Lema de Goursat - Goursat's lemma

O lema de Goursat , em homenagem ao matemático francês Édouard Goursat , é um teorema algébrico sobre subgrupos do produto direto de dois grupos .

Pode ser afirmado de forma mais geral em uma variedade Goursat (e, conseqüentemente, também se aplica a qualquer variedade Maltsev ), da qual se recupera uma versão mais geral do lema da borboleta de Zassenhaus . Nessa forma, o teorema de Goursat também implica o lema da cobra .

Grupos

O lema de Goursat para grupos pode ser expresso da seguinte forma.

Let , be groups, e deixe ser um subgrupo de tais que as duas projeções e são sobrejetivas (isto é , é um produto subdireto de e ). Deixe ser o kernel de e o kernel de . Pode-se identificar como um subgrupo normal de e como um subgrupo normal de . Então a imagem de in é o gráfico de um isomorfismo . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G '}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G \ times G '}$ ${\ displaystyle p_ {1}: H \ rightarrow G}$${\ displaystyle p_ {2}: H \ rightarrow G '}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G '}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle p_ {2}}$${\ displaystyle N '}$${\ displaystyle p_ {1}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle N '}$${\ displaystyle G '}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G / N \ times G '/ N'}$ ${\ displaystyle G / N \ approx G '/ N'}$

Uma consequência imediata disso é que o subproduto de dois grupos pode ser descrito como um produto de fibra e vice-versa.

Observe que se for qualquer subgrupo de (as projeções e não precisam ser sobrejetivas), então as projeções de para e são sobrejetivas. Então pode-se aplicar o lema de Goursat a . ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G \ times G '}$${\ displaystyle p_ {1}: H \ rightarrow G}$${\ displaystyle p_ {2}: H \ rightarrow G '}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle p_ {1} (H)}$${\ displaystyle p_ {2} (H)}$ ${\ displaystyle H \ leq p_ {1} (H) \ vezes p_ {2} (H)}$

Para motivar a prova, considere a fatia in , para qualquer arbitrária . Pela sobrejetividade do mapa de projeção para , este possui uma intersecção não trivial com . Então, essencialmente, essa interseção representa exatamente um coset particular de . Na verdade, se tivéssemos elementos distintos com e , sendo um grupo, obteríamos isso e, portanto ,. Mas isso é uma contradição, pois pertencem a cosets distintos de , e, portanto , e, portanto , o elemento não pode pertencer ao núcleo do mapa de projeção de a . Assim, a interseção de com cada fatia "horizontal" isomórfica a é exatamente um coset particular de in . Por um argumento idêntico, a interseção de com cada fatia "vertical" isomórfica a é exatamente um coset particular de in . ${\ displaystyle S = {g} \ times G '}$${\ displaystyle G \ times G '}$${\ displaystyle {g} \ in G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle N '}$${\ displaystyle (g, a), (g, b) \ in S \ cap H}$${\ displaystyle a \ in pN '\ subset G'}$${\ displaystyle b \ in qN '\ subset G'}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle (e, ab ^ {- 1}) \ in H}$${\ displaystyle (e, ab ^ {- 1}) \ in N '}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle N '}$${\ displaystyle ab ^ {- 1} N '\ neq N'}$${\ displaystyle (e, ab ^ {- 1}) \ in N '}$${\ displaystyle N '}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G '\ in G \ times G'}$${\ displaystyle N '}$${\ displaystyle G '}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G \ in G \ times G '}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle G}$

Todos os cosets de estão presentes no grupo , e pelo argumento acima, há uma correspondência exata de 1: 1 entre eles. A prova abaixo mostra ainda que o mapa é um isomorfismo. ${\ displaystyle G, G '}$${\ displaystyle H}$

Prova

Antes de prosseguir com a prova , e se mostram normais em e , respectivamente. É nesse sentido que e pode ser identificado como normal em G e G ' , respectivamente. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N '}$${\ displaystyle G \ times \ {e '\}}$${\ displaystyle \ {e \} \ times G '}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N '}$

Uma vez que é um homomorphism , o seu núcleo N é normal em H . Além disso, dado , existe , pois é sobrejetora. Portanto, é normal em G , a saber: ${\ displaystyle p_ {2}}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ displaystyle h = (g, g ') \ in H}$${\ displaystyle p_ {1}}$${\ displaystyle p_ {1} (N)}$

${\ displaystyle gp_ {1} (N) = p_ {1} (h) p_ {1} (N) = p_ {1} (hN) = p_ {1} (Nh) = p_ {1} (N) g }$ .

Conclui-se que é normal, uma vez que ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle G \ times \ {e '\}}$

${\ displaystyle (g, e ') N = (g, e') (p_ {1} (N) \ times \ {e '\}) = gp_ {1} (N) \ times \ {e' \} = p_ {1} (N) g \ vezes \ {e '\} = (p_ {1} (N) \ vezes \ {e' \}) (g, e ') = N (g, e')}$ .

A prova de que é normal procede de maneira semelhante. ${\ displaystyle N '}$${\ displaystyle \ {e \} \ times G '}$

Dada a identificação de com , podemos escrever e , em vez de e , . Da mesma forma, podemos escrever e , . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G \ times \ {e '\}}$${\ displaystyle G / N}$${\ displaystyle gN}$${\ displaystyle (G \ times \ {e '\}) / N}$${\ displaystyle (g, e ') N}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ displaystyle G '/ N'}$${\ displaystyle g'N '}$${\ displaystyle g '\ in G'}$

Para a prova. Considere o mapa definido por . A imagem sob este mapa é . Por ser sobrejetora, essa relação é o gráfico de uma função bem definida fornecida para todos , essencialmente uma aplicação do teste da linha vertical . ${\ displaystyle H \ rightarrow G / N \ times G '/ N'}$${\ displaystyle (g, g ') \ mapsto (gN, g'N')}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ {(gN, g'N ') | (g, g') \ em H \}}$${\ displaystyle H \ rightarrow G / N}$${\ displaystyle G / N \ rightarrow G '/ N'}$${\ displaystyle g_ {1} N = g_ {2} N \ Rightarrow g_ {1} 'N' = g_ {2} 'N'}$${\ displaystyle (g_ {1}, g_ {1} '), (g_ {2}, g_ {2}') \ em H}$

Desde (mais apropriadamente, ), nós temos . Assim , de onde , isto é ,. ${\ displaystyle g_ {1} N = g_ {2} N}$${\ displaystyle (g_ {1}, e ') N = (g_ {2}, e') N}$${\ displaystyle (g_ {2} ^ {- 1} g_ {1}, e ') \ in N \ subconjunto H}$${\ displaystyle (e, g_ {2} '^ {- 1} g_ {1}') = (g_ {2}, g_ {2} ') ^ {- 1} (g_ {1}, g_ {1} ') (g_ {2} ^ {- 1} g_ {1}, e') ^ {- 1} \ em H}$${\ displaystyle (e, g_ {2} '^ {- 1} g_ {1}') \ em N '}$${\ displaystyle g_ {1} 'N' = g_ {2} 'N'}$

Além disso, para cada um que temos . Conclui-se que essa função é um homomorfismo de grupo. ${\ displaystyle (g_ {1}, g_ {1} '), (g_ {2}, g_ {2}') \ em H}$${\ displaystyle (g_ {1} g_ {2}, g_ {1} 'g_ {2}') \ em H}$

Por simetria, é o gráfico de um homomorfismo bem definido . Esses dois homomorfismos são claramente inversos um ao outro e, portanto, são de fato isomorfismos. ${\ displaystyle \ {(g'N ', gN) | (g, g') \ em H \}}$${\ displaystyle G '/ N' \ rightarrow G / N}$

Variedades de Goursat

Como consequência do teorema de Goursat, pode-se derivar uma versão muito geral do teorema de Jordan-Hölder - Schreier nas variedades de Goursat.

Referências

• Édouard Goursat, "Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (1889), Volume: 6, páginas 9–102
• J. Lambek (1996). "A borboleta e a serpente". Em Aldo Ursini; Paulo Agliano (eds.). Lógica e álgebra . CRC Press. pp. 161-180. ISBN   978-0-8247-9606-8 .
• Kenneth A. Ribet (outono de 1976), " Ação de Galois em Pontos de Divisão de Variedades Abelianas com Multiplicações Reais", American Journal of Mathematics , Vol. 98, No. 3, 751–804.