {1}} \ direito |. _ {T_ {1} = 0} P_ {y} f (x + T_ {1} y) = \ esquerda {\ \ parcial sobre \ t_ parcial {1}} \ direito |.. _ {T_ {1} = 0} \ esquerda {\ \ parcial sobre \ t_ parcial {2}} \ right |! _ {t_ {2} = 0} f (x + (t_ {1} + t_ {2}) y) = 2 g_ {2} (x, y)}.$

O processo geral é semelhante. ${\ Displaystyle \ praça}$

álgebra produto operador

Quando os polinómios são não avaliada ao longo de um campo k , mas em vez disso são avaliadas sobre alguns álgebra, em seguida, pode-se definir uma estrutura adicional. Assim, por exemplo, pode-se considerar o anel de funções sobre GL (n, m) , em vez de para k = GL (1, m) . Neste caso, pode-se impor um axioma adicional.

A álgebra produto operador é uma álgebra associativa do formulário

${\ Displaystyle Um ^ {i} (X) B ^ {j} (y) = \ soma _ {k} f_ {k} ^ {ij} (x, y, z): C ^ {k} (z)}$

As constantes de estrutura são requeridas para ser funções de valor único, em vez de secções de algum feixe vector . Os campos (ou operadores) são necessárias para abranger o anel de funções . Nos cálculos práticos, é geralmente necessário que as somas ser analítico dentro de alguns raio de convergência ; tipicamente, com um raio de convergência de . Assim, o anel de funções pode ser tomado como sendo o anel de funções polinomiais. ${\ Displaystyle f_ {k} {^ ij} (x, y, z)}$${\ Displaystyle Um ^ {i} (x)}$${\ Displaystyle | xy |}$

A descrição acima pode ser considerado como um requisito adicional imposta ao anel; às vezes é chamado de inicialização . Em física , um caso especial da álgebra produto operador é conhecida como a expansão do produto pelo operador .

Veja também

• geometria algébrica dos espaços projetivos
• anel polinomial
• álgebra simétrica
• espaço tangente Zariski

Notas

Referências

• Kobayashi, S .; Nomizu, K. (1963), Foundations of Differential Geometry , Vol. 2 (novo ed.), Wiley-Interscience (publicado em 2004).