Produto direto de grupos - Direct product of groups

Em matemática , especificamente em teoria grupo , o produto directo é uma operação que demora dois grupos $G$ e $H$ e constrói um novo grupo, geralmente denotada $L \times H$ . Essa operação é o análogo da teoria de grupo do produto cartesiano dos conjuntos e é uma das várias noções importantes de produto direto na matemática.

No contexto de grupos abelianos , o produto direto é algumas vezes referido como a soma direta e é denotado . As somas diretas desempenham um papel importante na classificação dos grupos abelianos: de acordo com o teorema fundamental dos grupos abelianos finitos , todo grupo abeliano finito pode ser expresso como a soma direta de grupos cíclicos . ${\ displaystyle G \ oplus H}$

Definição

Dados os grupos $G$ (com operação $*$ ) e $H$ (com operação $∆$ ), o produto direto $G \times H$ é definido como segue:

O conjunto subjacente é o produto cartesiano, $L \times H$ . Isto é, os pares ordenados $(g, h)$ , onde $g \in G$ e $H \in H$ .
A operação binária em $G \times H$ é definida em termos de componentes:
$(g 1, h 1) \cdot (g 2, h 2) = (g 1 * g 2, h 1 ∆ h 2)$

O objeto algébrico resultante satisfaz os axiomas de um grupo. Especificamente:

Associatividade: A operação binária em $G \times H$ é associativa .
Identidade: O produto directo tem um elemento de identidade , a saber $(1 L, 1 H)$ , em que $um L$ é o elemento de identidade de $L$ e $um H$ é o elemento de identidade de $H$ .
Inversos: O inverso de um elemento $(g, h)$ de $G \times H$ é o par $(g -1, h -1)$ , onde $g -1$ é o inverso de $g$ em $G$ e $h -1$ é o inverso de $h$ em $H$ .

Exemplos

Deixe $R$ ser o grupo de números reais sob disso . Então, o produto direto $R \times R$ é o grupo de todos os vetores de dois componentes $(x, y)$ sob a operação de adição de vetor :

(x 1, y 1) + (x 2, y 2) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2)

.

Seja $R +$ o grupo de números reais positivos sob multiplicação. Então, o produto direto $R + \times R +$ é o grupo de todos os vetores no primeiro quadrante sob a operação de multiplicação por componentes

(x 1, y 1) \times (x 2, y 2) = (x 1 \times x 2, y 1 \times y 2)

.

Deixe $G$ e $H$ ser grupos cíclicos com dois elementos cada:

${\ displaystyle G}$

* 1 uma

1 1 uma

uma uma 1
${\ displaystyle H}$

* 1 b

1 1 b

b b 1

Então, o produto direto $G \times H$ é isomórfico ao quatro grupos de Klein :

${\ displaystyle G \ times H}$
*	(1,1)	(a, 1)	(1, b)	(a, b)
(1,1)	(1,1)	(a, 1)	(1, b)	(a, b)
(a, 1)	(a, 1)	(1,1)	(a, b)	(1, b)
(1, b)	(1, b)	(a, b)	(1,1)	(a, 1)
(a, b)	(a, b)	(1, b)	(a, 1)	(1,1)

Propriedades elementares

O produto direto é comutativo e associativo até o isomorfismo. Isto é, $L \times H ≅ H x L$ e $(L x H) \times K ≅ L \times (H \times K)$ para quaisquer grupos $G$ , $H$ , e $K$ .
A ordem de um produto direto $G \times H$ é o produto das ordens de $G$ e $H$ :
$| G \times H | = | G | | H |$ .
Isso decorre da fórmula para a cardinalidade do produto cartesiano dos conjuntos.
A ordem de cada elemento $(g, h)$ é o mínimo múltiplo comum das ordens de $g$ e $h$ :
$| (g, h) | = lcm (| g |, | h |)$ .
Em particular, se $| g |$ e $| h |$ são relativamente primos , então a ordem de $(g, h)$ é o produto dos pedidos de $g$ e $h$ .
Como consequência, se $G$ e $H$ são grupos cíclicos cujas ordens são relativamente primos, então $G \times H também$ é cíclico. Ou seja, se $m$ e $n$ são relativamente primos, então
$(Z / m Z) x (Z / N Z) ≅ Z / mn Z$ .
Este fato está intimamente relacionado ao teorema do resto chinês .

Estrutura algébrica

Sejam $G$ e $H$ grupos, seja $P = G \times H$ , e considere os seguintes dois subconjuntos de $P$ :

G' = {(g, 1): g \in G}

e

H' = {(1, h): h \in H}

.

Ambos são de facto subgrupos de $P$ , sendo o primeiro isomorfo a $G$ , e sendo a segunda isomorfo a $H$ . Se os identificarmos com $G$ e $H$ , respectivamente, podemos pensar no produto direto $P$ como contendo os grupos originais $G$ e $H$ como subgrupos.

Esses subgrupos de $P$ têm as seguintes três propriedades importantes: (Dizendo novamente que identificamos $G'$ e $H'$ com $G$ e $H$ , respectivamente.)

A intersecção $G \cap H$ é trivial .
Cada elemento de $P$ pode ser expresso unicamente como o produto de um elemento de $L$ e um elemento de $H$ .
Cada elemento de $L$ comuta com cada elemento de $H$ .

Em conjunto, estes três propriedades determinar completamente a estrutura algébrica do produto directo $P$ . Isto é, se $P$ é qualquer grupo possuindo subgrupos $G$ e $H$ que satisfazem as propriedades acima, então $P$ é isomorfa a necessariamente o produto directo de $G$ e $H$ . Nesta situação, $P$ é por vezes referido como o produto directo interno dos seus subgrupos $G$ e $H$ .

Em alguns contextos, a terceira propriedade acima é substituída pelo seguinte:

3 ′. Ambos

G

e

H

são normais em

P

.

Esta propriedade é equivalente a propriedade 3, uma vez que os elementos de dois subgrupos normais com intersecção trivial necessariamente comutar, um facto que pode ser deduzido por considerando o comutador $[g, h]$ de qualquer $g$ em $G$ , $H$ em $H$ .

Exemplos

Seja $V$ o quatro grupos de Klein :
$V$

∙ $1$ $uma$ $b$ $c$

$1$ $1$ $uma$ $b$ $c$

$uma$ $uma$ $1$ $c$ $b$

$b$ $b$ $c$ $1$ $uma$

$c$ $c$ $b$ $uma$ $1$

Então $V$ é o produto interno direto dos subgrupos de dois elementos {1, a } e {1, b }.
Let Ser um grupo cíclico de ordem mn , onde m e n são relativamente primos. Então, e são subgrupos cíclicos de ordens m e n , respectivamente, e é o produto interno direto desses subgrupos. ${\ displaystyle \ langle a \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle a ^ {n} \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle a ^ {m} \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle a \ rangle}$
Seja $C \times$ o grupo de números complexos diferentes de zero sob multiplicação . Então $C \times$ é o produto interno direto do grupo de círculos $T$ de números complexos unitários e o grupo $R +$ de números reais positivos sob multiplicação.
Se n for ímpar, então o grupo linear geral $GL (n, R)$ é o produto direto interno do grupo linear especial $SL (n, R)$ e o subgrupo que consiste em todas as matrizes escalares .
Da mesma forma, quando n é ímpar, o grupo ortogonal $O (n, R)$ é o produto direto interno do grupo ortogonal especial $SO (n, R)$ e o subgrupo de dois elementos ${- I, I},$ onde $I$ denota a matriz de identidade .
O grupo de simetria de um cubo é o produto interno direto do subgrupo de rotações e do grupo de dois elementos ${- I, I},$ onde $I$ é o elemento de identidade e $- I$ é o ponto de reflexão através do centro do cubo. Um fato semelhante é verdadeiro para o grupo de simetria de um icosaedro .
Seja n ímpar e seja D _{4 n} o grupo diedro de ordem 4 n :
${\ displaystyle D_ {4n} = \ langle r, s \ mid r ^ {2n} = s ^ {2} = 1, sr = r ^ {- 1} s \ rangle.}$
Então D _{4 n} é o produto interno direto do subgrupo (que é isomorfo a D ₂_n ) e do subgrupo de dois elementos {1, r ⁿ }. ${\ displaystyle \ langle r ^ {2}, s \ rangle}$

Apresentações

A estrutura algébrica do $L \times H$ pode ser usado para dar uma apresentação para o produto directo em termos das apresentações de $G$ e $H$ . Especificamente, suponha que

{\ displaystyle G = \ langle S_ {G} \ mid R_ {G} \ rangle \ \}

e

{\ displaystyle \ \ H = \ langle S_ {H} \ mid R_ {H} \ rangle,}

onde e são (disjuntos) grupos geradores e e estão definindo relações. Então ${\ displaystyle S_ {G}}$ ${\ displaystyle S_ {H}}$ ${\ displaystyle R_ {G}}$ ${\ displaystyle R_ {H}}$

{\ displaystyle G \ times H = \ langle S_ {G} \ cup S_ {H} \ mid R_ {G} \ cup R_ {H} \ cup R_ {P} \ rangle}

onde é um conjunto de relações especificando que cada elemento de comuta com cada elemento de . ${\ displaystyle R_ {P}}$ ${\ displaystyle S_ {G}}$ ${\ displaystyle S_ {H}}$

Por exemplo se

{\ displaystyle G = \ langle a \ mid a ^ {3} = 1 \ rangle \ \}

e

{\ displaystyle \ \ H = \ langle b \ mid b ^ {5} = 1 \ rangle}

então

{\ displaystyle G \ times H = \ langle a, b \ mid a ^ {3} = 1, b ^ {5} = 1, ab = ba \ rangle.}

Estrutura normal

Como mencionado acima, os subgrupos $G$ e $H$ são normais em $L x H$ . Especificamente, defina as funções $π G : G \times H \to G$ e $π H : G \times H \to H$ por

π G (g, h) = g

e

π H (g, h) = h

.

Então, $π G$ e $π H$ são homomorfismos , conhecidos como homomorfismos de projeção , cujos núcleos são $H$ e $G$ , respectivamente.

Segue-se que $G \times H$ é uma extensão de $G$ por $H$ (ou vice-versa). No caso em que $L \times H$ é um grupo finito , segue-se que os factores de composição de $L \times H$ são precisamente a união dos fatores de composição de $L$ e os factores de composição de $H$ .

Outras propriedades

Propriedade universal

O produto direto $G \times H$ pode ser caracterizado pela seguinte propriedade universal . Sejam $π G : G \times H \to G$ e $π H : G \times H \to H$ os homomorfismos de projeção. Então, para qualquer grupo $P$ e qualquer homomorfismo $ƒ G : P \to G$ e $ƒ H : P \to H$ , existe um homomorfismo único $ƒ: P \to G \times H$ fazendo o seguinte diagrama comutar :

Especificamente, o homomorfismo $ƒ$ é dado pela fórmula

ƒ (p) = (ƒ G (p), ƒ H (p))

.

Este é um caso especial de propriedade universal para produtos na teoria das categorias .

Subgrupos

Se $A$ é um subgrupo de $G$ e $B$ é um subgrupo de $H$ , em seguida, o produto directo $Um \times B$ é um subgrupo de $L \times H$ . Por exemplo, a cópia isomórfica de $L$ em $L x H$ é o produto $L \times {1}$ , em que ${1}$ é o trivial subgrupo de $H$ .

Se $A$ e $B$ são normais, então $um \times B$ é um subgrupo normal de $L \times H$ . Além disso, o quociente dos produtos diretos é isomórfico ao produto direto dos quocientes:

(G \times H) / (A \times B) ≅ (G / A) \times (H / B)

.

Note-se que isto não é verdadeiro, em geral, que cada subgrupo de $L \times H$ é o produto de um subgrupo de $L$ com um subgrupo de $H$ . Por exemplo, se $G$ for qualquer grupo não trivial, então o produto $G \times G$ tem um subgrupo diagonal

Δ = {(g, g): g \in G}

o que não é o produto directo de dois subgrupos de $L$ .

Os subgrupos de produtos diretos são descritos pelo lema de Goursat . Outros subgrupos incluem produtos de fibra de $G$ e $H$ .

Conjugação e centralizadores

Dois elementos $(g 1, h 1)$ e $(g de 2, h 2)$ são conjugado em $L x H$ se e somente se $g 1$ e $g 2$ são conjugado em $G$ e $H 1$ e $H 2$ são conjugado em $H$ . Segue-se que cada classe de conjugação em $L x H$ é simplesmente o produto cartesiano de uma classe de conjugação em $L$ e uma classe de conjugação em $H$ .

Na mesma linha, se $(g, h) \in G \times H$ , o centralizador de $(g, h)$ é simplesmente o produto dos centralizadores de $g$ e $h$ :

C G \times H (g, h)

=

C G (g) \times C H (h)

.

Da mesma forma, o centro de $G \times H$ é o produto dos centros de $G$ e $H$ :

Z (G \times H)

=

Z (G) \times Z (H)

.

Os normalizadores se comportam de maneira mais complexa, pois nem todos os subgrupos de produtos diretos se decompõem como produtos diretos.

Automorfismos e endomorfismos

Se $α$ é um automorfismo de $G$ e $β$ é um automorfismo de $H$ , então a função produto $α \times β : G \times H \to G \times H$ definida por

(α \times β) (g, h) = (α (g), β (h))

é um automorphism de $L \times H$ . Segue-se que $Aut (G \times H)$ tem um subgrupo isomórfico ao produto direto $Aut (G) \times Aut (H)$ .

Não é verdade em geral que todo automorfismo de $G \times H$ tem a forma acima. (Ou seja, $Aut (G) \times Aut (H)$ é muitas vezes um subgrupo apropriado de $Aut (G \times H)$ .) Por exemplo, se $G$ é qualquer grupo, então existe um automorfismo $σ$ de $G \times G$ que muda os dois fatores, ou seja

σ (g 1, g 2) = (g 2, g 1)

.

Para outro exemplo, o grupo de automorfismo de $Z \times Z$ é $GL (2, Z)$ , o grupo de todas as matrizes $2 \times 2$ com entradas inteiras e determinante , $\pm 1$ . Este grupo de automorfismo é infinito, mas apenas finitamente muitos dos automorfismos têm a forma dada acima.

Em geral, todo endomorfismo de $G \times H$ pode ser escrito como uma matriz $2 \times 2$

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ alpha & \ beta \\\ gamma & \ delta \ end {bmatrix}}}

onde $α$ é um endomorfismo de $G$ , $δ$ é um endomorfismo de $H$ , e $β$ $:$ $H$ $\to$ $G$ e $γ$ $:$ $G$ $\to$ $H$ são homomorfismos. Tal matriz deve ter a propriedade de que todos os elementos da imagem de $α$ comutam com todos os elementos da imagem de $β$ , e todos os elementos da imagem de $γ$ comutam com todos os elementos da imagem de $δ$ .

Quando G e H são grupos indecomponíveis, sem centro, então o grupo de automorfismo é relativamente direto, sendo Aut ( G ) × Aut ( H ) se G e H não são isomórficos, e Aut ( G ) wr 2 se G ≅ H , wr denota o produto da grinalda . Isso é parte do teorema de Krull-Schmidt e é mais geral para produtos diretos finitos.

Generalizações

Produtos diretos finitos

É possível obter o produto direto de mais de dois grupos ao mesmo tempo. Dada uma sequência finita $G 1, ..., G n$ de grupos, o produto direto

{\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} G_ {i} \; = \; G_ {1} \ times G_ {2} \ times \ cdots \ times G_ {n}}

é definido da seguinte forma:

Os elementos de $G 1 \times \dots \times G n$ são tuplas $(g 1, ..., g n)$ , onde $g i \in G i$ para cada $i$ .
A operação em $G 1 \times \dots \times G n$ é definida por componentes:
$(g 1, ..., g n) (g 1', ..., g n')$ = $(g 1 g 1', ..., g n g n')$ .

Ele tem muitas das mesmas propriedades que o produto direto de dois grupos e pode ser caracterizado algebricamente de maneira semelhante.

Produtos diretos infinitos

Também é possível obter o produto direto de um número infinito de grupos. Para uma sequência infinita $G 1, G 2, ...$ de grupos, isso pode ser definido apenas como o produto direto finito de acima, com elementos do produto direto infinito sendo tuplas infinitas.

Mais geralmente, dada uma família indexada { $G i$ } $i \in I$ de grupos, o produto direto $Π i \in I G i$ é definido como segue:

Os elementos de $Π i \in I G i$ são os elementos do produto cartesiano infinito dos conjuntos $G i$ ; ou seja, funções $ƒ: I \to ⋃ i \in I G i$ com a propriedade de que $ƒ (i) \in G i$ para cada $i$ .
O produto de dois elementos $ƒ, g$ é definido em componentes:
$(ƒ • g) (i)$ = $ƒ (i) • g (i)$ .

Ao contrário de um produto directo finito, o infinito produto directo $Π i \in I L i$ não é gerada pelos elementos dos subgrupos isomórficas { $G i$ } $i \in I$ . Em vez disso, esses subgrupos geram um subgrupo do produto direto conhecido como soma direta infinita , que consiste em todos os elementos que possuem apenas um número finito de componentes de não identidade.

Outros produtos

Produtos semi-diretos

Lembre-se de que um grupo $P$ com subgrupos $G$ e $H$ é isomórfico ao produto direto de $G$ e $H$ , desde que satisfaça as três condições a seguir:

A intersecção $G \cap H$ é trivial .
Cada elemento de $P$ pode ser expresso unicamente como o produto de um elemento de $L$ e um elemento de $H$ .
Ambos $G$ e $H$ são normais em $P$ .

Um produto semidireto de $G$ e $H$ é obtido relaxando a terceira condição, de modo que apenas um dos dois subgrupos $G, H$ precisa ser normal. O produto resultante ainda consiste em pares ordenados $(g, h)$ , mas com uma regra um pouco mais complicada de multiplicação.

Também é possível relaxar totalmente a terceira condição, exigindo que nenhum dos dois subgrupos seja normal. Neste caso, o grupo $P$ é referido como um produto Zappa-Szép de $G$ e $H$ .

Produtos grátis

O produto livre de $G$ e $H$ , geralmente denotado $G * H$ , é semelhante ao produto direto, exceto que os subgrupos $G$ e $H$ de $G * H$ não precisam comutar. Ou seja, se

G

=

〈 S G

|

R

G

〉

e

H

=

〈

S

H

|

R

H

〉

,

são apresentações para $G$ e $H$ , então

G * H

=

〈 S G \cup S H

|

R

G

\cup

R

H

〉

.

Ao contrário do produto direto, os elementos do produto gratuito não podem ser representados por pares ordenados. Na verdade, o produto livre de quaisquer dois grupos não triviais é infinito. O produto gratuito é, na verdade, o coproduto na categoria dos grupos .

Subdirecionar produtos

Se $G$ e $H$ são grupos, um subproduto de $G$ e $H$ é qualquer subgrupo de $G \times H$ que mapeia sobrejetivamente em $G$ e $H$ sob os homomorfismos de projeção. De acordo com o lema de Goursat , todo produto subdireto é um produto de fibra.

Produtos de fibra

Sejam $G$ , $H$ e $Q$ grupos, e sejam $φ : G \to Q$ e $χ : H \to Q$ homomorfismos. O produto de fibra de $G$ e $H$ sobre $Q$ , também conhecido como pullback , é o seguinte subgrupo de $G \times H$ :

G \times Q H

= {

(g, h) \in G \times H : φ (g) = χ (h)

} .

Se $φ : G \to Q$ e $χ : H \to Q$ são epimorfismos , então este é um produto subdireto.

Referências

^ Gallian, Joseph A. (2010). Contemporary Abstract Algebra (7 ed.). Cengage Learning. p. 157. ISBN 9780547165097.

Artin, Michael (1991), Algebra , Prentice Hall , ISBN 978-0-89871-510-1
Herstein, Israel Nathan (1996), Abstract algebra (3rd ed.), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7, MR 1375019.
Herstein, Israel Nathan (1975), Topics in algebra (2ª ed.), Lexington, Mass .: Xerox College Publishing, MR 0356988.
Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (revisado, terceira edição), Nova York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-22025-3.
Robinson, Derek John Scott (1996), Um curso na teoria dos grupos , Berlim, Nova York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6.

[1] Gallian, Joseph A. (2010). Contemporary Abstract Algebra (7 ed.). Cengage Learning. p. 157. ISBN 9780547165097.

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Propriedade universal

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Conjugação e centralizadores

Automorfismos e endomorfismos

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