O lema de Goursat , em homenagem ao matemático francês Édouard Goursat , é um teorema algébrico sobre subgrupos do produto direto de dois grupos .
Pode ser afirmado de forma mais geral em uma variedade Goursat (e, conseqüentemente, também se aplica a qualquer variedade Maltsev ), da qual se recupera uma versão mais geral do lema da borboleta de Zassenhaus . Nessa forma, o teorema de Goursat também implica o lema da cobra .
Grupos
O lema de Goursat para grupos pode ser expresso da seguinte forma.
- Let , be groups, e deixe ser um subgrupo de tais que as duas projeções e são sobrejetivas (isto é , é um produto subdireto de e ). Deixe ser o kernel de e o kernel de . Pode-se identificar como um subgrupo normal de e como um subgrupo normal de . Então a imagem de in é o gráfico de um isomorfismo .
Uma consequência imediata disso é que o subproduto de dois grupos pode ser descrito como um produto de fibra e vice-versa.
Observe que se for qualquer subgrupo de (as projeções e não precisam ser sobrejetivas), então as projeções de para e são sobrejetivas. Então pode-se aplicar o lema de Goursat a .
Para motivar a prova, considere a fatia in , para qualquer arbitrária . Pela sobrejetividade do mapa de projeção para , este possui uma intersecção não trivial com . Então, essencialmente, essa interseção representa exatamente um coset particular de . Na verdade, se tivéssemos elementos distintos com e , sendo um grupo, obteríamos isso e, portanto ,. Mas isso é uma contradição, pois pertencem a cosets distintos de , e, portanto , e, portanto , o elemento não pode pertencer ao núcleo do mapa de projeção de a . Assim, a interseção de com cada fatia "horizontal" isomórfica a é exatamente um coset particular de in . Por um argumento idêntico, a interseção de com cada fatia "vertical" isomórfica a é exatamente um coset particular de in .
Todos os cosets de estão presentes no grupo , e pelo argumento acima, há uma correspondência exata de 1: 1 entre eles. A prova abaixo mostra ainda que o mapa é um isomorfismo.
Prova
Antes de prosseguir com a prova , e se mostram normais em e , respectivamente. É nesse sentido que e pode ser identificado como normal em G e G ' , respectivamente.
Uma vez que é um homomorphism , o seu núcleo N é normal em H . Além disso, dado , existe , pois é sobrejetora. Portanto, é normal em G , a saber:
-
.
Conclui-se que é normal, uma vez que
-
.
A prova de que é normal procede de maneira semelhante.
Dada a identificação de com , podemos escrever e , em vez de e , . Da mesma forma, podemos escrever e , .
Para a prova. Considere o mapa definido por . A imagem sob este mapa é . Por ser sobrejetora, essa relação é o gráfico de uma função bem definida fornecida para todos , essencialmente uma aplicação do teste da linha vertical .
Desde (mais apropriadamente, ), nós temos . Assim , de onde , isto é ,.
Além disso, para cada um que temos . Conclui-se que essa função é um homomorfismo de grupo.
Por simetria, é o gráfico de um homomorfismo bem definido . Esses dois homomorfismos são claramente inversos um ao outro e, portanto, são de fato isomorfismos.
Variedades de Goursat
Como consequência do teorema de Goursat, pode-se derivar uma versão muito geral do teorema de Jordan-Hölder - Schreier nas variedades de Goursat.
Referências