Isomorfismo de grupo - Group isomorphism

Em álgebra abstrata , um isomorfismo de grupo é uma função entre dois grupos que estabelece uma correspondência um-para-um entre os elementos dos grupos de uma forma que respeita as operações de grupo dadas. Se existe um isomorfismo entre dois grupos, então os grupos são chamados de isomórficos . Do ponto de vista da teoria dos grupos, os grupos isomórficos têm as mesmas propriedades e não precisam ser distinguidos.

Definição e notação

Dados dois grupos e um isomorfismo grupo de a é um bijective homomorphism grupo a partir de explicitadas, isto significa que um isomorfismo grupo é uma função bijectiva de tal modo que para todos e em que detém que ${\ displaystyle (G, *)}$ ${\ displaystyle (H, \ odot),}$ ${\ displaystyle (G, *)}$ ${\ displaystyle (H, \ odot)}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H.}$ ${\ displaystyle f: G \ a H}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle G}$

{\ displaystyle f (u * v) = f (u) \ odot f (v).}

Os dois grupos e são isomorfos se existe um isomorfismo de um para o outro. Isto está escrito: ${\ displaystyle (G, *)}$ ${\ displaystyle (H, \ odot)}$

{\ displaystyle (G, *) \ cong (H, \ odot)}

Freqüentemente, notações mais curtas e simples podem ser usadas. Quando as operações de grupo relevantes não são ambíguas, são omitidas e escreve-se:

{\ displaystyle G \ cong H}

Às vezes, pode-se até simplesmente escrever = Se tal notação é possível sem confusão ou ambigüidade depende do contexto. Por exemplo, o sinal de igual não é muito adequado quando os grupos são ambos subgrupos do mesmo grupo. Veja também os exemplos. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H.}$

Por outro lado, dado a um grupo um conjunto e uma bijeção , podemos fazer um grupo definindo ${\ displaystyle (G, *),}$ ${\ displaystyle H,}$ ${\ displaystyle f: G \ a H,}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle (H, \ odot)}$

{\ displaystyle f (u) \ odot f (v) = f (u * v).}

Se = e então a bijeção é um automorfismo ( qv ). ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ odot = *}$

Intuitivamente, teóricos grupo visualizar dois grupos isomorfos da seguinte forma: Para cada elemento de um grupo que existe um elemento de tal modo que 'se comporta da mesma maneira' como (opera com outros elementos do grupo do mesmo modo como ). Por exemplo, se gera, então o faz. Isso implica em particular que e estão em correspondência bijetiva. Assim, a definição de um isomorfismo é bastante natural. ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle G,}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle G,}$ ${\ displaystyle h.}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$

Um isomorfismo de grupos pode equivalentemente ser definido como um morfismo invertível na categoria de grupos , onde invertível aqui significa que tem um inverso de dois lados.

Exemplos

Nesta seção, alguns exemplos notáveis de grupos isomórficos são listados.

O grupo de todos os números reais com adição é isomorfo ao grupo de números reais positivos com multiplicação : ${\ displaystyle (\ mathbb {R}, +),}$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbb {R} ^ {+}, \ times \ right)}$

${\ displaystyle (\ mathbb {R}, +) \ cong (\ mathbb {R} ^ {+}, \ times)}$ via isomorfismo

${\ displaystyle f (x) = e ^ {x}}$ (ver função exponencial ).
O grupo de inteiros (com adição) é um subgrupo de e o grupo de fatores é isomórfico ao grupo de números complexos de valor absoluto 1 (com multiplicação): ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} / \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle S ^ {1}}$
${\ displaystyle \ mathbb {R} / \ mathbb {Z} \ cong S ^ {1}}$
O quatro grupos de Klein é isomórfico ao produto direto de duas cópias de (veja a aritmética modular ), e pode, portanto, ser escrito. Outra notação é porque é um grupo diedro . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} = \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} \ times \ mathbb {Z} _ {2}.}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Dih} _ {2},}$
Generalizando isso, pois todo ímpar é isomórfico com o produto direto de e ${\ displaystyle n,}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Dih} _ {2n}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Dih} _ {n}}$ ${\ displaystyle Z_ {2}.}$
Se for um grupo cíclico infinito , então é isomórfico aos inteiros (com a operação de adição). Do ponto de vista algébrico, isso significa que o conjunto de todos os inteiros (com a operação de adição) é o 'único' grupo cíclico infinito. ${\ displaystyle (G, *)}$ ${\ displaystyle (G, *)}$

Alguns grupos podem ser considerados isomórficos, baseando-se no axioma de escolha , mas a prova não indica como construir um isomorfismo concreto. Exemplos:

O grupo é isomórfico ao grupo de todos os números complexos com adição. ${\ displaystyle (\ mathbb {R}, +)}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {C}, +)}$
O grupo de números complexos diferentes de zero com multiplicação como operação é isomórfico ao grupo mencionado acima. ${\ displaystyle (\ mathbb {C} ^ {*}, \ cdot)}$ ${\ displaystyle S ^ {1}}$

Propriedades

O núcleo de um isomorfismo de a é sempre {e _G } onde e _G é a identidade do grupo ${\ displaystyle (G, *)}$ ${\ displaystyle (H, \ odot),}$ ${\ displaystyle (G, *)}$

Se e for isomórfico, então é abeliano se e somente se for abeliano. ${\ displaystyle (G, *)}$ ${\ displaystyle (H, \ odot)}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$

Se é um isomorfismo de até então para qualquer, a ordem de igual à ordem de ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle (G, *)}$ ${\ displaystyle (H, \ odot),}$ ${\ displaystyle a \ in G,}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle f (a).}$

Se e for isomórfico, então o grupo é localmente finito se e somente se for localmente finito. ${\ displaystyle (G, *)}$ ${\ displaystyle (H, \ odot)}$ ${\ displaystyle (G, *)}$ ${\ displaystyle (H, \ odot)}$

O número de grupos distintos (até isomorfismo) de ordem é dado pela sequência A000001 em OEIS . Os primeiros números são 0, 1, 1, 1 e 2, o que significa que 4 é a ordem mais baixa com mais de um grupo. ${\ displaystyle n}$

Grupos cíclicos

Todos os grupos cíclicos de uma determinada ordem são isomórficos, onde denota módulo de adição ${\ displaystyle (\ mathbb {Z} _ {n}, + _ {n}),}$ ${\ displaystyle + _ {n}}$ ${\ displaystyle n.}$

Seja um grupo cíclico e seja a ordem de é então o grupo gerado por Vamos mostrar que ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle G.}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ langle x \ rangle = \ {e, x, \ ldots, x ^ {n-1} \}.}$

{\ displaystyle G \ cong \ left (\ mathbb {Z} _ {n}, + _ {n} \ right).}

Definir

{\ displaystyle \ varphi: G \ to \ mathbb {Z} _ {n} = \ {0,1, \ ldots, n-1 \},}

de modo que Claramente, é bijetivo. Então

{\ displaystyle \ varphi \ left (x ^ {a} \ right) = a.}

{\ displaystyle \ varphi}

{\ displaystyle \ varphi \ left (x ^ {a} \ cdot x ^ {b} \ right) = \ varphi \ left (x ^ {a + b} \ right) = a + b = \ varphi \ left (x ^ {a} \ right) + _ {n} \ varphi \ left (x ^ {b} \ right),}

o que prova que

{\ displaystyle G \ cong \ left (\ mathbb {Z} _ {n}, + _ {n} \ right).}

Consequências

Da definição, segue-se que qualquer isomorfismo mapeará o elemento de identidade de para o elemento de identidade de ${\ displaystyle f: G \ a H}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H,}$

{\ displaystyle f \ left (e_ {G} \ right) = e_ {H}}

que mapeará inversos para inversos,

{\ displaystyle f \ left (u ^ {- 1} \ right) = [f (u)] ^ {- 1} \ quad {\ text {para todos}} u \ em G,}

e, mais geralmente, ^th poderes para ^th poderes,

{\ displaystyle b}

{\ displaystyle n}

{\ displaystyle f \ left (u ^ {n} \ right) = [f (u)] ^ {n} \ quad {\ text {para todos}} u \ em G,}

e que o mapa inverso também é um isomorfismo de grupo.

{\ displaystyle f ^ {- 1}: H \ a G}

A relação "ser isomórfico" satisfaz todos os axiomas de uma relação de equivalência . Se é um isomorfismo entre dois grupos e então tudo o que é verdade sobre o que está apenas relacionado à estrutura do grupo pode ser traduzido por meio de uma afirmação idem verdadeira sobre e vice-versa. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H,}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle H,}$

Automorfismos

Um isomorfismo de um grupo para si mesmo é chamado de

automorfismo desse grupo. Portanto, é uma bijeção tal que

{\ displaystyle (G, *)}

{\ displaystyle f: G \ a G}

{\ displaystyle f (u) * f (v) = f (u * v).}

Um automorfismo sempre mapeia a identidade para si mesmo. A imagem sob um automorfismo de uma classe de conjugação é sempre uma classe de conjugação (a mesma ou outra). A imagem de um elemento tem a mesma ordem desse elemento.

A composição de dois automorfismos é novamente um automorfismo, e com esta operação o conjunto de todos os automorfismos de um grupo denotado por ele mesmo forma um grupo, o

grupo de automorfismo de

{\ displaystyle G,}

{\ displaystyle \ operatorname {Aut} (G),}

{\ displaystyle G.}

Para todos os grupos abelianos existe pelo menos o automorfismo que substitui os elementos do grupo por seus inversos. No entanto, em grupos onde todos os elementos são iguais ao seu inverso, este é o automorfismo trivial, por exemplo, no quatro grupos de Klein . Para esse grupo, todas as permutações dos três elementos de não identidade são automorfismos, então o grupo de automorfismo é isomórfico a e ${\ displaystyle S_ {3}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Dih} _ {3}.}$

Em para um número primo, um elemento de não identidade pode ser substituído por qualquer outro, com mudanças correspondentes nos outros elementos. O grupo de automorfismo é isomórfico a Por exemplo, para multiplicar todos os elementos de por 3, módulo 7, é um automorfismo de ordem 6 no grupo de automorfismo, porque enquanto potências mais baixas não dão 1. Assim, esse automorfismo gera Há mais um automorfismo com esta propriedade: multiplicar todos os elementos de por 5, módulo 7. Portanto, esses dois correspondem aos elementos 1 e 5 de , nessa ordem ou inversamente. ${\ displaystyle Z_ {p}}$ ${\ displaystyle p,}$ ${\ displaystyle Z_ {p-1}}$ ${\ displaystyle n = 7,}$ ${\ displaystyle Z_ {7}}$ ${\ displaystyle 3 ^ {6} \ equiv 1 {\ pmod {7}},}$ ${\ displaystyle Z_ {6}.}$ ${\ displaystyle Z_ {7}}$ ${\ displaystyle Z_ {6},}$

O grupo de automorfismo de é isomórfico a porque apenas cada um dos dois elementos 1 e 5 geram de forma separada da identidade que só podemos intercambiá-los. ${\ displaystyle Z_ {6}}$ ${\ displaystyle Z_ {2},}$ ${\ displaystyle Z_ {6},}$

O grupo de automorfismo de tem ordem 168, como pode ser encontrado a seguir. Todos os 7 elementos de não identidade desempenham o mesmo papel, então podemos escolher qual desempenha o papel de Qualquer um dos 6 restantes podem ser escolhidos para desempenhar o papel de (0,1,0). Isso determina o que corresponde a Pois podemos escolher entre 4, que determina o resto. Portanto, temos automorfismos. Eles correspondem aos do

plano de Fano , dos quais os 7 pontos correspondem aos 7 elementos de não identidade. As linhas que conectam três pontos correspondem à operação do grupo: em uma linha significa e Veja também grupo linear geral sobre campos finitos .