Grupo simplético - Symplectic group

Grupos de mentiras
Grupos clássicos
Grupos de Lie simples Clássico A n B n C n D n Excepcional G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Outros grupos de Lie Círculo Lorentz Poincaré Grupo Conformal Difeomorfismo Ciclo Euclidiana
Álgebras de Lie
Álgebra de Lie semisimples
Teoria da representação
Grupos de mentiras em física
Cientistas Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossário Tabela de grupos de Lie
v t e

Estrutura algébrica → Teoria de grupos Teoria de grupos
Noções básicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo de quociente Produto (semi) direto Homomorfismos de grupo núcleo imagem soma direta produto de grinalda simples finito infinito contínuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diédrico nilpotente solucionável açao Glossário da teoria dos grupos Lista de tópicos de teoria de grupo
Grupos finitos Classificação de grupos finitos simples cíclico alternando Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de Lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall p-grupo Grupo abeliano elementar Grupo Frobenius Multiplicador Schur Grupo simétrico S n Klein quatro grupos V Grupo diédrico D n Quaternion grupo Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Treliças Inteiros ( )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo livre Grupos modulares PSL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo aritmético Malha Grupo hiperbólico
Grupos topológicos e de Lie Solenóide Círculo GL linear geral ( n ) SL linear especial ( n ) Ortogonal O ( n ) E euclidiano ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitária U ( n ) SU unitário especial ( n ) Sp simplético ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difeomorfismo Ciclo Grupo de Lie dimensional infinito O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algébricos Grupo algébrico linear Grupo redutor Variedade abeliana Curva elíptica
v t e

Em matemática , o nome do grupo simpléctica pode referir-se a dois conjuntos de diferentes, mas intimamente relacionados, de matemáticas grupos , denotado Sp (2 n , F ) e Sp ( n ) para o número inteiro positivo n e campo F (geralmente C ou R ). Este último é chamado de grupo simplético compacto e também é denotado por . Muitos autores preferem notações ligeiramente diferentes, geralmente diferindo por fatores de 2 . A notação usada aqui é consistente com o tamanho das matrizes mais comuns que representam os grupos. Na classificação de Cartan das álgebras de Lie simples , a álgebras de Lie do grupo complexo Sp (2 n , C ) é denotada C _n , e Sp ( n ) é a forma real compacta de Sp (2 n , C ) . Note que quando nos referimos ao grupo simplético (compacto) é implícito que nós estamos falando sobre a coleção de (compactos) grupos simplécticas, indexados pela sua dimensão n . ${\ displaystyle \ mathrm {USp} (n)}$

O nome "grupo simplético" é devido a Hermann Weyl como uma substituição para os nomes confusos anteriores ( linha ) grupo complexo e grupo linear Abeliano , e é o análogo grego de "complexo".

O grupo metaplético é uma cobertura dupla do grupo simplético sobre R ; ele tem análogos sobre outros campos locais , campos finitos e anéis adele .

Sp (2 n , F )

O grupo simplético é um grupo clássico definido como o conjunto de transformações lineares de um espaço vetorial 2 n- dimensional sobre o campo F que preserva uma forma bilinear simétrica não degenerada . Esse espaço vetorial é chamado de espaço vetorial simplético , e o grupo simplético de um espaço vetorial simplético abstrato V é denotado por Sp ( V ) . Ao fixar uma base para V , o grupo simplético passa a ser o grupo de matrizes simpléticas 2 n × 2 n , com entradas em F , sob a operação de multiplicação de matrizes . Este grupo é denominado Sp (2 n , F ) ou Sp ( n , F ) . Se a forma bilinear é representada pela matriz assimétrica não singular Ω, então

${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (2n, F) = \ {M \ in M_ {2n \ times 2n} (F): M ^ {\ mathrm {T}} \ Omega M = \ Omega \},}$

onde M ^T é a transposta de M . Freqüentemente, Ω é definido para ser

${\ displaystyle \ Omega = {\ begin {pmatrix} 0 & I_ {n} \\ - I_ {n} & 0 \\\ end {pmatrix}},}$

onde I _n é a matriz de identidade. Neste caso, Sp (2 n , F ) pode ser expresso como aquelas matrizes de bloco , onde , satisfazendo as três equações: ${\ displaystyle ({\ begin {smallmatrix} A&B \\ C&D \ end {smallmatrix}})}$${\ displaystyle A, B, C, D \ in M_ {n \ times n} (F)}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} -C ^ {\ mathrm {T}} A + A ^ {\ mathrm {T}} C & = 0, \\ - C ^ {\ mathrm {T}} B + A ^ {\ mathrm {T}} D & = I_ {n}, \\ - D ^ {\ mathrm {T}} B + B ^ {\ mathrm {T}} D & = 0. \ end {alinhado}}}$

Uma vez que todas as matrizes simpléticas têm determinante 1 , o grupo simplético é um subgrupo do grupo linear especial SL (2 n , F ) . Quando n = 1 , a condição simplética em uma matriz é satisfeita se e somente se o determinante for um, de modo que Sp (2, F ) = SL (2, F ) . Para n > 1 , existem condições adicionais, ou seja, Sp (2 n , F ) é então um subgrupo apropriado de SL (2 n , F ) .

Tipicamente, o campo F é o campo de números reais R ou números complexo C . Nestes casos, Sp (2 n , F ) é um grupo de Lie real / complexo de dimensão real / complexa n (2 n + 1) . Esses grupos são conectados, mas não compactos .

O centro de Sp (2 n , F ) consiste nas matrizes I _{2 n} e - I _{2 n} desde que a característica do campo não seja 2 . Como o centro de Sp (2 n , F ) é discreto e seu quociente módulo o centro é um grupo simples , Sp (2 n , F ) é considerado um grupo de Lie simples .

A classificação real da álgebra de Lie correspondente e, portanto, do grupo de Lie Sp (2 n , F ) , é n .

A álgebra de Lie de Sp (2 n , F ) é o conjunto

${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} (2n, F) = \ {X \ in M_ {2n \ times 2n} (F): \ Omega X + X ^ {\ mathrm {T}} \ Omega = 0 \ },}$

equipado com o comutador como seu suporte Lie. Para a forma bilinear skew-simétrica padrão , esta álgebra de Lie é o conjunto de todas as matrizes de bloco sujeitas às condições ${\ displaystyle \ Omega = ({\ begin {smallmatrix} 0 & I \\ - I & 0 \ end {smallmatrix}})}$${\ displaystyle ({\ begin {smallmatrix} A&B \\ C&D \ end {smallmatrix}})}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} A & = - D ^ {\ mathrm {T}}, \\ B & = B ^ {\ mathrm {T}}, \\ C & = C ^ {\ mathrm {T}}. \ end {alinhado}}}$

Sp (2 n , C )

O grupo simpléctica sobre o campo de números complexos é um não-compacto , simplesmente ligado , grupo de Lie simples .

Sp (2 n , R )

Sp ( n , C ) é a complexificação do grupo real Sp (2 n , R ) . Sp (2 n , R ) é um real, não compacta , ligado , grupo de Lie simples . Possui um grupo fundamental isomorfo ao grupo dos inteiros sob adição. Como a forma real de um grupo de Lie simples, sua álgebra de Lie é uma álgebra de Lie divisível .

Algumas outras propriedades de Sp (2 n , R ) :

• O mapa exponencial da álgebra de Lie sp (2 n , R ) para o grupo Sp (2 n , R ) não é sobrejetivo . No entanto, qualquer elemento do grupo pode ser representado como o produto de duas exponenciais. Em outras palavras,

${\ displaystyle \ forall S \ in \ operatorname {Sp} (2n, \ mathbf {R}) \, \, \ existe X, Y \ in {\ mathfrak {sp}} (2n, \ mathbf {R}) \ , \, S = e ^ {X} e ^ {Y}.}$

• Para todos os S em Sp (2 n , R ) :

${\ displaystyle S = OZO '\ quad {\ text {tal que}} \ quad O, O' \ in \ operatorname {Sp} (2n, \ mathbf {R}) \ cap \ operatorname {SO} (2n) \ cong U (n) \ quad {\ text {e}} \ quad Z = {\ begin {pmatrix} D & 0 \\ 0 & D ^ {- 1} \ end {pmatrix}}.}$

A matriz D é definida positiva e diagonal . O conjunto de tais Z s forma um subgrupo não compacto de Sp (2 n , R ) enquanto U ( n ) forma um subgrupo compacto. Esta decomposição é conhecida como decomposição de 'Euler' ou 'Bloch-Messias'. Outras propriedades de matriz simplética podem ser encontradas nessa página da Wikipedia.

• Como um grupo de Lie , Sp (2 n , R ) tem uma estrutura múltipla. A variedade para Sp (2 n , R ) é difeomórfica ao produto cartesiano do grupo unitário U ( n ) com um espaço vetorial de dimensão n ( n +1) .

Geradores infinitesimais

Os membros da álgebra de Lie simplética sp (2 n , F ) são as matrizes hamiltonianas .

Estas são matrizes, tais que${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle Q = {\ begin {pmatrix} A&B \\ C & -A ^ {\ mathrm {T}} \ end {pmatrix}}}$

onde B e C são matrizes simétricas . Veja o grupo clássico para uma derivação.

Exemplo de matrizes simpléticas

Para Sp (2, R ) , o grupo de matrizes 2 × 2 com determinante 1 , as três matrizes simpléticas (0, 1) são:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {and}} \ quad { \ begin {pmatrix} 1 e 1 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}.}$

Sp (2n, R)

Acontece que pode ter uma descrição bastante explícita usando geradores. Se deixarmos denotar as matrizes simétricas , então é gerado por onde${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (2n, \ mathbf {R})}$${\ displaystyle \ operatorname {Sym} (n)}$${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (2n, \ mathbf {R})}$${\ displaystyle D (n) \ cup N (n) \ cup \ {\ Omega \},}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} D (n) & = \ left \ {\ left. {\ begin {bmatrix} A & 0 \\ 0 & (A ^ {T}) ^ {- 1} \ end {bmatrix}} \, \ right | \, A \ in \ operatorname {GL} (n, \ mathbf {R}) \ right \} \\ [6pt] N (n) & = \ left \ {\ left. {\ begin { bmatriz} I_ {n} & B \\ 0 & I_ {n} \ end {bmatriz}} \, \ right | \, B \ in \ operatorname {Sym} (n) \ right \} \ end {alinhado}}}$

são subgrupos da página ^{173 página 2} . ${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (2n, \ mathbf {R})}$

Relação com geometria simplética

A geometria simplética é o estudo das variedades simpléticas . O espaço tangente em qualquer ponto de uma variedade simplética é um espaço vetorial simplético . Como observado anteriormente, as transformações que preservam a estrutura de um espaço vetorial simplético formam um grupo e esse grupo é Sp (2 n , F ) , dependendo da dimensão do espaço e do campo sobre o qual é definido.

Um espaço vetorial simplético é em si uma variedade simplética. Uma transformação sob uma ação do grupo simplético é, portanto, em certo sentido, uma versão linearizada de um simplectomorfismo que é uma estrutura mais geral que preserva a transformação em uma variedade simplética.

Sp ( n )

O grupo simplético compacto Sp ( n ) é a interseção de Sp (2 n , C ) com o grupo unitário: ${\ displaystyle 2n \ vezes 2n}$

${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (n): = \ operatorname {Sp} (2n; \ mathbf {C}) \ cap \ operatorname {U} (2n) = \ operatorname {Sp} (2n; \ mathbf {C }) \ cap \ operatorname {SU} (2n).}$

Às vezes é escrito como USp (2 n ) . Alternativamente, Sp ( n ) pode ser descrito como o subgrupo de GL ( n , H ) (matrizes quaterniônicas invertíveis ) que preserva a forma hermitiana padrão em H ⁿ :

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = {\ bar {x}} _ {1} y_ {1} + \ cdots + {\ bar {x}} _ {n} y_ {n}.}$

Ou seja, Sp ( n ) é apenas o grupo unitário quaterniônico , U ( n , H ) . Na verdade, às vezes é chamado de grupo hiperunitário . Também Sp (1) é o grupo de quatérnions da norma 1 , equivalente a SU (2) e topologicamente a 3 -sfera S ³ .

Observe que Sp ( n ) não é um grupo simplético no sentido da seção anterior - ele não preserva uma forma H- bilinear simétrica inclinada não degenerada em H ⁿ : não existe tal forma, exceto a forma zero. Em vez disso, é isomórfico a um subgrupo de Sp (2 n , C ) e, portanto, preserva uma forma simplética complexa em um espaço vetorial de duas vezes a dimensão. Conforme explicado abaixo, a álgebra de Lie de Sp ( n ) é a forma real compacta da álgebra de Lie simplética complexa sp (2 n , C ) .

Sp ( n ) é um grupo de Lie real com dimensão (real) n (2 n + 1) . É compacto e conectado de forma simples .

A álgebra de Lie de Sp ( n ) é dada pelos quaterniônicos inclinar-Hermitiana matrizes, o conjunto de n -by- n matrizes quaterniônicos que satisfazem

${\ displaystyle A + A ^ {\ dagger} = 0}$

onde A ^† é a transposta conjugada de A (aqui toma-se o conjugado quaterniônico). O suporte de Lie é fornecido pelo comutador.

Subgrupos importantes

Alguns subgrupos principais são:

${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (n) \ supset \ operatorname {Sp} (n-1)}$

${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (n) \ supset \ operatorname {U} (n)}$

${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (2) \ supset \ operatorname {O} (4)}$

Por outro lado, ele próprio é um subgrupo de alguns outros grupos:

${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2n) \ supset \ operatorname {Sp} (n)}$

${\ displaystyle \ operatorname {F} _ {4} \ supset \ operatorname {Sp} (4)}$

${\ displaystyle \ operatorname {G} _ {2} \ supset \ operatorname {Sp} (1)}$

Existem também os isomorfismos das álgebras de Lie sp (2) = so (5) e sp (1) = so (3) = su (2) .

Relação entre os grupos simpléticos

Cada álgebra de Lie complexa e semi-simples tem uma forma real dividida e uma forma real compacta ; o primeiro é chamado de complexificação dos dois últimos.

A álgebra de Lie de Sp (2 n , C ) é semisimples e é denotada como sp (2 n , C ) . Sua forma real dividida é sp (2 n , R ) e sua forma real compacta é sp ( n ) . Estes correspondem aos grupos de Lie Sp (2 n , R ) e Sp ( n ) respectivamente.

As álgebras, sp ( p , n - p ) , que são as álgebras de Lie de Sp ( p , n - p ) , são a assinatura indefinida equivalente à forma compacta.

Significado físico

Mecânica clássica

O grupo simplético compacto Sp ( n ) surge na física clássica como as simetrias de coordenadas canônicas preservando o colchete de Poisson.

Considere um sistema de n partículas, evoluindo sob as equações de Hamilton, cuja posição no espaço de fase em um determinado momento é denotada pelo vetor de coordenadas canônicas ,

${\ displaystyle \ mathbf {z} = (q ^ {1}, \ ldots, q ^ {n}, p_ {1}, \ ldots, p_ {n}) ^ {\ mathrm {T}}.}$

Os elementos do grupo Sp (2 n , R ) são, em certo sentido, transformações canônicas neste vetor, ou seja, preservam a forma das equações de Hamilton . Se

${\ displaystyle \ mathbf {Z} = \ mathbf {Z} (\ mathbf {z}, t) = (Q ^ {1}, \ ldots, Q ^ {n}, P_ {1}, \ ldots, P_ { n}) ^ {\ mathrm {T}}}$

são novas coordenadas canônicas, então, com um ponto denotando derivada de tempo,

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {Z}}} = M ({\ mathbf {z}}, t) {\ dot {\ mathbf {z}}},}$

Onde

${\ displaystyle M (\ mathbf {z}, t) \ in \ operatorname {Sp} (2n, \ mathbf {R})}$

para todo t e todo z no espaço de fase.

Para o caso especial de uma variedade Riemanniana , as equações de Hamilton descrevem as geodésicas dessa variedade. As coordenadas vivem no feixe tangente à variedade e os momentos vivem no feixe cotangente . Esta é a razão pela qual eles são escritos convencionalmente com índices superiores e inferiores; é para distinguir suas localizações. O hamiltoniano correspondente consiste puramente na energia cinética: é onde está o inverso do tensor métrico na variedade Riemanniana. Na verdade, o feixe cotangente de qualquer variedade lisa pode ser uma dada estrutura simplética (não trivial) de uma forma canônica, com a forma simplética definida como a derivada externa da forma unificada tautológica . ${\ displaystyle q ^ {i}}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle H = {\ tfrac {1} {2}} g ^ {ij} (q) p_ {i} p_ {j}}$${\ displaystyle g ^ {ij}}$ ${\ displaystyle g_ {ij}}$

Mecânica quântica

Considere um sistema de n partículas cujo estado quântico codifica sua posição e momento. Essas coordenadas são variáveis ​​contínuas e, portanto, o espaço de Hilbert , no qual o estado vive, tem dimensão infinita. Isso geralmente torna a análise dessa situação complicada. Uma abordagem alternativa é considerar a evolução dos operadores de posição e momento sob a equação de Heisenberg no espaço de fase .

Construa um vetor de coordenadas canônicas ,

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {z}} = ({\ hat {q}} ^ {1}, \ ldots, {\ hat {q}} ^ {n}, {\ hat {p}} _ { 1}, \ ldots, {\ hat {p}} _ {n}) ^ {\ mathrm {T}}.}$

A relação de comutação canônica pode ser expressa simplesmente como

${\ displaystyle [\ mathbf {\ hat {z}}, \ mathbf {\ hat {z}} ^ {\ mathrm {T}}] = i \ hbar \ Omega}$

Onde

${\ displaystyle \ Omega = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & I_ {n} \\ - I_ {n} & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}$

e I _n é o n × n matriz identidade.

Muitas situações físicas requerem apenas hamiltonianos quadráticos , ou seja, hamiltonianos da forma

${\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {\ hat {z}} ^ {\ mathrm {T}} K \ mathbf {\ hat {z}}}$

onde K é uma matriz simétrica real 2 n × 2 n . Isso acaba sendo uma restrição útil e nos permite reescrever a equação de Heisenberg como

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {\ hat {z}}} {dt}} = \ Omega K \ mathbf {\ hat {z}}}$

A solução para esta equação deve preservar a relação de comutação canônica . Pode-se mostrar que a evolução temporal desse sistema equivale a uma ação do grupo simplético real, Sp (2 n , R ) , no espaço de fase.

Veja também

• Grupo ortogonal
• Grupo unitário
• Grupo unitário projetivo
• Colector Simpléctica , matriz Simpléctica , espaço vectorial Simpléctica , representação Simpléctica
• Representações de grupos de Lie clássicos
• Mecânica hamiltoniana
• Grupo metaplético
• Θ10

Notas

Referências

• Arnold, VI (1989), Mathematical Methods of Classical Mechanics , Graduate Texts in Mathematics , 60 (segunda edição), Springer-Verlag , ISBN 0-387-96890-3
• Hall, Brian C. (2015), grupos de Lie, álgebras de Lie e representações: uma introdução elementar , textos de graduação em matemática, 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Fulton, W .; Harris, J. (1991), Teoria da Representação, Um primeiro curso , Textos de Graduação em Matemática , 129 , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97495-8.
• Goldstein, H. (1980) [1950]. "Capítulo 7". Mecânica Clássica (2ª ed.). Leitura MA: Addison-Wesley . ISBN 0-201-02918-9.
• Lee, JM (2003), Introduction to Smooth manifolds , Graduate Texts in Mathematics , 218 , Springer-Verlag , ISBN 0-387-95448-1
• Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups - An Introduction Through Linear Groups , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
• Ferraro, Alessandro; Olivares, Stefano; Paris, Matteo GA (março de 2005), "Gaussian states inuous variable quantum information", arXiv : quant-ph / 0503237.