G 2 (matemática) -G2 (mathematics)

Em matemática , G 2 é o nome de três grupos de Lie simples (uma forma complexa, uma forma real compacta e uma forma real dividida), suas álgebras de Lie , bem como alguns grupos algébricos . Eles são os menores dos cinco grupos de Lie simples excepcionais . G 2 possui posto 2 e dimensão 14. Possui duas representações fundamentais , com dimensão 7 e 14.

A forma compacta de G 2 pode ser descrita como o grupo de automorfismo da álgebra de octonion ou, equivalentemente, como o subgrupo de SO (7) que preserva qualquer vetor particular escolhido em sua representação espinora real de 8 dimensões (uma representação de spin ).

História

A álgebra de Lie , sendo a menor álgebra de Lie simples excepcional, foi a primeira delas a ser descoberta na tentativa de classificar álgebras de Lie simples. Em 23 de maio de 1887, Wilhelm Killing escreveu uma carta a Friedrich Engel dizendo que havia encontrado uma álgebra de Lie simples de 14 dimensões, que agora chamamos .

Em 1893, Élie Cartan publicou uma nota descrevendo um conjunto aberto equipado com uma distribuição bidimensional - isto é, um campo que varia suavemente de subespaços bidimensionais do espaço tangente - para o qual a álgebra de Lie aparece como as simetrias infinitesimais. No mesmo ano, na mesma revista, Engel notou a mesma coisa. Mais tarde, foi descoberto que a distribuição bidimensional está intimamente relacionada a uma bola rolando em outra bola. O espaço de configurações da bola rolante é 5-dimensional, com uma distribuição bidimensional que descreve os movimentos da bola onde ela rola sem escorregar ou torcer.

Em 1900, Engel descobriu que uma forma trilinear antissimétrica genérica (ou forma tridimensional) em um espaço vetorial complexo de 7 dimensões é preservada por um grupo isomórfico à forma complexa de G 2 .

Em 1908, Cartan mencionou que o grupo de automorfismo das octonions é um grupo de Lie simples de 14 dimensões. Em 1914, ele afirmou que esta é a forma real compacta de G 2 .

Em livros e artigos mais antigos, G 2 às vezes é denotado por E 2 .

Formas reais

Existem 3 álgebras de Lie reais simples associadas a este sistema raiz:

  • A álgebra de Lie real subjacente da álgebra de Lie complexa G 2 tem dimensão 28. Ela tem conjugação complexa como um automorfismo externo e é simplesmente conectada. O subgrupo compacto máximo de seu grupo associado é a forma compacta de G 2 .
  • A álgebra de Lie da forma compacta é 14-dimensional. O grupo de Lie associado não tem automorfismos externos, nenhum centro e é simplesmente conectado e compacto.
  • A álgebra de Lie da forma não compacta (divisão) tem dimensão 14. O grupo de Lie simples associado tem grupo fundamental de ordem 2 e seu grupo de automorfismo externo é o grupo trivial. Seu subgrupo compacto máximo é SU (2) × SU (2) / (- 1, -1) . Ele tem uma capa dupla não algébrica que é simplesmente conectada.

Álgebra

Diagrama Dynkin e matriz Cartan

O diagrama Dynkin para G 2 é dado por Diagrama Dynkin de G 2.

Sua matriz Cartan é:

Raízes do G 2

Sistema raiz G2.svg
O sistema radicular de 12 vetores de G 2 em 2 dimensões.
3-cubo t1.svg
A projeção do plano A 2 Coxeter dos 12 vértices do cuboctaedro contém o mesmo arranjo vetorial 2D.
G2Coxeter.svg
Gráfico de G2 como um subgrupo de F4 e E8 projetado no plano de Coxeter

Embora abranjam um espaço bidimensional, conforme desenhado, é muito mais simétrico considerá-los como vetores em um subespaço bidimensional de um espaço tridimensional.

(1, −1,0), (−1,1,0)
(1,0, -1), (-1,0,1)
(0,1, −1), (0, −1,1)
(2, −1, −1), (−2,1,1)
(1, −2,1), (−1,2, −1)
(1,1, −2), (−1, −1,2)

Um conjunto de raízes simples , paraDyn2-node n1.pngDyn2-6a.pngDyn2-node n2.png é:

(0,1, −1), (1, −2,1)

Grupo Weyl / Coxeter

Seu grupo Weyl / Coxeter é o grupo diedro , de ordem 12. Possui grau de fidelidade mínimo .

Holonomia especial

G 2 é um dos possíveis grupos especiais que podem aparecer como o grupo holonomia de uma métrica Riemanniana . As variedades da holonomia G 2 também são chamadas de variedades G 2 .

Invariante polinomial

G 2 é o grupo de automorfismo dos dois polinômios seguintes em 7 variáveis ​​não comutativas.

(± permutações)

que vem da álgebra de octonion. As variáveis ​​devem ser não comutativas, caso contrário, o segundo polinômio seria igual a zero.

Geradores

Adicionando uma representação dos 14 geradores com coeficientes A , ...,  N dá a matriz:

É exatamente a álgebra de Lie do grupo

Representações

Os caracteres das representações de dimensão finita das álgebras de Lie reais e complexas e dos grupos de Lie são todos dados pela fórmula de caracteres de Weyl . As dimensões das menores representações irredutíveis são (sequência A104599 no OEIS ):

1, 7, 14, 27, 64, 77 (duas vezes), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (duas vezes), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (duas vezes), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090….

A representação 14-dimensional é a representação adjunta , e a representação 7-dimensional é a ação de G 2 nas octonions imaginárias.

Existem duas representações irredutíveis não isomórficas de dimensões 77, 2079, 4928, 30107, etc. As representações fundamentais são aquelas com dimensões 14 e 7 (correspondendo aos dois nós no diagrama Dynkin na ordem em que a seta tripla aponta de o primeiro para o segundo).

Vogan (1994) descreveu as representações irredutíveis unitárias (dimensionais infinitas) da forma real dividida de G 2 .

Grupos finitos

O grupo G 2 ( q ) são os pontos do grupo algébrico G 2 sobre o corpo finito F q . Esses grupos finitos foram introduzidos pela primeira vez por Leonard Eugene Dickson em Dickson (1901) para q ímpar e Dickson (1905) para q par . A ordem de G 2 ( q ) é q 6 ( q 6 - 1) ( q 2 - 1) . Quando q ≠ 2 , o grupo é simples , e quando q = 2 , ele tem um subgrupo simples de índice 2 isomórfico a 2 A 2 (3 2 ), e é o grupo de automorfismo de uma ordem máxima de oitocões. O grupo Janko J 1 foi inicialmente construído como um subgrupo do G 2 (11). Ree (1960) introduziu grupos Ree torcidos 2 G 2 ( q ) da ordem q 3 ( q 3 + 1) ( q - 1) para q = 3 2 n +1 , uma potência ímpar de 3.

Veja também

Referências

Consulte a seção 4.1: G 2 ; uma versão HTML online está disponível em http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node14.html .